专题03 相似三角形重要模型之手拉手（旋转）模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题03 相似三角形重要模型之手拉手（旋转）模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 2 51 【知识储备】手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 模型1.“手拉手”模型(旋转模型) 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 例1．（2023春·贵州铜仁·九年级校联考阶段练习）在中，，D、E分别时、边上的点，．将绕点A旋转． （一）发现问题（1）如图①，、、满足的数量关系为________； （二）探究问题（2）如图②，，相交于点M，连接，求证：平分； （三）拓展应用（3）如图③，在四边形中，，，，求的度数．    【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据，，等量代换可得结果； （2）首先证明，推出，证明，得到，，过点A作于，于，根据三角形面积公式，得到，再利用角平分线的判定定理即可证明；（3）延长至，使得，连接，证明，得到，，从而证明是等边三角形，便可得． 【详解】解：（1）在与中，， ，，故答案为：； （2）在原图中，∵，∴，∴，又，∴， ，，， ∴，，∴，∴，∴平分；       （3）如图，延长至，使得，连接， ，， ，，， ，，，， ，，即是等边三角形， ，． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的判定，构造全等三角形是解本题的关键． 例2．（2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习）在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧作等腰直角三角形，连接．    (1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系． (2)当时．①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立，并说明理由． ②如图3，当B，E，F三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，成立，理由见解析；②四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】（1）根据题意得，进而可得，得出，由，推出，即可得出答案；（2）①由是等腰直角三角形，，，可得，推出仍然成立；②如图3，过点作于点，由旋转得：，进而得出，推出，再由，推出，可得，利用平行四边形的判定即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，当时，点在线段上，          ，，，是等腰直角三角形，， ，，，， ，，，即， ；∴． （2）①仍然成立理由如下：如图2， 是等腰直角三角形，，， 在中，，，，， ，，，， ，，，仍然成立． ②四边形是平行四边形．理由如下：如图3，过点作于点， 由旋转得：， ，，，， ，，，， ，，由①知，， ，，， ，， ，，， ，四边形是平行四边形． 【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，旋转的旋转等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形性质是解题关键． 例3．（2022·河南信阳·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______； (2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由； (3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值． 【答案】(1)AD＝BE，AD⊥BE (2)结论仍然成立，证明见解析 (3)P点运动轨迹的长度是π；P点到直线BC距离的最大值是 【分析】（1）分别求出AD、BE的长即可解答；（2）先证明△BCE∽△ACD ，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；（3）利用锐角三角函数可求∠EBC=30°，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P点到直线BC距离的最大值即可． （1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1， ∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE ∵点D，E分别为AC，BC的中点∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=∴ AD＝BE． 故答案为：AD＝BE，AD⊥BE． （2）解：结论仍然成立，理由如下： ∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，∴，＝，∴， ∵△CDE绕点C顺时针旋转，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD， ∴＝，∠CBO＝∠CAD，∴AD＝BE， ∵∠CBO+∠BOC＝90°，∴∠CAD+∠AOP＝90°，∴∠APO＝90°，∴BE⊥AD． （3）解：∵∠APB＝90°，   ∴点P在以AB为直径的圆上， 如图3，取AB的中点G，作⊙G，以点C为圆心，CE为半径作⊙C，当BE是⊙C切线时，点P到BC的距离最大，过点P作PH⊥BC，交BC的延长线于H，连接GP， ∵BE是⊙C切线，∴CE⊥BE， ∵＝，∴∠EBC＝30°，   ∴∠GBP＝30°，   ∵GB＝GP，∴∠GBP＝∠GPB＝30°，    ∴∠BGP＝120°， ∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C， ∴P点运动轨迹的长度＝×2＝π， ∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝， ∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，∴PH＝BP＝．     ∴P点到直线BC距离的最大值． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、锐角三角函数等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键． 例4．（2022·山东烟台·中考真题） (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【答案】(1)见解析(2)(3)①；② 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． (1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE； (2)解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，； (3)解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 例5．（2023春·广东·九年级专题练习）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF． （1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】（1）结论．证明，可得结论．（2）结论成立．证明方法类似（1）． （3）首先证明，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）结论：．理由：如图1中， ，，，，， ，，，，，． （2）结论成立．理由：如图2中， ，，，，， ，，，． （3）如图3中，由旋转的性质可知，，，， ，，，，，， ，，，． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 例6．（2023·山东济南·九年级统考期中）问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形和等腰按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），其中．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：初步探究（1）如图，将等腰绕点按顺时针方向旋转，连接，．请直接写出与的关系；（2）如图，将（1）中的正方形和等腰分别改成菱形和等腰，其中，，其他条件不变，求证：； 深入探究：（3）如图，将（1）中的正方形和等腰分别改成矩形和，其中且，其它条件不变．①探索线段与的关系，说明理由； ②连接，若，，直接写出________． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）①，，见解析；②500 【分析】（1）由正方形的性质，等腰直角三角形的性质，得到BC=CD，CE=CF，证明△BCF≌DCE，得到BF=DE，∠CBF=∠CDE，结合对顶角相等，即可得到；（2）由菱形的性质，旋转的性质，先证明，即可得到结论成立；（3）①由矩形的性质，直角三角形的性质，先证明，得到与的数量关系，再由余角的性质证明位置关系即可； ②连接BD，先求出矩形的边长，直角三角形的边长，与（1）同理先证明，然后利用勾股定理，等量代换，即可得到． 【详解】解：（1）如图：∵正方形和等腰中，∴BC=CD，CE=CF，∠BCD=∠ECF=90°， ∴∠BCD+∠DCF=∠ECF+∠DCF，即∠BCF=∠DCE， ∴△BCF≌DCE，∴，∠CBF=∠CDE， ∵∠BGC=∠DGF，∴∠BCG=∠DFG=90°∴． （2）证明：如图：，，四边形为菱形， 又，； （3）①在矩形中，，， 又，；，设与交于点G ，． ②如图：连接BD 在矩形ABCD中，CD=AB=12，∵，，∴，BC=16， ∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF=∠CDE，∵∠BGC=∠DGF，∴∠BCG=∠DQG=90°，∴BF⊥DE； 在直角△BCD中，有， 在直角△BDQ中，； 在直角△CEF中，， 在直角△EFQ中，；∴； 在直角△BEQ和直角△DFQ中，由勾股定理，则∵，， ∴；故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，找到证明三角形相似和三角形全等的条件进行解题． 例7．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案． 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，，，， ，，，，， ，，，， ，，， ．故答案为：． 1.（2024·重庆·模拟预测）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（　　） A．5：3 B．4：3 C．：2 D．2： 【答案】A 【解析】∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE， ∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，， ∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD， ∵，∴△ACE∽△ABD，∴， ∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5，∴BD：CE＝5：3，选A． 2．（2023·广西·校考一模）如图，在中，，将绕着点B逆时针方向旋转，使点C的对应点落在CA的延长线上，得到，连接，交于点O．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用旋转的性质和等腰三角形的性质推出，即可判断①的正确性；通过点、、、四点共圆可以判断出②③④的正确性． 【详解】解：由题意可得：，∵∴ ∵∴，故①正确； ∵∴∵∴ ∴，∴点、、、四点共圆 ∵，∴是直径，不是直径∴，故②错误； ∵点、、、四点共圆∴，故③正确； ∵点、、、四点共圆∴， ∴，故④正确；∴正确结论的个数是3个 故选C． 【点睛】本题考查了图形的旋转、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理的推论以及相似的判定等知识点，灵活运用这些知识点是解题的关键． 3．（2023春·四川眉山·九年级专题练习）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证． 【详解】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形∴∠EAG=∠BAD=90° 又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG∴∠EAB=∠GAD∴①正确 ②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形∴AD=DC，AG=FG ∴AC=AD，AF=AG∴，即 又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC∴∠DAG=∠CAF∴∴②正确 ③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线∴∠AFH=∠ACF=45° 又∵∠FAH=∠CAF∴△HAF∽△FAC∴即 又∵AF=AE∴∴③正确 ④由②知又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线 ∴∠ADG=∠ACF=45°∴DG在正方形另外一条对角线上∴DG⊥AC∴④正确故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明． 4．（2024·安徽·模拟预测）如图，将边长为3的菱形绕点逆时针旋转到菱形的位置，使点落在上，与交于点．若，则的长为 ． 【答案】/0.75 【分析】延长交BC的延长线于点M，过点C作CNDM交于点N，根据菱形的性质和旋转的性质证明△ AB≌△AD≌△DCM≌，求得＝＝2，CM＝＝1，再根据CNDM，得，，代入即可求解． 【详解】解：如图，延长交BC的延长线于点M，过点C作CNDN交于点N， ∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，∠B＝∠ADC＝∠，ABCD ∴∠DCM＝∠B 由旋转的性质得：，，， ，∠ADC＝∠，∴ △≌△ ∴∴ ∵∠CDM+∠ADC＝∠DA＋∠∴ ∴△ AB≌△DCM≌，∴DM＝，∠M＝∠∴ ∵CNDM∴∽ ∴∵ ∴ ∴ ∵CNDM∴△CNE∽△DE∴∴ ∴CE＝ 故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 5．（2024·河北石家庄·三模）已知和都为等腰三角形，，，． （1）当时，如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系为 ； （2）当时，若，，时，的长为 ． 【答案】 5或 【分析】（1）由，证明和都为等边三角形，则，，，证明，进而可得， （2）由题意知，，，则，同理（1），证明，则，可求；当时，分当在外部，当在内部两种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴和都为等边三角形，∴，， ∴，即， ∵，∴， ∴，故答案为：； （2）解：由题意知，，， ∴，同理（1），∴， ∴，即，解得，； 当时，分当在外部，当在内部，两种情况求解； 当在外部时，，如图①，记的交点为， 由题意知，，，， ∵，∴，，∴， ∴，∴，， ∵，∴，由勾股定理得，， ∴，，∴； 当在内部时，，如图②，延长交于点， ∵，∴，∴， ∴，即，，即，∴， 由勾股定理得，，∴，∴； 综上所述，的长为5或，故答案为：5或． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦是解题的关键． 6．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，其中，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接，则面积的最大值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 通过证明，可得，可求的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：过点作直线于， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的最大值为1， 故答案为：1． 7．（2024•虹口区期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE． （1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明． 【分析】（1）由∠BAD＝∠CAE，可得∠BAC＝∠DAE，又有∠ABC＝∠ADE，即可得出相似； （2）有（1）中可得对应线段成比例，又有以对应角相等，即可判定其相似． 【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE． （2）△ABD∽△ACE． 证明：由（1）知△ABC∽△ADE，∴， ∴AB×AE＝AC×AD，∴， ∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握． 8．（2024·广东·中考真题）【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析 【分析】（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明； （2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明后即可证明； （3）通过解直角三角形得到，，过点C作于点M，易证，得到，即可求得，进而，从而点M是的中点，过点D作，交于点P，连接，，，根据三线合一得，证明，即可求的，过点P作于点N，则四边形是矩形，得到，因此点N是的中点，进而，再证，得到，根据，即可推出，因此当点G与点P重合时，满足． 【详解】证明：（1）是的中位线， 且． 又绕点D按逆时针方向旋转得到 ． （2）由题意可知：，，． 作，则且， 又， ． 根据外角定理 ， ， ． 又，是的中位线， ， ， ， ， ， ． （3）存在点使得． ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点M， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M是的中点， ∴是的垂直平分线， 过点D作，交于点P，连接，， ∴， ∴根据三线合一得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过点P作于点N，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点N是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴当点G与点P重合时，满足． 【点睛】本题考查了旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握知识点以及灵活运用是解题的关键． 9．（2023·浙江·九年级课时练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC． （1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC； （2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由． （3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）当α＝60°时，△ABC和△PBD为等边三角形，根据三角形全等即可求证； （2）过点作，求得，根据题意可得，可得，再根据，判定，得到，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，分两种情况进行讨论，当在线段或当在线段延长线上时，设根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）当α＝60°时，∵AB＝AC ∴△ABC为等边三角形，∴， 由旋转的性质可得：，∴△PBD为等边三角形 ∴，∴ 在和中∴∴ （2）过点作，如下图： ∵当α＝120°时，∴，∴ 由勾股定理得∴∴ 由旋转的性质可得：，∴， 又∵∴ 又∵， ∴∴∴∴ （3）过点作于点，过点作于点，则点D到CP的距离就是的长度 当在线段上时，如下图： 由题意可得：∵α＝120°，∴ 在中，，∴， 在中，，，∴ ∴，由（2）得 由旋转的性质可得： 设，则 由勾股定理可得：即，解得 则 当在线段延长线上，如下图： 则，由（2）得， 设，则 由勾股定理可得： 即，解得则 综上所述：点D到CP的距离为或 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，综合性比较强，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 10．（2023·绵阳市·九年级专题练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP． 观察猜想： （1）如图1，当α＝60°时，的值为　　，直线CD与 AP所成的较小角的度数为　　°； 类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数； 拓展应用：（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长． 【答案】（1）1，60；（2），直线CD与AP所成的较小角的度数为45°；（3）BD＝． 【分析】（1）根据α＝60°时，△ABC是等边三角形，再证明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直线CD与 AP所成的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质证明△PBA∽△DBC，再得到=，再根据相似三角形的性质求出直线CD与 AP所成的度数；（3）延长CA，BD相交于点K， 根据直角三角形斜边上的中线性质及中位线定理证得∠BCD＝∠KCD，由（2）的结论求出AP的长，再利用在Rt△PBD中，设PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的长． 【详解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=CB ∵将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD， ∴△BDP是等边三角形，∴BP=BD ∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD， ∴∠PBA=∠DBC∴△PBA≌△DBC，∴AP=CD∴=1 如图，延长CD交AB，AP分别于点G，H，则∠AHC为直线CD与AP所成的较小角， ∵△PBA≌△DBC∴∠PAB=∠DCB ∵∠HGA=∠BGC∴∠AHC＝∠ABC＝60°故答案为：1，60； （2）解：如图，延长CD交AB，AP分别于点M，N，则∠ANC为直线CD与AP所成的较小角， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°. 在Rt△ABC中，＝cos∠ABC＝cos45°＝. ∵PB＝PD，∠BPD＝90°，∴∠PBD＝∠PDB＝45°. 在Rt△PBD中，＝cos∠PBD＝cos45°＝. ∴＝，∠ABC＝∠PBD.   ∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD. 即∠PBA＝∠DBC.∴△PBA∽△DBC. ∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.   ∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.   即＝，直线CD与AP所成的较小角的度数为45°. (3)延长CA，BD相交于点K，如图. ∵∠APB＝90°，E为AB的中点，∴EP＝EA＝EB.∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB. ∵点E，F为AB，AC的中点，∴PFBC.∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.         ∵∠BGP＝∠FGK，∴∠BPE＝∠K.∴∠K＝∠EBP， ∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，∴∠K＝∠CBD. ∴CB＝CK. ∴∠BCD＝∠KCD. 由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC， ∴∠PAB＝∠DCB.∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC. ∵∠BHD＝∠CHA，∴∠DBA＝∠DCA.∴∠DBA＝∠PAB. ∴AD＝BD. 由(2)知DC＝AP，∴AP＝. 在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD. ∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋.∴x＝1. ∴BD＝． 【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键熟知旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的方法． 11．（2023·湖北·九年级专题练习）在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且． 【观察猜想】（1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________． 【探究证明】（2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积． 【答案】（1），；（2）不成立，理由见解析；（3）2 【分析】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解决问题； （2）结论：EA2=EC2+2BE2．由题意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解决问题； （3）首先证明AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解决问题； 【详解】（1）如图①中， ∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°， ∴△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC， ∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=EC，∠ABD=∠ACE， ∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°， ∴∠DBE=90°，∴DE2=BD2+BE2，∵EA=DE，BD=EC， ∴EA2=BE2+EC2．故答案为：BD=EC，EA2=EB2+EC2． （2）结论：EA2=EC2+2BE2． 理由：如图②中， ∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠DAE=∠BAC=45°，∴∠DAB=∠EAC∵=， =，∴， ∴△DAB∽△EAC，∴=，∠ACE=∠ABD， ∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°，∴∠DBE=90°，∴DE2=BD2+BE2， ∵EA=DE，BD=EC，∴EA2=EC2+BE2，∴EA2=EC2+2BE2． （3）如图③中， ∵∠AED=45°，D，E，C共线，∴∠AEC=135°， ∵△ADB∽△AEC，∴∠ADB=∠AEC=135°， ∵∠ADE=∠DBE=90°，∴∠BDE=∠BED=45°，∴BD=BE， ∴DE=BD，∵EC=BD，∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x， 在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，∴AC=2， 在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，∴x2+4x2=40， ∴x=2（负根已经舍弃），∴AD=DE=2，∴BD=BE=2，∴S△BDE=×2×2=2． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 12．（2023·广西一模）如图，和均为等腰直角三角形，．现将绕点C旋转． （1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离； （2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：； （3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）由旋转性质易证，从而可得， ，再求的CE边高即可；（2）通过倍长中线构造，得，由即可证明；（3）利用费马点模型构造图形，过点G作，且，过点G作，且，可得，，将问题由转化为两点之间距离最短即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴，∴， 又∵，，∴（SAS）， ∴，， ∵，，∴， ∵若三点共线，∴， 如图，过B点作BH⊥CE交CE延长线于点H， ∴，∴， 即：点B到直线的距离为； （2）延长CF到N，使FN=CF，连接BN， ∵FD=FB，，∴（SAS）∴， ∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，，∴（SAS），∴， 又∵，∴，∴，即， （3）的最小值为；过程如下：如解图3，过点G作，且，过点G作，且，连接OC、、， ∴，，∴， ∵，∴，∴，即， ∵， ∴， ∵，仅当C、O、、在同一条直线上等号成立； 如解图4，过点作，垂足为H，过点作，垂足为P， ∵，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，， ∴，， ∴，∴， ∴的最小值为：， ∴的最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，涉及了三角形旋转全等和旋转相似的综合、解三角形等知识点，解（2）关键是倍长中线构造三角形全等证明；解（3）关键是掌握费马点求最值模型，利用旋转转化线段关系． 13．（2023·广西·九年级课时练习）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）4． 【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴A，，，∴， 在和中，， ∴，∴，故答案为：； （2）变式探究：， 理由如下：∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）解决问题：连接、，如图所示: ∵四边形是正方形，∴，， ∵是正方形的中心，∴，， ∴，即， ∵，∴，∴， ∵，∴，设，则， 在中，，即， 解得，（舍去），，∴正方形的边长为：． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． 14．（2024·河南·九年级专题练习）规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形． （1）问题联想：如图①，嵌套四边形ABCD，AMPN都是正方形，现把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，连接BM'，DN'交于点O，则BM'与DN'的数量关系为_____，位置关系为_____； （2）类比探究：如图②，将（1）中的正方形换成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗? 若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，将（1）中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2:1的矩形，旋转角换成α（90°＜α＜180°），其他条件不变，请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系． 【答案】（1），；（2）成立，不成立，与相交，且夹角为.理由见解析；（3），. 【分析】（1）根据SAS证明△ABM’≌△AND’，进而得到，∠ABM’=∠ADN’，再利用三角形内角和可推出∠BOD=90°，即；（2）根据旋转和菱形的性质证明，再推出，故可求解；（3）根据旋转和矩形的性质证明，得到，再推出即可求解． 【详解】（1）如图设，交于点H，， ∵四边形ABCD，AMPN都是正方形，把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'， ∴AB=AD,AM’=AD’, ∴△ABM’≌△AND’，∴，∠ABM’=∠ADN’， ∵∠ADN’+∠DHA+∠DAH=180°，∠ABM’+∠BHO+∠BOD=180°， 又∠DHA=∠BHO∴，即 故答案为：，； （2）成立，不成立，与相交，且夹角为. 理由：设，交于点，由旋转的性质可得. ∵四边形，都是菱形，∴，， ∴，∴，. 又∵，∴；故与相交，且夹角为； （3），，理由如下：设，交于点， 由旋转的性质可得. ∵四边形ABCD和AMPN是长和宽之比为2:1的矩形∴，， ∴∴，∴，. 又∵，∴∴，． 【点睛】此题主要考查正方形、矩形、菱形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，运用了类比的思想方法，体现了逻辑推理的核心素养． 15．（2023秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）类比探究 【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则把绕着A逆时针方向旋转，连接和．    ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________ ②若，，，则__________． 【迁移应用】在中，，，D、E、M分别是、、中点，连接和．①如图3，写出和的数量关系__________；②如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，当D落在上时，连接和，取中点N，连接，若，求的长．    【创新应用】如图5：，，是直角三角形，，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，且，连接，请直接写出的取值范围．    【答案】【问题背景】①，②；【迁移应用】①，②3；【创新应用】 【问题背景】①根据相似三角形的性质可得，根据相似三角形的判定即可证明； ②利用相似三角形的性质求解；【迁移应用】①根据正切的定义求得，即可得结论； ②连接，根据相似三角形的性质和判定，求出，根据三角形的中位线定理即可求得； 【创新应用】过点A作于点K，过点C作于点J，连接, 根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式求得，根据勾股定理求得，根据平行线分线段成比例可得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求得，，通过，即可可得结论． 【详解】解：①∵，∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． ②∵，∴，∴，∴．故答案为：． ①如图3中，在中，，，∴，∴， ∵，，∴．故答案为：． ②如图4中，连接．       ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，，∴． 如图5中，过点A作于点K，过点C作于点J，连接． ∵，， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切的定义，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质等，添加常用辅助线，构造平行线是解题的关键． 16．（2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习）（1）如图1，正方形和正方形（其中，连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系是 ，位置关系是 ． （2）如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由．    【答案】（1） ， （2）不成立，，，理由见解析 【分析】（1）证明，即可求解； （2）根据两边对应成比例且夹角相等证明，即可求解； 【详解】解：（1）如图1，在正方形和正方形中，，       ，即， ，，，，， ，，； （2）不成立，新结论：，，理由如下：如图2，由（1）知，， ，，，，，， ，，即，，， ，，； 【点睛】本题是四边形综合题，涉及旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理等知识，难度适中主，熟练掌握相关性质是解题的关键． 17．（2024·广东深圳·九年级校联考期中）【模型发现】如图 1，，求证：． 【深入探究】如图2，等边中，，是上的动点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，当点从运动到时，求点的运动路径长． 【应用拓展】如图3，等腰中，，于，是上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，交于点，连接，若，则的值为_______．    【答案】模型发现：见解析；深入探究：3；应用拓展： 【分析】模型发现：由相似三角形的性质可得，，易得，即可证明； 深入探究：连接，证明是等边三角形，，，证明，得到，即点的运动路径与点的路径等长，即可得到答案； 应用拓展：连接，结合等腰直角三角形的性质可得，，，，即可证明，结合相似三角形的性质可得，证明，由相似三角形的性质并结合已知条件可得，然后进行计算即可． 【详解】模型发现：证明：，，， ，，； 深入探究：解：如图，连接，   ，   ， 是等边三角形，，， 将绕着点逆时针旋转得到，， 是等边三角形，，，， ，即， 在和中，，， ，即点的运动路径与点的路径等长， 为等边三角形，，， 点从运动到的运动路径长为3，点的运动路径长为3； 应用拓展：解：如图，连接， 为等腰直角三角形，，，， ，，即， 绕着点逆时针旋转得到，，， 为等腰直角三角形，， ，，即，， ，即， ，，，即， ，为等腰直角三角形，， ，，， ，，， ，，，，， ，，，，即， ，为等腰直角三角形，， ，，，，故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，综合性强，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． 18．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图（1），等腰三角形中，，．点，分别在，上，．    (1)操作发现：将图（1）中的绕点逆时针旋转，当点落在边上时，交于点，如图（2）．发现：．请证明这个结论． (2)实践探究：将图（1）中的绕点顺时针旋转（），当，，三点在同一条直线上时，连接，如图（3）．请解答以下问题： ①求证：；②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据三角形的外角性质可得，推得，根据等边对等角可得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可证明；（2）①根据平行线分线段成比例定理可得，推得，，根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形的性质可得，根据相似三角形的判定和性质可得，推得，即可求解． 【详解】（1）解：在图（1）中，∵，∴； 在图（2）中，根据旋转的性质，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：①在图（1）中，∵，∴， ∵，∴，∵， ∴在图（3）中，，∴， 在和中，，∴； ②，理由：∵，∴， ∵，∴在图（1）中，，∴，即， ∵，， ∴，∴， ∵，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角性质，等边对等角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握等腰三角形共点旋转模型是解本题的关键， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相似三角形重要模型之手拉手（旋转）模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 2 51 【知识储备】手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 模型1.“手拉手”模型(旋转模型) 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 例1．（2023春·贵州铜仁·九年级校联考阶段练习）在中，，D、E分别时、边上的点，．将绕点A旋转． （一）发现问题（1）如图①，、、满足的数量关系为________； （二）探究问题（2）如图②，，相交于点M，连接，求证：平分； （三）拓展应用（3）如图③，在四边形中，，，，求的度数． 例2．（2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习）在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧作等腰直角三角形，连接．    (1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系． (2)当时．①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立，并说明理由． ②如图3，当B，E，F三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 例3．（2022·河南信阳·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______； (2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由； (3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值． 例4．（2022·山东烟台·中考真题） (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 例5．（2023春·广东·九年级专题练习）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF． （1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长． 例6．（2023·山东济南·九年级统考期中）问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形和等腰按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），其中．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：初步探究（1）如图，将等腰绕点按顺时针方向旋转，连接，．请直接写出与的关系；（2）如图，将（1）中的正方形和等腰分别改成菱形和等腰，其中，，其他条件不变，求证：； 深入探究：（3）如图，将（1）中的正方形和等腰分别改成矩形和，其中且，其它条件不变．①探索线段与的关系，说明理由； ②连接，若，，直接写出________． 例7．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 1.（2024·重庆·模拟预测）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（　　） A．5：3 B．4：3 C．：2 D．2： 2．（2023·广西·校考一模）如图，在中，，将绕着点B逆时针方向旋转，使点C的对应点落在CA的延长线上，得到，连接，交于点O．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023春·四川眉山·九年级专题练习）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（2024·安徽·模拟预测）如图，将边长为3的菱形绕点逆时针旋转到菱形的位置，使点落在上，与交于点．若，则的长为 ． 5．（2024·河北石家庄·三模）已知和都为等腰三角形，，，． （1）当时，如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系为 ； （2）当时，若，，时，的长为 ． 6．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，其中，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接，则面积的最大值是 ． 7．（2024•虹口区期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE． （1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明． 8．（2024·广东·中考真题）【知识技能】（1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】（2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】（3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 9．（2023·浙江·九年级课时练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC． （1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离． 10．（2023·绵阳市·九年级专题练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP． 观察猜想： （1）如图1，当α＝60°时，的值为　　，直线CD与 AP所成的较小角的度数为　　°； 类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数； 拓展应用：（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长． 11．（2023·湖北·九年级专题练习）在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且． 【观察猜想】（1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________． 【探究证明】（2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积． 12．（2023·广西一模）如图，和均为等腰直角三角形，．现将绕点C旋转． （1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离； （2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：； （3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值． 13．（2023·广西·九年级课时练习）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 14．（2024·河南·九年级专题练习）规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形． （1）问题联想：如图①，嵌套四边形ABCD，AMPN都是正方形，现把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，连接BM'，DN'交于点O，则BM'与DN'的数量关系为_____，位置关系为_____； （2）类比探究：如图②，将（1）中的正方形换成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗? 若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，将（1）中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2:1的矩形，旋转角换成α（90°＜α＜180°），其他条件不变，请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系． 15．（2023秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）类比探究 【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则把绕着A逆时针方向旋转，连接和．    ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________②若，，，则__________． 【迁移应用】在中，，，D、E、M分别是、、中点，连接和．①如图3，写出和的数量关系__________；②如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，当D落在上时，连接和，取中点N，连接，若，求的长．    【创新应用】如图5：，，是直角三角形，，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，且，连接，请直接写出的取值范围．    16．（2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习）（1）如图1，正方形和正方形（其中，连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系是 ，位置关系是 ． （2）如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由．    17．（2024·广东深圳·九年级校联考期中）【模型发现】如图 1，，求证：． 【深入探究】如图2，等边中，，是上的动点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，当点从运动到时，求点的运动路径长． 【应用拓展】如图3，等腰中，，于，是上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，交于点，连接，若，则的值为_______．    18．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图（1），等腰三角形中，，．点，分别在，上，．    (1)操作发现：将图（1）中的绕点逆时针旋转，当点落在边上时，交于点，如图（2）．发现：．请证明这个结论． (2)实践探究：将图（1）中的绕点顺时针旋转（），当，，三点在同一条直线上时，连接，如图（3）．请解答以下问题： ①求证：；②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$