专题09 解直角三角形重要模型之新定义模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题09 解直角三角形重要模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.新定义模型 1 17 模型1.新定义模型 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 例1．（2020·山东日照市·中考真题）阅读理解： 如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）． 探究活动：如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R， 那么：　 　　 　（用＞、＝或＜连接），并说明理由． 事实上，以上结论适用于任意三角形． 初步应用：在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b． 综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝） 例2．（2023春·山西·九年级专题练习）阅读与思考．请仔细阅读并完成相应的任务． 利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角中，，，的对边分别是，，过点作于点，则，即，于是．在中，，在中，，，整理得． 任务：(1)__________，__________； (2)已知中，，，所对边分别是，，，，，，求． 例3．（23-24九年级·山东青岛·期末）问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现要将一块四边形的空地（如图5，四边形ABCD）铺上草皮，但由于年代久远，小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC，BD的长度分别为20cm，30cm及夹角∠AOB为60°，你能利用这些数据，帮助物业人员求出这块空地的面积吗？ 问题分析：显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出△ABD与△BCD（也可以是△ABC与△ACD）的面积，再相加就可以了． 建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况： 如图1，△ABC中，O为BC上任意一点（不与B，C两点重合），连接OA，OA=a，BC=b，∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角），试用a，b，α表示△ABC的面积． 解：如图2，作AM⊥BC于点M，∴△AOM为直角三角形． 又∵∠AOB=α，∴sinα=即AM=OA•sinα∴△ABC的面积=•BC•AM=•BC•OA•sinα=absinα． 问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题． 如图3，四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC=20m，BD=30m，∠AOB=60°，求四边形ABCD的面积．（写出辅助线作法和必要的解答过程） 新建模型：若四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC=a，BD=b，∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角），直接写出四边形ABCD的面积=　 　． 模型应用：如图4，四边形ABCD中，AB+CD=BC，∠ABC=∠BCD=60°，已知AC=a，则四边形ABCD的面积为多少？（“新建模型”中的结论可直接利用） 例4．（2023春·广西南宁·八年级校考阶段练习）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦－秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：如图，在中，点E是边上一点，连接，，，，．    任务一：请你用海伦－秦九韶公式求的面积．任务二：求的面积． 例5．（2024·山东·校考一模）关于三角函数有如下的公式： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ① cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ② tan（α+β）=③ 利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如： tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）． 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： 如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高． 例6．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 例7．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对．如图1，在中，，顶角的正对记作，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)计算：______； (2)对于，的正对值的取值范围是______； (3)如（3）图，已知，，其中为锐角，试求的值． 例8．（2023秋·山东·九年级专题练习）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ．    阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． (1)如图3，，，若，则______，______； (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 例9．（2023·湖南株洲·模拟预测）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为： （其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关． 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________． (2)若角的终边与直线重合，则________． (3)若角是锐角，其终边上一点且，则________． (4)若，则的取值范围是________． 1．（2023春·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．2 2．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题． sin230°＋cos230°＝ ； sin245°＋cos245°＝ ； sin260°＋cos260°＝ ； …… 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝ ． 5．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 6．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 7．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）古希腊数学家海伦在他的著作《度量论》中，给出了计算三角形面积的公式：，（其中，，，分别为三角形的三边长，为三角形的面积）．我国宋代数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，也曾提出由三角形三边求三角形面积的方法，它们实质上是相同的．请根据上面的公式解决问题： 已知三角形的三边长分别为，，，若，，是方程的两个实数根，请利用上面的公式求该三角形的面积． 8．（2023秋·陕西咸阳·八年级校考期中）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为，，，记，即为的周长的一半，则（表示的面积），把这个公式称为海伦公式．(1)现有一块三角形空地A，它的三边长分别为，，，求这块地的面积； (2)有一块空地的面积为，则空地A的面积是空地面积的几倍． 9．（2022·山东济宁·统考中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵，∴，∴ (1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． (2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 10．（2023·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，并解决问题． 如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则，，即，，于是，即． 同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素． （1）如图2，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号） 11．（2023·山东九年级期中）阅读下面的材料，再回答问题： 三角函数中常用公式sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，求sin(A＋B)的值． 例如：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝×＋×＝＋＝. 试用公式cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，求cos75°的值． 12．（2023·山东威海·九年级统考期中）【阅读材料】 性质：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即： 利用上述性质可以求解如下题目：在中，若，，，求b． 解：在中，∵，∴． 【问题解决】利用上述相关知识解决下列问题：如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行．当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行．经过20分钟后，甲船由处航行到处，乙船航行到甲船位置（即处）的南偏西方向的处，此时两船相距海里，求乙船每小时航行多少海里． 13．（2023·山东·九年级专题练习）阅读下面材料： 观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB＝ ，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即 ．同理有：，，所以． 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题． （1）如图，△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝60，则AB＝　 　； （2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB． （3）在（2）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号） 14．（2024·四川成都·九年级校考期中）阅读材料：一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=． 根据以上材料，解决下列问题：（1）求tan75°的值； （2）都匀文峰塔，原名文笔塔，始建于明代万历年间，系五层木塔．文峰塔的木塔年久倾毁，仅存塔基．1983年，人民政府拨款维修文峰塔，成为今天的七层六面实心石塔（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，已知小华站在离塔底中心A处5.7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.72米，请帮助小华求出文峰塔AB的高度．（精确到1米，参考数据≈1.732，≈1.414） 15．（2024·广西南宁·统考二模）阅读理解：如图①，在锐角中，、、的对边分别是a、b、c，过点A作于点D，则，即，于是，即，所以． 学以致用：（计算结果精确到0.1，） (1)如图②，中，，求的度数和线段的长； (2)如图③，中国渔政204巡航船在C处测得岛屿A在北偏西的方向上，随后船以40海里/时的速度往北偏东的方向航行，半小时后到达B处，此时船在B处测得岛屿A在北偏西的方向上，求此时船与岛屿A的距离的长． 16．（2023·福建泉州·九年级统考期中）请先阅读这段内容.再解答问题 三角函数中常用公式.求的值， 即. 试用公式，求出的值. 17．（2023·山东淄博·九年级统考期中）计算 (1)；(2)； (3)已知三角函数有如下的公式：，利用该公式求的值． 18．（2023春·成都市·九年级专题练习）对于钝角β，定义它的三角函数值如下： sinβ=sin（180°﹣β），cosβ=﹣cos（180°﹣β），tanβ=﹣tan（180°﹣β）． （1）求sin120°，cos135°，tan150°的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程ax2﹣bx﹣1=0的两个不相等的实数根，求a、b的值及∠A和∠B的大小． 19．（2023·山东济宁·九年级统考期末）【阅读材料】某校九年级数学课外兴趣探究小组在学习完《第二十八章锐角三角函数》后，利用所学知识进行深度探究，得到以下正确的等量关系式： ， ， ，， 【理解应用】请你利用以上信息求下列各式的值：（1）；（2） 【拓展应用】（3）为了求出海岛上的山峰的高度，在处和处树立标杆和，标杆的高都是3丈，两处相隔1000步（1步等于6尺），并且和在同一平面内，在标杆的顶端处测得山峰顶端的仰角75°，在标杆的顶端处测得山峰顶端的仰角30°，山峰的高度即的长是多少步？（结果保留整数）（参考数据：）    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 解直角三角形重要模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.新定义模型 1 17 模型1.新定义模型 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 例1．（2020·山东日照市·中考真题）阅读理解： 如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）． 探究活动：如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R， 那么：　 　　 　（用＞、＝或＜连接），并说明理由． 事实上，以上结论适用于任意三角形． 初步应用：在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b． 综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝） 【答案】探究活动：＝，＝，＝；初步应用：；综合应用：古塔高度约为36.6m． 【分析】探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，从而得出答案； 初步应用：根据，得出，即可得出b的值； 综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，可知∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝，灾解直角三角形即可得出答案． 【详解】解：探究活动：， 理由如下：如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD， ∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，∴sinA＝sinD，sinD＝，∴， 同理可证：，∴；故答案为：＝，＝，＝． 初步应用：∵，∴，∴． 综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，∴∠ACB＝30°． 设古塔高DC＝x，则BC＝， ∵，∴，∴， ∴，∴古塔高度约为36.6m． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键． 例2．（2023春·山西·九年级专题练习）阅读与思考．请仔细阅读并完成相应的任务． 利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角中，，，的对边分别是，，过点作于点，则，即，于是．在中，，在中，，，整理得． 任务：(1)__________，__________； (2)已知中，，，所对边分别是，，，，，，求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）直接根据进行类比即可求解； （2）根据代入数值可得，继而求解即可． 【详解】（1）根据进行类比，可得 ，， 故答案为：，； （2），，，， ∴，即， 解得，（舍去），． 例3．（23-24九年级·山东青岛·期末）问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现要将一块四边形的空地（如图5，四边形ABCD）铺上草皮，但由于年代久远，小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC，BD的长度分别为20cm，30cm及夹角∠AOB为60°，你能利用这些数据，帮助物业人员求出这块空地的面积吗？ 问题分析：显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出△ABD与△BCD（也可以是△ABC与△ACD）的面积，再相加就可以了． 建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况： 如图1，△ABC中，O为BC上任意一点（不与B，C两点重合），连接OA，OA=a，BC=b，∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角），试用a，b，α表示△ABC的面积． 解：如图2，作AM⊥BC于点M，∴△AOM为直角三角形． 又∵∠AOB=α，∴sinα=即AM=OA•sinα∴△ABC的面积=•BC•AM=•BC•OA•sinα=absinα． 问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题． 如图3，四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC=20m，BD=30m，∠AOB=60°，求四边形ABCD的面积．（写出辅助线作法和必要的解答过程） 新建模型：若四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC=a，BD=b，∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角），直接写出四边形ABCD的面积=　 　． 模型应用：如图4，四边形ABCD中，AB+CD=BC，∠ABC=∠BCD=60°，已知AC=a，则四边形ABCD的面积为多少？（“新建模型”中的结论可直接利用） 【答案】问题解决:150;新建模型: absinα, 模型应用: a2 【分析】问题解决，如图5中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD计算即可； 新建模型，如图5中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=•BD•AE+•BD•CF=•BD•（AE+CF）=•BD•（OA•sinα+OC•sinα）=•BD•AC•sinα； 模型应用，如图4中，在CB上取CE=CD，连接DE，AE，BD．只要证明BD=AC，∠APB=60°即可； 【详解】解：问题解决，如图5中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． ∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=•BD•AE+•BD•CF=•BD•（AE+CF）=•BD•（OA•sin60°+OC•sin60°）=•BD•AC=150． 新建模型，如图5中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=•BD•AE+•BD•CF=•BD•（AE+CF）=•BD•（OA•sinα+OC•sinα）=•BD•AC•sinα=absinα，故答案为absinα． 模型应用，如图4中，在CB上取CE=CD，连接DE，AE，BD． ∵AB+DC=BC，∴AB=BE，∵∠ABC=∠BCD=60°， ∴△ABE与△CDE均为等边三角形，∴AE=BE，DE=CE，∴∠AEB=∠CED=60°，∴∠BED=∠AEC=120°， 在△BED与△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴AC=BD，∠EAC=∠EBD， ∵∠AOP=∠BOE，∴∠APO=∠AEB=60°，∴S四边形ABCD=•a•a•sin60°=a2． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，模型图形变化类问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 例4．（2023春·广西南宁·八年级校考阶段练习）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦－秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：如图，在中，点E是边上一点，连接，，，，．    任务一：请你用海伦－秦九韶公式求的面积．任务二：求的面积． 【答案】见详解； 【分析】任务一：根据，，得到， 结合即可得到答案； 任务二：根据平行线间距离处处相等及平行四边形的对边相等求解即可得到答案； 【详解】解：任务一：∵，，，∴， ∴， 任务二：∵四边形是平行四边形，∴，， ∴； 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的管家是根据新定义直接求出的面积． 例5．（2024·山东·校考一模）关于三角函数有如下的公式： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ① cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ② tan（α+β）=③ 利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如： tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）． 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： 如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高． 【答案】建筑物CD的高为84米． 【详解】分析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了. 详解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°， ∴在Rt△ABC和Rt△ADE AB=BC•tan75°=42tan75°=， AE=，∴CD=AB﹣AE=（米）. 答：建筑物CD的高为84米. 睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决. 例6．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【答案】(1)；；证明见解析(2)；；证明见解析 【分析】（1）本小题要求找到规律并证明，要规律首先就应该准确的计算出，，，，，以及和的值；要证明结论就应该在一般的三角形中求解，在边长分别为、、的直角三角形中，，，计算的结果证明结论； （2）在边长分别为、、的直角三角形中计算，，看结论是否相同即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，，，， 规律：对于任意锐角有，故答案为：，，1，，，1； 证明：如图所示，在中，， ，，，． （2）解：，，， 规律：对于任意锐角有， 证明：如图，，，．故答案为：，，，． 例7．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对．如图1，在中，，顶角的正对记作，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)计算：______； (2)对于，的正对值的取值范围是______； (3)如（3）图，已知，，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，理解新定义是解此题的关键．（1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答即可；（2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）由，令，则，，在上取点，使，连接，作，为垂足，表示出的长，再计算出，最后由正对的定义即可求解． 【详解】（1）解：根据正对定义可得： 当顶角为时，等腰三角形底角为，则三角形为等边三角形， 底边腰长，故答案为：1； （2）解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0， 当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近， 的正对值的取值范围是，故答案为：； （3）解：如图： 在中，， 令，则，， 在上取点，使，连接，作，为垂足， ∴， ，， ． 例8．（2023秋·山东·九年级专题练习）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ．    阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． (1)如图3，，，若，则______，______； (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可；（2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， 由三角函数的定义可得，， 由材料可得：，故答案为：， （2）解：取的中点，连接，过点作于点，如下图：    则，，，， 在中，，，， ，在中，， ，，． 【点睛】此题考查三角函数定义的应用，解题关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线构造直角三角形． 例9．（2023·湖南株洲·模拟预测）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为： （其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关． 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________． (2)若角的终边与直线重合，则________． (3)若角是锐角，其终边上一点且，则________． (4)若，则的取值范围是________． 【答案】(1)(2)或(3)(4) 【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断；（2）分两种情形讨论即可解决问题；（3）如图2中，作轴于E．求出的长，根据三角函数的定义即可解决问题；（4）根据题意可得，根据，可得，再由，可得，从而得到，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，∴点在第四象限，∴， ∵，∴， ∴取取正值的是；故答案为： （2）解：如图1中，    ①当点P在第一象限时，作轴于E．设，则， ∴． ②当点P在第三象限时，作轴于E．设，则， ∴． 综上所述， 或；故答案为：或； （3）解：如图2中，作轴于E．    由题意， ，∴， ∴，∴； （4）解：根据题意得：， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 1．（2023春·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题目中给出的信息列式解答即可． 【详解】解：根据题意得： ， ∴或（舍去），故C正确．故选：C． 【点睛】本题考查新定义计算，特殊角的三角函数值，余弦定理，解题的关键是理解题意，熟练进行计算． 2．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案． 【详解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°= =，故此选项正确； ②tan105°=tan（60°+45°）== ==-2-，故此选项正确； ③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此选项正确； ④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此选项正确； 故正确的有4个．故选D． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键． 3．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点B作，交的延长线于点D，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点D，    ∵，∴设，， ，互为半余角，，， 在中，，， ，，在中，，故选：B． 【点睛】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题． sin230°＋cos230°＝ ； sin245°＋cos245°＝ ； sin260°＋cos260°＝ ； …… 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝ ． 【答案】 1 1 1 1 【详解】sin230°＋cos230°＝=1 ， sin245°＋cos245°＝=1 ， sin260°＋cos260°＝=1 ， 即可猜想出：对任意锐角，都有 故答案为：1；1；1；1 5．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据代入进行计算即可． 【详解】解：== ==．故答案为：． 【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键． 6．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵，∴． ∵，∴．∵为锐角，∴． ∵ ∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． 7．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）古希腊数学家海伦在他的著作《度量论》中，给出了计算三角形面积的公式：，（其中，，，分别为三角形的三边长，为三角形的面积）．我国宋代数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，也曾提出由三角形三边求三角形面积的方法，它们实质上是相同的．请根据上面的公式解决问题： 已知三角形的三边长分别为，，，若，，是方程的两个实数根，请利用上面的公式求该三角形的面积． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再求出，进而可求出面积． 【详解】解：∵，，是方程的两个实数根，∴，， 又∵∴， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，读懂题意是解题的关键． 8．（2023秋·陕西咸阳·八年级校考期中）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为，，，记，即为的周长的一半，则（表示的面积），把这个公式称为海伦公式． (1)现有一块三角形空地A，它的三边长分别为，，，求这块地的面积； (2)有一块空地的面积为，则空地A的面积是空地面积的几倍． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由海伦公式计算即可； （2）用空地A的面积除以空地面积求解即可． 【详解】（1）解：， ∴三角形空地A的面积为； （2）解：． ∴空地A的面积是空地面积的倍． 【点睛】本题属于二次根式应用类型的题，解题的关键是掌握二次根式的性质和正确的代入公式并进行计算． 9．（2022·山东济宁·统考中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵， ∴， ∴ (1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． (2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【答案】(1)，证明见解析(2)米 【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE = csinB， AE= bsin∠BCA，CD= asinB，CD = bsin∠BAC，从而得出结论； 解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可． 【详解】（1）（拓展探究）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E． 在RtΔABE中，， 同理：， ． ． ． ． ． （2）（解答问题）解：在ΔABC中， ∴ 解得： 答：点A到点B的距离为m． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键． 10．（2023·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，并解决问题． 如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则，，即，，于是，即． 同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素． （1）如图2，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB． （2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号） 【答案】（1）货轮距灯塔A的距离AB为海里；（2）． 【分析】（1）此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出∠A的角度，求出∠DBC＝30°，求出DC，由勾股定理求出BD，求出AD、BD的长，由勾股定理求出AB即可； （2）在三角形ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，过点B作BM⊥AC，构造直角三角形ABM，BCM，在直角三角形ABM中可求出AM的长，进而可求出sin75°的值． 【详解】（1）由题意得BC=60×0.5=30（海里）， ∵CD∥BE，∠DCB=30°， ∴∠CBE=180°-∠DCB=150°， ∵∠ABE=75°， ∴∠ABC=150°-75°=75°， ∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=45°， 解得（海里） 所以货轮距灯塔A的距离AB为海里； （2）过点B作BM⊥AC，在Rt△ABM中，∠A=45°，AB=， ∵，即， ∴AM=15， 在Rt△BMC中，∠BCM=60°，BC=30，则CM=BC（海里） ∴AC=AM+CM=（）（海里） ∵ ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了方向角的含义，锐角三角函数，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，掌握这些知识点是解题关键． 11．（2023·山东九年级期中）阅读下面的材料，再回答问题： 三角函数中常用公式sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，求sin(A＋B)的值． 例如：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝×＋×＝＋＝. 试用公式cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，求cos75°的值． 【答案】 【详解】试题分析：将cos75°变为cos(45°+30°)，然后按所给的公式进行计算即可. 试题解析：cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°=. 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，能根据所给的公式进行解答是关键. 12．（2023·山东威海·九年级统考期中）【阅读材料】 性质：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 即： 利用上述性质可以求解如下题目： 在中，若，，，求b． 解：在中，∵， ∴． 【问题解决】利用上述相关知识解决下列问题： 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行．当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行．经过20分钟后，甲船由处航行到处，乙船航行到甲船位置（即处）的南偏西方向的处，此时两船相距海里，求乙船每小时航行多少海里． 【答案】海里每小时 【分析】根据已知，及先证是等边三角形，再结合正弦定理即可求出,从而可以求出答案. 【详解】解：∵, ∴ 又∵ ∴是等边三角形． ∴． ∵，． 在中，由正弦定理得． ∴． ∴乙船的速度为海里每小时． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质和三角函数，能够证明是等边三角形是解题的关键. 13．（2023·山东·九年级专题练习）阅读下面材料： 观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB＝ ，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即 ．同理有：，，所以． 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题． （1）如图，△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝60，则AB＝　 　； （2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB． （3）在（2）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号） 【答案】（1）20；（2）15海里；（3）. 【分析】（1）根据材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入数值即可求得AB的值. （2）此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出∠A的角度，过B作BM⊥AC于M，求出∠MBC=30°，求出MC，由勾股定理求出BM，求出AM、BM的长，由勾股定理求出AB即可； （3）在三角形ABC中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，过点C作AC的垂线BD，构造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求出sin75°的值． 【详解】解：（1）在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=60，则∠A=60°， ∵ =， ∴ =， 即 =， 解得：AB=20. （2）如图， 依题意：BC=60×0.5=30（海里） ∵CD∥BE， ∴∠DCB+∠CBE=180° ∵∠DCB=30°， ∴∠CBE=150° ∵∠ABE=75°． ∴∠ABC=75°， ∴∠A=45°， 在△ABC中，= 即= ， 解之得：AB=15． 答：货轮距灯塔的距离AB=15海里． （3）过点B作AC的垂线BM，垂足为M. 在直角三角形ABM中，∠A=45°，AB=15， 所以AM=15，在直角三角形BDC中，∠BCM=60°，BC=30°，可求得CM=15， 所以AC=15+15， 由题意得， ＝，sin75°= ． 【点睛】本题考查方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是熟练掌握解直角三角形方法． 14．（2024·四川成都·九年级校考期中）阅读材料：一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=． 根据以上材料，解决下列问题：（1）求tan75°的值； （2）都匀文峰塔，原名文笔塔，始建于明代万历年间，系五层木塔．文峰塔的木塔年久倾毁，仅存塔基．1983年，人民政府拨款维修文峰塔，成为今天的七层六面实心石塔（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，已知小华站在离塔底中心A处5.7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.72米，请帮助小华求出文峰塔AB的高度．（精确到1米，参考数据≈1.732，≈1.414） 【答案】（1）2+；（2）文峰塔AB的高度约为23m 【分析】第一问，利用35度和45度的三角函数值和题目中给出的正切值计算公式，求出75度的正切值；第二问，利用第一问中求出的75度的正切值求出BE的长，然后就可以得到文峰塔AB的高度. 【详解】（1）tan75°=tan（45°+30°）====2+； （2）如图2，易得DE=CA=5.7，AE=CD=1.72， 在Rt△BDE中，∵tan∠BDE=， ∴BE=DEtan75°=5.7×（2+）≈21.2724， ∴AB=BE+AE=21.2724+1.72≈23（m）． 答：文峰塔AB的高度约为23m． 【点睛】本题考查学生利用特殊角的三角函数值求其他角三角函数值的能力，掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键. 15．（2024·广西南宁·统考二模）阅读理解：如图①，在锐角中，、、的对边分别是a、b、c，过点A作于点D，则，即，于是，即，所以． 学以致用：（计算结果精确到0.1，） (1)如图②，中，，求的度数和线段的长； (2)如图③，中国渔政204巡航船在C处测得岛屿A在北偏西的方向上，随后船以40海里/时的速度往北偏东的方向航行，半小时后到达B处，此时船在B处测得岛屿A在北偏西的方向上，求此时船与岛屿A的距离的长． 【答案】(1)；海里 (2)海里 【分析】（1）利用题目总结出的正弦定理，代入数值计算即可； （2）先求得BC的长，然后在△ABC中求得三个内角的度数，然后利用题目中总结出的正弦定理代入求解即可． 【详解】（1）中，， ，， ∴， 由正弦定理得， ，即， 解得； （2）由题意得（海里）， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴中，，即， 解得（海里） 【点睛】本题考查了方向角的知识，更重要的是考查了阅读理解能力，通过材料总结出没有接触到的新知识，并根据知识点解决相关的问题，是近几年中考的高频考点． 16．（2023·福建泉州·九年级统考期中）请先阅读这段内容.再解答问题 三角函数中常用公式.求的值， 即. 试用公式，求出的值. 【答案】. 【分析】将75°化为30°和45°两个特殊角，然后根据给出的公式及特殊角的三角函数值来解答． 【详解】， 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题要熟记特殊角的三角函数值，并能把“新定义”的问题转化为已知问题解答． 17．（2023·山东淄博·九年级统考期中）计算 (1)； (2)； (3)已知三角函数有如下的公式：，利用该公式求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）先算特殊角的三角函数值，再进行乘方，乘法运算，最后算加减； （2）先算特殊角的三角函数值，再进行负整数指数幂，去括号，开方运算，然后进行乘法运算，最后算加减；（3）将转化为：，代入公式进行计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）解： ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，以及负整数指数幂．熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键． 19．（2023春·成都市·九年级专题练习）对于钝角β，定义它的三角函数值如下： sinβ=sin（180°﹣β），cosβ=﹣cos（180°﹣β），tanβ=﹣tan（180°﹣β）． （1）求sin120°，cos135°，tan150°的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程ax2﹣bx﹣1=0的两个不相等的实数根，求a、b的值及∠A和∠B的大小． 【答案】（1），，-（2）当A=B=30°时，a=﹣，b=﹣2﹣；当A=30°、B=120°时，a=4，b=0 【分析】（1）根据给定钝角的三角函数值，代入数据，即可求出结论； （2）根据三角形的内角和定理以及三个角的比例可得出三角形的三个内角，分①A=B=30°；②A=30°、B=120°；③A=120°、B=30°．三种情况考虑，根据特殊角的三角函数值找出sinA、cosB的值，再根据根与系数的关系找出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=； cos135°=﹣cos（180°﹣135°）=﹣cos45°=﹣； tan150°=﹣tan（180°﹣150°）=﹣tan30°=﹣． （2）∵一个三角形的三个内角的比是1：1：4，且三角形的内角和为180°， ∴三角形的三个内角为30、30、120． ①当A=30°、B=30°时，sinA=，cosB=， ∵sinA，cosB是方程ax2﹣bx﹣1=0的两个不相等的实数根， ∴ ，解得：a=﹣，b=﹣2﹣； ②当A=30°、B=120°时，sinA=，cosB=﹣， ∵sinA，cosB是方程ax2﹣bx﹣1=0的两个不相等的实数根， ∴，解得：a=4，b=0； ③当A=120°、B=30°时，sinA=，cosB=， 此时sinA=cosB，不满足题意． 综上可知：当A=B=30°时，a=﹣，b=﹣2﹣；当A=30°、B=120°时，a=4，b=0． 【点睛】考查了特殊角的三角函数值、三角形内角和定理以及根与系数的关系，熟练掌握特殊角的三级函数值是解题的关键． 20．（2023·山东济宁·九年级统考期末）【阅读材料】某校九年级数学课外兴趣探究小组在学习完《第二十八章锐角三角函数》后，利用所学知识进行深度探究，得到以下正确的等量关系式： ， ， ，， 【理解应用】请你利用以上信息求下列各式的值：（1）；（2） 【拓展应用】（3）为了求出海岛上的山峰的高度，在处和处树立标杆和，标杆的高都是3丈，两处相隔1000步（1步等于6尺），并且和在同一平面内，在标杆的顶端处测得山峰顶端的仰角75°，在标杆的顶端处测得山峰顶端的仰角30°，山峰的高度即的长是多少步？（结果保留整数）（参考数据：）    【答案】（1）；（2）；（3）山峰的高度即的长大约是719步 【分析】（1）），直接利用所给等量关系式代入求解即可； （2），直接利用所给等量关系式代入求解即可； （3）连接，返向延长交于点，再用含AK的式子表示出KE，KC，再根据KE=CK+1000求解即可． 【详解】解：（1） （2） （3）连接，返向延长交于点，则，步，    在中，同理： ∵ ∴ ∴解得：（步）∴（步） 答：山峰的高度即的长大约是719步. 【点睛】本题考查的知识点是锐角三角函数，解题的关键是读懂题意，能够灵活运用所给等量关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$