专题10 解直角三角形的重要最值模型之胡不归模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题10 解直角三角形的重要最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型1.胡不归模型（最值模型） 1 11 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为 ． 【答案】12 【分析】根据题意易得，则有，过点P作于点E，进而可得，当取最小时，即为最小，则有当点B、P、E三点共线且时最短，进而可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵，∴，过点P作于点E，如图所示： ∴，∴，∴当取最小时，即为最小， ∴当点B、P、E三点共线时且时最小，如图所示： ∵为等边三角形，∴，∴最小值为；故答案为：12． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，熟练掌握等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质是解题的关键． 例2．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案． 【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则，∴， ∴， ． 即的最小值为6．故选B． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可． 【详解】解：过作，菱形，， ，，即为等边三角形，， 在中，，，当、、三点共线时，取得最小值， ，，， 在中，，则的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 例4．（2023.绵阳市八年级期中）P是正方形对角线上一点，AB=2，则PA+PB+PC的最小值为 。 解析：PA+PB+PC=2PA+PB=2（PA+PB） 连接AC交 BD于O，作BE使∠PBE=30°，过点P作PF⊥BE，PF=PB. 显然A、P、F共线时PA+PB最小。此时 PA+PB=AF ∵AB=2,∴AO=BO=,∵∠PBE=30°,∴OE=,BE= 利用等面积法:×AF×BE=×AE×BO 解得：AF= 注意：本题也可以利用费马点（旋转作图）来解决。 例5．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB= 2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，，∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 例6．（2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（    ） A．4 B．2＋2 C．2 D． 【答案】A 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°， 设，则,∵，∴，∴，∴， ∵PJ⊥CB，∴，∴，∴， ∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 例7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，取， ∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴， ∵，而一定， ∴当的面积最大时，最大，∵，∴点D在以为直径的圆上， ∴当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大， 此时，则为等腰直角三角形，∴，故答案为：．   ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长． 例8．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值； 【答案】（1）y＝x+1；（2）点G（，），最小值为； 【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出点A和点B的坐标，令x=0，可求出点C的坐标，再根据点D时AC的中点，可求出点D的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可．（2）求三角形的面积最值可以转化为求线段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可将不共线的线段转换为共线的线段长度． 【详解】解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0）， 令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D为AC的中点，∴D（2，2）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点B和点D， ，解得，∴直线BD的解析式为y＝x+1． （2）如图所示，过点P作y轴的平行线，交BE交于点H， 设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点H为（t， t+1）， ∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+， 当t＝时，PH最大，此时点P为（，），当PH最大时，△PDF的面积也最大． ∵直线BD的解析式为y＝x+1，令x＝0，y＝1，∴点F（0，1）， 在Rt△BFO中，根据勾股定理，BF＝，∴sin∠FBO＝ 过点E作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M， ∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG•sin∠MEG＝EG，∴PG﹣GE＝PG﹣MG， 当P、M、G三点共线时，PG﹣MG＝PM，否则都大于PM， ∴当P、M、G三点共线时，PG﹣MG最小，此时点G与点H重合， 令﹣x2+x+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴点E（3，），∴PM＝﹣＝，∴点G（，）， ∴点G（，），PG﹣GE的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强． 1．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在中利用三角函数即可解得MH． 【详解】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点， ∵菱形中，，∴，为等边三角形， ∴，，∴在中，，∴， ∴此时得到最小值，， ∵，，∴，又∵，∴,故选：B. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键． 2．（2023·广东中山·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】3 【分析】过点作的垂线，垂足为，过点作，根据已知条件求得的长，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，当时，最小，股定理求得的长即可求解． 【详解】如图，过点作的垂线，垂足为，过点作， 中， ， 如图，当时，最小，最小值为 的最小值为．故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，垂线段最短，转化线段是解题的关键． 3．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________． 【答案】6 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴， 作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示： ∴，∴，∴，∴是等边三角形， ∵，∴，∵CH⊥AB，∴， ∴， ∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值， 此时，，是等边三角形，∴，， ∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6． 【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键． 4．（2023.成都市九年级期中）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　　． 解：如图，过点作，交的延长线于点， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， 故答案为： 5．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .     【答案】 【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点做，过点作于，过点作于点， ∴，∴， ∵两点之间线段最短，∴当共线时，的值最小，即的最小值为， ∵，，，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，，∵，∴， ∴，， ∴，∴，故答案为．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰中，，，，点是直线上一点，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接，则的最小值为 （用含的代数式表示）．    【答案】 【分析】如图所示，过点作，过点作，延长交于点，可证，，，根据三角形内角和关系可得，，，当点三点共线时，的值最小，在中，可得，可证是等腰三角形，为的中点，可得，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作，延长交于点，    ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，， ∵，∴，在中，，， ∴，，∴，∴， 当点三点共线时，的值最小，∴当点三点共线时， ∵，∴点于点重合，如图所示，    在中，，则，∵，∴， 在中，，∴，∴， ∵，∴是等腰三角形，， ∴为的中点，且，，∴， 在中，，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角的判定和性质，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键． 7．（2023·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，E是上一个动点，连接，过点C作的垂线l，过点D作交l于点F，过点D作于点G，，点H是中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】证明，得出，再证，求出，所以，即，可得．作的垂直平分线，交的延长线于点T，连接，过点E作于点Q，求出，所以．求的最小值，即为求的最小值，过点H作于点J，即为所求最小值．设，根据勾股定理可得出，所以，由，可求得的长度． 【详解】解：在矩形中，，∴， ∵于点C，∴，∴． ∴．同理可证，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵于点G，∴， ∵，∴， ∴，即， ∵，∴，∴，∴． 如图，作的垂直平分线，交的延长线于点T，连接，过点E作于点Q， ∴，∴，即． ∴．∴，∴求的最小值，即为求的最小值， 过点H作于点J，HJ即为所求最小值．设，则， 在中，由勾股定理可知，，解得，∴． 如图，连接，，∵点H是的中点，∴， ∵，∴， 即，解得．故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积等相关知识，根据题意作出辅助线，将所求目标转化为求垂线段的长度是解题关键． 8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 【答案】 【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6. 【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD， ∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上， ∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3， ∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键. 9．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 【答案】6 【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再将原式变形，进而得出PA+PD最小值，进而得出答案． 【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P， ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD）， ， 此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键． 10．（2023·四川眉山·一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】先证明四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，可得，，然后根据勾股定理可得，则，进而求出，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小， 当B、P、M在同一直线上时，为最小，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，进而求解即可． 【详解】两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD， 即，四边形ABCD是平行四边形， ，，四边形ABCD是菱形， 过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图， ，， ，，， ，， ，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图， ，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小， 当B、P、M在同一直线上时，为最小，如图， ，， 的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可． 11．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    【答案】 【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴，， 作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到， 作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形， 此时，，∴有最小值，作轴于点P，         则，，∵，∴，∴， ∴，即，∴，则，设直线的解析式为， 则，解得，∴直线的解析式为， 联立，，解得，即；过点D作轴于点G， 直线与x轴的交点为，则， ∴，∴， ∴， 即的最小值是，故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．（2023·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②和 走完全程所需时间为 ． 【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求即可； ②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间． 【详解】（1） 四边形 是矩形， ， 与 交于点O,且 关于 对称， ，， 四边形 是菱形； （2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ， 关于 的对称图形为 ， ， 在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点， 为 的中位线 ，   ，同理可得： 为 的中点， ，   ， ； ②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s， 由①可得，， 点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A， 即：， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小. 如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.， 在 中，设， ， ，解得： ， ，和 走完全程所需时间为． 13．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F． （1）写出中点D的坐标　　　　 ，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面积； （3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．    【答案】（1）D(，2)，y=；（2）；（3）4． 【分析】（1）首先确定点B坐标，再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题． （2）求出点E，F的坐标，再根据S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB计算即可． （3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先证明：sin∠JOD＝，推出NJ＝ON•sin∠NOD＝ON，推出NH＋ON＝NH＋NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN＋ON的值最小，最小值＝HK的长，由此即可解决问题． 【详解】（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，∴B(3，4)． ∵OD=DB，∴D(，2)．∵y=经过D(，2)，∴k=3，∴反比例函数的解析式为y=． （2）如图①中，连接OE，OF．由题意E(，4)，F(3，1)，       ∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×(3﹣)=． （3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．由题意OB=OH=5，∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2， ∴BH==2，∴sin∠CBH==．∵OM⊥BH，∴∠OMH=∠BCH=90°． ∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，∴∠MOH=∠CBH． ∵OB=OH，OM⊥BH，∴∠MOB=∠MOH=∠CBH， ∴sin∠JOD=，∴NJ=ON•sin∠NOD=ON，∴NH+ON=NH+NJ， 根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值=HK的长． ∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，∴HK=BC=4，∴HN+ON是最小值为4． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 14．（2023·广东广州·校考二模）如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，．(1)求的长；(2)连接，若，求证：；(3)若，试求的最小值．    【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）证明是等边三角形，即可求解；（2）延长至，使得，在上取，连接，证明，可得，，证明四边形是平行四边形，可得，即可得出，进而证明，即可得证；（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，当三点共线时，，此时取得最小值，为的中点，当为的中点时（或者设其他点为中点，再证明为中点），过点作于点，勾股定理解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形中，，∴， ∵，∴是等边三角形，又∵，∴； （2）解：如图所示，延长至，使得，在上取，连接，    在与中，∴∴， ∵是等边三角形，∴，， ∴，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴， ∵，设，则 在中，， ∴，∴ ∵∴， ∴ 在中， ∴，∴，∴； （3）如图所示，连接，过点作于点，    将绕点逆时针旋转得到，连接，则， 当三点共线时，，此时取得最小值， ∵是等腰直角三角形，∴， ∵三点共线∴，∴， ∵为的中点，当为的中点时， ∴，，则，∴，， ∵∴，∵ ∴ 又，∴，∴， ∴当是的中点时，三点共线，过点作于点， ∴，，∴， 在中，， ∵，∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（2022·四川成都·中考模拟）如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为． （1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 【答案】（1）；（2）或；（3）F． 【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、的值得到抛物线的函数表达式； （2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC两种情况讨论即可； （3）过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求，理由是，由于点M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直线BD的倾斜角是30°知道，又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30°直角三角形的性质求解即可． 解：（1）抛物线，令，解得或，，． 直线经过点，，解得， 直线解析式为：．当时，，，． 点，在抛物线上，，． 抛物线的函数表达式为：．即． （2）由抛物线解析式，令，得，，． 因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角． 因此若两个三角形相似，只可能是或． ①若，则有，如答图所示． 设，过点作轴于点，则，． ，即：，． ，代入抛物线解析式， 得，整理得：， 解得：或（与点重合，舍去），． ，，即，解得：． ②若，则有，如答图所示． 设，过点作轴于点，则，． ，即：，． ，代入抛物线解析式， 得，整理得：， 解得：或（与点重合，舍去），． ，，，解得， ，，综上所述，或． （3）方法一：如答图3，由（1）知：，， 如答图，过点作轴于点，则，，， ，． 过点作轴，则．过点作于点，则． 由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：， ，即运动的时间值等于折线的长度值． 由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段． 过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点． 点横坐标为，直线解析式为：， ，，． 综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少． 方法二：作，，交直线于点， ，，， 当且仅当时，最小， 点在整个运动中用时为：， ，， 【点睛】本题考查单动点问题；二次函数和一次函数交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；相似三角形的判定；垂直线段最短的性质；分类思想和数形结合思想的应用． 16．（2023上·重庆渝北·八年级统考期末）已知为等边三角形，D是直线上一点，连接． (1)如图1，若点D在线段上，以为边向上作等边，连接．当时，求的大小；(2)如图2，若点D在线段的延长线上，以为边向上作，使得且，连接交线段于点F．求证：；(3)如图3，若点D为线段的中点，射线上有一点E，且，为的角平分线，P为上一动点，为上动点，连接，．已知，．直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)答案见解析(3)的最小值是 【分析】（1）根据等边三角形的性质，先证，再证，得，最后根据三角形的内角和即可得答案；（2）在线段上截取，连接，先证，得，再证，即可得答案； （3）作交与点，作，垂足为N，连接交角平分线点P ，连接，与角平分线相交于点M，先证，再证，得，判断出动点P，Q在P，时，的值最小，再求出，即可得答案． 【详解】（1）解：是等边三角形，， 是等边三角形，，， 在和中，，， ； （2）如下图，在线段上截取，连接， 是等边三角形，， ，，， ，， 在和中，， ，， 在和中，，  ； （3）如下图，作交与点，作，垂足为N，连接交角平分线点P ，连接，与角平分线相交于点M， 是等边三角形，点D为线段的中点，， ，，，， 是 的平分线，，，   ，， ，，，， ，动点P，Q在P，时，的值最小， ，  ，，的最小值是． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，解题的关键是灵活证明三角形全等． 17．（2023·山东·九年级专题练习）【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l的斜率存在时，对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），k即为该函数图象（直线）的斜率．当直线过点（x1，y1）、（x2，y2）时，斜率k＝，特别的，若两条直线l1⊥l2，则它们的斜率之积k1•k2＝﹣1，反过来，若两条直线的斜率之积k1•k2＝﹣1，则直线l1⊥l2 【运用】请根据以上材料解答下列问题：（1）已知平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（m，﹣5）、C（3，n）在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值；（2）在（1）的条件下，点P为y轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中另有两点D（3，2）、E（﹣1，﹣6），连接DA并延长至点G，使DA＝AG，连接GE交直线AB于点F，M为线段FA上的一个动点，求DM＋MF的最小值． 【答案】（1）-3；7；（2）（0，4）或（0，6）；（3）4 【分析】（1）设直线的解析式为y＝2x+b，将A（1，3）代入求出b＝1，得到函数解析式，再将点B、C分别代入求出m、n的值； （2）设点P（0，y），当∠APC为直角时，根据 KPA•KPC＝﹣1，得到，求解即可； （3）连接DE，证得AB∥DE，AB⊥DA，DE⊥DA，求出AD、DE、DG，利用勾股定理求出EG，及sin∠GFA的值，过M作MN⊥GF于N，则， 过点D作DH⊥GE于H，则DH即为最小值，由DH•GE＝DG•DE得到DH＝4． 【详解】解：（1）设直线的解析式为y＝2x+b， 将A（1，3）代入得b＝1，∴直线的解析式为y＝2x+1， 将B（m，﹣5）、C（3，n）两点分别代入解析式，得m＝﹣3，n＝7； （2）设点P（0，y），当∠APC为直角时，有KPA•KPC＝﹣1， 由（1）知，A（1，3）、C（3，7），∴， 解得y＝4或y＝6， ∴点P的坐标为（0，4）或（0，6）． （3）如图，连接DE，由题意知，KAB＝2，， ∵KAB＝KDE，，∴AB∥DE，AB⊥DA，DE⊥DA， ∴， ∴， ∴， 过M作MN⊥GF于N，则， ∴， 过点D作DH⊥GE于H，则DH即为最小值．由DH•GE＝DG•DE，得DH＝4， 即的最小值为4． 【点睛】此题考查胡不归问题的综合知识，正确理解题意中斜率的计算公式，勾股定理，最小值问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 解直角三角形的重要最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型1.胡不归模型（最值模型） 1 11 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 例1．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为 ． 例2．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 例4．（2023.绵阳市八年级期中）P是正方形对角线上一点，AB=2，则PA+PB+PC的最小值为 。 例5．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 例6．（2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（    ） A．4 B．2＋2 C．2 D． 例7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．    例8．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值； 1．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（2023·广东中山·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________． 3．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________． 4．（2023.成都市九年级期中）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　　． 5．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .     6．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰中，，，，点是直线上一点，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接，则的最小值为 （用含的代数式表示）．    7．（2023·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，E是上一个动点，连接，过点C作的垂线l，过点D作交l于点F，过点D作于点G，，点H是中点，连接，则的最小值为 ． 8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 9．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 10．（2023·四川眉山·一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 11．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    12．（2023·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 13．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F． （1）写出中点D的坐标　　　　 ，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面积； （3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．    14．（2023·广东广州·校考二模）如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，．(1)求的长；(2)连接，若，求证：；(3)若，试求的最小值．    15．（2022·四川成都·中考模拟）如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为． （1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 16．（2023上·重庆渝北·八年级统考期末）已知为等边三角形，D是直线上一点，连接． (1)如图1，若点D在线段上，以为边向上作等边，连接．当时，求的大小；(2)如图2，若点D在线段的延长线上，以为边向上作，使得且，连接交线段于点F．求证：；(3)如图3，若点D为线段的中点，射线上有一点E，且，为的角平分线，P为上一动点，为上动点，连接，．已知，．直接写出的最小值． 17．（2023·山东·九年级专题练习）【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l的斜率存在时，对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），k即为该函数图象（直线）的斜率．当直线过点（x1，y1）、（x2，y2）时，斜率k＝，特别的，若两条直线l1⊥l2，则它们的斜率之积k1•k2＝﹣1，反过来，若两条直线的斜率之积k1•k2＝﹣1，则直线l1⊥l2 【运用】请根据以上材料解答下列问题：（1）已知平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（m，﹣5）、C（3，n）在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值；（2）在（1）的条件下，点P为y轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中另有两点D（3，2）、E（﹣1，﹣6），连接DA并延长至点G，使DA＝AG，连接GE交直线AB于点F，M为线段FA上的一个动点，求DM＋MF的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$