专题08 圆中的重要模型之四点共圆模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题08 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 2 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 2 模型2.定边对双直角共圆模型 10 模型3.定边对定角共圆模型 25 模型4.对角互补共圆模型 37 47 【知识储备】 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 四点共圆模型是一种解题思想，但任何题目里都不会告诉你，亲爱的同学，请用四点共圆思想来解题吧。那么，我们头脑里，就要快速迭代平常积累的一些模型。 四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 例1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 变式1．（2024·山东·二模）如图，点为线段的中点，点到点的距离相等，若则的度数是 变式2．（2024.九年级·湖北·专题练习）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求的长． 模型2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 例1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 例2．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形中，，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 变式1．（2023·山东九年级课时练习）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度数． 变式2．（2023·浙江嘉兴·二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ． 模型3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 例1．（2023·浙江·九年级假期作业）请阅读以下材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图1，点，是线段同侧两点，且． 求证：点，，，四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图2，若点在外．设与交于点，连接，则（依据一）， 又（依据二），． ．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立； 如图3，若点在内， （请同学们补充完整省略的部分证明过程） 综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆． (1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整； 依据一：　 　； 依据二：　 　． (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　 　． 例2．（2023·江苏·九年级假期作业）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）∵∠B＝∠D ∴∠AEC+∠B＝180° ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上 (1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1： 　；依据2：　 　． (2)如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 　 　． 拓展探究：(3)如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由 变式1．（2024·广东深圳·三模）如图，中，，，，以点C为顶点在外部作，连接，若，则长为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（    ） A．1 B． C． D． 模型4.对角互补共圆模型 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∵，∴ ∴A、B、C、D四点共圆。 例1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则． (1)请完善探究展示;(2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由 变式1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．16 变式2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，E是上一动点，过点E作，交点F，连接．(1)求证：；(2)、、、四点在同一个圆上吗？如果在，说明理由；(3)求D到中点的距离最小值． 1．（2023·陕西·九年级专题练习）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为 A．68° B．88° C．90° D．112° 2．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，于点F，于点E，交于点O，点D是的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形．正确结论个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023下·湖北恩施·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点，过点作交的延长线于，若，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 75．（2023秋·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）如图，在菱形中，，点E、F分别在上，且，连接与相交于点G，连接与相交于点H． ①若，则 ； ②若，则四边形的面积最大值为 ． 4．（2023·浙江金华·统考二模）如图，在中，，，，P是上一动点，于点E，于点D，则线段的最小值为（　　）    A． B．1 C． D． 5．（2024·北京海淀·九年级校考期中）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．请写出图中任意一组互补的角为 和 （不添加辅助线，不添加数字角标和字母） 6．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为 ．    7．（23-24八年级上·上海·期末）如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么 ． 8．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，是等边三角形，，点D在边上由C向A运动，点E在边上由B向C运动，且，连接、交于点P，将边绕着点C顺时针旋转90°得到，在射线上截取线段，使，在D、E的运动过程中，求的最小值 ．    9．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在菱形中，，点E、F分别在上，且，连接与相交于点G，连接与相交于点H． ①若，则 ；②若，则四边形的面积最大值为 ． 10．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1． （1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）分别求△ABC和△ABD的面积；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值． 11．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，以点为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），，将绕点P旋转，得到． (1)求B、C两点的坐标； (2)请在图中画出线段、，并判断四边形的形状（不必证明），求出点M的坐标； (3)动直线l从与重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与重合时停止，设直线l与交点为E，点Q为的中点，过点E作于G，连接、．请问在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 13．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图； 【迁移应用】如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形； 【拓展创新】如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4，请直接写出MC的最小值． 14．（2024·福建·校考三模）在中，，，．将绕点B顺时针旋转得到，直线，交于点P． （1）如图1，当时，连接．①求的面积；②求的值； （2）如图2，连接，若F为中点，求证；C，E，F三点共线． 15．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）问题背景：在学习课本例题“矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D在同一个圆上”后，小明进行了如下研究： （1）如图1，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°．AC、BD是对角线，取BD的中点O，连接OA，OC，得点A，B，C，D在⊙O上，进而可得∠BAC=∠BDC，请帮小明按照思路补全图形，并写出证明过程； 迁移应用：（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=2∠CAD，证明：AB=2CE； 拓展应用：（3）如图3，在Rt中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC=6，若点D满足AD=AC，点E是CD中点，若CD=4，直接写出BE的值． 16．（2023·河南周口·一模）请阅读以下材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图1，点，是线段同侧两点，且． 求证：点，，，四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图2，若点在外．设与交于点，连接，则（依据一）， 又（依据二），． ．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立； 如图3，若点在内，（请同学们补充完整省略的部分证明过程） 综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆． (1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整； 依据一：　 　；依据二：　 　． (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　 　． 17．（2024·江西宜春·模拟预测）【课本再现】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在中，，点D是的中点．求证：． 下面是两位同学两种添加辅助线的方法： 小明：如图2，延长至点E，使，连接； 小华：如图3，取的中点E，连接； （1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明． 【迁移应用】（2）如图4，中，是高，求证：B，C，D，E四点共圆． 【拓展提升】（3）如图5，在五边形中，，，F为的中点，求证：． 18．（2024·江苏宿迁·模拟预测）数学课上老师出了这样一道题：如图①，已知线段和直线l，在直线l上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P．    【探索发现】（1）如图②，小明的作图方法如下： 第一步：分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧在上方交于点O；第二步：连接； 第三步：以O为圆心，长为半径作，交l于点和．则图中、即为所求的点． 请在图②中，连接、、、，并求证：． 【方法迁移】如图③，在矩形的边上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规在图③矩形的边上作出所有的点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【深入探究】（2）已知矩形，，，P为矩形边上的点，若满足的点P恰有两个，则m的取值范围______．（3）已知矩形，，，P为矩形内一点，且，则的最小值为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 2 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 2 模型2.定边对双直角共圆模型 10 模型3.定边对定角共圆模型 25 模型4.对角互补共圆模型 37 47 【知识储备】 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 四点共圆模型是一种解题思想，但任何题目里都不会告诉你，亲爱的同学，请用四点共圆思想来解题吧。那么，我们头脑里，就要快速迭代平常积累的一些模型。 四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 例1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解． 【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB ∵在中，，点G是DE的中点，∴AG=DG=EG 又∵AG=FG∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径∴∠DFE=90° ∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，∴CF=BF=，FN=FM= 又∵FN⊥AC，FM⊥AB，∴四边形NAMF是正方形∴AN=AM=FN= 又∵，∴ ∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3 ∴在Rt△DAE中，DE=故选：A． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 变式1．（2024·山东·二模）如图，点为线段的中点，点到点的距离相等，若则的度数是 【答案】130 【分析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数． 【详解】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示， ∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝130°，故答案为：130． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键． 变式2．（2024.九年级·湖北·专题练习）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求的长． 【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：①详见解析；② 【分析】迁移应用：①如图2中，只要证明，即可根据解决问题； ②结论：．由，可知，在中，，由，，推出，由，即可解决问题； 拓展延伸：①如图3中，作于，连接．由，，推出、、、四点共圆，推出，推出，推出是等边三角形； ②由，，推出，，在中，由，可得，由此即可解决问题． 【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴， 在和中，，∴， ②解：结论：．理由：如图中，作于． ∵，∴，在中，， ∵，，∴，∴； 拓展延伸：①证明：如图3中，连接， ∵四边形是菱形，，∴是等边三角形，∴， ∵E、C关于对称，∴，∴A、D、E、C四点共圆， ∴，∴，∴是等边三角形； ②解：作于H，∵，∴， 在中，∵，∴，∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 模型2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 例1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的内心、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的判定等知识；证出，，，共圆，为的内心，则，故当为该圆直径时，最大，即可得出答案． 【详解】解：以为斜边构造等腰直角和直角， ，，，，，，共圆， ，，，平分， 平分，为的内心，， ，， ，，当为该圆直径时，最大， 的最小值为，故答案为：． 例2．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形中，，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意得到点A，B，C，D四点共圆，然后证明出，进而得到，然后利用直角三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，∵ ∴点A，B，C，D四点共圆，    ∵∴∵∴∴ ∵，∴ ∴∴．故选：D． 【点睛】此题考查了四点共圆，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 变式1．（2023·山东九年级课时练习）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度数． 【答案】（1）证明见解析（2）80°． 【详解】试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME=BC，MF=BC，得到答案；（2）根据四点共圆的判定得到B、C、E、F四点共圆，根据圆周角定理得到答案． 试题解析：（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点， ∴ME=BC，MF=BC，∴ME=MF； （2）解：∵CF⊥AB，∠A=50°，∴∠ACF=40°， ∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴B、C、E、F四点共圆，∴∠FME=2∠ACF=80°． 考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．等腰三角形的判定与性质． 变式2．（2023·浙江嘉兴·二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ． 【答案】 2 5+ 【分析】（1）延长DA，CB交于点H，由“ASA”可证≌，可得，由平行得相似，依据相似的性质即可求解；（2）先证明A，D，C，E四点共圆，因为F是AC中点，依据垂径定理，得到DF是AC的中垂线，依据线段的垂直平分线的性质可求得AD的长度，作于H，可证四边形ABCH是矩形，依据矩形的性质，结合线段长度，可得是的中垂线，由此可得AC的长度，在三角形ABC中，依据勾股定理可求得BC的长度，只需把各边相加即可得到四边形ABCD的周长. 【详解】解：（1）如图1中，延长DA，CB交于点H， ∵EA平分∠BED，∴∠AEH＝∠AED，且AE＝AE，∠EAH＝∠EAD＝90°， ∴△ADE≌△AHE（ASA）∴AH＝AD， ∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴△ABH∽△DCH, ∴，且AB＝1，AH＝AD＝HD，∴CD＝2， （2）如图2中，作AH⊥CD于H， ∵∠DAE＝∠DCE＝90°，∴A，D，C，E四点共圆，设圆心为O，则点O是线段DE的中点， 又∵AF＝CF，∴DE⊥AC，∴DA＝DC， ∵∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝1， ∵CD＝2，∴CH＝HD＝1，又∵AH⊥CD，∴AD＝AC，∴AD＝CD＝AC＝2， ∴，四边形ABCD的周长为． 故答案为：（1）2；（2）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理，线段的垂直平分线的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造中垂线、相似三角形、直角三角形，建立未知线段与已知线段之间等量的关系． 模型3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴， ∴A、B、C、D四点共圆。 例1．（2023·浙江·九年级假期作业）请阅读以下材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图1，点，是线段同侧两点，且． 求证：点，，，四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图2，若点在外．设与交于点，连接， 则（依据一）， 又（依据二）， ． ．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立； 如图3，若点在内， （请同学们补充完整省略的部分证明过程） 综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆． (1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整； 依据一：　 　； 依据二：　 　． (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　 　． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(2)见解析(3) 【分析】（1）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论； （2）作的外接圆，假设点在外或在内．由反证法、圆周角定理以及三角形的外角性质即可得出结论；（3）证点，，，四点共圆，再由相似三角形得，然后由为中点，得，即可解决问题． 【详解】（1）解：依据一：同弧所对的圆周角相等； 依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）如图3，若点在内，延长与交于点，连接， 则，又， ．． 这与已知条件“”矛盾，故点在内不成立； （3），点，，，四点共圆， ∵，∴，∴，， 为中点，， ，，，， 解得：（负值已舍去），故答案为：． 【点睛】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆、反证法、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明四点共圆是解题的关键，属于中考常考题型． 例2．（2023·江苏·九年级假期作业）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1） ∵∠B＝∠D ∴∠AEC+∠B＝180° ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上 (1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1： 　；依据2：　 　． (2)如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 　 　． 拓展探究：(3)如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；(2)45°；(3)①见解析②8 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；（3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，证明结论；②连接，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补； 依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆， 故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）解：∵，∴点四点在同一个圆上，∴， ∵，∴，故答案为：45°； （3）①证明：∵，∴， ∵点与点关于的对称，∴，， ∴＝，，∴， ∴，∴A，D，B，E四点共圆； ②解：的值不会发生变化， 理由如下：如图4，连接， ∵点与点关于的对称，∴， ∴，∴， ∵A，D，B，E四点共圆，∴， ∴，∴A，B，F，C四点共圆， ∴， ∵，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键． 变式1．（2024·广东深圳·三模）如图，中，，，，以点C为顶点在外部作，连接，若，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查判断圆的内接四边形的性质和相似三角形的判定和性质，根据已知求得，即可判定A、B、C和D四点共圆，且以中点为圆心，连接，求得，，进一步可证明，有，设，则，求得x和y，再证明，有，即可求得． 【详解】解：∵，，∴，∴， ∵，∴A、B、C和D四点共圆，且以中点为圆心，连接，如图， ∵，，，∴，， ∵，∴， ∴，设，则， 则，解得， ∵，∴， ∴，即，解得，故选：A． 变式2．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】只要证明，得，求出、即可解决问题． 【详解】解：，， ，，，， ，，，， ，，， ，即，，， ，、、、四点共圆，，， ，，．故选：． 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中压轴题． 模型4.对角互补共圆模型 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∵，∴ ∴A、B、C、D四点共圆。 例1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则． (1)请完善探究展示;(2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆(2)45° (3)①见解析；②的值不会发生变化，值为8 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；（2）根据四点共圆、圆周角定理解答； （3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，证明结论；②连接，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】（1）解：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接，，则， ∵，∴， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上，∴点A，B，C，D四点在同一个圆上； （2）解：∵，∴点四点在同一个圆上，∴， ∵，∴，故答案为：； （3）①证明：∵，∴， ∵点与点关于的对称，∴，， ∴，，∴， ∴，∴A，D，B，E四点共圆； ②解：的值不会发生变化，理由如下：如图4，连接， ∵点与点关于的对称，∴，∴，∴， ∵A，D，B，E四点共圆，∴，∴， ∴A，B，F，C四点共圆，∴， ∵，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键． 变式1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．16 【答案】C 【分析】由四点共圆，得到，再证明，得到与的比，延长到，使，得到为等边三角形，在证明出，证出与，利用即可求出． 【详解】解：，，、、、四点共圆， 平分，，， ，， ，，， 如图，延长到，使， ，为等边三角形，， ，， 设每一份为，，， ，，．故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的性质、等边三角形的性质等知识点的应用，四点共圆的应用及相似比的转化是解题关键． 变式2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，E是上一动点，过点E作，交点F，连接． (1)求证：；(2)、、、四点在同一个圆上吗？如果在，说明理由； (3)求D到中点的距离最小值． 【答案】(1)证明见详解；(2)、、、四点在同一个圆上，理由如下；(3)； 【分析】（1）本题考查相似三角形的判定与正方形的性质，根据正方形得到，结合得到，结合，从而得到，即可得到证明； （2）本题考查圆的定义及直角三角形斜边上中线等于斜边一半，根据两组对角互补即可得到证明； （3）本题考查相似三角形的性质与二次函数的应用，设，根据相似三角形表示出，根据勾股定理得到，结合四点共圆得到D到中点的距离为，根据二次函数的性质求解即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：、、、四点在同一个圆上，理由如下， 由（1）得，∵，，∴， ∴，∴、、、四点在同一个圆上； （3）解：设，则，∵， ∴，即，解得：， ∴，∴， ∵E是上一动点，∴，∴当时最小，此时最小， ∴， ∵、、、四点在同一个圆上，∴D到中点的距离最小值为：． 1．（2023·陕西·九年级专题练习）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ） A．68° B．88° C．90° D．112° 【答案】B 【详解】试题分析：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．如图，∵AB=AC=AD， ∴点B、C、D在以点A为圆心， 以AB的长为半径的圆上； ∵∠CBD=2∠BDC， ∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，  ∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，  ∴∠CAD=88°， 考点：圆周角定理 2．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，于点F，于点E，交于点O，点D是的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形．正确结论个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】求解，可得，，即，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；证明，故④符合题意；证明， 可得为等边三角形．故⑤符合题意；证明在以为圆心，为半径的圆上，可得，，，故③不符合题意；从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，∴，故①符合题意； ∵，∴，∴，故②符合题意； ∵点D是的中点，，∴，故④符合题意； ∴，， ∵， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形．故⑤符合题意； ∵点D是的中点，，∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上，∴，， ∴，故③不符合题意；故选C 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，熟练的证明三角形相似是解本题的关键． 3．（2023下·湖北恩施·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点，过点作交的延长线于，若，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，推出，根据相似三角形的性质得到，当时，有最大值，根据勾股定理得到，由垂径定理得到，求得，即可得到结论． 【详解】解：如图1，过点作于， ，，，， ，，，，四点共圆， 设的中点为，连接，当时，有最大值， 如图2，当点是中点时，，为定值， 的值最大，的值最大，此时，，共线． ，， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，知道当时，有最大值是解题的关键． 75．（2023秋·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）如图，在菱形中，，点E、F分别在上，且，连接与相交于点G，连接与相交于点H． ①若，则 ； ②若，则四边形的面积最大值为 ． 【答案】 / / 【分析】（1）证明点G是的重心，可得结论； （2）由为等边三角形，故可得出的度数，再由菱形的性质求出的度数，由三角形外角的性质得出点B、C、D、G四点共圆，推出是直径时，四边形面积最大． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∴点G是的重心， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵为等边三角形． ∴． ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B、C、D、G四点共圆， ∴当是直径时，四边形的面积最大， 最大面积为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及圆的内接四边形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 4．（2023·浙江金华·统考二模）如图，在中，，，，P是上一动点，于点E，于点D，则线段的最小值为（　　）    A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】当时，线段的值最小，利用四点共圆的判定可得：A、E、P、D四点共圆，且直径为，得出，有一公共角，根据两角对应相等两三角形相似得，则，设，表示出和的长，求出和的比，代入比例式中，可求出的值． 【详解】解：当时，线段的值最小（因为A、E、P、D四点共圆，是直径，是定值，所以直径最小时，所对的弦最小），如图1，    ∵于点E，于点D， ∴， ∴， ∴A、E、P、D四点共圆，是直径， 在中，， ∴是等腰直角三角形，， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 如图2，取的中点O，连接，      则， ∵， ∴， 过E作于M， 则，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 则线段的最小值为， 故选：A 【点睛】本题考查了四点共圆的问题，四点共圆的判定方法有：①将四点连成一个四边形，若对角互补，那么这四点共圆；②连接对角线，若这个四边形的一边同侧的两个顶角相等，那么这四点共圆；通过四点共圆可以利用同弧所对的圆周角得出角相等，从而证得三角形相似，得比例式，使问题得以解决． 5．（2024·北京海淀·九年级校考期中）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．请写出图中任意一组互补的角为 和 （不添加辅助线，不添加数字角标和字母） 【答案】 【分析】首先判断出点A，B，C，D四点共圆，然后根据圆内接四边形对角互补得出答案． 【详解】解：∵点B，C，D到点O的距离相等，且， ∴点A，B，C，D四点共圆，∴，， ∴图中互补的角为和，和， 故答案为：，（或，）． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 6．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】将绕点逆时针旋转至，连接，可得是为等边三角形，则，可知、、、四点共圆，令其圆心为，连接、、过作，交于，交圆于，过、分别作圆的切线，交于，连接交于，连接、，利用的直角三角形求得，由，与圆相切，可得（SSS），利用其性质证得，计算出，，由，知，可得四边形为平行四边形，则，由三角形三边关系可知：（当、、在同一直线上时去等号），即可求得的最大值． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，连接，可得是为等边三角形，则， ∵，， ∴、、、四点共圆，令其圆心为，连接、、 ∴，则， 过作，交于，交圆于，过、分别作圆得切线，交于，连接交于，连接、，    ∵，， ∴，， ∴，， ∵，与圆相切， ∴， ∴（SSS） ∴， ∴， ， ， 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由三角形三边关系可知：（当、、在同一直线上时去等号） ∴的最大值为：． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了四点共圆，垂径定理，切线长定理，解直角三角形，平行四边形的判定及三角形的三边关系，构造辅助线，利用圆的相关性质转化线段长度及角度，构造三角形三边关系是解决问题的关键，属于中考压轴题． 7．（23-24八年级上·上海·期末）如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么 ． 【答案】13 【分析】先证明A、C、B、D四点共圆，得到∠DCB与∠BAD的是同弧所对的圆周角的关系，得到∠DCB的度数，再证∠ECB=45°，得出结论． 【详解】解：∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，E是AB中点， ∴AE=EB=EC=ED， ∴A、C、B、D在以E为圆心的圆上， ∵∠BAD=32°， ∴∠DCB=∠BAD=32°， 又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中点， ∴∠ECB=45°， ∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=13°． 故答案为：13． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强． 8．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，是等边三角形，，点D在边上由C向A运动，点E在边上由B向C运动，且，连接、交于点P，将边绕着点C顺时针旋转90°得到，在射线上截取线段，使，在D、E的运动过程中，求的最小值 ．    【答案】 【分析】先证明，可得，如图，作等边三角形，证明四点共圆，圆心为，作的内切圆，记内切圆与的切点为，取的中点，连接，，，，，，可得在上，证明，在上，，再证明，可得，当共线时，最短，过作于，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，作等边三角形， ∴，， ∴， ∴四点共圆，圆心为， 作的内切圆，记内切圆与的切点为，取的中点，连接，，，，，， ∴在上， ∵等边与等边全等， ∴，在上，， ∴，而， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴， 当共线时，最短， 过作于， ∵为内切圆与边的切点， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 由， ∴共线， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，三角形的内切圆的应用，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 9．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在菱形中，，点E、F分别在上，且，连接与相交于点G，连接与相交于点H． ①若，则 ； ②若，则四边形的面积最大值为 ． 【答案】 / / 【分析】（1）证明点G是的重心，可得结论； （2）由为等边三角形，故可得出的度数，再由菱形的性质求出的度数，由三角形外角的性质得出点B、C、D、G四点共圆，推出是直径时，四边形面积最大． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∴点G是的重心， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵为等边三角形． ∴． ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B、C、D、G四点共圆， ∴当是直径时，四边形的面积最大， 最大面积为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及圆的内接四边形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 10．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1． （1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）分别求△ABC和△ABD的面积；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值． 【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积为，△ABD的面积为；（3） 【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得0C=OA=OB=OD，即可得出答案． (2)根据已知条件可计算出AC、BC、AD、BD的长度，根据三角形的面积公式即可得出答案． (3)根据等腰直角三角形的性质得到 , ，根据平行线的性质得到，解直角三角形得到 ， ，根据相似三角形的性质即可得到结论. 【详解】（1）证明：如图，连接OD、OC， 在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，点O是AB的中点， ∴OC＝OA＝OB，在Rt△ABD中， ∠ADB＝90°，点O是AB的中点， ∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）解： △ABC的面积为；△ABD的面积为 （3）解： 是等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点 ∵DF∥BC ∵ ∴△DEF∽△CEB，∴ 又得． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质(两组对应角分别相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例)，三角形的面积的计算(三角形面积=底底边上的高)，解直角三角形，正确的识别图形是解的关键． 11．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 (2)45°(3)①见解析；②不发生变化，值为8 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解；（3）①根据（1）中的结论证明即可得证；②证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（同圆中，同弧所对的圆周角相等） 点，，，四点在同一个圆上 故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 （2）在线段同侧有两点，， 四点共圆， 故答案为： （3）①∵，， 点与点关于对称，， ，四点共圆； ②，理由如下， 如图，四点共圆，， 关于对称，，， ，， ，，， 又，，，， ，． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，以点为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），，将绕点P旋转，得到． (1)求B、C两点的坐标； (2)请在图中画出线段、，并判断四边形的形状（不必证明），求出点M的坐标； (3)动直线l从与重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与重合时停止，设直线l与交点为E，点Q为的中点，过点E作于G，连接、．请问在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)图见解析，四边形是矩形，点M的坐标为 (3)在旋转过程中的大小不变，始终等于 【分析】（1）连接，结合题意，根据圆的对称性，得；再根据勾股定理计算得，再根据圆的性质，得，从而得到B、C两点的坐标； （2）结合题意，根据圆周角的性质，得；再根据旋转的性质得，，，从而推导得出四边形是矩形；过点M作交BC于点N，证明，可得点M的坐标； （3）结合题意，得；再结合点Q是的中点，根据直角三角形斜边中线性质，得，从而推导得点E、M、B、G在以点Q为圆心、为半径的圆上，故得；再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接． 由题意知，是以点为圆心的圆的直径，，， ，， ， ， 又，B在C的左侧， ，； （2）解：如图，四边形是矩形， 以点为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧）， 是圆的直径， ， 将绕点P旋转得到， ，，， 四边形是矩形． 过点M作交BC于点N． 在和中， ， ， ，， 又， 点M的坐标为； （3）解：如图， 结合（2）的结论，四边形是矩形，， ， ， ， 点Q是的中点， ， 点E、M、B、G在以点Q为圆心、QB为半径的圆上， ． ，， ， 又， ， 四边形是矩形， ， ， ． 在旋转过程中的大小不变，始终等于． 【点睛】本题属于圆内综合题，考查圆的基本知识，垂径定理，圆周角定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，平面直角坐标系，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，综合性较强，有一定难度，解题的关键是综合运用上述知识，逐步推导论证． 13．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图； 【迁移应用】如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形； 【拓展创新】如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4，请直接写出MC的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据△PAB绕点A逆时针旋转60°作图即可； （2）由∠BEC＝120°得∠BED＝60°，由平行线的性质得∠ADE＝∠BED＝60°，由等边三角形的性质得∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，故可知A、D、B、C共圆，由圆内接四边形对角互补得出∠ADB＝120°,故可求出∠BDE＝60°，即可得证； （3）由CA＝CE＝CB＝CF＝3得A、E、B、F共圆C得出∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，进而得出∠APF＝∠ABC＝60°，作△EPF的外接圆Q，则∠EQF＝120°，求出EQ，连接QG取中点N，由三角形中位线得MN，以点N为圆心MN为半径作N，连接CN，与N交于点，即CM最小为，建立平面直角坐标系求出即可． 【详解】（1）如图1所示，将绕点A逆时针旋转60°得； （2）∵∠BEC＝120°， ∴∠BED＝60°， ∵， ∴∠ADE＝∠BED＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴A、D、B、C共圆，如图2所示： ∴∠ADB＝120°， ∵∠ADE＝∠BED＝60°， ∴∠BDE＝60°， ∴△DBE是等边三角形； （3） 如图3，∵CA＝CE＝CB＝CF＝3， ∴A、E、B、F共圆C， ∴∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝∠PAB+∠APB， ∴∠APF＝∠ABC＝60°， ∵∠EPF＝60°，EF＝6， 作△EPF的外接圆Q，则∠EQF＝120°，QC⊥EF， ∴∠EQC＝60°， ∴， 连接QG取中点N，则且， 以点N为圆心MN为半径作N，连接CN，与N交于点， 即CM最小为， 以点F为原点建立平面直角坐标系， ，，， ∴, ， ∴CM最小为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，解三角函数以及圆的性质，根据题意作出圆是解题的关键． 14．（2024·福建·校考三模）在中，，，．将绕点B顺时针旋转得到，直线，交于点P． （1）如图1，当时，连接． ①求的面积； ②求的值； （2）如图2，连接，若F为中点，求证；C，E，F三点共线． 【答案】（1）①10．②．（2）证明见解析部分． 【分析】（1）①过点作于．证明四边形是矩形，推出，利用勾股定理求出，可得结论． ②利用面积法求出，再利用勾股定理求出，推出，可得结论． （3）如图2中，连接，取的中点，连接，．想办法证明，可得结论． 【详解】解：（1）①过点作于． ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 由旋转的旋转可知，， ． ②由旋转的性质可知，， ， ， ， ， ， ， ． （2）如图2中，连接，取的中点，连接，． ，， ，， 是由旋转得到， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， 、、三点共线． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明． 15．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）问题背景：在学习课本例题“矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D在同一个圆上”后，小明进行了如下研究： （1）如图1，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°．AC、BD是对角线，取BD的中点O，连接OA，OC，得点A，B，C，D在⊙O上，进而可得∠BAC=∠BDC，请帮小明按照思路补全图形，并写出证明过程； 迁移应用：（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=2∠CAD，证明：AB=2CE； 拓展应用：（3）如图3，在Rt中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC=6，若点D满足AD=AC，点E是CD中点，若CD=4，直接写出BE的值． 【答案】（1）图见解析，证明见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）根据题意正确画出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OA=OB=OC=OD，则点、、、共圆，再根据同圆中同弧所对的圆周角相等可得出结论； （2）取的中点，由（1）可知，点、、、在上，过点O作OF⊥于， 根据条件证出（AAS），，便可得出； （3）根据题意画出两种不同的图形，由等腰三角形三线合一得∠AEC=90°，CE=2,由（1）得点、、、共圆，过点C作CF⊥BE（或BE的延长线）于点F，根据圆周角定理和解直角三角形的相关知识可依次求出BC、CF、EF、BF，则或． 【详解】解：（1）如图，点是的中点 在中，． 同理． 点、、、在上 （2）取的中点，由（1）可知，点、、、在上，过点O作OF⊥于，连接，则． ∵OF⊥，OA=OB， ∴，AB=2BF，∠BFO=90°， ， ， ， ， ； ， （AAS）， ，即， ． （3）在Rt△ABC中，∵AC=6，∠BAC=60°， ∴BC=， ∵AD=AC，E是CD的中点，CD=4， ∴CE=ED=2，AE⊥CD，即∠AEC=90°， 又∠ABC=90°， 则由（1）知A、B、C、E四点共圆， 如下图，过点C作CF⊥BE于点F， ∵，∠BAC=60°， ∴∠BEC=∠BAC=60°， 在Rt△EFC中，EF， FC 在Rt△BFC中，， ∴． 如下图，过点C作CF⊥BE的延长线于点F， ∵，∠BAC=60°， ∴∠BEC=180°-∠BAC=120°，∠FEC=180°-∠BEC =60°， 在Rt△EFC中，EF， FC 在Rt△BFC中，， ∴． 故BE的长为或． 【点睛】本题是几何综合问题，考查了四点共圆、圆的性质、直角三角形的性质、解直角三角形等内容，较难，正确作出辅助线是解题的关键． 16．（2023·河南周口·一模）请阅读以下材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图1，点，是线段同侧两点，且． 求证：点，，，四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图2，若点在外．设与交于点，连接， 则（依据一）， 又（依据二）， ． ．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立； 如图3，若点在内， （请同学们补充完整省略的部分证明过程） 综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆． (1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整； 依据一：　 　； 依据二：　 　． (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　 　． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论； （2）作的外接圆，假设点在外或在内．由反证法、圆周角定理以及三角形的外角性质即可得出结论； （3）证点，，，四点共圆，再由相似三角形得，然后由为中点，得，即可解决问题． 【详解】（1）解：依据一：同弧所对的圆周角相等； 依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）如图3，若点在内，延长与交于点，连接， 则， 又， ． ． 这与已知条件“”矛盾，故点在内不成立； （3）， 点，，，四点共圆， ∵， ∴， ∴， ， 为中点， ， ，， ， ， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆、反证法、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明四点共圆是解题的关键，属于中考常考题型． 17．（2024·江西宜春·模拟预测）【课本再现】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在中，，点D是的中点．求证：． 下面是两位同学两种添加辅助线的方法： 小明：如图2，延长至点E，使，连接； 小华：如图3，取的中点E，连接； （1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明． 【迁移应用】（2）如图4，中，是高，求证：B，C，D，E四点共圆． 【拓展提升】（3）如图5，在五边形中，，，F为的中点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）小明的方法：先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，利用矩形的性质得出结论即可；小华的方法：根据三角形的中位线定理，推出垂直平分，进而得出结论即可；其他方法：分别取的中点E，的中点F，连接，利用三角形的中位线定理和矩形的判定和性质，即可得出结论； （2）取边的中点O，连接，利用斜边上的中线，推出，即可得证； （3）取的中点M，AD的中点N，连接，利用斜边上的中线，三角形的中位线定理，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：若选择小明的方法：如图2，延长至点E，使，连接， 又∵点D是的中点，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； 若选择小华的方法：如图3，取的中点E，连接， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 其他方法：如图1，分别取的中点E，的中点F，连接， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， （2）证明：如图4，取边的中点O，连接， ∵是的高， ∴， 又∵O是边的中点， ∴，， ∴， ∴B，C，D，E四点在以点O为圆心，为直径的同一个圆上． （3）如图，取的中点M，的中点N，连接． ∵， ∴根据直角三角形斜边上中线的性质及中位线的性质， 可得：，，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 同理可证． 又∵， ∴ ∴，即， ∴（）， ∴． 【点睛】本题考查斜边上的中线，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 18．（2024·江苏宿迁·模拟预测）数学课上老师出了这样一道题：如图①，已知线段和直线l，在直线l上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P．    【探索发现】（1）如图②，小明的作图方法如下： 第一步：分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧在上方交于点O； 第二步：连接； 第三步：以O为圆心，长为半径作，交l于点和． 则图中、即为所求的点． 请在图②中，连接、、、，并求证：． 【方法迁移】 如图③，在矩形的边上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规在图③矩形的边上作出所有的点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【深入探究】 （2）已知矩形，，，P为矩形边上的点，若满足的点P恰有两个，则m的取值范围______． （3）已知矩形，，，P为矩形内一点，且，则的最小值为______． 【答案】（1）见解析；方法迁移：见解析；（2）且；（3）8 【分析】（1）根据尺规作图可知是等边三角形，，利用圆周角定理可知； 方法迁移：作的垂直平分线，交于点M，在上截取，以O为圆心，为半径作，与、的交点为P （2）当过点A和D时，，当与相切于点E时，只有一个交点，计算得，即可求得； （3）以为斜边在的下方作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接，证明点P在圆O上，则当点P在线段上时，最短，在中，，，，即可求得的最小值为 【详解】解：（1）∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据圆周角定理可知：；    方法迁移：尺规作图如下： 作的垂直平分线，交于点M，在上截取，以O为圆心，为半径作，与、的交点为P；    （2）如下图所示：    当过点A和D时，， 当与相切于点E时，只有一个交点， ∵， ∴， ∴满足的点P恰有两个时，m的取值范围且， 故答案为：且； （3）以为斜边在的下方作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接，在优弧上取一点H，连接， ∴， ∴， ∴四点共圆，即点P在圆O上， ∴当点P在线段上时，最短，    作交的延长线于点F， 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的作法，勾股定理，一点到圆上一点距离的最值问题，矩形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角和圆心角之间的关系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$