专题08 解直角三角形重要模型之实际应用模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题08 解直角三角形重要模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 【知识储备】 图1 图2 图3 图4 图5 如图1，30°-60°-90°三边比值； 如图2，45°-45°-90°三边比值 如图3，30°-30°-120°三边比值；如图4，30°-45°-105°三边比值 如图5，45°-60°-75°三边比值。 上面五个结论在于练习勾股定理和方程，没有用到三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。最后希望大家能够自己动手计算并研究这些特殊角度三角形的三边比值。 2 模型1.背靠背模型 2 模型1.背靠背模型 22 模型3.拥抱模型 51 69 模型1.背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）． (1)请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用等表示，测出的角用等表示），并对设计进行说明； (2)根据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）． 例2．（2024·安徽六安·模拟预测）在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，） 例3．（2024·辽宁·模拟预测）数学来源于实践，服务于实践，因此学习数学贵在解决实际问题，某校数学兴趣小组准备利用所学数学知识来测量一个山脚下的信号塔的高度如图．如图，信号塔刚好在坡角为的斜坡底角处，斜坡的长为，在点处测得信号塔最高点的仰角为，平行于水平线，的长为，求信号塔的高（结果精确到．参考数据：，，，） 例4．（2020·海南中考真题）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图， 隧道在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道米的高度上水平飞行，到达点处测得点的俯角为继续飞行米到达点处，测得点的俯角为．（1）填空：_______度，_____度； （2）求隧道的长度(结果精确到米)．(参考数据：) 模型2.母子模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1.（2024·湖北襄阳·一模）某综合实践研究小组为了测量广场上空气球离地面的高度，已知水平面，该小组利用自制简易测角仪在水平面上点处分别测得气球的仰角为，为，已知，求气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：）    例2．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，在载人飞船发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达B处，此时测得仰角为．(1)求点A离地面的高度；(2)求飞船从A处到B处的平均速度．（结果不取近似值） 例3．（2024·江西南昌·模拟预测）每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，表示底座高度，表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角，点C的仰角，后退2米到达点E处后测得点C的仰角，点A、D、E在同一直线上，．（参考数据：，，，，，，） (1)求的度数；(2)①求的长；②求的长． 例4．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 例5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．(1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 例6.（2024·贵州黔东南·二模）某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离．(2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 模型3.拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为测量一古塔的高度，数学建模小组同学先在该古塔附近一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是16m，试求该古塔的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：=1.73，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 例2．（2024·江苏·一模）如图，某校教学楼（矩形）前是办公楼（矩形），教学楼与办公楼之间是学生活动场所（）和旗杆（），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得教学楼顶的仰角为，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为，已知教学楼高度为，旗杆底部（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少，求办公楼的高度．（参考数据，，） 例3．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为．(1)求的长．(2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 1．（2023·山东泰安·模拟预测）为测量此塔顶的高度，在地面选取了与塔底共线的两点、，、在的同侧，在处测量塔顶的仰角为，在处测量塔顶的仰角为，到的距离是米．设的长为米，则下列关系式正确的是(     ) A． B． C． D． 2．（2023·山东济南·一模）如图，为了测量某建筑物 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度 ．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1．参考数据：，，）（　　） A．158米 B．161米 C．159米 D．160米 3．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为 米（结果精确到米）．        科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）          4．（2022·四川达州·中考真题）某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（）上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（）以供纳凉，假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷与水平面的夹角为10°，如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，；，，） 5．（2023年山东省泰安市中考数学真题）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）    6．（2023年四川省眉山市中考数学真题）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里．    7．（2022·湖南郴州·中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高，背水坡BC的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：，．结果精确到0.1m） 8．（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）    9．（2023年海南省中考数学真题）如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上． (1)填空： 度， 度；(2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）； (3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）．    10．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：，，，） 11．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）如图，小颖家所在居民楼高为，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是，而大厦底部D的俯角是．(1)求两楼之间的距离．(2)求大厦的高度．（结果精确到．参考数据：，，）    12．（2023年辽宁省锦州市中考数学真题）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）    13．（2023年山东省济南市中考数学真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．    (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 14．（2023年陕西省中考数学试卷）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    15．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）    16．（2023年湖北省鄂州市中考数学真题）鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，，）． (1)求自动扶梯的长度；(2)求大型条幅的长度．（结果保留根号）      17．（2023年四川省自贡市中考数学真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：    (1)测量坡角：如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系． (2)测量山高：同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米） (3)测量改进：由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．    如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示） 18．（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．    19．（2023年重庆市中考数学真题）为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方千米处，点D在点C的正西方千米处，点D在点A的北偏东方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西方向．（参考数据：。(1)求AD的长度．（结果精确到1千米）(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？    20．（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为57米．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）    (1)填空： _____度， _____度；(2)求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离；(3)求教学楼的高度． 21．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．    (1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示． (2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，） 22．（2023年浙江省金华市中考数学真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？ 图1是搭成的“倍力桥”，纵梁夹住横梁，使得横梁不能移动，结构稳固． 图是长为，宽为的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为的半圆．圆心分别为，纵梁是底面半径为的圆柱体．用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．            探究：图是“桥”侧面示意图，为横梁与地面的交点，为圆心，是横梁侧面两边的交点．测得，点到的距离为．试判断四边形的形状，并求的值． 探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形． ①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形，求的值； ②若有根横梁绕成的环（为偶数，且），试用关于的代数式表示内部形成的多边形的周长．        原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 解直角三角形重要模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 【知识储备】 图1 图2 图3 图4 图5 如图1，30°-60°-90°三边比值； 如图2，45°-45°-90°三边比值 如图3，30°-30°-120°三边比值；如图4，30°-45°-105°三边比值 如图5，45°-60°-75°三边比值。 上面五个结论在于练习勾股定理和方程，没有用到三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。最后希望大家能够自己动手计算并研究这些特殊角度三角形的三边比值。 2 模型1.背靠背模型 2 模型1.背靠背模型 22 模型3.拥抱模型 51 69 模型1.背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）． (1)请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用等表示，测出的角用等表示），并对设计进行说明； (2)根据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：（1）将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到的距离为m，用测角仪测出A的仰角为，测出B的俯角为即可；（2）过C作于E，分别在和中，利用正切的定义求出、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到的距离为m，用测角仪测出A的仰角为，测出B的俯角为； （2）解：如图，过C作于E，则四边形是矩形，，， ∴，，在中，， 在中，，∴， 答：教学楼的高度为． 例2．（2024·安徽六安·模拟预测）在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，） 【答案】59.8米 【分析】本题考查了仰俯角的解直角三角形的应用，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，过点作于点，解，求出，解，求出，最后再根据线段和差进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形，， 在中，由题意知米，∴（米） 在中，由题意知米，∴（米）， （米）． 答：小山的高度约为59.8米． 例3．（2024·辽宁·模拟预测）数学来源于实践，服务于实践，因此学习数学贵在解决实际问题，某校数学兴趣小组准备利用所学数学知识来测量一个山脚下的信号塔的高度如图．如图，信号塔刚好在坡角为的斜坡底角处，斜坡的长为，在点处测得信号塔最高点的仰角为，平行于水平线，的长为，求信号塔的高（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，解直角三角形的实际应用．延长交于点，在中，求出的长，在中，求出的长，利用求出的长即可．解题的关键是构造直角三角形． 【详解】解：延长交于点，则：，∵，∴    ∵，∴，，∴ 在中，，∴， 在中，，∴． 答：信号塔的高为． 例4．（2020·海南中考真题）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图， 隧道在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道米的高度上水平飞行，到达点处测得点的俯角为继续飞行米到达点处，测得点的俯角为．（1）填空：_______度，_____度； （2）求隧道的长度(结果精确到米)．(参考数据：) 【答案】（1）30，45；（2）2729米 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求解即可；（2）过点作于点过点作于点.在中求出AM的值，在中求出NB的值，进而可求隧道的长度. 【详解】解:（1）由题意知PQ//AB，∴∠A=30°，∠B=45°，故答案为：30，45； （2）过点作于点过点作于点. 则米，米， 在中，，. 在中，，， (米).答:隧道的长度约为米. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题． 模型2.母子模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1.（2024·湖北襄阳·一模）某综合实践研究小组为了测量广场上空气球离地面的高度，已知水平面，该小组利用自制简易测角仪在水平面上点处分别测得气球的仰角为，为，已知，求气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：）    【答案】m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题，作，可得，进一步得，根据即可求解. 【详解】解：如图所示：作，    设，∵,∴∴ ∵，∴解得： 即：气球离地面的高度为m 例2．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，在载人飞船发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达B处，此时测得仰角为． (1)求点A离地面的高度；(2)求飞船从A处到B处的平均速度．（结果不取近似值） 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含的直角三角形等知识．熟练掌握解直角三角形的应用，含的直角三角形是解题的关键． （1）由题意知，，，，，则； （2）由题意知，，，则，根据飞船从A处到B处的平均速度为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，，， ∴，∴点A离地面的高度为； （2）解：由题意知，，∴， ∴，∴，∴飞船从A处到B处的平均速度为 ． 例3．（2024·江西南昌·模拟预测）每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，表示底座高度，表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角，点C的仰角，后退2米到达点E处后测得点C的仰角，点A、D、E在同一直线上，．（参考数据：，，，，，，） (1)求的度数；(2)①求的长；②求的长． 【答案】(1)(2)①的长约为米；②的长约为米． 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键． （1）连接，过点作，由题意可知，，，，进而得到，再根据平行线的性质，得出，即可求解；（2）①由题意可知，是等腰直角三角形，则令米，利用锐角三角函数列方程，求出，即可求解；②由①可知，米，再利用锐角三角函数求出米，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作， 由题意可知，，，，， ，，， ，； （2）解：①由题意可知，，，，，米， 是等腰直角三角形，，令米，则米， 在中，，，，即的长约为米； ②由①可知，米，在中，， 米，米，即的长约为米． 例4．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，米， 斜坡的坡度，，设米，则米， 在中，（米， 米，，解得：，米，米， 设米，米， 在中，，米， 在中，，米， ，，解得：， （米，这棵木棉树的高度约为20米，故选：C． 例5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．(1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． （1）延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，易得，根据勾股定理得出，最后即可解答；（2）由（1）可知，，根据题意得出，，，则，，根据，即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，由题意可知，，，， ，， 答：测角仪与塔身的水平距离为； （2）解：由（1）可知，，由题意可知，，，， ，， ，答：塔身的高度约为． 例6.（2024·贵州黔东南·二模）某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离．(2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 【答案】(1)米；(2)米． 【分析】（1）延长交于，作于，直接利用坡度的定义和勾股定理，得出的长， （2）根据矩形的判定和性质得出的长，进而利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出的长，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：延长交于，作于，    在中，，，，∴， 设，则，由勾股定理得， 即，解得，∴，∴点到水平地面的距离米． （2）解：∵，∴四边形是矩形，∴米， 在中，，∴， 在中，，∴， ∴，答：建筑物高约米． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，坡度问题，勾股定理，矩形的判定和性质，正确得出的长是解题关键． 模型3.拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为测量一古塔的高度，数学建模小组同学先在该古塔附近一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是16m，试求该古塔的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：=1.73，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 【答案】59.2米 【分析】根据“爬到该楼房顶端B点处古塔底部D处的俯角是30°”可以求出AD的长，然后根据“一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°”可以求出CD的长． 【详解】解：∵爬到该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，由题意知：∠ADB=30°， ∴在Rt△ABD中，tan30°=，∴，∴AD=16， ∵一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°， ∴在Rt△ACD中，CD=AD•tan65°=48×1.73×2.14≈59.2（米）． 答：楼高CD为59.2米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形． 例2．（2024·江苏·一模）如图，某校教学楼（矩形）前是办公楼（矩形），教学楼与办公楼之间是学生活动场所（）和旗杆（），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得教学楼顶的仰角为，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为，已知教学楼高度为，旗杆底部（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少，求办公楼的高度．（参考数据，，） 【答案】m 【分析】设，分别在和中求出、，利用列方程即可求解． 【详解】解：设，在中，，∴， 在中，，，∴， ∵，∴，解得，∴办公楼的高度的高度为m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 例3．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为．(1)求的长．(2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】(1)的长为(2)塔的高度约为 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，（1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ∴,∴的长为． （2）解：由题意得，在中，，， ∴，在中，设， ∵，∴，∴， 如图，过点作．垂足为， 由题意得，，∵，∴， 在中，，∴， ∴，解得，∴， 答：塔的高度约为． 1．（2023·山东泰安·模拟预测）为测量此塔顶的高度，在地面选取了与塔底共线的两点、，、在的同侧，在处测量塔顶的仰角为，在处测量塔顶的仰角为，到的距离是米．设的长为米，则下列关系式正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解求出米，则米，再解即可得到． 【详解】解：由题意得，， 在中，米，∴米， 在中，，∴，故选A． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，正确求出米是解题的关键． 2．（2023·山东济南·一模）如图，为了测量某建筑物 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度 ．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1．参考数据：，，）（　　） A．158米 B．161米 C．159米 D．160米 【答案】D 【分析】先利用斜坡的坡度求出，再利用矩形的性质和等腰三角形的性质求出，之后利用正切求出的值，最后通过求和即可得到建筑物BC的高度． 【详解】解：如图：过点D作于点F，过点E作于点G，过点E作于点H ∵斜坡的坡度∴可设， ∵在中，，∴ ∵在中， ∵在中， 故选：D． 【点睛】本题考查坡度的意义，等腰直角三角形的性质和解直角三角形，选取恰当的方法正确求出线段长度是解题关键． 3．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为 米（结果精确到米）．        科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）          【答案】19.2米 【分析】如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则四边形为矩形，可得米，，．于是．解，得，从而（米），解中，（米）．于是（米）． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G， 则四边形为矩形，∴米，． ∴．∴． 中，，（米）． ∴（米）．中，， ∴（米）．∴（米）．故答案为：19.2米．    【点睛】本题考查解直角三角形；添加辅助线，构造直角三角形、矩形，从而运用三角函数求解线段是解题的关键． 4．（2022·四川达州·中考真题）某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（）上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（）以供纳凉，假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷与水平面的夹角为10°，如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，；，，） 【答案】遮阳篷的长度约为3.4米 【分析】过点作于点，则四边形是矩形，则，设，则，，解直角三角形求得，进而求得，解，求得，进而求得的长，根据即可求解． 【详解】如图，过点作于点，则四边形是矩形， 设，则，， 在中，，， 在中，，， 解得：，经检验，x是方程的解，且符合题意，， ，． 答：遮阳篷的长度约为3.4米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 5．（2023年山东省泰安市中考数学真题）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）    【答案】55 【分析】如图所示，过点E作于F，则四边形是矩形，可得到；设，则，解得到，解得到，进而建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于F，由题意得，， ∴四边形是矩形，∴， 设，则， 在中，，∴， 在中，，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：55．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，正确理解题意作出辅助线是解题的关键． 6．（2023年四川省眉山市中考数学真题）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里．    【答案】/ 【分析】过点作交于点，利用特殊角的三角函数值，列方程即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于点，    由题意可知,， 设为x，，， 根据，可得方程，解得， 渔船与灯塔C的最短距离是海里，故答案为：． 【点睛】本题考查了解解直角三角形-方位角问题，熟知特殊角度的三角函数值是解题的关键． 7．（2022·湖南郴州·中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高，背水坡BC的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：，．结果精确到0.1m） 【答案】背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m 【分析】通过解直角三角形和，分别求出AD和BD的长，由求出AB的长． 【详解】解：在中，∵背水坡BC的坡度，∴，∴． 在中，∵背水坡AC的坡度， ∴，∴，∴． 答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度． 8．（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）    【答案】铜像的高度是； 【分析】根据题意可得，从而求出，即可求解． 【详解】解：由题意得：，，∴， ∵四边形是矩形，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴铜像的高度是； 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出． 9．（2023年海南省中考数学真题）如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．    (1)填空： 度， 度；(2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）； (3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)30，45(2)灯塔到轮船航线的距离为海里 (3)港口与灯塔的距离为海里 【分析】（1）作交于，作交于，由三角形外角的定义与性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解； （2）作交于，作交于，由（1）可得：，从而得到海里，再由进行计算即可； （3）作交于，作交于，证明四边形是矩形，得到海里，，由计算出的长度，证明是等腰直角三角形，得到海里，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，作交于，作交于，   ， ，， 都是正北方向，， ，，故答案为：30，45； （2）解：如图，作交于，作交于，   ， 由（1）可得：，海里， 在中，，海里， 海里； 灯塔到轮船航线的距离为海里； （3）解：如图，作交于，作交于，   ， ，，、都是正北方向， 四边形是矩形，海里，， 在中，，海里， 海里， 在中，，是等腰直角三角形， 海里，海里， 港口与灯塔的距离为海里． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 10．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：，，，）    【答案】的长约为 【分析】延长交于点，过点B作，垂足为G，可得，，从而，，设，则，分别在直角和直角中求出的长，最后利用平角定义可得，从而在中，求出的长，再利用线段的和差关系计算即可解答 ． 【详解】解：如图，延长交于点，过点B作，垂足为G，    由题意得：，，，， 设，，则， 在中，，在中，， ，解得：，, ，， 在中，，， ，，的长约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据已知条件结合图形添加适当的辅助线是解决问题的关键． 11．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）如图，小颖家所在居民楼高为，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是，而大厦底部D的俯角是．    (1)求两楼之间的距离．(2)求大厦的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1)两楼之间的距离约为(2)大厦的高度为 【分析】（1）过点A作于点E，易得，根据，即可求解：（2）易证四边形为矩形，则，根据等腰直角三角形的性质得出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点E，根据题意可得：， ∴，∴，∵，， ∴，即，解得：， 答：两楼之间的距离约为．    （2）解：根据题意可得：， ∴四边形为矩形，∴， ∵，，∴，∴， ∴，答：大厦的高度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握解直角三角形的方法和步骤． 12．（2023年辽宁省锦州市中考数学真题）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）    【答案】 【分析】过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，分别解作出的直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，    ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，，，∴， ∴，在中，， ∵，∴， 在中，，∵， ∴，∴， ∴， 答：展板最高点A到地面的距离为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键． 13．（2023年山东省济南市中考数学真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．    (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为 (2)没有危险,详见解析 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【详解】（1）如图，作，垂足为点    在中∵，∴∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． （2）没有危险，理由如下：过作，垂足为点    ∵，∴ ∵∴ 在中，∴． ∵平行线间的距离处处相等∴到地面的距离为． ∵∴没有危险． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 14．（2023年陕西省中考数学试卷）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，      由题意得：，，设， 在中，， ，， ，，， ，，， ，，，解得：， ，该景观灯的高约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）    【答案】甲组同学比乙组同学大约多走米的路程 【分析】过B点作于点D，根据题意有：，，，进而可得，，，结合直角三角形的知识可得（米），（米），（米），即有（米），问题随之得解． 【详解】如图，过B点作于点D，    根据题意有：，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵（米），∴（米）， ∵在中，，（米）， ∴（米），∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 即（米）， 答：甲组同学比乙组同学大约多走米的路程． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及方位角的知识，正确理解方位角，是解答本题的关键． 16．（2023年湖北省鄂州市中考数学真题）鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，，）．      (1)求自动扶梯的长度；(2)求大型条幅的长度．（结果保留根号） 【答案】(1)25米(2)米 【分析】（1）过D作于M，由可得，求出的长，利用勾股定理即可求解；（2）过点D作于N，则四边形是矩形，得，，由已知计算得出的长度，解直角三角形得出的长度，在中求得的长度，利用线段的和差，即可解决问题． 【详解】（1）解：过D作于M，如图：    在中，，∵(米)，∴(米)， 由勾股定理得(米) （2）如图，过点D作于N，∵，∴四边形是矩形， ∴(米)，(米)， 由题意，(米)，∵，∴， ∴(米)，（米）， 由题意，，(米)，∴， ∴(米)，∴米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 17．（2023年四川省自贡市中考数学真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：    (1)测量坡角：如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系． (2)测量山高：同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米） (3)测量改进：由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．    如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示） 【答案】(1)；(2)山高为69米；(3)山高的高为米．． 【分析】（1）利用互余的性质即可求解；（2）先求得，再分别在、、中，解直角三角形即可求解；（3）先求得，，在和中，分别求得和的长，得到方程，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，∴；         （2）解：在中，．∴， 在中，，米，∴(米)， 在中，，米， ∴(米)， 在中，，米，∴(米)， ∴山高(米)，答：山高为69米； （3）解：如图，由题意得，，    设山高，则，    在中，，，∴，∴， 在中，，，∴，∴， ∵，∴，即， 解得，山高答：山高的高为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 18．（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．    【答案】古树的高度为 【分析】延长，交于点G，过点B作于点F，根据斜面的坡度为，设，则，根据勾股定理得出，求出，证明四边形为矩形，得出，根据三角函数求出，，最后求出结果即可． 【详解】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示：则，    ∵斜面的坡度为，∴设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即，解得：，负值舍去，即， ∵为水平方向，为竖直方向，∴， ∵，∴四边形为矩形，∴， ∵，∴在中，， ∵，∴在中，， ∴．答：古树的高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角函数的定义． 19．（2023年重庆市中考数学真题）为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方千米处，点D在点C的正西方千米处，点D在点A的北偏东方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西方向．（参考数据：。(1)求AD的长度．（结果精确到1千米）(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？    【答案】(1)AD的长度约为千米(2)小明应该选择路线①，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而得出，然后解直角三角形即可；（2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，    由题意可得：四边形是矩形，∴千米， ∵点D在点A的北偏东方向，∴， ∴千米，答：AD的长度约为千米； （2）由题意可得：，， ∴路线①的路程为：（千米）， ∵，，， ∴为等腰直角三角形，∴， ∴，由题意可得， ∴，∴，， 所以路线②的路程为：千米， ∴路线①的路程路线②的路程，故小明应该选择路线①． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键． 20．（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为57米．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）    (1)填空： _____度， _____度；(2)求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离；(3)求教学楼的高度． 【答案】(1)105，135 (2)无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离为米 (3)教学楼BC的高度为米 【分析】（1）延长交于点，根据题意可得，，，则，再根据三角形的外角定理求出即可； （2）过点A作，垂足为F．根据题意可得，米，米，则，再根据即可求解； （3）在中，，则，即可求解． 【详解】（1）解：如图：延长交于点，       由题意得：，，，∴， ∵是的一个外角，∴，故答案为：105，135； （2）解：过点A作，垂足为F． 由题意得：，米，米， 在中，，（米）， ∴米，∴米， ∴此时无人机与教学楼之间的水平距离BE的距离为米； （3）解：在中，，米， ∴米，∴米， ∴教学楼的高度为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 21．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．    (1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示． (2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，） 【答案】(1)(2) 【分析】（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案； （2）根据题意，，在中，，由等腰直角三角形性质得到；在中，，由，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：    由题意知，在中，，则，即，； （2）解：如图所示：    ，在中，，由等腰直角三角形性质得到， 在中，，由， 即，解得，气球离地面的高度． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键． 22．（2023年浙江省金华市中考数学真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？ 图1是搭成的“倍力桥”，纵梁夹住横梁，使得横梁不能移动，结构稳固． 图是长为，宽为的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为的半圆．圆心分别为，纵梁是底面半径为的圆柱体．用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．            探究：图是“桥”侧面示意图，为横梁与地面的交点，为圆心，是横梁侧面两边的交点．测得，点到的距离为．试判断四边形的形状，并求的值． 探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形． ①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形，求的值； ②若有根横梁绕成的环（为偶数，且），试用关于的代数式表示内部形成的多边形的周长．        【答案】探究1：四边形是菱形，；探究2：①；② 【分析】探究1：根据图形即可判断出形状；根据等腰三角形性质可求出长度，利用勾股定理即可求出长度，从而求出值． 探究2：①根据十二边形的特性可知，利用特殊角正切值求出长度，最后利用菱形的性质求出的长度，从而求得值．②根据正多边形的特性可知的度数，利用特殊角正切值求出和长度，最后利用菱形的性质求出的长度，从而求得值． 【详解】解：探究1：四边形是菱形，理由如下： 由图1可知，，，为平行四边形． 桥梁的规格是相同的，∴桥梁的宽度相同，即四边形每条边上的高相等， ∵的面积等于边长乘这条边上的高，每条边相等，为菱形． ②如图1，过点作于点．        由题意，得，．∴． 在中，，∴． ∴．故答案为：． 探究2：①如图2，过点作于点．        由题意，得，． ． 又四边形是菱形，∴．∴． 故答案为：． ②如图3，过点作于点．      由题意，形成的多边形为正边形，外角． 在中，． 又，∴． 形成的多边形的周长为．故答案为：． 【点睛】本题是一道生活实际应用题，考查的是菱形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理，解题的关键在于将生活实际和有关数学知识有效结合以及熟练掌握相关性质． 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