专题02 全等三角形的判定及性质、角平分线（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题02 全等三角形的判定及性质、角平分线 利用全等三角形的性质求长度或角度 1．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图，， ， 则 ． 2．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，的两条高相交于点F，若，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．18 D．12 3．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）已知，的三边长分别为、、，的三边长分别为、、．若的三边长均为整数，则的最大值为 ． 4．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，，，，，则 5．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）如图，已知，点D在边上，与交于点P，，． (1)求的度数； (2)若，求与的周长之和． 6．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为．当与全等时，x的值为 ． 利用全等三角形的性质证明 7．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，已知，其中和，与是对应边，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图，已知，点D在的延长线上，点E在上，连接并延长交于点F． (1)求证：． (2)若点F为线段的中点，的面积为10，的面积为6，则四边形的面积为______． 9．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图，已知，点B、E、C、F在同一直线上，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 10．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图，，，三点在同一条直线上，且．    (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由． 添加条件或寻找点使得三角形全等 11．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（　　） A． B． C． D． 12．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，要根据“HL”判定 ，则需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，，点在上，．添加下列条件，不能使得的是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24 八年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标中，的顶点均在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，已知点，如果在x轴的下方存在一点D，使得与全等，那么点D的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 15．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等．是格点三角形（顶点都在网格线的交点），在图中能够作出与全等且和它有一条公共边的格点三角形（不包括）的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形.画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个. 三角形全等的性质与判定的综合 17．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．则下列说法：①；②和面积相等；③； ④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，，，点B、D、E在一条直线上，，，，则（    ） A． B． C． D． 19．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 20．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 21．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，在和中 ，与相交于点P，若则的度数为 ，的度数为    22．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，已知．求证：F是的中点． 23．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）已知：如图，在、中，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)请判断有何关系，并证明． 24．（23-24 八年级上·山东济南·期末）在中，，直线经过点C，且于D，于E．求证： (1)； (2) ． 利用角平分线性质求长度或角度 25．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，是角平分线，，，则的面积为（    ） A．6 B． C． D． 26．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 27．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图所示，在中，，平分交于点，过点作于点E，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 28．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，平分，在上取一点，作，已知的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 29．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 30．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 利用角平分线的性质进行证明 31．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，已知平分，于点E，的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 32．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，平分，交的延长线于点，且．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 33．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，平分，为上一点，，，垂足分别为，，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 34．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 35．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，是的平分线，，点E在上，连接、，过点D作，，垂足分别是F、G． (1)求证：； (2)求证：． 角平分线的判定定理 36．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（   ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 37．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，D是的中点，于E，于F，．求证：是的角平分线． 38．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P． (1)求线段的长度； (2)连接，求的度数； 39．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，，，垂足分别为、，、交于点，．求证：． 40．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 41．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，求证： (1)； (2)平分． 42．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，为边上一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)若，，，则的长为 ． 尺规作图（全等三角形及角平分线） 43．（23-24 八年级上·山东日照·期末）已知， (1)作，使； (2)作的平分线OC． 44．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，， (1)按要求作图，连接，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M． (2)若，求的度数． 45．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 46．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）已知：线段，，，求作：，使，，． 47．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如题图，已知． (1)请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）： (2)若，比的2倍小，求的度数． 48．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 1．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，已知线段米，射线于点，射线于点 ，点从点向运动，每秒走米，点从点向运动，每秒走米，同时从点出发，若射线上有一点，使得和全等，则线段的长度为（    ） A．米 B．米或米 C．米 D．米或米 2．（23-24 八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或或 3．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为15，平分．若M，N分别是上的动点，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，平分交于点，若的面积为10，的面积为6，则的面积为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 6．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 7．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点的面积为4，则阴影四边形和四边形的面积和为 ． 8．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形中，平分，，，垂足为点E，的面积为38，的面积为50，则的面积为 ． 9．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接、，若，则 度．    10．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 11．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知． (1)作，使得，且和在同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）； (2)连接，已知，，求的度数． 12．（23-24 八年级上·山东威海·期末）如图，在中，平分，平分，于点E，于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 13．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 14．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图（1），，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形的判定及性质、角平分线 利用全等三角形的性质求长度或角度 1．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，， ， 则 ． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，的两条高相交于点F，若，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【详解】解：，，是的高， ， ， ，， ， ， 故选B． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）已知，的三边长分别为、、，的三边长分别为、、．若的三边长均为整数，则的最大值为 ． 【答案】25 【详解】解：， 、中有一边为， 、中有一边为， 、与、中剩余两边相等， ， 两三角形剩余两边最大为， 的最大值为：． 故答案为∶． 4．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，，，，，则 【答案】/度 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，已知，点D在边上，与交于点P，，． (1)求的度数； (2)若，求与的周长之和． 【答案】(1) (2)31 【详解】（1）解： ，， ． ∵， ， ， 即， ． （2）解：∵， ，， ∴与的周长之和， ． 6．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为．当与全等时，x的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ， ，， 解得，； ②当时 ，， 解得，， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 利用全等三角形的性质证明 7．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，已知，其中和，与是对应边，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ，，， ． 8．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，已知，点D在的延长线上，点E在上，连接并延长交于点F． (1)求证：． (2)若点F为线段的中点，的面积为10，的面积为6，则四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，点D在BC的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）∵点F为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，已知，点B、E、C、F在同一直线上，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， ． （2）证明： ， ∴． 10．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，，，三点在同一条直线上，且．    (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，．理由见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴； （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 添加条件或寻找点使得三角形全等 11．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意； B．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意； C．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意； D．添加，不能判定，故此选项符合题意． 故选：D． 12．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，要根据“HL”判定 ，则需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， ∵， ∴， ∴， 要根据“”证明，还要添加一个条件是． 故选：A． 13．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，，点在上，．添加下列条件，不能使得的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ，， ， A、由，可得，结合，得到，在和中，，，，可得，故不符合题意； B、在和中，，，可得，故不符合题意； C、由，，条件不足，无法证明，故符合题意； D、在和中，，，，可得，故不符合题意； 故选：C． 14．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标中，的顶点均在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，已知点，如果在x轴的下方存在一点D，使得与全等，那么点D的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：如图， 当时， 由图得：， 当时， 由图得：， 在x轴的下方的坐标为或， 使得与全等； 故选：D． 15．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等．是格点三角形（顶点都在网格线的交点），在图中能够作出与全等且和它有一条公共边的格点三角形（不包括）的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：如图：    从图中可以看出与全等且和它有一个公共边的格点三角形有4个； 故选：D． 16．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形.画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个. 【答案】6 【详解】解：如图， 以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等； 以AB为公共边可画出△ABG，△ABM，△ABH三个三角形和原三角形全等． 所以可画出6个． 故答案为：6． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，三条对应边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 三角形全等的性质与判定的综合 17．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．则下列说法：①；②和面积相等；③； ④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确； ∴，故①正确， ∴，故③正确； ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等，故②正确， 综上所述，正确的是①②③④，共4个． 故选：D． 18．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，，，点B、D、E在一条直线上，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 19．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ， ． ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故选：． 20．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】2或3 【详解】解：设点运动时间为秒，则，， ， 当时，与全等， 此时，， 解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米/秒）， 当时，与全等， 此时，， 解得， 点的运动速度为（厘米/秒）． 故答案为：2或3． 21．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在和中 ，与相交于点P，若则的度数为 ，的度数为    【答案】 【详解】解：依题意， 在和中， ， ，， ， ； 如图：，   ， ∴， ， ， ， 故答案为：，． 22．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，已知．求证：F是的中点． 【答案】见解析 【详解】证明：连接，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴F是的中点． 23．（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知：如图，在、中，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)请判断有何关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即， 又∵， ∴． （2），． 证明如下：由（1）知， ∴，． ∵， ∴． ∴． 即． ∴． 24．（23-24八年级上·山东济南·期末）在中，，直线经过点C，且于D，于E．求证： (1)； (2) ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴． 利用角平分线性质求长度或角度 25．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，是角平分线，，，则的面积为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点F作于D， ∵在中，是角平分线，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 26．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴，故正确； 由得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 由得：， ∴， ∴平分，故正确； 由， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上正确，共个， 故选：． 27．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图所示，在中，，平分交于点，过点作于点E，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选：D． 28．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，平分，在上取一点，作，已知的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【详解】解：∵的面积为，， ∴， ∴， 过P点作于H，如图，   平分，， ， 点E是射线上的动点， 的最小值为， 故选：C． 29．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 30．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 【答案】(1)的度数为 (2)的面积为4 【详解】（1）平分， ， 平分， ， ， 的度数为； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，，， ， 平分，，， ， 的面积 ， 故的面积为4． 利用角平分线的性质进行证明 31．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，已知平分，于点E，的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵平分，于点E，的延长线于点F， ∴， 在与中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 32．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，平分，交的延长线于点，且．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）证明：过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴；    （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴线段的长度为． 33．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，平分，为上一点，，，垂足分别为，，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，，平分， ，， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ， 又， 在和中， ， ， ， ， ， ． 34．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）作，垂足为点    平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） 平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） （等量代换） （2），（已知） ，（垂直的意义） 在和中， （全等三角形对应角相等） 35．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，是的平分线，，点E在上，连接、，过点D作，，垂足分别是F、G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：是的平分线， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ，，， ， ． 角平分线的判定定理 36．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（   ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】B 【详解】解：如图所示：过点作，， 两把完全相同的长方形直尺的宽度相等， ， 平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：B． 37．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，D是的中点，于E，于F，．求证：是的角平分线． 【答案】见解析 【详解】证明：∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴是的角平分线． 38．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P． (1)求线段的长度； (2)连接，求的度数； 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：过O分别作于M点，作于N点，如图所示： 在四边形中，， ∴， 在与中， ， ∴ ∴． ∵， ∴平分， ∴． 39．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，，，垂足分别为、，、交于点，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 40．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 41．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ∴． 平分． 42．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，为边上一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)若，，，则的长为 ． 【答案】(1)详见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， 于点，于点， ， 在和中， ， ， ， 于点，于点， 平分； （2）解：， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：4． 尺规作图（全等三角形及角平分线） 43．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知， (1)作，使； (2)作的平分线OC． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 先作射线，再作，然后作； （2）解：如图所示，即为所求； 44．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，， (1)按要求作图，连接，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M． (2)若，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【详解】（1）解：作图，如图所示： （2）解：由作图知平分， ∴， ∵， ∴． 45．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：根据对称性，，，，共3对． 故答案为：3 46．（23-24八年级上·山东淄博·期末）已知：线段，，，求作：，使，，． 【答案】见详解 【详解】解：如图所示，即为所求； 47．（23-24八年级上·山东德州·期末）如题图，已知． (1)请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）： (2)若，比的2倍小，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：以点C为顶点，为的一条边，作，， 在和中， ， ∴． （2）解：∵比的2倍小， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴． 【点睛】本题考查作图−三角形、全等三角形的判定、三角形内角和定理及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定和作三角形方法是解题的关键． 48．（23-24八年级上·山东聊城·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】因为 所以 如图所示，即为所求． 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，已知线段米，射线于点，射线于点 ，点从点向运动，每秒走米，点从点向运动，每秒走米，同时从点出发，若射线上有一点，使得和全等，则线段的长度为（    ） A．米 B．米或米 C．米 D．米或米 【答案】D 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意可得，，，， ∵，， ∴， 当时，，， ∴， 解得， ∴米； 当时，，， ∴， 解得， ∴米； 综上，线段的长度为米或米， 故选：． 2．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或或 【答案】C 【详解】假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则，， ∴， ∴； 若， 则 ，， ∴， ∴， 当时，即点在上， 若， 则，， ∴ ∴， 若， 则，， ∴， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述, 点的运动速度为：或或， 故选：． 3．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确； 同理， ，， ，， 故①正确； ，， 、、三点在同一条直线上， ， 设两条平行线与之间的距离为， ， ， ， ， 故④正确； 在和中， ， ， ， 故③正确， 故选：D． 4．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为15，平分．若M，N分别是上的动点，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：如图，在截取，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为6， 故选：D． 5．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，平分交于点，若的面积为10，的面积为6，则的面积为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：过点作， ∵平分交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故选A． 6．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【详解】解：设经过秒后，使与全等， 厘米，点为的中点， 厘米， ， 要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，，； 时，，； 即点的运动速度是厘米/秒或厘米/秒． 故答案为：或． 7．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点的面积为4，则阴影四边形和四边形的面积和为 ． 【答案】 【详解】解：的是直角三角形沿着斜边的方向平移后得到的，且、、、四点在同一条直线上， ， ， ， ， ， ，， ，， 的面积等于4， ， ， 四边形的面积， 故四边形和四边形的面积和为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质，平行线的判定，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键． 8．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形中，平分，，，垂足为点E，的面积为38，的面积为50，则的面积为 ． 【答案】6 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点F， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 设， ∴， 解得：， ∴的面积为6． 故答案为：6 9．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接、，若，则 度．    【答案】 【详解】解：如图，过点D作于点E，作于点G， ∵点是平分线上的一点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵由沿射线的方向平移所得， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴． 11．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知． (1)作，使得，且和在同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）； (2)连接，已知，，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示：即为所作， （2）解：，， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ． 12．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，在中，平分，平分，于点E，于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴； （2）解：平分，，，， ∴． ∵， ∴． 13．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：中，， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ∵平分， ， 在和中， ， ∴； （3）证明：∵， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图（1），，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等；线段和线段垂直，理由见解析 (2)存在，或，使得与全等 【详解】（1）解：（1）与全等，线段和线段垂直．理由如下： 当时，， 又，即， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． ∴， 即线段和线段垂直． （2）存在，或，使得与全等． 理由：依题意得： ①若， 则， 则， 解得； ②若， 则， 则， 解得：， 综上所述，存在或，使得与全等． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$