4.3 等比数列（8大题型）（分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列 4.3等比数列（8大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：等比数列的判断与证明 2 题型二：等比数列的通项公式及其应用 3 题型三：等比数列性质的应用 5 题型四：等比数列前项和的有关计算 5 题型五：等比数列前项和的性质 6 题型六：利用错位相减法求数列的前项和 7 题型七：等比数列的奇数项与偶数项和 8 题型八：等比数列的实际应用 9 拓展培优练 10 题型一：等比数列的判断与证明 1．（2024·高二·湖北·期中）“数列{}是等比数列”是“数列是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·高二·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·北京西城·期中）已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·全国·课后作业）已知在数列中，，判断数列是否为等比数列，并说明理由． 5．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，.设，求证：数列是等比数列. 6．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，，.记.证明：数列是等比数列，并且求出其通项公式. 7．（2024·高二·全国·课前预习）已知数列满足，．证明：数列是等比数列． 题型二：等比数列的通项公式及其应用 8．（2024·高二·甘肃兰州·期中）在等比数列中， (1)已知，求 (2)已知，求. 9．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列为等比数列，若，，求数列的通项公式. 10．（2024·高二·西藏林芝·期中）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 11．（2024·高二·江苏·课后作业）已知无穷数列…，求证： (1)这个数列是等比数列； (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的； (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中． 12．（2024·高二·河北邯郸·期末）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 13．（2024·高二·全国·课后作业）在等比数列中，构成等差数列，且，则数列的通项公式为 ． 14．（2024·高二·湖北武汉·期中）已知数列为等比数列，且，，则的通项公式为 . 15．（2024·高二·广东广州·期末）已知数列满足，，则的通项公式 . 题型三：等比数列性质的应用 16．（2024·高二·甘肃武威·阶段练习）已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 17．（2024·高三·山东德州·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．36 D．6 18．（2024·高二·青海·期末）在等比数列中，，，则（   ） A．64 B．128 C． D． 19．（2024·高二·甘肃金昌·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 20．（2024·四川巴中·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 21．（2024·高二·山东济南·期末）在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为 A． B． C． D． 22．（2024·四川甘孜·一模）在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 23．（2024·高二·吉林通化·阶段练习）在递增等比数列中，，，则公比q为(     ) A． B．2 C．3 D． 题型四：等比数列前项和的有关计算 24．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列是等比数列，，若，则 ． 25．（2024·高二·陕西渭南·阶段练习）已知等比数列满足，，则其前项和 . 26．（2024·高二·四川成都·阶段练习）在等比数列中，若，则公比   ． 27．（2024·高三·上海·专题练习）已知等比数列的前n项和为，且满足，则实数λ的值是 ． 28．（2024·高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，，，则 ． 29．（2024·高二·全国·专题练习）若等比数列满足，，则的前项和 . 30．（2024·高二·陕西宝鸡·期中）数列的前项之和是 . 31．（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列中共有项，公比，且其奇数项和比偶数项和小20，则 ． 题型五：等比数列前项和的性质 32．（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列的前项和为，且，则 ． 33．（2024·高二·陕西宝鸡·期中）一个等比数列前项的和为，前项的和为，则其前项的和为 . 34．（2024·高二·甘肃定西·期末）已知等比数列的首项，其前项和为，若，则 ． 35．（2024·高二·吉林长春·期末）设等比数列的前n项和是.已知，则 . 36．（2024·高二·江西萍乡·期中）已知等比数列的前项和为，若，则 . 37．（2024·高二·青海海东·阶段练习）在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 38．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则 . 题型六：利用错位相减法求数列的前项和 39．（2024·高二·辽宁·期末）已知数列满兄，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式， (2)求数列的前项和为． 40．（2024·高二·云南保山·阶段练习）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 41．（2024·高二·宁夏吴忠·期末）已知递增的等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 42．（2024·高二·四川成都·期末）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 43．（2024·高二·云南大理·期末）已知，分别是数列和的前项和，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型七：等比数列的奇数项与偶数项和 44．（2024·高二·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 45．（2024·高二·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 46．（2024·高二·全国·学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 47．（2024·高三·全国·阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 48．（2024·高二·河南·阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 49．（2024·高三·安徽池州·期末）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 题型八：等比数列的实际应用 50．（2024·高二·安徽黄山·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（    ） A．48里 B．45里 C．43里 D．40里 51．（2024·高二·河北邯郸·期末）一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为（    ） A．29.375米 B．19.375米 C．38.75米 D．28.75米 52．（2024·高二·辽宁辽阳·期末）某公司开发新项目，今年用于该新项目的投入为10万元，计划以后每年用于该新项目的投入都会在上一年的基础上增加，若该公司计划对该项目的总投入不超过250万元，则按计划最多能连续投入的时间为（    ）（参考数据：） A．9年 B．10年 C．11年 D．12年 53．（2024·高二·河南洛阳·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 54．（2024·高二·云南玉溪·阶段练习）新型冠状病毒（简称新冠）传播的主要途径包括呼吸道飞沫传播、接触传播、气溶胶传播等．其中呼吸道飞沫传播是指新冠感染的患者和正常人在间隔左右的距离说话，或者是患者打喷嚏、咳嗽时喷出的飞沫，可以造成对方经过呼吸道吸入而感染．如果某地某天新冠患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成两人感染），则5天后的患者人数将会是原来的（      ）倍 A．10 B．16 C．32 D．63 55．（2024·北京门头沟·一模）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 1．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 2．（2024·高二·陕西西安·开学考试）在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·高二·全国·课后作业）已知单调递增的等差数列各项均为整数，其前项和为，且成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·全国·课后作业）在公差不为零的等差数列中，成等比数列，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 6．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·全国·专题练习）公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B． C．的最大值为 D． 8．（2024·高三·湖南·开学考试）若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（    ） A． B．43 C． D．47 9．（多选题）（2024·高二·福建宁德·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若数列是等比数列，则数列也是等比数列 B．若是公差为负的等差数列，是其前n项和，若，则和是的最大值 C．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D．直线不过第四象限，则或 10．（多选题）（2024·高二·云南曲靖·阶段练习）设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·高二·福建宁德·阶段练习）下列说法中，不正确的是（    ） A．若，则成等比数列 B．若为等比数列，则一定成等比数列 C．若数列为等差数列，则数列也为等差数列 D．若等比数列的前项和，则 12．（2024·高二·甘肃酒泉·期中）已知等比数列的前n项和，，则a＝ ；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为 ． 13．（2024·高二·福建宁德·阶段练习）在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则 ． 14．（2024·高二·甘肃·期中）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则 . 15．（2024·高二·福建宁德·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，．设． (1)求证：数列是等比数列，并求． (2)求证：数列是等差数列，并求． (3)求数列的前项和． 16．（2024·高二·福建莆田·阶段练习）已知为数列的前项和，且． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； 17．（2024·高二·河南商丘·期末）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．（2024·高三·北京·阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列 4.3等比数列（8大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：等比数列的判断与证明 2 题型二：等比数列的通项公式及其应用 4 题型三：等比数列性质的应用 8 题型四：等比数列前项和的有关计算 11 题型五：等比数列前项和的性质 14 题型六：利用错位相减法求数列的前项和 16 题型七：等比数列的奇数项与偶数项和 19 题型八：等比数列的实际应用 22 拓展培优练 24 题型一：等比数列的判断与证明 1．（2024·高二·湖北·期中）“数列{}是等比数列”是“数列是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若是等比数列，设的公比为q，则，则数列是公比为的等比数列. 假设数列是1，2，2，4，4，8，8，16，16，…，则数列是等比数列，但是数列不是等比数列. 故数列“是等比数列”是“数列是等比数列”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2024·高二·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误； 对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误； 对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误； 对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确； 故选：D 3．（2024·高二·北京西城·期中）已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的公比为，的公比为， 对于A，令，则， 显然不是等比数列； 对于B，，故是等比数列； 对于C，，故是等比数列； 对于D，，故是等比数列. 故选：A. 4．（2024·高二·全国·课后作业）已知在数列中，，判断数列是否为等比数列，并说明理由． 【解析】不是等比数列， 因为，所以， 解得或． 又，所以，故或， 可取满足要求，不是等比数列. 所以数列不是等比数列． 5．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，.设，求证：数列是等比数列. 【解析】由，，可得． 因为，，所以，， 所以是首项为1，公比为3的等比数列． 6．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，，.记.证明：数列是等比数列，并且求出其通项公式. 【解析】方法一：因为，所以（提示：凑出）， 又，所以，又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以． 方法二：因为当时，（提示：将代入），， 所以是首项和公比均为2的等比数列，所以． 7．（2024·高二·全国·课前预习）已知数列满足，．证明：数列是等比数列． 【解析】因为， 所以， 又，则有． 所以数列是首项为1公比为2的等比数列． 题型二：等比数列的通项公式及其应用 8．（2024·高二·甘肃兰州·期中）在等比数列中， (1)已知，求 (2)已知，求. 【解析】（1）设公比为，则，所以， 解得，由， 所以可知或； （2）设公比为q，由题意得：， 两式相除得：，所以， 又因为，所以， 解得. 9．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列为等比数列，若，，求数列的通项公式. 【解析】将代入，得，解得． 设数列的公比为q（）， 则的前三项依次为，2，2q，则有， 整理得，解得或． 所以或， 所以或． 10．（2024·高二·西藏林芝·期中）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【解析】（1）在等比数列中，，而， 所以. （2）依题意，，则， 所以. （3）依题意，. 11．（2024·高二·江苏·课后作业）已知无穷数列…，求证： (1)这个数列是等比数列； (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的； (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中． 【解析】（1）由题意知，所以是常数，数列是等比数列； （2）由（1）知； （3）设ap，aq是该数列的任意两项，其中p∈N*， q∈N*， ，显然， 所以是数列中的第项． 12．（2024·高二·河北邯郸·期末）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 【解析】（1）由，得，即， 又，有， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，则有， ， ， ①-②得 ， ，即. 13．（2024·高二·全国·课后作业）在等比数列中，构成等差数列，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】设等比数列的公比为， 因为构成等差数列，可得，即，所以， 又因为，所以，解得， 则． 故答案为：. 14．（2024·高二·湖北武汉·期中）已知数列为等比数列，且，，则的通项公式为 . 【答案】或 【解析】设等比数列的公比为， 则，解得或， 所以或. 故答案为：或. 15．（2024·高二·广东广州·期末）已知数列满足，，则的通项公式 . 【答案】 【解析】，， ，又， 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列， ，解得，. 故答案为：，. 题型三：等比数列性质的应用 16．（2024·高二·甘肃武威·阶段练习）已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【解析】设递增的等比数列的首项为，公比为， 由前3项的和为13，得， 由前3项的积为27，得，即，则， 代入，得， 即，解得或， 因为为递增的等比数列，所以，则. 故选：A. 17．（2024·高三·山东德州·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．36 D．6 【答案】D 【解析】因为为等比数列，故，故，故， 所以，故（负值舍去）， 故选：D. 18．（2024·高二·青海·期末）在等比数列中，，，则（   ） A．64 B．128 C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，得，则. 由，得. 所以. 故选：B． 19．（2024·高二·甘肃金昌·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 则， 即，解得， 所以． 故选：C． 20．（2024·四川巴中·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【解析】因为，，所以，解得，则． 故选：B 21．（2024·高二·山东济南·期末）在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在等比数列{an}中，由，得 则 故选A. 22．（2024·四川甘孜·一模）在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是等比数列，且，是方程的两根，所以：，且，. 根据等比数列的性质，得：，且，所以 ∴. 故选：A 23．（2024·高二·吉林通化·阶段练习）在递增等比数列中，，，则公比q为(     ) A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【解析】，， 故可得，，两式相比可得：， 即，解得或，又，故； 又为递增数列，故. 故选：B. 题型四：等比数列前项和的有关计算 24．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列是等比数列，，若，则 ． 【答案】 【解析】因为，可得，解得， 因为，可得， 即，化简得， 所以，解得． 故答案为：. 25．（2024·高二·陕西渭南·阶段练习）已知等比数列满足，，则其前项和 . 【答案】 【解析】设公比为，则， 则，解得， . 故答案为： 26．（2024·高二·四川成都·阶段练习）在等比数列中，若，则公比   ． 【答案】1或 【解析】因为，又，所以， 即，解得或， 故答案为：或. 27．（2024·高三·上海·专题练习）已知等比数列的前n项和为，且满足，则实数λ的值是 ． 【答案】-2 【解析】等比数列中，由可得， 则，若公比，则， 则，故， 则等比数列的前n项和，（）， 故令，即， 故答案为： 28．（2024·高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，，，则 ． 【答案】/ 【解析】设等比数列的公比为． ， ，解得． ， ，解得. ，， ． 故答案为：. 29．（2024·高二·全国·专题练习）若等比数列满足，，则的前项和 . 【答案】 【解析】设数列的公比为， 因为，，， 所以，故， 代入， 得，得. 故． 故答案为：. 30．（2024·高二·陕西宝鸡·期中）数列的前项之和是 . 【答案】 【解析】设， 则 . 故答案为：. 31．（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列中共有项，公比，且其奇数项和比偶数项和小20，则 ． 【答案】 【解析】由题意，可得， 因为奇数项和比偶数项和小，可得，即， 解得，所以． 故答案为：． 题型五：等比数列前项和的性质 32．（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列的前项和为，且，则 ． 【答案】42 【解析】由等比数列满足，可得等比数列的公比， 根据等比数列的性质，可得也为等比数列， 即，可得，解得． 故答案为：. 33．（2024·高二·陕西宝鸡·期中）一个等比数列前项的和为，前项的和为，则其前项的和为 . 【答案】 【解析】由题意可知：，且为等比数列， 则，即，解得, 所以其前项的和为52. 故答案为：52. 34．（2024·高二·甘肃定西·期末）已知等比数列的首项，其前项和为，若，则 ． 【答案】2或8 【解析】因为，所以，， 当时，； 当时，，即，故． 综上，或8. 故答案为：2或8. 35．（2024·高二·吉林长春·期末）设等比数列的前n项和是.已知，则 . 【答案】1200 【解析】因为是等比数列的前项和且， 可知，，，也成等比数列， 又因为,，则， 可得，， 所以，. 故答案为：1200. 36．（2024·高二·江西萍乡·期中）已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【解析】设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为， 所以. 故答案为： 37．（2024·高二·青海海东·阶段练习）在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【答案】/ 【解析】，当时，， 依题意，也应满足，所以有，得． 此时，，，满足是等比数列，所以. 故答案为： 38．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【解析】设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为，所以. 故答案为： 题型六：利用错位相减法求数列的前项和 39．（2024·高二·辽宁·期末）已知数列满兄，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式， (2)求数列的前项和为． 【解析】（1），， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； ， 当时，，即， 当时，，所以，即， 当时，，； （2）由（1）得 ， ， 作差可得， . 40．（2024·高二·云南保山·阶段练习）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）， 又， 数列是首项､公比均为3的等比数列， ，即 （2）由（1）得， 则， 则， 两式相减得 ， . 41．（2024·高二·宁夏吴忠·期末）已知递增的等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）设等比数列公比为， 由题意有，解得， 所以． （2）， 所以， ， ． 42．（2024·高二·四川成都·期末）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）由，，令得，解得， 设的公差为， 因为，所以， 所以， 故的通项公式为． （2）由（1）知， 所以①， ②， ①②得， 化简得， 所以． 43．（2024·高二·云南大理·期末）已知，分别是数列和的前项和，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）由可知数列是公差为2的等差数列 由，解得，所以. 由，则，两式相减并整理得：， 所以数列是公比为3的等比数列，由得，所以. （2）由（1）可得， 所以， 则， 所以 ， 所以． 题型七：等比数列的奇数项与偶数项和 44．（2024·高二·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】由题意可知：， 所以． 故选：D. 45．（2024·高二·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 46．（2024·高二·全国·学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以，， 因为，可得，因此，. 故选：C. 47．（2024·高三·全国·阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】当时，，又， 即前10项分别为， 所以数列的前10项中，，所以， 故选：C． 48．（2024·高二·河南·阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案.设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为 则， 又，则，解得， 故数列的所有项之和是. 故选：D 49．（2024·高三·安徽池州·期末）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】D 【解析】设，则， 又因为，所以， 所以. 故选: D 题型八：等比数列的实际应用 50．（2024·高二·安徽黄山·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（    ） A．48里 B．45里 C．43里 D．40里 【答案】A 【解析】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里， 依此往前推，第一天走的路程为里， 结合题意可得：， 解得， 则第三天走的路程为里. 故选：A. 51．（2024·高二·河北邯郸·期末）一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为（    ） A．29.375米 B．19.375米 C．38.75米 D．28.75米 【答案】D 【解析】前五次落地经过的路程分别为10米、10米、5米、2.5米、1.25米，其和为28.75米， 故选：D 52．（2024·高二·辽宁辽阳·期末）某公司开发新项目，今年用于该新项目的投入为10万元，计划以后每年用于该新项目的投入都会在上一年的基础上增加，若该公司计划对该项目的总投入不超过250万元，则按计划最多能连续投入的时间为（    ）（参考数据：） A．9年 B．10年 C．11年 D．12年 【答案】A 【解析】设该公司第年用于该新项目的投入为万元，则是首项为10，公比为的等比数列， 从而，即，即，即． 因为，所以的最大值是9. 故选：A 53．（2024·高二·河南洛阳·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列， 所以，由题可得，解得， 所以，塔的顶层的灯数是3. 故选：A. 54．（2024·高二·云南玉溪·阶段练习）新型冠状病毒（简称新冠）传播的主要途径包括呼吸道飞沫传播、接触传播、气溶胶传播等．其中呼吸道飞沫传播是指新冠感染的患者和正常人在间隔左右的距离说话，或者是患者打喷嚏、咳嗽时喷出的飞沫，可以造成对方经过呼吸道吸入而感染．如果某地某天新冠患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成两人感染），则5天后的患者人数将会是原来的（      ）倍 A．10 B．16 C．32 D．63 【答案】D 【解析】根据题意，设每天新冠患者的确诊人数组成数列， 则是公比为2的等比数列，所以5天后的新冠患者人数为， 所以5天后的患者人数将会是原来的63倍. 故选：D. 55．（2024·北京门头沟·一模）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【解析】由题，设每日织布数的数列为，则为以2为公比的等比数列， 由题知，得，所以第二天织布尺数为. 故选：B. 1．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 【答案】D 【解析】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列， 则，设，则，∵等比数列中，， ∴解得，，故，∴， 故选：D． 2．（2024·高二·陕西西安·开学考试）在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，， ∴ ， 又，则当或时取得最大值， 又当时，当时， 当时，当时， ∴或时取得最大值. 故选：C 3．（2024·高二·全国·课后作业）已知单调递增的等差数列各项均为整数，其前项和为，且成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得，即， 设公差为，因为成等比数列，所以，即， 整理可得，各项均为整数,解得或（舍去）， 则，所以． 故选：C. 4．（2024·高二·全国·课后作业）在公差不为零的等差数列中，成等比数列，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为， 由题可得，即，则， 所以，又，所以，解得，则， 所以， ①， ①得，②， ①-②得, 则 ． 故选：B. 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【解析】由题， 得， 设等比数列的公比为，则， 即． 故选：B. 6．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故选：C. 7．（2024·高二·全国·专题练习）公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B． C．的最大值为 D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以数列为正项等比数列， 因为，所以或， 又等比数列满足，，所以，，， 故当时，取得最大值，故A正确，D错误； ，故B错误； 因为数列各项均为正数，所以没有最大值，故C错误． 故选：A． 8．（2024·高三·湖南·开学考试）若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（    ） A． B．43 C． D．47 【答案】B 【解析】因为两个等比数列的公比相等，设为， 则，且， 故，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 由，得 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的前7项和． 故选：B. 9．（多选题）（2024·高二·福建宁德·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若数列是等比数列，则数列也是等比数列 B．若是公差为负的等差数列，是其前n项和，若，则和是的最大值 C．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D．直线不过第四象限，则或 【答案】ABD 【解析】A：若公比为，且，则，故， 显然是首项为，公比为的等比数列，对； B：若公差为，则，且数列单调递减， 由，即，则时，时， 综上，和是的最大值，对； C：截距相等包含直线过原点的情况，此时直线为，错； D：由直线不过第四象限，则，可得或，对. 故选：ABD 10．（多选题）（2024·高二·云南曲靖·阶段练习）设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于C，依题意，设公比为，因为，， 所以，即，解得，故C正确； 对于D，故，故D正确； 对于A，则，故A正确； 对于B，则，； 所以，故B错误； 故选：ACD. 11．（多选题）（2024·高二·福建宁德·阶段练习）下列说法中，不正确的是（    ） A．若，则成等比数列 B．若为等比数列，则一定成等比数列 C．若数列为等差数列，则数列也为等差数列 D．若等比数列的前项和，则 【答案】ABD 【解析】A：当，或时，满足，但不成等比数列，故A符合题意； B：当时，为等比数列，，， ，不满足则成等比数列，故B符合题意； C：设，则，， 所以，所以数列也为等差数列，故C不符合题意； D：当时，，当时，， 因为数列为等比数列，所以当时，，则，故D符合题意； 故选：ABD. 12．（2024·高二·甘肃酒泉·期中）已知等比数列的前n项和，，则a＝ ；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为 ． 【答案】 1 【解析】由等比数列的前n项和知，， 所以，所以， 而，， ∴，即， 由上知：，则， ∴， 即， 当时，的最小值为， 所以. 故答案为：1； 13．（2024·高二·福建宁德·阶段练习）在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则 ． 【答案】16 【解析】∵为等差数列， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍）， ∴， ∴， ∴. 故答案为：16. 14．（2024·高二·甘肃·期中）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则 . 【答案】0 【解析】因为公差，且成等比数列， 所以，即，解得， 所以． 故答案为：0 15．（2024·高二·福建宁德·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，．设． (1)求证：数列是等比数列，并求． (2)求证：数列是等差数列，并求． (3)求数列的前项和． 【解析】（1）数列的前n项和为，且，． 则时， 两式相减得，即， 令，则，故． 又，，则，则. 则数列是首项为2公比为2的等比数列，故. （2）由（1）可得，，， 则，等式两边同时除以可得，， 又，则数列是首项为公差为的等差数列， 故，则 （3）由（2）得，则， 令， 则， 上式减去下式得， 则 16．（2024·高二·福建莆田·阶段练习）已知为数列的前项和，且． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； 【解析】（1）当时，，所以， 当时，由可得， 两式相减可得：，即， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，即； （2）由（1）可得， 所以， ， 两式相减得： ， 所以 17．（2024·高二·河南商丘·期末）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）因为， 当时，； 当时，，可得； 且符合，所以． （2）由（1）可知， 则，可得， 两式相减得， 所以． 18．（2024·高三·北京·阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设等比数列的公比为，且， 因为，，成等差数列，则， 即，解得或（舍去）， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知：， 则 ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$