第四章 数列（单元测试）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的前项和，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．4 C． D． 4．在2和8之间插入3个实数使得成等比数列，则的值为（    ） A． B．或4 C．4 D．5 5．已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为递增数列 C．为递减数列 D． 6．已知等差数列，，，则数列的前n项和为（   ） A． B． C． D． 7．等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（    ） A．9 B．11 C．13 D．不能确定 8．已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A．公差 B． C．使成立的n的最小值为20 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则（    ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 10．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 11．如图所示的几何体出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的前项和为，若，且，则 ． 13．记为等差数列的前n项和．已知，则的最小值为 ． 14．某个软件公司对软件进行升级， 将序列升级为新序列， 中的第项为， 若的所有项都是，且，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知数列的前n项和为． (1)求的通项公式： (2)若等比数列满足，求的前n项和． 16．（15分） 已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．（15分） 已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 18．（17分） 已知数列满足，（，且）． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和； (3)令，数列的前n项和为，证明：． 19．（17分） 对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知数列，，，，，…，，…， 即，，，，，…，，…， 则数列的第项为， 第项为， 故选：A. 2．已知数列的前项和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知数列的前项和， 则， 故选：C. 3．在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以. 因为，所以. 故选：D 4．在2和8之间插入3个实数使得成等比数列，则的值为（    ） A． B．或4 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由为等比中项可知，， 又可知， 所以， 故选：C 5．已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为递增数列 C．为递减数列 D． 【答案】A 【解析】，，则， 由，且， 得，即，解得，故A对； ，不为单调数列，故B，C错； 又，故D错， 故选：A. 6．已知等差数列，，，则数列的前n项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列公差为，由，得，则， 所以，， 则数列的前n项和为 . 故选：D. 7．等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（    ） A．9 B．11 C．13 D．不能确定 【答案】C 【解析】因为为定值且，故为定值，故为定值，其中为公差. 而， 故当且仅当即时，为定值. 故选：C. 8．已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A．公差 B． C．使成立的n的最小值为20 D． 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为d，由，得， 即，即， 又，所以，所以；故AD错， ，故B错 因为，，所以，， 所以成立的n的最小值为20. 故C正确. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则（    ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 【答案】ABC 【解析】由已知为等差数列，则当时，为定值， 即为常数， 此时数列为常数列， 又数列为等比数列， 则，且，，A选项正确； 此时，B选项正确； ，，，，即为等差数列，C选项正确； ，，，不为定值，所以不为等比数列，D选项错误； 故选：ABC. 10．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】∵， ∴，， ∴， 故选项A、B正确. ∵， ∴， ∴， ∴，选项C错误. 由等差数列前项和公式得，，选项D正确. 故选：ABD. 11．如图所示的几何体出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题意得，，，，，，故B正确； 而，，，，故C正确； 则，故A错误； ，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的前项和为，若，且，则 ． 【答案】72 【解析】设等差数列的公差为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：72. 13．记为等差数列的前n项和．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设等差数列的公差为， 根据，可得，解得， 则， 因为，所以当或时，有最小值为， 故答案为：. 14．某个软件公司对软件进行升级， 将序列升级为新序列， 中的第项为， 若的所有项都是，且，则 ． 【答案】8 【解析】由题意得，，， ， ∵的所有项都是， ∴， 由得，解得， 由得，解得， 由得，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知数列的前n项和为． (1)求的通项公式： (2)若等比数列满足，求的前n项和． 【解析】（1）因为数列的前n项和为， 当时，； 当时，； 又因为，符合， 所以的通项公式为：，. （2）设等比数列的公比为. 因为等比数列满足，即，， 所以，所以， 所以的前n项和. 16．（15分） 已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）由，， 所以是首项、公比均为3的等比数列， 故； （2）由（1）有，则， 所以， 两式相减，得， 所以. 17．（15分） 已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【解析】（1）当时，， 当时，， （2）∵， ∴得到，∴， 则代入①得：， 则 ∴， 且， ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列. ∴， ∴ 18．（17分） 已知数列满足，（，且）． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和； (3)令，数列的前n项和为，证明：． 【解析】（1）数列中，当时，，则， 而，又，解得，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，，即，， 则， 令， 则， 两式相减得， 则，所以. （3）由（2）知，，，显然， 则；又， 于是， 所以. 19．（17分） 对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【解析】（1）由题意，，，，；以； （2）当，时，猜想，数学归纳法证明如下 （ⅰ）当时，，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即， 则当时， （*） ，，即命题也成立 由（ⅰ）（ⅱ）可知，当，时，成立. （3），则，， 设，即，则， 函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，为偶数，等式不成立；所以等式无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$