湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

湖南师大附中2024—2025学年度高一第一学期期中考试 数　学 时量：120分钟　　　满分：150分 得分：______________ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知集合A＝，B＝{x<1或x≥3}，则图中的阴影部分表示的集合为 A. B. C. D. 2．若集合M＝，则 A.∈M B.∈M C.∈M D.∈M 3．设a，b∈R，则“2a＝2b”是“a2＝b2”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数f(x)的定义域是[－1，4]，则函数的定义域是 A．(1，5] B．(1，4] C．[1，3] D．(1，3] 5．已知函数f＝且对任意x1≠x2，都有>0，则a的取值范围是 A. B. C. D. 6．已知f＝2x2－＋1，a＝ f ，b＝f ，c＝f ，则下列不等式成立的是 A．c<b<a B．c<a<b C．a<b<c D．a<c<b 7．已知函数f(x)对任意x1，x2∈R，总有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0.若存在x∈(a－1，a)使得不等式f(3a－x)≤f(x＋a2)成立，则实数a的取值范围是 A．[－1，2] B．[0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[2，＋∞) 8．已知函数f是定义在上的增函数，当n∈N*时，f∈N*.若f ＝3n，其中n∈N*，则f＝ A．4 B．5 C．7 D．8 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．已知甲、乙两城相距80 km，两个旅行者分别骑自行车和摩托车从甲城到乙城，他们所行驶的路程和时间的函数关系如图所示，有人根据此图，提出了如下观点，其中正确的观点有 A．骑自行车者和骑摩托车者都是变速运动 B．骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h C．骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者 D．骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样 10．已知幂函数f(x)＝(m－1)xα的图象经过点(8，)，下列结论正确的有 A．m＝2 B．f(0)＝0 C．f(x)是偶函数 D．若f(3－2x)>f(x＋1)，则x∈(，4) 11．用表示不超过x的最大整数，例如，＝－2，＝1.已知f＝x＋，则 A．f ＝ B．f 为奇函数 C．∀x1>x2，都有f >f D．y＝f与y＝x－1图象所有交点的横坐标之和为4 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．) 12．eln 5－log23·log34＋lg 200＋lg 5＝________． 13．已知两个正实数x，y，满足x＋y＝1，且不等式＋≤m2－2m有解，则实数m的取值范围是________． 14．已知函数f(x)为[－1，1]上的奇函数，函数g(x)＝x2－4x＋3，若g(f(x))在[－1，1]上的值域为[－1，15]，则f(x)在[－1，1]上的值域为________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分) 已知函数f＝x2－bx＋b－1，b∈R. (1)求集合M＝{x}； (2)设N＝{x}，若N中恰好有2个元素，求实数b的取值范围． 16．(本小题满分15分) 已知函数f(x)＝是定义在区间(－2，2)上的奇函数，且f(1)＝. (1)求a，b； (2)判断f(x)在区间(－2，2)上的单调性，并用定义证明； (3)解关于t的不等式f(t－1)＋f(t)<0. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)＝，g(x)＝x2－4x＋6. (1)当a＝1时，求f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值； (2)若∀x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f(x2)＝g(x1)，求实数a的取值范围． 18.(本小题满分17分) 对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度 (含污物体的清洁度定义为：1－) 为0.8，要求清洗完后的清洁度为0.99.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗； 方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响， 其质量变为a(1≤a≤3)．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x>a－1)，用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c(0.8<c<0.99)是该物体初次清洗后的清洁度． (1)分别求出方案甲以及c＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少； (2)若采用方案乙，当a为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小？ 19.(本小题满分17分) 我们知道，奇函数的图象关于原点对称．类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，若对∀x∈D，都有f(2m－x)＋f(x)＝2n，则称函数f(x)为中心对称函数，其中(m，n)为函数f(x)的对称中心．比如，函数y＝＋1就是中心对称函数，其对称中心为(0，1)．且中心对称函数具有如下性质：若(m，n)为函数f(x)的对称中心，则函数y＝f(x＋m)－n为奇函数． (1)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1，2)中心对称，且当x>1时，f(x)＝x(x＋1)，求f(0)，f(1)的值． (2)已知函数f(x)＝＋为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； (3)求数组(a，b，c)的个数，其中－2024≤a<b<c≤2024，a，b，c∈Z，且g(x)＝＋＋＋＋为中心对称函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$湖南师大附中2024一2025学年度高一第一学期期中考试 数 学 时量：120分钟 满分：150分 得分： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.) 1.已知集合A={x0≤x≤3}，B={xx<1或x≥3)，则图中的阴影部分表示的集合为 中 A.{x|1≤x≤3 B.{x1<x<3 C.{x1≤x<3 D.{x|1x≤3} 2.若集合M={(x-y,x十y)川y=2x},则 钓 A.(3,-1)∈M B.(-1,3)∈M 啟 C.(-1,2)∈M D.(2,-1)∈M p 3.设a,b∈R,则“2=2”是“a2=”的 北 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数f(x)的定义域是[-1,4]，则函数Cx+) Vr-l 的定义域是 A.(1,5] B.(1,4] C.[1,3] D.(1,3 -x2-a.x-5,x≤1， 5.已知函数f(x)= 且对任意≠，都有f)二f>0,则a的取值范 x>1, a x1一x2 围是 A.(-∞，-2) B.(-o∞，0) 器 母 C.(-3,-2] D.[-3,-2] 6.已知fx)=2x-x+1,a=flog3),6=f(2)c=flog2,则下列不等式成立的是 A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b 高一数学试题（附中版）第1页（共6页） 7.已知函数f(x)对任意x1,x2∈R,总有(x1一x2)[f(1)一f(x2)]>0.若存在x∈(a一1，a)使得不 等式f(3a一x)≤f(x+a)成立，则实数a的取值范围是 A.[-1,2] B.[0,1] C.(-o∞，0)U(1,+o∞) D.(-o∞，-1]U[2,+∞) 8.已知函数f(x)是定义在(0，+o∞)上的增函数，当n∈N时，f(n)∈N“.若ff(n)]=3m,其中 n∈N°，则f(4)= A.4 B.5 C.7 D.8 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知甲、乙两城相距80km,两个旅行者分别骑自行车和摩托车从甲城到乙城，他们所行驶的路程 和时间的函数关系如图所示，有人根据此图，提出了如下观点，其中正确的观点有 ↑路/M 托 自行车 201 10 0 2344,556时间h A.骑自行车者和骑摩托车者都是变速运动 B.骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h C.骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者 D.骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样 10.已知幂函数fx)=(m-1)r的图象经过点(8，)，下列结论正确的有 A.m=2 B.f(0)=0 C.f(.x)是偶函数 D.若f3-2)>fx+1),则x∈（号，4） 11.用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[一1.2]=一2，[1.5]=1.已知f(x)=x+[x],则 Af号)=号 B.f(x)为奇函数 C.Hx1>x2,都有f(x1)>f(x2》 Dy=fx)与y=号x-1图象所有交点的横坐标之和为4 高一数学试题（附中版）第2页（共6页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）》 12.elh 5-log2 3 logs4+1g 200+1g 5=. 18.已知两个正实数，y,满足x十y=1,且不等式十号≤m㎡一2m有解，则实数m的取值范围是 14.已知函数f(x)为[-1,1]上的奇函数，函数g(x)=x2-4x+3,若g(f(x)在[一1,1]上的值域 为[-1,15]，则f(x)在[-1,1]上的值域为 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分) 已知函数f(.x)=x2一bx十b-1,b∈R. (1)求集合M={xf(x)≥0}： (2)设N={xx∈C.M,x∈Z,若N中恰好有2个元素，求实数b的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知函数x)-是定义在区间（一2,2）上的奇函数，且-号 (1)求a,b: (2)判断f(x)在区间（一2,2）上的单调性，并用定义证明： (3)解关于t的不等式f(t一1)十f(t)<0. 高一数学试题（附中版）第3页（共6页） 17.(本小题满分15分) 已知函数f)2生g()=2-4r+6 (1)当a=1时，求f(x)在区间[1，十o)上的最小值： (2)若Vx1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使得f(x2)-g(),求实数a的取值范围. 高一数学试题（附中版）第4页（共6页） 18.(本小题满分17分》 对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1一 污物质量 物体质量（含污物）)为0.8，要求清洗完后的清洁度为0.99.有两种方案可供选择，方案甲：一次 清洗；方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为α(1≤≤3). 设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是十0,8(x>a-1),用y单位质量的水第二次清洗 x+1 后的清洁度是y—二，其中0.8<c<0.9)是该物体初次清洗后的清洁度。 (1)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少： (2)若采用方案乙，当α为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小？ 高一数学试题（附中版）第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函 数y=f(x)的定义域为D,若对Hx∈D,都有f(2一x)十f(x)=2,则称函数f(x)为中心对 称函数，其中(m,m为函数f代)的对称中心，比如，函数y=+1就是中心对称函数，其对称中 心为(0,1).且中心对称函数具有如下性质：若(m,)为函数f(x)的对称中心，则函数y=f(x+ m)一n为奇函数 (1)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，且当x>1时，f(x)=x(x十1)， 求f(0),f(1)的值， (2)已知函数八)=十十3为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明： 1 3)求数组(a,b,c)的个数，其中-2024≤a<b<c≤2024.a,6,c∈Z,且g(x)=+F 十。十6十十为中心对称函数 高一数学试题（附中版）第6页（共6页） 湖南师大附中2024－2025学年度高一第一学期期中考试 数学参考答案 一、二、选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答 案 C B A D D A C C BC AC ACD 6.A　【解析】由于f是定义在R上的偶函数，所以有f(－x)＝f(x)， 所以a＝f＝f＝f， 当x>0时，f(x)＝2x2－x＋1在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， 因为1<＝log22<log23，<＝log3<log32<1，所以<log32<<log23， 所以f<f<f，即c<b<a. 故选：A. 7．C　【解析】由已知，函数f(x)在R上是增函数，且f(3a－x)≤f(x＋a2)，所以3a－x≤x＋a2，即3a－a2≤2x，又存在x∈(a－1，a)使得不等式3a－a2≤2x成立，故3a－a2<2a，解得a>1或a<0.故选：C. 8．C　【解析】依题意有f≥1，从而f≥f，即f≤3，所以1≤f≤3. 若f＝1，得f＝f，所以f＝3，矛盾． 若f＝3，得f＝f，所以f＝3，这与f是(0，＋∞)上的增函数矛盾． 所以f＝2. 所以f＝f，得f＝3； 所以f＝f，得f＝6； 所以f＝f，得f＝9. 因为f<f<f<f，且f，f∈N*，从而f＝7，f＝8.故选：C. 9. BC　【解析】骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线段，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线段，所以是变速运动，A不正确；由时间轴上，自行车、摩托车对应函数的起止点所对应的时间值，知B正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，结合图象知C正确；由C知，骑摩托车者在出发1.5 h后追上自行车，而它们的车速不同，D错误．故选：BC. 10．AC　【解析】m－1＝1，m＝2，故A正确； 由f(8)＝8α＝，得α＝－，所以f(x)＝x－＝，所以f(0)无意义，故B项错误； f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故C项正确； 因为f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，所以由f(3－2x)>f(x＋1)，得|3－2x|<|x＋1|， 即(3－2x)2<(x＋1)2，且解得<x<4且x≠，故D项错误．故选：AC. 11．ACD　【解析】f＝＋＝＋0＝，A对； f＝－x＋＝－x－－1≠－f(x)，B错； 若x1>x2，则f－f＝(x1－x2)＋([x1]－[x2])， 对于∀x1>x2，都有x1－x2>0，[x1]－[x2]≥0，故f>f，C对； 令x＋＝x－1⇒＝x－1，又x－1<≤x，所以x－1<x－1≤x，可得0<x≤2， 当x＝2时，满足f(x)＝x－1，即2为图象交点的横坐标； 当1<x<2时，f(x)＝x＋1，则x＋1＝x－1⇒x＝，即为图象交点的横坐标； 当x＝1时，f(x)＝2，则2≠－1，故1不为图象交点的横坐标； 当0<x<1时，f(x)＝x，则x＝x－1⇒x＝，即为图象交点的横坐标； 综上，图象所有交点的横坐标之和为2＋＋＝4，D对． 故选ACD. 三、填空题 12．6 13．(－∞，－2]∪[4，＋∞)　【解析】＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立． 因为＋≤m2－2m有解，所以m2－2m≥8，解得m的取值范围是(－∞，－2]∪[4，＋∞)． 14．[－2，2]　【解析】令t＝f(x)，由g(f(x))在[－1，1]上的值域为[－1，15]，可得g(t)的取值范围也为[－1，15]．由t2－4t＋3＝－1，解得t＝2，由t2－4t＋3＝15，解得t＝－2或6，设集合A为函数f(x)的值域，由函数f(x)为[－1，1]上的奇函数，可知∀x∈A，－x∈A，因此由二次函数图象可知，f(x)的值域为[－2，2]． 四、解答题 15．【解析】(1)f(x)＝x2－bx＋b－1＝[x－(b－1)](x－1).1分 ①当b－1>1，即b>2时，由f≥0得x≥b－1或x≤1， ∴M＝{x|x≥b－1或x≤1}.3分 ②当b－1＝1，即b＝2时，f(x)＝(x－1)2≥0恒成立，∴M＝R.4分 ③当b－1<1，即b<2时，由f≥0得x≥1或x≤b－1， ∴M＝或.6分 综上，当b>2时，M＝或； 当b＝2时，M＝R； 当b<2时，M＝或.7分 (2) ①当b>2时，∵∁RM＝(1，b－1)，N中恰好有2个元素， ∴3<b－1≤4，4<b≤5；9分 ②当b＝2时，M＝R，N＝∅，不合题意；10分 ③当b<2时，∵∁RM＝(b－1，1)，N中恰好有2个元素， ∴－2≤b－1<－1，－1≤b<0.12分 综上，b∈[－1，0)∪(4，5].13分 16．【解析】(1)因为函数f(x)＝是定义在(－2，2)上的奇函数， 所以f(0)＝＝0，得b＝0，经检验，b＝0时，f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以f(x)＝是定义在(－2，2)上的奇函数，满足题意， 因为f(1)＝＝，解得a＝1，故f(x)＝.4分 (2)x∈(－2，2)，f(x)在(－2，2)上为增函数.6分 证明如下：在(－2，2)上任取x1，x2，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝， 因为x1－x2<0，4＋x1x2>0，4－x>0，4－x>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－2，2)上为增函数.10分 (3)因为f(x)为奇函数，所以－f(x)＝f(－x)， 不等式f(t－1)＋f(t)<0可化为f(t－1)<－f(t)，即f(t－1)<f(－t)， 又f(x)在(－2，2)上是增函数， 所以 解得－1<t<， 所以关于t的不等式解集为(－1，).15分 17．【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝＝2x＋， 令t＝2x，则由x∈[1，＋∞)，可知t的取值范围为[2，＋∞)， 故原函数可化为y＝t＋(t≥2)，3分 由对勾函数性质，可知y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，因此y＝t＋在t＝2时取到最小值，此时x＝1， 所以当x＝1时，f(x)在[1，＋∞)上取到最小值f(1)＝.6分 (2)依题意，g(x)＝(x－2)2＋2，故当x1∈[1，4]时，g(x)min＝g(2)＝2，g(x)max＝g(4)＝6.7分 因为∀x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f(x2)＝g(x1)， 设f(x)在[1，4]上取值的集合为集合A，则有[2，6]⊆A.9分 当a≤0时，显然有f(x)在区间[1，4]上单调递增，此时f(x)min＝f(1)＝2＋，f(x)max＝f(4)＝16＋， 由[2，6]⊆A，可知解得－160≤a≤0；12分 当a>0时，由基本不等式，f(x)＝2x＋≥2，因此有2≤2⇒0<a≤1， 因为x∈[1，4]时，2x∈[2，16]，故0<a≤1时，f(x)在[1，4]上单调递增， 此时f(x)min＝f(1)＝2＋，f(x)max＝f(4)＝16＋， 由此可得无解.14分 综上，实数a的取值范围为[－160，0].15分 18．【解析】(1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x，z， 则由题意得＝0.99，解得x＝19. 由c＝0.95得方案乙初次用水量为 3，第二次用水量y满足＝0.99，解得y＝4a，所以z＝4a＋3， 即两种方案的用水量分别为19和4a＋3， 因为1≤a≤3，所以x－z＝19－4a－3＝4(4－a)>0，所以x>z，所以方案乙的用水量较少.6分 (2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y， 类似(1)得x＝，y＝a(99－100c)，9分 所以x＋y＝＋a(99－100c) ＝＋100a(1－c)－a－1. 当a为定值时，x＋y≥2－a－1＝－a＋4－1，14分 当且仅当＝100a(1－c)时取等号， 此时，c＝1＋，不合题意舍去，或c＝1－∈(0.8，0.99)， 将c＝1－代入x＝，y＝a(99－100c)， 得x＝2－1>a－1，y＝2－a. 所以c＝1－时总用水量最少，16分 此时第一次与第二次用水量分别为2－1和2－a，最少总用水量为－a＋4－1.17分 19．【解析】(1)由已知，f(2－x)＋f(x)＝4，令x＝0，得f(2)＋f(0)＝4，又f(2)＝6，故f(0)＝－2，2分 令x＝1，得2f(1)＝4，故f(1)＝2.3分 (2)对称中心为(－2，0)，4分 证明：函数f(x)的定义域为{x|x≠－1且x≠－3}，关于点(－2，0)对称， 由已知f(－4－x)＋f(x)＝＋＋＋＝＋＋＋＝0， 故对称中心为(－2，0).8分 (3)先证明对实数a≤b≤c≤d≤f，若函数f(x)＝＋＋＋＋为中心对称函数，则a＋f＝b＋d＝2c，且对称中心为(－c，0)， 事实上，一方面，由f(x)为中心对称函数知，其定义域{x|x≠－a，－b，－c，－d，－f}也必然对称，故对称中心必为(－c，0)，且a＋f＝b＋d＝2c， 另一方面，f(－2c－x)＋f(x)＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝0， 故命题得证.11分 由已知g(x)＝＋＋＋＋为中心对称函数，及－2024≤a<b<c≤2024，a，b，c∈Z， 若对称中心为(－1，0)，则必有－c≤－3<0＝－b<－a，且a＋c＝2， 故a＝2－c(c≥3)，b＝0，共2022个数组符合题意；12分 若对称中心为(－2，0)，则必有－c≤－4<－3＝－b<－a，且a＋c＝4， 故b＝3，a＝4－c(c≥4)，共2021个数组符合题意；13分 若对称中心为(－a，0)，则必有－c<－b<－a<－2，且b＋2＝2a，c＋1＝2a， 故b＝2a－2，c＝2a－1，2<a≤1012，共1010个数组符合题意；14分 若对称中心为(－b，0)，则必有－c<－b，－2≤－b，－b≤－1，故b＝1或2，检验均不符合题意；15分 若对称中心为(－c，0)，则必有－1<－c<－b<－a，且b＋1＝2c，a＋2＝2c， 从而b＝2c－1，a＝2c－2，－1011≤c<1，故共有1012个数组符合题意.16分 综上，共有2022＋2021＋1010＋1012＝6065个数组符合题意.17分 学科网（北京）股份有限公司 $$湖南师大附中2024-2025学年度高一第一学期期中考试 数学参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D A C C BC AC ACD 6.A【解析】由于f(x)是定义在R上的偶函数，所以有f(一x)=f(x), 所以a=f(og3）=f(-1og3)=f(log3), 当x>0时，f(x)=2x2-x+1在(0，)上单调递减，在(，十o∞)上单调递增， 周为1K号=log22<1og3,号-=logv5<og2<1,所以6g,2<号<og3, 所以flog2)<f(2)<flog3),脚c<<a, 故选：A 7.C【解析】由已知，函数f(x)在R上是增函数，且f(3a一x)≤f(.x十a2),所以3a一x≤x十a,即3a一a2≤2x, 又存在x∈(a一1，a)使得不等式3a一a2≤2x成立，故3a一a2<2a,解得a>1或a<0.故选：C. 8.C【解析】依题意有f(1)≥1，从而f[f(1)]≥f(1),即f(1)≤3，所以1≤f(1)≤3. 若f(1)=1,得f汇f(1)]=f(1),所以f(1)=3,矛盾. 若f(1)=3,得f[f(1)]=f(3),所以f(3)=3,这与f(x)是(0，十∞)上的增函数矛盾. 所以f(1)=2. 所以f汇f(1)]=f(2),得f(2)=3: 所以f[f(2)]=f(3),得f(3)=6: 所以f[f(3)]=f(6),得f(6)=9. 因为f(3)<f(4)<f(5)<f(6),且f(4),f(5)∈N·,从而f(4)=7,f(5)=8.故选：C. 9,BC【解析】骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线段，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程 与时间的函数图象是折线段，所以是变速运动，A不正确：由时间轴上，自行车、摩托车对应函数的起止点所对 应的时间值，知B正确：两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，结合图象知C正确：由C知，骑摩托车者在出发 1.5h后追上自行车，而它们的车速不同，D错误.故选：BC 10.AC【解析】m-1=1,m=2,故A正确： 由8》=9=品得。=一青所以==方所以0)无意义，故B项错送 -)一京=，所以)是锅品数，故C项正商 因为f(x)是偶函数，且在(0，+o○)上单调递减，所以由f(3-2x)>f(x+1),得3-2x<|x十1|， 即8-2r<十，且B0解得号<4且≠号故D项辑说.故选：AC x+1≠0， 11.ACD 【解折1（号）-号+[号]-号+0=号A对： f(-x)=-x十[-x]=-x-[x]-1≠-f(x),B错： 若x>x2,则f(x)-f(x)=(x1-x2)+([x1]-[x]), 对于Vx1>x2,都有1-x2>0,[x]-[x]0,故f(x1)>f(x2),C对： 令x+[]=号x-1p[]=号x-1,又x-1<[]<,所以x-1<号x-1长，可得0<r≤2， 当x=2时，满足)=号-1，即2为图象交点的横坐标： 当1<<2时，)=x十1，则x+1=号-1→=青即号为图象交点的横坐标： 高一数学（附中版）参考答案一1 当x=1时，x)=2,则2≠号-1故1不为图象文点的横坐标： 当0<r<1时)=，则x=多-1>=号即号为图象交点的精坐标： 等上，图象所有交点的碳坐标之和为2十音十号-4，D对 故选ACD, 三，填空题 12.6 13.(-,-2U[4,十∞)【解桥+子=1士2+号=4++>≥4+2，√·号 4y.工=8， y y 当且仅当=号，即=号y=宁时，等号成立 y 因为4+二≤m2-2m有解，所以m2-2m≥8，解得m的取值范国是(-0，-2]U[4,十o○). x y 14.[-2,2]【解析】令t=f(x),由g(f(x)在[-1,1]上的值域为[-1,15]，可得g(t)的取值范围也为[-1， 15].由t产-41十3=一1，解得t=2,由-41+3=15，解得1=一2或6，设集合A为函数f(.x)的值域，由函数 f(x)为[一1,1]上的奇函数，可知Hx∈A,-x∈A,因此由二次函数图象可知，f(x)的值域为[-2,2]. 四、解答题 15.【解析】(1)f(x)=x2-hx十b-1=[x-(b-1)](x-1). …1分 ①当b-1>1,即b>2时，由f(x)≥0得x≥b-1或x≤1， M={xxb-1或x≤1〉.… …3分 ②当b-1=1,即b=2时，f(x)=(x-1)≥0恒成立，∴.M=R. …4分 ③当b-1<1,即b2时，由f(x)≥0得x≥1或x≤b-1, M={xx≥1或x≤h-1.… …6分 综上，当b>2时，M={xx≥b-1或x≤1}： 当b=2时，M=R: 当b<2时，M={xx≥1或x≤b一1}.… 7分 (2)①当b>2时，，CM=(1,b-1),N中恰好有2个元素， 3b-1≤4,4b≤5；… …9分 ②当b=2时，M=R,N=☑，不合题意：… 10分 ③当b<2时，，CRM=(h-1,1),N中恰好有2个元素， .-2≤b-1<-1,一1b0. 12分 综上，b∈[一1,0)U(4,5].… 13分 16.【解折11)因为品数f)=学是定又在(-2.2上的奇高数。 所以0)-冬-0，得60，经检验60时，-)一学- 2ax 4-x2 =-f(x), 所以)=是定义在（一2,2）上的寺画数，满足题意， 国为f0)-台-号解得a=1,故f)=2 2x …4分 (2)x∈（一2,2），f(x)在（一2,2）上为增函数.…6分 证明如下：在（一2,2）上任取x1,x2,且x1<x2, 则))-2 因为1一2<0,4+x1x2>0,4-x>0,4-x号>0， 所以f八x1)一f(x)<0,即f()<f(x2),所以f(.x)在（一2,2）上为增函数.…10分 (3)因为f(x)为奇函数，所以一f(x)=f(一x), 不等式f(t-1)+f(t)<0可化为f(t-1)<-f(t),即f(t-1)<f(-t), 又f(.x)在（一2,2）上是增函数， 高一数学（附中版）参考答案一2 t-1<-t, 所以-2<t-1<2, 2<-t<2, 解得-11< 所以关于1的不等式解集为(-1，号)： 15分 1.【解标1音a=1时，)=生=2十 1 令t=2,则由x∈[1，十o∞)，可知t的取值范国为[2，十∞)， 故原函数可化为y=1什（≥2），… …3分 由对勾函数性质，可知y=1十在[2，十∞)上单调递增，因此y=十}在1=2时取到最小值号，此时x=1, 所以当x=1时，)在[1，十∞)上取到最小值)= ,…6分 (2)依题意，g(x)=(x一2)2+2，故当x1∈[1,4]时，g(x)m=g(2)=2,g(xmx=g(4)=6.…7分 因为Hx1∈[1,4幻，总存在x2∈[1,4]，使得f(x2)=g(x1), 设f(x)在[1,4们上取值的集合为集合A,则有[2,6们二A.…9分 当a<0时，显然有f(x)在区间[1,4]上单调递增，此时fx)m=f1)=2+号，f(x)=(4)=16+号， 2+号<2， [2,6]二A.可知16+4≥6.解得-160≤a≤0；…- 12分 a≤0， 当u>0时，由基本不等式，)=2+是≥2a,因此有2a<20<a<1, 因为x∈[1,4]时，2∈[2,16]，故0<a≤1时，f(x)在[1,4]上单调递增， 此时fx)m=f1)=2+台，fx)m=f4)=16+品6 2+号<2. 由此可得16+号≥6，无解 …1分 a>0. 综上，实数a的取值范围为[一160,0们.…15分 18.【解析】(1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x,z, 则由题意得十08=0.99，解得x=19. x+1 由c=0,95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足y十0.95a=0.99,解得y=4a,所以=4十3， y十a 即两种方案的用水量分别为19和4a十3， 因为1≤a≤3，所以x一x=19一4a一3=4(4一a)>0,所以x>心，所以方案乙的用水量较少.…6分 (2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y, 5c-4 类似（1)得x50=-dy=a(99-100c.…9分 所以x+y普高十a(09-100 51-。+100a1-c)-a-1. 当a为定值时x+y≥2√5-0100a（1-c)）-a-1=一a+4yV5a-1,…14分 1 当且仅当5d-。-100a1-c)时取等号， 高一数学（附中版）参考答案一3 此时，c=1十1，不合题意含去，或c=1-1∈（0.80.99). 10√5a 10√5a 将c=1 ,5c-4 一代入x=51-y=a(99-100c). 105a 得x=2√5a-1>a-1,y=2V5a-a. 所以C=1一1时总用水量最少，…16分 10√5a" 此时第一次与第二次用水量分别为2√5a一1和2√5a一a,最少总用水量为一a十4√5a一1.…17分 19.【解析】(1)由已知，f(2-x)+f(.x)=4,令x=0,得f(2)十f(0)=4,又f(2)=6,故f(0)=-2,…2分 令x=1,得2f(1)=4,故f(1)=2.…3分 (2)对称中心为（一2,0），…4分 证明：函数f(x)的定义域为{xx≠一1且x≠一3}，关于点（一2,0）对称， 由已知-4+)=十-4+h十十+0， 故对称中心为（一2,0）.…8分 3)先运明对实最a<,若画数f)-十。十b十十e十十a十为中心时称画最，则a叶 f=b十d=2c,且对称中心为（一c,0), 事实上，一方面，由f(x)为中心对称函数知，其定义域{xx≠一Q,一b,一c,一d,一f}也必然对称，故对称中心 必为(-c,0),且a十f=b十d=2c, 1 1 +1 另-方面，f-2x-)+f)=-2-x+a+-2x-x+b+-2-x+e+-2-x+a十-2-x+f十+a 1+1+1 =0. 故命题得证，…1们分 南已知g)=+2a十十6十为中心对称画载，及-2024<a<K<202a6cEZ。 若对称中心为（一1,0），则必有-c≤一3<0=一b<一a,且a十c=2, 故a=2一c(c≥3)，b=0,共2022个数组符合题意；…12分 若对称中心为（一2,0），则必有一≤一4<一3=一b<一a,且a十c=4, 故b=3,=4一c(℃≥4)，共2021个数组符合题意；…13分 若对称中心为（一a,0),则必有-c<一b<-a<一2，且b十2=2a,c十1=2a, 故b=2a一2，c=2a一1,2<a≤1012，共1010个数组符合题意；…14分 若对称中心为（一b,0),则必有一c<一b,一2≤一b,一b≤一1，故b=1或2，检验均不符合题意：…15分 若对称中心为（一c,0),则必有-1<一c<一b<一a,且b十1=2c,a十2=2c, 从而b=2c-1,a=2c-2,一1011≤c<1,故共有1012个数组符合题意.…16分 综上，共有2022十2021十1010十1012=6065个数组符合题意.…17分 高一数学（附中版）参考答案一4■■■■■■■■■■■■■■■ 湖南师大附中2024-2025学年度高一第一学期期中考试 请在各卷日的容图区城内器，相出想色拒形边根限定区域的馨案无装 裤准各超目的暑区内作靠，出属色E影边限地区城的香案无效 数学答题卡 15,11分) 16(15 贴条形科区 口←线表该有考手料：到脑写线博单目节裤体. 建裤填串料朝■ 透异题（请用卫昌笔填常） ◆ 团面西定 可 mm四 D 品 品 品 傅送择惠请用0，音米黑色鼎水整字笔书 12 13 14 考生请勿在此区域内作答 请在器题目的的惠区线内作答，想尚国色更形必框用见区线的的案无划 请在答远耳的答随区域内作答，和山黑色电书边师限定区线的答案无教 事在各海日的济惠义统纳作格，冠出新色毛对过果定区物答家无效 请在各超日的答题三城内出答。随出男色形边果心域的容案无效 请在各卷日物存居区城内行荐，相出想色距形边根限定区域的答案无装 裤准各超目的暑区内作靠，出属色E影边限地区城的香案无效 17.H5分) 1017分别 9.t7分0 请在各想日的溶唐<域内作落。糙用所色更眼山和果定区域的容室无效 请在答远日的答题区域内作答，和山黑色单书边师用定区域岭答案无效 事在各想日的济惠义统纳作整：冠出新色无对过果定区的答家无效