模块高考水平测试-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 为=+m… 6B提示：将直线方程)一十2代入椭调方程号+号 3 3 1,消去y,可得(2+3k).z2+12kx+6=0, 所以kA十km= -1中x-1 ∴.△=144k2-24(2+3)=72k2-48. =.十(m-2)(十)-2m十3 ,直线和椭圆有交点，.72k2一48≥≥0. xx:一(+)+1 将①代入上式得kpm十k阳=0， 故kA十km的值为O, 7,C提示：因为点D在直线OC上运动，所以可设点D (3)由椭圆方程号+芳=1可知，Q点的坐标为0尽. 的坐标为(a,a,2a),则DA=(1-a,2-a,3-2a),Di (2-a,1-a,2-2a),Di.Di=(1-a)(2-a)+(2 因为以EF为直径的圆恰好经过Q点，所以QE⊥QF a)(1-a)+(3-2a)(2-2a)=6a2-16a+10. 结合椭圆特征可知直线EF的斜率存在， 不妨设直线EF的方程为y=k.x+b,且b≠3，E(x, 所以a=专时D·D成跟最小值，最小值为一号，此时 3为)，F(4y. (y=kx+b. 点D的坐标为（号，子·）： +y=,可得(4k+3).x+8kx+4G一12=0 8.A提示：设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长 为aa(a1>d:),半焦距为c,则F1F2=2c. 由△=(8kb)2一4(4+3)(4-12)>0可得F< 设PF,=n,PF=,椭圆的离心率为，双曲线 4十3.由根与系数的关系可知， 的离心率为，不妨设n>n,在△FPF中，由余弦 ra十4= 青 ② 定理得4=片+片-2n方cos晋=斤+疗-nn: 因为QE=(x,为-3).QF=(x4,y-3),为 n+r=24, k+b,y=kx十b, 由椭圆和双曲线定义可得 n-r2=2a2 所以Q迹.亦=五十（一3）(y一3)=(+1)· n=a1十dg, x3x十(b-3)(+x)+(h-√3)2=0， 1+1-=4+@g=n c r=a1-a2. 将@代人上式并化简可得6=一写， 4斤 4 故直线EF的方程为y=k:一写， 则直线EF必过定点(0.-）。 从面直线EF经过定点，定点坐标为(0，一号）。 模块高考水平测试 )号（日+）= 9.ACD提示：由题意可知，直线1与直线4：2x一y+3=0 1.B2.D3.A4.A 的倾斜角互补，所以直线1的斜率为一2，故A正确： 5.D提示：由题意得△PFF是直角三角形，设P= 直线1过点P(-1,1),则直线1的方程为y一1= m,PF1=由勾股定理得(2c)2=m+=(m -2(x+1),即2.x+y十1=0，则直线41,1与x轴的交 n)8+2mu=4a+4ae,∴.c2-a-a2=0. ∴.e2-e-1=0. 点分别为(-号0），(（-20），两直线交点为(-1， “c>1,e=E+l 21 1D,所以所围成的等腰三角形的面积为号×（一号十 54 参考答案与提示收超 受）×1=合故B错误： 不唯一). 直线I关于原点对称的直线方程为2.x十y一1=0，故C 1&26,4e 提示：以D为原点，DA,DC,DF所在 正确： 直线分别为x轴y轴、之轴建立如图所示空间直角坐 原点到直线1的距离为出专故D正角 标系，则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0), √2+下 E(2,4,1),C(0,4.3). 10.ABD提示：由题意得，圆心为C(1,2),半径r=√2，C 到直线1的距离为1+2+1=22 设切线长为d1,d=√MC-2≥√6，故A正确： S=2S6w≥2×6X2=25,放B正确： 设F(0,0,a),由AF=EC,得(-2,0a)=(-2,0, 2 M亦.M液=(C市-Ci(C-CM)=(市-C· 2),a=2,∴F(0,0,2),∴BF=(-2,-4. (-立-GM=C--心-2>6.故C不正确： 2),∴.BF1=√/(-2)2+4+2=26. 设M(m,n),则n=一m一1，切点弦AB的方程为 设平面AECF的法向量为n=(x,y,x), (m-1)(.x-1)+(n-2)(y-2)=2,将n=-m-1代 又AE=(0.4.1).A=(-2.0,2). 人，整理得m(.x-y十1)-(x+3y-)=0, 「n…A正=4y十=0， n.AF=-2r+2x=0, x-y+1=0, 由 解得 x+3y-5=0, 3 令x=1得y=-=1,n=(1,-）】 y=2 CC=(0,0,3),点C到平面AECF的距离 即直线AB恒过点（分，），故D正确。 d=远m-3=4v愿 n 33 11 山.BD提示：不妨设稀圆的方程为后+芳=1>0， 4 设P(x,%)(-a<<a),A(-a,0),B(a,0),则 提示：如图，当双曲线的方程为一y=a2,在 Q(n,0),所以PQ=话，AQ=+a,BQ=a一， y=h处，双曲线与其渐近线绕y轴旋转一周所形成 所以M=daa+说。兰 的图形是圆环， 其中小圆环的半径r即h,则小圆面积为S,=h,大 F、尽 圆半径为R,则R-h=a2,解得R=√a+h,所以 大圆的面积为S=πR=π(a+)'=π(a2+h), 因为M为定值，所以M的值与P点在椭圆上的位置 故圆环的面积为S=S一S=a2,为定值. 无关，故A不正确，B正确： 所以由祖暅原理可知，等轴双曲线与其渐近线、直线 因为椭圆的离心案=台=得=V。 a y=士4绕y轴旋转一周所形成的几何体体积V:与 底面半径为a=4,高为2a=8的圆柱体体积V:一 √1-M, 所以M的值越大，椭圆的离心率越小，故C不正确， 致，而球体体积=2·2号-号V D正确， 所以V=Vu,V=号V,即VtV:=号 12.x2=16y(答案不唯一.提示：因为抛物线C经过第 二象限，所以可设其标准方程为x=2py(p>0)或 y=一2p.x(p>0),又焦点到准线的距离大于4，所以 p>4,所以可取抛物线的标准方程为2=16y(答案 55 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 15.(1)设圆心坐标为C(a,b),半径为r. 因为圆心C在直线2x一y=0上，所以2a=b cos 0= AG.CE 2 ,所以异面直线AG IAGIICEI 又圆C与y轴相切于点(0,2)，所以b=2,a=1,r 22 a一0=1，所以圆C的圆心坐标为C(1,2).r=1,则 和CE所成角的余弦值为导， 圆C的方程为(x-1)”+(y-2)=1. 17.(1)由AB⊥AC,AB=AC=2得△ABC为等腰直角 (2)选择条件①.因为∠ACB=120,1CA=CB1= 三角形. 1,所以圆心C到直线1的距离d=|CA·cos60°= 又四边形ABCD是直角梯形且∠ADC=90°，AD∥ 合期=智-宁解得m=1生要 BC. /十1 ∴.∠CAD=∠ACB=45. 选择条件②，因为AB=√3，CA=CB=1, :∠ADC=90°，故△ACD为等腰直角三角形. 由垂径定理可知圆心C到直线1的距离d= ∴.AD=DC=ACcos45°=1，BC-2. .AE=2ED.CF=2FB, 则d1智-号：解得m=1生 √/1+1 21 ∴AE=号AD=号，FB=3BC=号 选择条件@.因为CiC市-之 又AD∥BC,即AE∥FB, .AEFB为平行四边形，则EF∥AB. 所以Ci·C·os∠ACB=一 又AB⊥AC,故EF⊥AC, 又CA=CB=1.故∠ACB=120°， 由PA⊥底面ABCD,EFC平面ABCD.得PA⊥EF, 又PA∩AC=A,.EF⊥平面PAC, 所以圆心C到直线1的距离d=CA|·cos60°=之， 而EFC平面PEF,∴.平面PEF⊥平面PAC 则d1法0=号，解得m=1士号 (2)如图1，设G是BC的中点，连接DG,由(1)易知四 1+1 边形ADGB为平行四边形.∴.BA∥GD,而BAC平 16.1)因为花·花=(E+AG·A店=（-号A店+ 面PAB,GD文平面PAB,即GD∥平面PAB, ∴.D到平面PAB的距离即为G到平面PAB的距离. 2A花+号A市)·A游=-号A游+2A花.A丽+ ,PA⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, .PA⊥AC,又AB⊥AC,AB∩PA=A, 2ad.Ai=-2×+是×1×1×号+号×1× 故AC⊥平面PAB. 设H为AB的中点，连接GH,则GH∥AC,故GH⊥ 1x-0, 平面PAB.又∠ABC=45,.G到平面PAB的距 所以E式⊥AB.所以EG⊥AB. 离为GH=AC=号.即D到平面PAB的距离为号 (2易知衣-1-号， 则.花=号(C+A)·号(Ci+成)=· (-心+AC.C+A市.C+AD·CB) [-AC+A心.+亦.Ci+AC+C市).C M }×[-1+1×1×(-)+1×1×(-)+1× 图1 图2 (3)由(2)可知直线PC与平面PAB所成角的平面角 1×(-）+1x1x]=-吉 为∠CPA.则∠CPA=45.则am∠CPA=S=1. 设异面直线AG和CE所成的角为0(0<0<受)，则 .AP=/2. 56 参考答案与提示收超 如图2，过点A作AM平行于DC,交BC于点M,构建 所以IMFIINFI=2+EX2vF+D=4X 以A为原点，AM,AD,AP分别为x轴y轴、x轴正方 向的空间直角坐标系， 法若=4（信+）≥4x2V因·1=8 ∴A0.0,0.B.-1.0.C1.1.0.E(0.号0 当且仅当方=k,即=士1时，等号成立， P(0,02). 所以MF1INF的最小值为8. P=(0,号-2)成=(-1，号0) 19.(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0).由题意可知FF| 设m=(a,b,c)是平面PBE的法向量， =2√2，由△PFF:的周长为4+22，可得PF|+ 庇m=号6-Ec=0, PFz=4+2、2-2√2=4.即2a=4,即a=2,所以 则 成·m=号a=0, :=。2-=2,所以椭圆的标准方程为千+苦-1 令b=3,得m=(5,3w2). (2)设M(xy),由题意知F1(一2,0)，F(2,0), 由(2)知，AC=(1,1,0)是平面PAB的一个法向量， 0osd.m=交m=822 所以中尼产尼 ACm2X√36 3 所以亡2 六当二面角4PBE的余弦值为2号时，直线PC与 又号-苦=1，故了=-2.所以6=1， 平面PAB所成的角为45° 即，的乘积为定值。 18.(1)因为抛物线C上的点到准线的最小距离为1， (3)依题意可知直线【的斜率存在，设其方程为y一 所以号=1，解得p=2, k(x十4)，设A(x3当)，B(z,2), 所以抛物线C的方程为y=4x y=k(x十4)， (2)由(1)可知焦点为F(1,0), 联立王 由已知可得AB⊥CD, 所以直线AB,CD的斜率都存在且均不为0. 消去y,得(1+2k2)x+16kx+32k2-4=0. 设直线AB的斜率为k,则直线CD的斜率为一冬， 所以△=(16k2)2-4×(1+2k2)×(32k一4) =16(1-6k2)>0. 所以直线AB的方程为y=k(:x一I). 16k2 y=k(x-1), 十和= 1+2服0n=32- 1+2k2 由 消去x得ky2一4y一4k=0, y2=4x 由A0=Q5,得-4-x1=(2十4). 设点A(),B(x),则十业=方： 解得1=一4十 十4 设M(xM:yw)为弦AB的中点， 设R(%),由A求-一范， 则w=（十为)=是 得u一x1=一A(一6)， 由w=w-1D.得=兴+1=是+1， 所以和=马二超_ + 1一λ 1+4 所以点M是+1，）》 x+4 =2x+4(.十) 同理可得V(2k+1,一2k). ++8 所以1NF=√(2k+1-1)+(一2k) 所以和= x+4x(-】 16k2V =2√(k+1D, 16k2 M-√（是+1-）+（吴）-2E 1+2+8 2 故点R在定直线x=一1上运动. 57模块高考水平测试 模块高考水平测试 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 么若直线)=红+2和椭测写+苦=1有交 符合题目要求的) 点，则k的取值范围是( 1.直线√3x+3y一2=0的倾斜角等于( A心成-G 3 A.30° B.150°C.120°D.60 2.若直线l1:ax十(1一a)y-3=0与直线l2: B公 或≤-6 3 (a-1)x+(2a+3)y-2=0互相垂直，则a 的值是( 3 3 A.-3 B.1 C0或-号 D.1或-3 7.已知A(1,2,3),B(2,1,2),C(1,1,2),O 3.过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆 为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当 的方程是( ). DA.DB取最小值时，点D的坐标为() A.x2+y2-7.x-3y+2=0 B.x2+y2+7x-3y+2=0 A(停》 C.x2+y2+7x+3y+2=0 a(含含》 D.x2+y2-7.x+3y+2=0 4.若圆(x一3)2+(y十5)2=2上有且只有两 c(哈》 个点到直线4x一3y一2=0的距离等于1， 则半径r的取值范围是(). n(号》 A.(4,6) B.[4,6) 8.已知F,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P C.(3,5) D.[3,5) 是它们的一个公共点，且∠FPF:=哥，则 瓦设5B是双商线若-苦 =1(a>0,b>0) 椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大 的左、右焦点，点P在双曲线上，若PF· 值为( PF=0,且1PF1IPF2|=2ac(c为双曲线 A43 3 B23 C.1 D.2 3 的半焦距)，则双曲线的离心率为(). 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18 A.+2 B.3 2 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 C.2 D.1+5 2 分，有选错的得0分) 191 更难点手细高中数学选择性必修第-册RUA 9.已知直线l过点P(一1,1)，且与直线1： 准线的距离大于4，则满足条件的C的标 2x一y十3=0以及x轴围成一个底边在x 准方程为 .(写出一个即可) 轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是 13.如图所示的多面体是由底面为ABCD的 (). 长方体被截面AEC1F所截而得到的，若 A.直线！与直线1的斜率互为相反数 AB=4,BC=2,CC=3,BE=1,BF= B.所围成的等腰三角形面积为1 ,点C到平面AECF的距离为 C.直线I关于原点对称的直线方程为2x+ ,(本题第一空2分，第二空3分) y-1=0 D原点到直线1的距离为写 10.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,点M是 直线I:y=一x一1上的动点，过点M作 14.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖 圆C的两条切线，切点分别为A,B,则下列 暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既 说法正确的是( 同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几 何体的高，意思是两个同高的立体，如在等 A.切线长MA的最小值为√6 高处截面积相等，则体积相等.满足x2+ B.四边形ACBM面积的最小值为2√3 C若PQ是圆C的一条直径，则M.M夜 y2≤16的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转 一周所得旋转体的体积为V1,由曲线x2 的最小值为7 y=16,y=士x,y=士4围成的图形绕 D直线AB恒过点（合·》 y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2,则 11.十七世纪法国数学家费马在《平面与立体 V1:V2= 轨迹引论》中证明，方程a2一x2=ky2(k> 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写 0,k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是 出文字说明、证明过程或演算步骤) 椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P 15.(13分)已知圆C的圆心在直线2.x一y=0 (异于A,B两点)向长轴AB引垂线，垂足 上，且与y轴相切于点(0,2). PQ2 为Q,记M=AQBQ·则下列说法正确 (1)求圆C的方程： (2)若圆C与直线1：x一y十m=0交于A, 的是( B两点 ,求m的值， A.M的值与P点在椭圆上的位置有关 从下列三个条件中任选一个补充在上面问 B.M的值与P点在椭圆上的位置无关 题中并作答：条件①∠ACB=120°；条件② C.M的值越大，椭圆的离心率越大 D.M的值越大，椭圆的离心率越小 1AB=3:条件®Ci.Ci=-2 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个 12.已知抛物线C经过第二象限，且其焦点到 解答计分. 192 模块高考水平测试么型 16.(15分)如图，已知空间四边形ABCD的每 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥ 条边和对角线的长都等于1，E,G分别是 底面ABCD,底面ABCD是直角梯形， AB,CD的中点. ∠ADC=90°，AD∥BC,AB⊥AC,AB= (1)求证：EG⊥AB: AC=2,点E在AD上，且AE=2ED,点 (2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值. F在BC上，且CF=2FB. (1)求证：平面PEF⊥平面PAC: (2)求点D到平面PAB的距离： (3)当二面角APBE的余弦值为多少时， 直线PC与平面PAB所成的角为45°？ 193 更难色手细高中数学选择性必修第-册RUa 18.(17分)如图，已知抛物线C:y=2p.x(p> 1917分已知椭圆G:若+ =1(a>b>0) O)的焦点为F,抛物线C上的点到准线的 最小距离为1. (1)求抛物线C的方程： 的能点，月是等轴双南线G:号一苦 1的顶点，若椭圆C与双曲线C的一个 (2)过点F作互相垂直的两条直线1，l2,l 交点是P,△PFF2的周长为4+2V2. 与抛物线C交于A,B两点，l2与抛物 (1)求椭圆C的标准方程。 线C交于C,D两点，M,N分别为弦 (2)点M是双曲线C2上不同于顶点的任 AB,CD的中点，求|MF|NF|的最 意一个动点，设直线MF,MF的斜率 小值 分别为k1,k2,求证：k1,k2的乘积为 定值 M (3)过点Q(一4,0)任作一动直线1交椭圆 C,于A,B两点，记AQ=λQB(∈R), 在直线AB上取一点R,使得AR= 一λRB,试判断当直线1转动时，点R 是否在某一定直线上运动，若是，求出 该直线的方程；若不是，请说明理由， 194