第2章 直线和图的方程 单元复习归纳-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

参考答案与提示收超 所以PA+P=PA-(-P)1=PA-PB1 从而△ABC的面积S=号1AB·AC≤寸AB BAl. 则PA+P=BA的几何意义就是圆C上任意 +ACP)=BC=AP≤（号+④） 一点A与圆C:上任意一点B:的距离， 所以|PA+Pim=|BA|m=|CCI-3= 25+3石，当且仅当A,O,P三点共线，即点P的坐 2 √(m-4)'+(2m)-3=√5m-8m+16-3= 标为(0,3)时，可取到等号： V(m-)+-8 所以△ABC面积的最大值是5十3√④ 2 根据二次函数的性质可知，当m=专时，Pi+ 单元学能测评 市取最小值，为5-3， 1.A2.D3.D4.A 所以P+P戒1的最小值的取值范围是85-3， 5.B提示：圆C的方程为x+y+4x一4y-3=0,即 .5 (x+2)2+(y-2)2=11.圆心为C(-2,2). +oo） 圆C2:x2+y2-4.x-12=0,即(x-2)2+y=16,圆心 17.(0,0).提示：因为圆C关于直线ax十y一12=0对 为C2(2,0).半径为4，则1CC21=/16+4=25, 称，所以直线ax十by一12=0过圆C的圆心(0,2)，得 故△PC,C的面积最大值为2×25X4=4后. b=6,故动点S在直线y+6=0上.设S(t,-6), 6.B提示：圆C的圆心为C(0,2),半径为r=4. A(1y),B(z),则SA:x+(y一2)(y-2) 因为MA,MB是圆C的两条切线， 16,SB:.x+(w-2)(y-2)=16, 所以CA⊥MA.CB⊥MB.设点M的坐标为(a,一6)， 代入S1,-6),得 11-8y=0, 因为∠MAC=∠MBC=90°， r21-82=0, 所以M,A,C,B四点共圆，且以MC为直径，该圆的方 则直线AB的方程为1x一8y=0, 程为x(x-a)+(y+6)(y-2)=0. 所以直线AB过定点(0,0). 又圆C的方程为x2+(y一2)=16， 18.如图，设B(m,m),C(2,2),P(x,y)为线段BC的 所以两圆方程相减得一ax十8y=0, 中点， 即直线AB的方程为一a.x+8y=0, +=2., 则 ① 所以直线AB恒过定点(0,0). 为+=2y. 7.D提示：依题意3二4y士@+3一4y-9表示 5 5 因为点B,C都在x2+y=25上， 所以x十听=25.② P(x,y)到两条平行直线3x一4y+a=0和3.x一4y x十3戏=25.@ 9=0的距离之和，且与x,y无关，故两条平行直线 3x-4y+a=0和3x-4y-9=0在圆(x-1)+(y 又AB⊥AC,所以x1x2+(y一3)(2一3)=0.① 1)”=1的两侧，画出图象 由②+③十2×④，并结合①可知， '3r4y+a=0 如图所示.故圆心(1,1) ￡+y-3y=8,即x+()）-()月 到直线3.x-4y十a=0的 4y-9=0 所以线段BC的中点P的轨迹是⊙O(如图)，其方程 距离d=13=4+a, -2 5 为+(-)-() 解得a≥6或u≤一4（合去）. 8.D提示：，动点P(xy)满足PO=21PM, 连接AP,PO, ∴.T+y=2·√(x-1D+(y+1), 于是1AP≤1A0+0P=号+④ 2 化简得点P的轨迹方程为C:x2+y一4z十4y十4=0， 27 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 由C-C2得公共弦所在直线AB方程为x一y十a=0. 对于B,过点P且斜率为1的直线为x一y十3=0，则圆 又C:(x-2)+(y+十2)2=4，∴.圆心C(2,-2).半 心0到该直线的距高d=号由圆的半径，弦长的 径n=2.C:(x-)+(y+)=号-a… 半、弦心距满足勾股定理知，弦长为3、2，故B正确。 ∴圆心C(号，-多），半径n√合-a, 对于C,当直线斜率不存在时，圆心坐标为(0,0)，半 径r=3,则圆心(0,0)到直线x=3的距离为3一0= ∴-a>0,即a<，① 3=,符合题意：当直线的斜率存在时，设斜率为k,直 :两圆有两个公共点， 线方程为y-6=k(x一3)，即kx一y一3k十6=0，则圆 ∴.|n-rn<CC|<n+n, 心(0.0)到直线的距离d=一3±6=r=3,解得k √十I 2-v-a<2<2+v合-a 子，则直线方程为3一十15=0，综上，过点P与圆 解得-4-2√2<a<-4+22.② O相切的直线方程为x=3和3x一4y十15=0.故C 又C上至多有3个不同点到直线AB的距离为√2， 不正确。 ∴.C(2,一2)到直线AB的距离d≥2-2， 对于D,由题意知点Q(3,0),设A(y),B(), 易知过点P的直线斜率存在，设为k,则其方程为y一 解得4中a≥2-2 [y-6=k(x-3). 6=k(x-3).联立 .a≥-6+22或a≤-2-2/2，③ x2+y2=9, 得(k+1).x2一6k(k一2)x十9k2一36k+27=0,由根 由①②③得-4-2V2<a≤-2-2√2或-6+2V2≤ a<-4+2v2. 4十n=6kk-2) 1十k 9.CD提示：因为直线1的方程为x十y十1=0，所以当 与系数的关系和判别式得 TI= 9k°-36k+27 x=0时，y=一1，故直线1恒过定点(0，一1)，A错误： 1+k2 当m=0时，直线：y十1=0，斜率k=0,B错误： A>0. 当m=1时，直线l:x十y十1=0，斜率k=一1，故倾斜 所以o十产专十产 角为平，C正确， =k(-3)+64k(.-3)+6 1一3 x-3 当m=2时，直线l:2x十y十1=0，斜率k=一2，ks= 9之，故·kw=-1,直线1与直线AB垂直， =2k+6 6 十—3十n-3 6(x1十x2一6) D正确. =2k+ x-3(.0+n)+9 10.BD提示：设直线1的方程为4x十6y十m=0,m≠一 6.「6k2-6 2且≠一9，直线1到直线11和1：的距离分别为d, 。1+k2 d2. =2k+g=36k+27-3.k2+9 1+k 1+k2 由题意知，d=m+2L 4=m十91 =2k+(一2k一1)=一1.故D正确. √16+36 √/16+36 提示：因为的方程为x十3y+1=0,1的方 因为2=之，所以2m十品=m /16+36√/16+36 程为x十3y一2=0，所以两平行直线间的距离为 即2m+21=m十9，解得m=5或m=-3 31 山-2 1+3 故直线1的方程为4x+6y+5=0或12x十18y-13=0. 11.ABD提示：对于A,点P到圆O上的点的距离最大 提示：由题意知，当a=1时， 值为点P到点O的距离与圆O的半径之和，即 圆C:(x一1)2+y2=1,可得圆心C(1,0),半径r=1, √(3-0)+(6-0)严+3=35+3，故A正确. 则圆心C(1,0)到直线l:y=一x+2的距离d= 28 参考答案与提示收超 是号可得2子-(T- 圆x2+y=1的圆心O到直线'：x-y十4=0的距 离为号=22，过点0与直线1垂直的直线方程为 2 由圆C:(x一a)+(y-a+1)=1,可得圆心C(a,a 1),半径r=1,设P(,%).根据圆的切线长公式，可 y=-,与圆r+y=1的交点为（受-）， 得1PQ12=1PC12-2=(.xo一a)2+(-a+1)2-1, 过点P作PB⊥x轴，如图所示 () y (受，-号）在点M的轨迹上.（一号，号）不在点M 的轨迹上，由图可知点M到直线'距离的最大值为点 (受，-号)到r的距离，即22+1点E(3)到 -x+2 由PB=PAsn∠PAB=号iPA. 直线1的距离为3 2/2 得PA=√2IPB, 设点M到直线[的距离为.则。5≤22+1， 2√2 又|PA=√2PQ,所以1PB=PQ, 即IPBP=PQ12, 又西一为+4+西-w+4=2(西二”+4+ √2 即|%12=(m-a)2+(%-a十1)2-1， 2二业十4 =22d, 结合=一x0十2， √② 整理得x-2xa+2a2-6a十4=0， 所以x一y+4+lxn-为+4|∈(9-3,22+81. 则方程x一2x十2a2-6u十4=0至少有一个实数 15.(1)选择条件①. 根，所以△=(-2)2-4(2x2-6a+4)≥0， 因为直线4-3y十5=0的斜率为：=青，且直线 即2-a+0.解得3，<3. 4x-3y十5=0与直线1垂直， 即实数如的取值范偶是[≥，] 所以直线1的斜率为k=一是。 2」 又直线1过点P(1,一2)，所以直线1的方程为y十2 14.(9-3,22+8].提示：设AB的中点为M(x,y), l:m.x十y十m=0化为y=一m(x十1)，则直线l过定 -r-1D,即3r+4+5=0 点D(一1,0)，所以MD⊥CM,所以点M的轨迹是以 选择条件②. CD为直径的圆在圆C内的圆弧。 因为直线1的一个方向向量为a=(一4,3)， 又C1,0),所以以CD为直径的圆的方程为2+y=1, 所以直线1的斜率为：=一是。 (x-1)2+y2=1, x2+y2=1, 得3)(3，) 又直线1过点P(1,一2)，所以直线1的方程为y+2 所以点M的轨迹方程为x+y=1(7<x≤1)》 -是x-1D.即3x+y+5=0 选择条件③. (如图). 因为直线3十4十2=0的斜率为k=-子，且直线1 与直线3x+4y+2=0平行， 所以直线1的斜率为长=一是 又直线1过点P(1,一2)，所以直线1的方程为y十2= 是-1D.即3x+4+5=0. 29 国 点 手册 高中数学 选择性必修第一册 (2)圆 $$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 5$$ 的圆 到直线 3x+4y+5= 当且仅当 $$- \frac { 4 } { k } = - k ，$$ 即 k=-2 时取等号，所以 0的距离为d $$d = \frac { 5 } { \sqrt { 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } } = 1 ，$$ $$\left( S _ { \triangle M B N } \right) _ { \min } = 4 ，$$ ，此时直线的方程是 2x+y-4=0. 18. (1) 如图，建立平面直角坐标系，设 A(0，2a)，B(0，a)， 设 P，Q 的中点为M，由圆的半径为 $$r = \sqrt 5$$ 可知 M(x，y)， M(x，y)， $$| P M | = \sqrt { r ^ { 2 } - 1 } = 2 ，$$ ，因此 |PQ|=2|PM|=4， 即弦长 |PQ| 为 4. $$\frac { | B M | } { \mu } \le \frac { | A M | } { 2 \mu } ，$$ 16.(1)因为 $$k _ { B } = \frac { 4 - 3 } { 3 + 1 } = \frac { 1 } { 4 } ，$$ ，且直线 $$l _ { 1 }$$ 与 BC 垂直， 得 2|BM|≤|AM|， 即 $$2 \sqrt { x ^ { 2 } + \left( y - a \right) ^ { 2 } } \le \sqrt { x ^ { 2 } + \left( y - 2 a \right) ^ { 2 } } ，$$ 所以直线 $$l _ { 1 }$$ $$k = - \frac { 1 } { k a } = - 4 .$$ 两边平方，整理得 $$3 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } - 4 a y \le 0 ，$$ 所以直线 $$l _ { 1 }$$ 的方程是 y-1=-4(x-1)， $$x ^ { 2 } + \left( y - \frac { 2 a } { 3 } \right) ^ { 2 } \le \frac { 4 a ^ { 2 } } { 9 } ，$$ 即 4x+y-5=0. (2)因为直线 $$l _ { 2 }$$ 过C点，且A，B到直线 $$l _ { 2 }$$ 的距离相 所以M在以 $$\left( 0 ， \frac { 2 a } { 3 } \right)$$ 为心，半径为 $$\frac { 2 a } { 3 }$$ 的圆上及其 等，所以直线 $$l _ { 2 }$$ 与A B 平行或过AB的中点 N 4. 内部， ①当直线 $$l _ { 2 }$$ 与AB平行时，因为 $$k _ { A B } = \frac { 3 - 1 } { - 1 - 1 } = - 1 ，$$ 所以S $$S \left( a \right) = \frac { 4 a ^ { 2 } } { 9 } \pi .$$ 所以直线 $$l _ { 2 }$$ 的方程是 y-4=-(x-3)， y 即 x+y-7=0； A ②当直线 $$l _ { 2 }$$ 过 AB的中点时，因为AB的中点M的坐 B M 标为0，2)，所以 $$k _ { C M } = \frac { 4 - 2 } { 3 - 0 } = \frac { 2 } { 3 } ，$$ ，所以直线 $$l _ { 2 }$$ 的方程 C D 是 $$y - 4 = \frac { 2 } { 3 } \left( x - 3 \right) ，$$ ，即 2x-3y+6=0. (2)设直线AD的方程为 $$l _ { M D ： } y = k x + 2 a \left( k e 0 \right) ，$$ 兔子 要想不被狼吃掉，需点M在圆的外部，即直线AD和圆 综上，直线 $$l _ { 2 }$$ 的方程是 x+y-7=0 或 2x-3y+6=0. 相离，即圆 $$C . \left( 0 ， \frac { 2 a } { 3 } \right)$$ )到直线AD的距离大于半径. 17.( 1)因为点 A 在 BC 边上的高所在的直线 x-2y+ 1=0 上，且在 ∠A 的平分线所在的直线 y=0 上， (x-2y+1=0，\right. $$\frac { | 2 a - \frac { 2 a } { 3 } } { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } > \frac { 2 a } { 3 } ，$$ $$k \in \left( - \sqrt 3 ， 0 \right) \cup \left( 0 ， \sqrt 3 \right) ，$$ 所以解方程组 得 导 A(-1，0). y=0， 由于 ∠ADC 为锐角，故 $$x < < A D C < \frac { \pi } { 3 } ，$$ 因为 BC 边上的高所在的直线方程为 x-2y+1=0， 所以 $$k _ { B C } = - 2 .$$ 因为点C的坐标为 (1，2)， 所以 $$\theta \in \left( \frac { \pi } { 6 } ， \frac { \pi } { 2 } \right) .$$ 所以直线 BC 的方程为 2x+y-4=0. 19.(1)设圆心 C(t，3t)， ，则由圆C与x轴正半轴相切，可 因为 $$k _ { A C } = 1 ， k _ { A B } = - k _ { A C } = - 1 ，$$ 得半径 r=3|t|. 所以直线AB的方程为 x+y+1=0， 解方程组 $$\left\{ \begin{array}{l} x + y + 1 = 0 ， \\ 2 x + y - 4 = 0 ， \end{array} \right.$$ 圆心 C 到直线l的距离a $$d = \frac { | t - 3 t | } { \sqrt 2 } = \sqrt 2 | t | ，$$ B(5，-6). 由 $$7 + 2 t ^ { 2 } = r ^ { 2 } ，$$ ，解得 t=±1. 故点A，B的坐标分别为 (-1，0)，(5，-6). 故圆. DC 的坐标为 (1，\right. 3)或 (-1，-3)， ，半径等于3. (2)依题意得直线1的斜率存在，设直线的方程为 ∵ 圆C与 x 轴正半轴相切， ∴ 圆心只能为 (1，3)， y-2=k(x-1)(k<0)， ，则 $$M \left( \frac { k - 2 } { k } ， 0 \right) ， N \left( 0 ， 2 - k \right) ，$$ 故圆C的方程为 $$\left( x - 1 \right) ^ { 2 } + \left( y - 3 \right) ^ { 2 } = 9 .$$ (2)①设 $$M \left( x ， y \right) ， A \left( x _ { A } ， y _ { A } \right) ，$$ 所以 $$S _ { \triangle M N N } = \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { k - 2 } { k } \cdot \left( 2 - k \right) = \frac { 1 } { 2 } \cdot \left( 4 - k - \frac { 4 } { k } \right)$$ $$\overrightarrow { A M } = \left( x - x _ { A } ， y - y _ { A } \right) ， \overrightarrow { M B } = \left( 7 - x ， 6 - y \right) ，$$ $$\ge \frac { 1 } { 2 } \left[ 4 + 2 \sqrt { - \frac { 4 } { k } \cdot { \left( - k \right) } \right] } = 4 ，$$ $$\therefore \left\{ \begin{array}{l} x - x _ { 1 } = 1 4 - 2 x ， \\ y - y _ { A } = 1 2 - 2 y _ { i } \end{array} \right. ， \therefore \left\{ \begin{array}{l} x _ { 1 } = 3 x - 1 4 ， \\ y _ { 1 } = 3 y - 1 2 ， \end{array} \right.$$ 参考答案与提示酱超 .A(3x-14,3y-12). 6=。-=2故椭圆C的方程为写+号-1 :点A在圆C上运动， 2.12.提示：由椭圆方程知 .(3x-14-1)+(3y-12-3)2=9, 即(3.x-15)+(3y-15)2=9, a2=9.所以a=3.如图.设 MN的中点为G,点G在椭 即(.x-5)2十(y-5)2=1, 圆C上，因为点M关于C的 .点M的轨迹方程为(x一5)2+(y-5)2=1,它是一 个以(5,5)为圆心、1为半径的圆。 焦点F1,F的对称点分别为 ②假设存在一点T,0,满足品 =入（其中入为 A,B,连接GF.GF,则有1GF=2ANI,GF= 常数). 号BN.所以AN+BN=2(GF,+GF,)= 设P(xy),则 公土 -0+y-示=. 4a=12. 整理化简得x2+y=A(x2-21x++y-21y+ 3√5。提示：如图，取PF的中点M,连接OM,由题意 产). 知OM=OF=2.设椭圆的右焦点为F,连接PF,, ”点P在轨迹Γ上，.(x-5)十(y-5)2=1, 在△PFF中，线段OM为中位线，所以|PFI=4.由 化简得x2+y2=10.z十10y-49. 椭圆的定义知PF|十|PF|=6,所以PF=2.因为 则可得10x+10y-49=2(10x+10y-49-2tx M为线段PF的中点，所以MF1=1.在等腰三角形 21y+2r),整理得x(10-10x+22)+y(10 OMF中，过点O作OH⊥MF于点H,则|OH|= 102+2a2)一49+492-222=0. 1固 ÷/10-10+2a=0 V2-(合）=所以k=n∠H= 49λ2-2x2r=49, 解得1铝 “存在7(8)满足题目条件。 =√15. 第三章圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1,1椭圆及其标准方程 真题演练 学业质量测评 1.B提示：由椭圆C的两个焦点 1.D2.D3.C 为F1(-1,0),F(1.0)知椭圆 4.CD提示：对于A,当1<k<4且k≠2.5时，曲线C是 的焦点在x轴上，且c=1.如图， 椭圆，所以A是假命题：对于B,当k=2.5时，4一k= 设BF|=m,则|AF1=2m, k一1，此时曲线C是圆，所以B是假命题：对于C,若曲 AB=|BF=3m.由椭圆的定 4-k>0. 线C是焦点在y轴上的椭圆，则k一1>0，解得 义及BF1=3m,BF=m,得4m=2a,则m=受， k-1>4一k, |AF|=a,AF=a,由此可得点A在y轴上.设 2.5<<4,所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是 ∠QAF=0为坐标原点)，在△QE中，有mg二 “3<k<4”的必要不充分条件，所以C是真命题：对于 k-1>0, D,若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则4一>0， 在△ABF1中，c0s20 4一k>k-1. 解得1<k<2.5,所以D是真命题 由倍角公式得号=1-2sim0=1一是，解得心=3，则 5.(1)设点E的坐标为(x,y),点P的坐标为(xo),点 31第二章直线和圆的方程 单元复习归纳 专题分布 考点频次高考分值 命题趋势 ★★ 【题源特点】直线方程的几种形式及其 1.直线的倾斜角与斜率. 5年11考 应用，直线位置关系的判定及距离公式的应 ★★ 用，这些内容在历年高考中都有涉及，特别是 2.直线的方程 5年19考 在客观题中出现的频率很高，另外，要深刻理 解斜率公式、点到直线的距离公式的意义，注 3.两条直线平行与垂直 ★★ 意数形结合思想在解题中的应用，高考对本章 的判定， 5年16考 的考查一般以中、易难度的题目为主，但小陷 512分 4.直线的交，点坐标与距 ★★ 阱较多，要引起足够的重视，对每一个概念、公 离公式。 式的使用条件及适用范围要有准确的理解. 5年23考 【题型形式】题型多为选择题和填空题， ★★ 5.圆的方程. 只有少数省份将圆单独作为解答题进行考查. 5年27考 如：2024年北京卷，2023年新课标全国I卷 ★★★★ Ⅱ卷，2023年全国乙卷，2023年上海卷等都是 6.直线、圆的位置关系 5年46考 以小题形式考查 01知识网巧构建。 直线的倾斜角（范围：0°≤a<180) 倾斜角与斜率 定义：k=tana(a≠90) 直线的斜率 公式：k=当出(x1≠) 两条直线的位置关系一 相交、平行、垂直、重合 线 直线的方程一点斜式方程、斜截式方程，两点式方程、截距式方程、一般式方程 直线和圆的方程 直线的交点坐标与距离公式 圆的方程 圆的标准方程、圆的一般方程 圆 直线与圆的位置关系一相离、相切、相交 圆与圆的位置关系一外离、外切、相交、内切、内含 101 重难点手册高中数学选择性必修第一册R/ -02一微转题妙总结。 微专题1直线中的最值问题 (3)已知某点的运动轨迹是(x一a)2十 例1已知点M(3,5),在直线1：x-2y十 (y-b)2=2,求①义；②y-m;③.x2+y等式 x-n 2=0和y轴上各找一点P和Q,使△MPQ的 子的最值，一般运用几何法求解。 周长最小. 1.定圆上的点与定点间距离的最值问题 解析由点M(3,5)及直线1：x一2y十2= 例2(2024·温州中学期中)已知动点 0,可求得点M关于直线l的对称点M1(5,1), P(x,y)满足x2+y2-|x|一y|=0,O为坐标 同理可得，点M关于y轴的对称，点M(一3， 原点，则1PO的最大值是 5),如图. 由轴对称及平面几 解析如图，方程x2十y2一x一y|=0 何的知识可知，直线 可以转化为(1x-》+(1y-2)=,所 MM2分别与直线L和 M 以动点P(x,y)的轨迹为原点和四段圆弧，当 y轴的交点即所要找的 点P为原点O时，|PO引最小，且|POm=0. 点P和Q 根据M,M两点可得直线MM的方程 由于对称性，仅考虑圆孤(x一2)+(y-)月 为x+2y-7=0. 2(x≥0，y≥0). = 令x=0,得直线MM与y轴的交，点为 Q(o.Z). 显然，当点P为(1,1)时，|POmx=√2. x+2y-7=0, 解方程组 x-2y+2=0, 得两直线的交点为P(2·). 所以点P(号，是)与点Q(0,)即为所求 答案√2 微专题2与圆有关的最值问题 2.定圆上的点与定直线上的点之间距离 与圆有关的最值问题是本章的一个难点， 的最值问题 常见的类型包括以下几种： 例3(2024·临川一中检测)已知P,Q分 (1)求圆O上一点到圆外一点P的最大、 别为直线3x十4y十7=0和曲线x2十y2-2x= 最小距离： 0上的动点，则|PQ的最小值为(). dmax=OP+r,dmin=OP]-r. A.3 B.2 C.1 (2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的 n 最大、最小距离： 解析根据题意，曲线方程为x2十y2一 设圆心到直线的距离为m,则dx=m十 2x=0,变形可得(x一1)2十y2=1,则该曲线是 r,dmm=m一r. 以(1,0)为圆心，半径r=1的圆.圆心(1,0)到 102 第二章直线和圆的方程么型 直线3x十4y+7=0的距离d=13+7L=2. √3+4 即3-1+[2-2+1 x一1 则|PQ1的最小值为d一r=2一1=1. 5.形如m=(x一a)2+（y一b)2的最值 答案C 问题 3.形如之=a,x十by的最值问题 例日(2024·重庆八中检测)已知实数x, 例④(2024·吉林大学附中月考)已知实 y满足x2+y2-4x+1=0,求x2+y的最大值 数x,y满足方程(x一3)2+(y一3)2=6，求x十 和最小值. y的最大值和最小值， 解析由题可知圆心(2,0)到原点的距离 解析设x十y=t,由题意知直线x十y=1 为2，半径r=√3，x十y2表示圆上的点到原，点 与圆(x一3)2十(y一3)2=6有公共，点， 的距离的平方， 所以3+3-山≤6. 故(2-3)2≤x2+y2≤(2+3)2， √2 即7-43≤x2十y2≤7十4/5. 所以6一23≤≤6+2V3. 故x2十y的最大值为7十43，最小值为 所以x十y的最小值为6一2√3，最大值为 7-43. 6+23. 微专题3阿波罗尼斯圆 点评涉及与圆有关的最值问题，可以根 阿波罗尼奥斯（约公元前262一190年）， 据圆的性质，利用数形结合思想求解.一般地， 古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名.他 对于形如x=a.x十by的最值问题，可以转化为 的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学 动直线的截距的最值问题， 成果.阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一 4.形如k=)二b的最值问题 x-a 在平面上给定相异两点A,B,设P点在同 例局已知点P(x,y)满足方程x2+y2 -平面上且满足附-，当0且≠1时， 6x一6+16=0.求生3的取值范围。 点P的轨迹是个圆，我们把这个轨迹称之为阿 波罗尼斯圆（入=1时P点的轨迹是线段AB的 解析已知方程可以转化为(x一3)2十 中垂线). (y-3)=2,是以(3,3)为圆心，√2为半径 这个基于线段比产生的圆在高考中有着 的圆， 广泛的应用.下面我们做个简单的总结. 3=2-1+导周 x1 x-1 1.阿波罗尼斯圆的相关性质 表示点(x,y)与点(1,2)连线的斜率， 定理：A,B为平面上两个已知点，P,Q分 由于x≠1，故可设过点(1,2)的直线的方 别为线段AB的定比为入(>0且A≠1)的内外 程为y一2=k(x一1)，则有kx一y十2一k=0. 分点，则以PQ为直径的圆O上任意一点到 利用圆心(3,3)到直线的距离d A,B两点的距离之比为入 13k-3+2-k1≤√2， 证明]以λ>1为 v1十 例.如图，设|AB=a, 可得k∈[1-.1+]。 品=品=x则 103 更避包手细高中数学选择性必修第一册UA AP川=许PB1=年AQ=当 BQI--I 过点B作与PQ垂直的弦CD 由相交孩定理及勾股定理知|BC2= IPB·BQ=ACP=ABP+ (1)圆C的标准方程为 (2)过点A任意作一条直线与圆O:x2十 BC2=&a A2-1' y=1相交于M,N两点，下列三个结论： 于是BC1=,AC1=A o8-: 27②B-A NA MB =2: A2-1 2-1 ③|NB+IMA=22. BCI=A. NAMBI 其中正确结论的序号是 (写出所 而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等 有正确结论的序号). 于入的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆 解析(1)依题意，设C(1,r)(r为圆C的 是唯一的，因此，圆O上任意一点到A,B两点 半径)，因为AB引=2，所以r=√1十1=√2， 的距离之比恒为入. 性质1：当λ>1时，点B在圆O内，点A 所以圆心C(1,√2)，故圆C的标准方程为(x一 在圆O外：当0<入<1时，点A在圆O内，点B 1)2+(y-√2)2=2. 在圆O外. (2)易求得A(0,√2-1)，B(0,2+1),不 性质2：因为AC=|AP·|AQ1,所以 妨令直线MN的方程为x=0,此时M(0, AC是圆O的一条切线. -1),N(0,1), 若已知圆O及圆O外一点A,可以作出与 所以|MA=√2，MB=2+√2，|NA|= 之对应的点B,反之亦然 2-2,lNB引=√2. 性质3：所作出的阿波罗尼斯圆的直径为 PQ=面积为名月 国为滑=2=巨-1.胎 √2 √2 性质4：过点A作圆O的切线AC(C为切 =√2-1. 2+√2 点)，M为线段AC延长线上一点，则CP,CQ 分别为∠ACB,∠BCM的平分线. 所以N治 MA MB· 性质5：过点B作圆O不与PQ重合的弦 所以 MA √2 2 EF,则AB平分∠EAF MB2-√2√2+2 2.直接以阿氏圆的几何性质为考查方向 INBMA √2 、② =√2十 例☑如图，圆C与x轴相切于点T(1, INAL MB 2-√2"√2+2 0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上 1+2-1=2V2. 方)，且AB1=2 故正确结论的序号是①②③. 104 第二章直线和圆的方程么型 答案(1)(.x-1)2+(y√2)2=2. 的轨迹方程： (2)①②③. (2)求△ABC的面积的最大值， 3.考查与阿氏圆有关的轨迹方程问题 例8已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆 C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与MQ AO\B 的比值等于常数A(入>0).求动点M的轨迹方 B 程，说明它表示什么曲线. 图1 图2 解析]如图，连接MO.设MN切圆C于，点 N,则动点M组成的集合是P={MIMN|= 解析(1)如图2，以直线AB为x轴，线段 AB的中点为坐标原点O,建立平面直角坐 入MQ},式中常数λ>0. 因为圆C的半径ON|=1,所以MN|2= 标系 MO-ON2=MO-1. 设C(x,y),则由AC=√2BC, 得√(x+1)2+y=√2·√(x-1)+y, 化简整理得(x一3)2十y2=8. 故顶点C的轨迹方程为(x一3)十y2= 8(y≠0). (2)当点C位于圆D:(x一3)2+y=8的最 设点M的坐标为(x,y),则√十y一1= 高点（如图2中的点C,且CD⊥x轴）时，△ABC λ(x-2)+y, 的面积最大，且最大值为号×2×2,2=22 整理得(2-1)(x2+y2)一42x十(1十 微专题4“隐圆”的挖掘与应用 4λ2)=0. 在直线与圆的问题中，题设条件通常不明 经检验，坐标适合这个方程的点都属于集 确给出圆的相关信息，而是需要通过分析、转 合P.故这个方程即为所求的轨迹方程， 化等途径发现其中隐含的圆，再利用圆的性质 当1时，轨迹方程为=，它表示一条 解决问题，我们称这类问题为“隐圆问题”，此 类问题在近年的高考及模考中经常出现，难度 直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点(，0： 为中高档，解决此类问题的关键是能够从题干 当1时，轨连方程为（红-器）十 中挖掘出“隐圆” 1.利用圆的定义确定“隐圆” =器，它表示国，成国的国心金标为 例10(2024·河南豫东名校摸底)已知 圆C:x2+y2-6.x十5=0，点A,B在圆C上，且 （器0)，丰径为货 |AB1=23,O为原点，则1OA+OB1的最大 4.以阿氏圆为背景考查最值问题 值为 例9如图1，在△ABC中，AB=2,AC 解析x2+y一6.x十5=0，即(x-3)2十 =√2BC. y=4,取AB的中点D,连接CD,则CDAB, (1)建立适当的平面直角坐标系，求顶点C 又|AB=2、3,所以|CD=1,可知点D 105 更难包手细高中数学选择性必修第一册？U 在以C(3,0)为圆心，1为半径的圆上， 若圆M上存在这样的点P,则圆M与圆 又OA+OB=2OD,且1OD1≤1+3=4. x2十y2=2有公共，点，则有、2一12≤、a2十4≤ 所以OA十OB的最大值为8. √2+√2，解得-2≤a≤2， 答案8. 即a的取值范围为[一2,2]. 2.利用圆的几何性质 答案[-2,2]. (1)由动点到两定点的张角为直角构造 3.利用“隐圆”求变量的最值或取值范围 “隐圆” 例13如图1，已知圆O:x2+y2=16,点 例1①(2024·杭州二中期中)（多选题） P(1,2),M,N为圆上两个不同的点，且PM· 已知圆C:(x一3)2+(y-4)=1和两点A(一m, PN=0,若PQ=PM+PV,则|PQ1的最小值 0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在一点P,使 为 得∠APB=90°，则m的取值可能为( A.5 B.6 C.7 D.8 解析圆C:(x一3)2十(y一4)2=1的圆心 C的坐标为(3,4)，半径为1. ,圆心C到O(0,0)的距离为5， 图1 图2 ,圆C上的点到，点O的距离的最大值为 6,最小值为4. 解析如图2，由PM·P示=0知PM⊥ 再由∠APB=90°，可得出以AB为直径的 PN,且PQ=PM+PN,连接MQ,QN,则四边 圆和圆C有交点， 形PMQN为矩形 又PO=号AB=m,则4长m≤6， 连接MN,设MN的中点为S,连接OS, OM,ON,则|OM=|ON,则OS⊥MN,所以 结合选项可得m的取值可能为6和5. 1OSI2=OM2-|MS12=16-|MS12, 答案AB 又△PMN为直角三角形，S为MN的 (2)由动点到定圆的切线所成的角为定值 中点， 构造“隐圆” 则|MS=PS,所以OS2=16-|PS引2. 例12(2024·哈尔滨市二中学检测)已 设S(x,y),则x2+y2=16-[(x-1)2十 知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-2)2 2,若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条 （y-2门，即(x-)》+(y-1)-这表明 切线，切点分别为A,B,使得PA⊥PB,则实数 点S的轨迹为圆T:(x-)》+(0y-1)2-2, a的取值范围是 解析根据题意，PA,PB为圆O的两条切 国心为T(分小.半径为3，由点P在圆T 线，切点分别为A,B,连接OA,OB,则OA1 PA,OB⊥PB.因为PA⊥PB, 内得1pS1m=3,5-1PT=3y3-5 221 所以四边形OAPB为正方形，则OP=√2. 所以P的轨迹是以O为圆心，半径r=√② 故1PQ1m=23y5-9)-3,3-5. 的圆，其方程为x2十y2=2. 答案3√5-√5. 106 第二章直线和圆的方程么型 微专题5解决圆与方程问题中的“两 法”和“三策” M 1.待定系数法 例14求与圆C:(x一1)2+y2=1外切， 图2 且与直线x+3y=0相切于点(3，一3)的圆 已知PM=√21PNI, C的方程， 得PM2=2PN|2,由两圆半径均为1， [解析设圆C的方程为(x一a)2十(y 得PO|2-1=2(|PO2|2-1). b)2=2(r>0) 设，点P(x,y),则(x十2)2十y-1 圆C:(x一1)2十y=1的圆心坐标为(1， 2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33. 0),半径为1，因为圆C与圆C外切， 故所求点P的轨迹方程为(x一6)2十 所以√(a-1)+(b-0)严=r+1.① y2=33. (2)实际应用问题 因为点(3，一3)在圆C上， 例16(2024·江苏盐城一中月考)为了 所以(3-a)2+(-5-b)2=.② 保证我国东海油气田海域的海上平台的生产 因为直线x十√3y=0与圆C相切， 安全，海事部门在某平台O的正东方向设立了 两个观测站A,B(点A在点O与点B之间)， 所以a十3 L=r.③ 它们到平台O的距离分别为3海里和12海 W1+(3) 里，记海平面上到两观测站A,B的距离之比为 联立①②③可解得a=4,b=0,r=2或a 0,b=-4√3，r=6. 专的点P的轨迹为曲线E,规定曲线E及其内 故圆C的方程为(x一4)2+y2=4或x2+ 部区域为安全预警区（如图1）. (y+4√3)2=36. (1)如图1，以O为坐标原点，AB所在直 2.坐标法 线为x轴，1海里为单位长度，建立平面直角坐 (1)求轨迹问题 标系，求曲线E的方程， 例1万如图1，圆O,和圆O2的半径都等 (2)某日在观测站B处发现，在该海上平 于1，OO=4,过动点P分别作圆O1、圆O 台O的正南方向相距2√I1海里的C处，有一 的切线PM,PN(M,N为切点)，使|PM= 艘轮船正以每小时10海里的速度向北偏东 30°方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进 √2PN,求动点P的轨迹方程. 入安全预警区？如果不进入，说明理由：如果 进入，请求出它在安全预警区中的航行时间. 北 北 东 图1 A B 解析如图2，以OO2的中点O为原，点， 0309 O309 OO2所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则O(一2,0)，O2(2,0). 图1 图2 107 更避包手细高中数学选择性必修第-册RUa 解析(1)设P(x,y),由题意知A(3,0), b)2=r2(r>0). Ba2.0且路-2 因为所求的圆过点A(5,2),B(3,一2)，连 接AB,则圆心一定在线段AB的垂直平分线上. 即2、/(x-3)2+y2=√/(x-12)2+y, 易得线段AB的垂直平分线的方程为y 化简得x十y2=36, 所以曲线E的方程为x2十y2=36. -2x-40, 又圆心在直线2.x十y-3=0上， (2)由题意知C(0,一2√1I),如图2. 2 ,轮船向北偏东30°方向航行 t= 3 ∴.直线CD的倾斜角为60°， 由 解得 5 2.x十y-3=0, 即直线CD的斜率为3， y= .直线CD的方程为y=√3x一2√11. 所以圆心为（号，》。 ,曲线E的方程为x2十y=36,圆心 O(0,0),半径R=6海里， 又周的年径一6+2、四。 圆心O到直线CD的距离d= 211 所以所求圆的方程为x号》+()四 V(/3)2+12 4.数形结合，充分运用圆的几何性质的 =√II海里，满足dR, 策略 如果轮船不改变航向，那么它一定会进 例18(2024·福州一中检测)已知点 入安全预警区. P(0,5)及圆C:x2+y2+4x一12y十24=0，若 直线CD被圆O截得的弦长l-2√/36一1I 直线（过点P且被圆C截得的线段长为4√3， =10海里. 求直线1的方程， ,轮船以每小时10海里的速度航行， 它在安全预整区中的能行时同1一8 解析圆C的标准方程为(x十2)2十(y 6)2=16,圆心为(-2,6)，半径r=4. 1小时. 如图，设直线I被圆C截得的线段为AB, 故如果航向不变，轮船一定会进入安全预 取AB的中，点D,连接CD,则CD⊥AB. 警区，它在安全预警区中的航行时间为1小时 3.合理选择方程的策略 要学会选择合适的圆的方程，如果方程选 择得当，运算量就会减少.如果题中给出圆心 的坐标或圆心的特殊位置和半径时，一般选择 标准方程，否则，选择一般方程. 在Rt△ACD中，由|AD|=2W/3,AC= 例17(2024·北师大二附中单元检测) 4,可得CD-2. 求圆心在直线2x十y一3=0上，且过点A(5, 当直线L的斜率存在时，设直线（的斜率 2),B(3,一2)的圆的方程. 为k,则直线l的方程为y一5=kx,即kx一y十 解析设所求圆的方程为(x一a)2十(y 5=0. 108 第二章直线和圆的方程》么型 由，点C到直线AB的距离为一2-6+5 解析依题意得直线1恒过定点(1,1)，且 2+(-1) 此定，点在圆C内部.设A(x1,M),B(2,2), 2得=月 M(x,y),则 易知，点M不为(1,1)， 此时直线1的方程为3x-4y十20=0. x+(y-1)2=5,① 当直线1的斜率不存在时，也满足题意，此 x+(2-1)2=5,② 时直线l的方程为x=0. 由①一②， 综上，直线l的方程为x=0或3.x一4y十 可得(0十2)(-2)=一（为十2一2）· 20=0. (M一32)， 5.设而不求，整体代入的策略 所以山一业三 x1十Tg 对于圆的一些综合问题，比如，弦的中点 x一x2 -(y+2-2) 2.x 问题，常运用整体思想.整体思想就是在处理 =-(2y-2)1-y 问题时，利用问题中整体与部分的关系，灵活 而直线恒过点(1,1)，所以二业=y一1 运用整体代入、整体运算、整体消元（设而不 x1一x2x-11 求)、整体合并等方法.整体思想可以简化运算 所以y一1=， 2x-11-y 过程，提高解题速度，同学们可以从中感受到 即x2-x十(y-1)2=0, 整体思维的和谐美。 例19(2024·武汉四中单元测试)已知 即(x-》+(y-1D= 圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1 所以点M的轨迹方程是(x一号)”+(y m=0,如果设直线1与圆C交于A,B两点，求 AB的中点M的轨迹方程. 1)=4x≠1D. 03单元学能测评。 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 3.已知直线l:2x十y-5=0,圆C:(x-1)2十 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 (y十2)2=6，则圆C的圆心到直线1的距离 题日要求的) 为(). 1.斜率为2，且过直线y=4一x和直线y=x十2 A.1 B得 C.0 D.5 交，点的直线方程为( 4.已知圆C:x2+y2-2x+4y+2=0,从点 A.y=2.x+1 B.y=2x-1 P(一1，一3)发出的光线，经直线y=x反射 C.y=2.x-2 D.y=2.x+2 后，恰好经过圆心C,则入射光线所在直线 2.若直线：a.x+2y十6=0与直线l2:x+(a 的斜率为( ) 1)y十a2-1=0平行，则a的值为( A.-4 B-1 c D.4 A.a=-2或a=1 B.a=2 5.已知圆C:x2十y十4x一4y一3=0，动点P C.a=2或a=-1 D.a=-1 在圆C2:x2十y一4x一12=0上，则△PCC 109 更难包手细高中数学选择性必修第一册？U 面积的最大值为( C.当m=1时，直线1的倾斜角为开 A.2w5 B.4w5C.8、5D.20 6.已知圆C:.x2+(y-2)2-16.若动点M在直 D.当m=2时，直线I与直线AB垂直 线y十6=0上，过点M引圆C的两条切线 10.已知直线l1:2x+3y-1=0和l2:4.x+ MA,MB,切点分别为A,B,则直线AB恒 6y-9=0,若直线1到直线1的距离与到 过定点N,点N的坐标为() 直线2的距离之比为1：2，则直线l的方 A.(-1,-1) B.(0,0) 程为( C.(1,1) D.(0,6) A.2x+3y-8=0 7.若对圆(x一1)2十(y一1)2=1上任意一点 B.4.x+6y+5=0 P(x,y),3.x-4y十a+|3.x-4y-9|的取 C.6.x+9y-10=0 值与x,y无关，则实数a的取值范围是 D.12.x+18y-13=0 (). 11.在平面直角坐标系Oxy中，点P(3,6),圆 A.a≤4 B.-4≤a≤6 O:.x2+y2=9与x轴的正半轴交于点Q, C.a≤4或a≥6 D.a≥6 则(). 8.在平面直角坐标系中，坐标原点为)，定 A.点P到圆O上的点的距离最大值为 点M(1,一1)，动点P(x,y)满足|PO川= 35+3 √2|PM,点P的轨迹C,与圆C2:x2+y一 B.过点P且斜率为1的直线被圆O截得 3.x十3y+4十a=0有两个公共点A,B,若在 的弦长为3√2 C上至多有3个不同的点到直线AB的距 C.过点P与圆O相切的直线方程为3.x 离为2，则a的取值范围为(). 4y+15=0 D.过点P的直线与圆O交于不同的两点 A.(-∞，-2-2√/2]U[-6+2W2,+∞) A,B,则直线QA,QB的斜率之和为定 B.(-4-22,-2-2√2 值一1 C.[-6-22,-4-2√2)U(-4+2√2， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） -2+2√2] 12.平行直线：x十√3y=-1与2：x十3y= D.(-4-2√2，-2-22]U[-6+2√2， 2之间的距离为 -4+2√2) 13.已知圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1,直线 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. l:y=一x十2与x轴交于点A.若a=1,则 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 直线！被圆C截得的弦的长度为 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， ;若过I上一点P作圆C的切线 有选错的得0分)》 切点为Q,且|PA=√21PQ,则实数a的 9.已知直线l:mx+y十1=0，A(1,0),B(3, 取值范围是 .(本题第一空2分， 1),则下列结论正确的是( 第二空3分)】 A.直线l恒过定点(0,1) 14.已知直线l:m.x十y+m=0交圆C:(x一 B.当m=0时，直线l的斜率不存在 1)2+y=1于A(x1,M),B(2,y2)两点， 110