3.3.2 抛物线的简单几何性质-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第三章 圆锥曲线的方程么组 3.3.2抛物线的简单几何性质 重点和难点 课标要求 重点：抛物线的几何特征，以及它的简 1.了解抛物线的简单几何性质. 单几何性质 2.理解直线与抛物线的位置关系. 难点：抛物线几何特征的发现. 01必备知识梳理。 基础梳理 刀划重点 知识点1抛物线的简单几何性质 (1)四种形式的抛物线顶 已知抛物线的焦点弦为AB,A(,y1),B(x2,2),AB的中 点相同，均为O(0,0),离心率 点坐标为(x,),则抛物线的几何性质如下表所示. 均为1，它们都是轴对称图形， 但是对称轴不全相同. (2)抛物线的开口大小 图象 ①从方程的角度看：在方 程y2=2x(p>0)中，对于x 的一个确定的值，p越大，则 标准 y=2pr y=-2pr x=2py x=-2py y川也越大，即对应的点离对 方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 称轴越远，也就是说抛物线的 顶点 OX0,0) 开口越大：反之，p越小，开口 离心率 e-1 越小 焦准距 ②从图形的 p 角度看：如图，过 对称轴 x轴 y轴 抛物线y=2px x的取 R (p>0)的焦点 值范围 x≥>0 x≤0 开口 F(台，0)且垂直于 右 左 上 下 方向 x轴的直线与抛物线交于A, 焦点 ( (-o) (0,) (0,-) B两点，当x=号时y=士p 准线 方程 =- =光 y=-号 号 所以|AB=2p,线段AB叫 作抛物线的通径，长度是2p, 通径长 2p 这是常数p的又一几何意义， 焦点弦 IABI 十x十p p-(i1十x) y十为+P P-(为十为) 所以力越大，通径越大，即抛 物线的开口越大：反之，p越 小，通径越小，即抛物线的开 焦半径 +号 兴+号 口越小 167 更滩食手册高中数学选择性必修第一册U口 知识点2直线与抛物线的位置关系 卫提个醒 1.直线斜率存在 直线与抛物线只有一个 设直线L:y=kx十m,抛物线：y2=2p.x(p>0),将直线方程与 交点是直线与抛物线相切的 抛物线方程联立整理成关于x的方程：kx2+(2km一2p)x+ 必要不充分条件，讨论直线与 m2=0. 抛物线的位置关系时，要根据 (1)若k≠0， 直线斜率是否存在，以及直线 当△>0时，直线与抛物线相交，有两个交点： 是否与抛物线对称轴平行或 当△=0时，直线与抛物线相切，有一个交点： 重合等进行讨论. 当△<0时，直线与抛物线相离，无交点 (2)若k=0,直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛 物线的对称轴或与对称轴重合。 2.直线斜率不存在 设直线L:x=m,抛物线：y2=2p.x(p>0),显然： 当m<0时，直线与抛物线相离，无交点： 当m=0时，直线与抛物线相切，有一个交点： 当m>0时，直线与抛物线相交，有两个交点. 3.抛物线的切线 (1)抛物线y2=2px(p>0)上一点(x0,%)处的切线方程为 %y=p(x十xo). (2)过抛物线y2=2px(p>0)外一点M(x,%)引抛物线的两 条切线，切点弦所在直线的方程为y=p(x十x). 重难拓展 重难点1抛物线焦点弦性质的探究及拓展 1.焦点弦的常用性质 如图，AB是抛物线y2=2px(p>0)过 焦点F的一条弦（焦点弦），设A(1,y), (x1,) B(x2,2),过A,B分别向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为A1,B.对于抛物线的焦 点弦，有如下结论： 西4=n为=-. (2)若直线AB的倾斜角为0，且A位于x轴上方，B位于x 轴下方，则AF=1名B1=1十6o (3)1AB1=十x,十p=2史（其中0为直线AB的倾斜角）， sin2 抛物线的通径（过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A,B两点的线段AB,称为抛物线的通径)长为2p,通径是最短的 168 第三章 圆锥曲线的方程么国型 焦点弦 (4)S△MB= 2sin 。(其中0为直线AB的倾斜角). (⑤)十动号为定值 (6)设弦AB所在直线的斜率为k,则焦点弦长的斜率式为 1AB=2p(1+): 2.与焦点弦有关的切线性质 国记方法 如图，AB是抛物线x2=2py(p>0)过焦点的一条弦，分别过 代数法解焦点弦问题的技巧 A,B作抛物线的切线，两切线交于点P,连接PF,则有以下结论： (1)巧设直线方程，如直 (1)点P的轨迹是一条直线，即抛物线 线AB经过点F(20小，若设 的准线14y=一是 直线方程为y=a(x一)，则 (2)两切线互相垂直，即PA⊥PB. 斜率不存在的情况需单独讨 (3)PF LAB 论.所以可将直线方程设为 (④)点P的坐标为士，-)： =m叶号， 例①过抛物线x2=4y的焦点F作直线（交抛物线于 (2)巧消未知数.解与抛 P(,),P2(x2,2)两点，若y十2=6，则|PP2|=( 物线有关的问题用代数法消 A.5 B.6 C.8 D.10 元时，消去抛物线方程中的一 次项计算量更小，如若抛物线 解析抛物线x2=4y的准线为y=一1，因为P1(x1,y), 方程为y=2px,则消去x的 P:(2,y)两点是过抛物线焦，点的直线l与抛物线的交点，所以 计算量更小 P(x1,yM),P2(x2,y2)两，点到准线的距离分别是M十1，y2十1.所 (3)巧用结论解决问题. 以|P1P2=y十y2+2=8. 答案C ]02关建能)提升 题型方法 于4，求此抛物线的标准方程； 题型1根据几何性质求抛物线的标准 (2)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称 方程 轴为x轴，且与圆x2十y2=4相交的公共弦长 求抛物线的标准方程的一般步骤是先定 为23，求抛物线的方程. 位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置： 解析](1)由题意，可设抛物线的方程为 后定量，即求出方程中p的值，从而求出方程. 例2(1)已知抛物线的焦点F在x轴上， =2px(p≠0)，则焦点为F(号，0，直线l的 直线l过点F且垂直于x轴，I与抛物线交于 A,B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等 方程为x=号所以直线1与抛物线的交点的 169 更滩食手细高中数学选择性必修第一册RU 坐标分别为(p,(号，一p, 又AF=+号，BF=+台： 所以AB引=2p. 所以丽十 1 x十x十卫 因为△OAB的面积为4， 所以2·号2引p=4,所以=士2，D 把十=2nn=度代入， 故所求抛物线的标准方程为y=4√2x或 y2=-4w2.x. 符+丽名2，所以=1 (2)由题意，可设所求抛物线的方程为 答案B y2=2py(p>0)或y2=一2p.x(p>0),抛物线 2.用几何法解焦点弦相关问题 与圆的交点A(,4),B(2,2)(y>0,2<0), 例④(2024·武汉外国语学校单元检测) 由对称性知=2，=一2， 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线l与x轴相 则y|十|2=2v3, 交于点K,BK与抛物线的焦点弦AB垂直， 即y一y2=2y=2V3,得y=√3. AH垂直于x轴，求证：AH=|BH. 将y1=3代入x2十y=4,解得x1=士1. 证明如图，记抛物线的焦点为F,过A,B 所以点(1，W3)在抛物线y2=2px(p>0) 作准线1的垂线，垂足分别为A1,B 上，点（一1，√3）在抛物线y2=一2p.x（p>0) 由抛物线的定义得|AF=|AA|,|BF= 上，求得p=2 BB. 连接AK,,FK∥AA1∥BB, 故抛物线方程为y=3x或y2=一3x. 题型2抛物线的焦点弦问题 品-哈餐 1.焦点弦长公式及其应用 例3(2024·襄阳五中月考)过抛物线 ÷盒-合 ∴.Rt△AA KORt△BB1K. -2px(p>0)的焦点F作倾斜角为否的直 ∴.∠AKA=∠BKB..∠1=∠2 线，交抛物线于A,B两点，若丽十B 1 又，BK⊥AB,AH⊥KH,.四边形 AHBK是圆内接四边形，其中AK为圆的直径 2,则实数p的值为( ∠3=∠2，∠1=∠4.·∠3=∠4 A司 B.1 C③ .2 D.3 ..AH=BH. 解折由题意得F(,0),设直线的方程 为y=x-号)，A(y),B(), 联立=-》， y2=2px, 3.用代数法解焦点弦相关问题 得2x2-(kp+2px+p=0. 例5(2024·辽宁省实验中学段考)已知 4 所以十=2，= 过抛物线y2=2p.x(p>0)的焦点F的直线与 4 抛物线交于A、B两点，且AF=2FB,抛物线 170 第三章圆维曲线的方程么型 的准线1与x轴交于点C,AA1⊥I于点A1,若 3 ICF=P IAAI=IAFI-1-c0s0- 四边形AACF的面积为52，则准线I的方程 为(). 为1AFsm0=是p22=2p, 3 A.x=-√2 B.x=-2√2 C.x=-2 D.x=-1 所以四边形AA,CF的面积为(b叶)· 解析方法一 由题意知F(,0),准线1 Ep=52=5反，解得p=2(负位合去. 的方程为x= 号，设A(),B( 所以准线l的方程为x=一1. 答案D 则A庐=(2-，-)，F=(一 题型3直线与抛物线的位置关系 为，A萨=2F第，得号-西=2(-)， 1.弦长问题 (1)直线与抛物线相交且有两个公共点 即=13p-2),① 时，弦长|AB|=√1+k2|x1-x2|或|AB= 由题意知直线AB的斜率存在且不为0， 、1+是y一，这里我们经常用设而不求的 设直线AB的方程为y=(x一)(k卡 技巧，借助根与系数的关系整体代入.解题时 0),代入抛物线方程，消去y,得x一(p十 应注意△>0这一隐含条件的作用. 2px+p=0, (2)若抛物线方程为y2=2p.x(p>0),则 4 过焦点F的弦长为AB=x1十x2+p. 所以= ② 例石已知F为抛物线C:y=4x的焦点， 联立①②，得2x1-3px1十p2=0, 过点F作两条互相垂直的直线1,2，直线 解得西=b或1=号（舍去）， 与C交于A,B两点，直线2与C交于D,E两 点，则|AB+|DE的最小值为(). 所以y|=√2p. A.16 B.14 C.12 D.10 因为Sg边移M,(下 a++p)·m= 1 解析因为直线山过点F,且F(1,0), 所以设直线l的方程为x=my十1， 52, 「y2=4x, 将x,|”的值代入，解得p=2(负值舍 联立 得y2-4my-4=0. (x=my+1, 去)，所以准线l的方程为x=一1. 设A(x1y),B(,) 方法二不妨设A在第一象限，A(x1, 故y十2=41，y2=一4， y),B(x2,y2),∠xFA=0 则lAB=√m+116m+16=4(m+1). 则AF=1Os0BF-1+s 同理可得DE=4(品+1， 国为=2成，所以1名)=2× 所以1AB+1DE=4(2+m+)≥16， 1十6s0解得c0s0-3,则0-2g 3 当且仅当m=士1时，取“=” 因为四边形AA,CF是直角梯形，其中 答案A 171 更难包手册高中数学选择性必修第一册 RJA 2.弦的中点问题 求出该定点的坐标：若不过定点，请说明理由. 已知曲线和弦的中点，求弦所在直线方程 解析(1)设抛物线的方程为y2=2p.x 的基本思路是求出斜率k.可先设出端点坐标， (p>0), 但不求出端点坐标，代入曲线方程，然后作差， 由抛物线经过，点A(1,2),得p=2, 采用消元法求出斜率k,此法常称为“点差法”， .抛物线的方程为y=4x 特别是对“弦的中点”问题非常有效， (2)设C(x1yM),D(2),x≠1，x2≠1. 例7(2024·北师大二附中单元检测)已 若直线CD的斜率存在，设直线CD的方 知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交 程为y=kx十1(k≠0). 抛物线于A,B两点，试求弦AB的中点的轨迹 y=4x, 方程. 由 消去x,得ky2-4y十41=0， y=kx+t, 解析设A(x1,1),B(x2,y2),弦AB的 中点为M(x,y),则y十2=2y. 则n十为=者头=是 当直线AB的斜率存在时，k=当二业 :k,+=-名+边-2=4m-2+ x1一x2 x1-1x2-1 4.x1-4 y-1 x一2 -%2+-2十 4x2-4 y-4 易知f=2a,@ 4 5=2.x2,② 十2=一4， ①-②，得(M十)(M一)=2（一）， ·y+2+2+2=一(+2)(2+2)， 所以2y·二业=2，即2y·,号-2 ∴.3(y1+y2)+yy2+8=0, x1一xg x-2 小号+兴+8=0，即1=-2张-3 ∴.直线CD的方程为y=kx-2k-3, 当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴 即y=k(x-2)-3, 时，AB的中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹 .直线CD过定点(2，-3) 方程为0》”=一子 若直线CD的斜率不存在，则C(1,y1), D(,一y1) 3.直线与抛物线的综合问题 解决直线与抛物线的综合问题的通常方 “k十=》二+二二2=4 0一1 法是：联立直线与抛物线的方程，消元得到一 -4,1=2. 个一元二次方程，再灵活运用判别式、根与系 直线CD的方程为x=2,此时直线CD 数的关系、弦长公式、点差法等解决相关问题。 过点(2，一3). 例8在平面直角坐标系Oxy中，抛物线 综上，直线CD过定点(2，一3). 的顶点是原点，对称轴为x轴，且经过点A(1, 易错警示 2).过点A作直线l1,l2分别交抛物线于点C, D(异于点A)直线1,2的斜率分别为k1,k, ●易错题26（错误率26%）(2024·武 且满足k1十k2=一4. 汉十一中单元检测)求过定点P(一1,1)，且 (1)求该抛物线的方程 与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线1 (2)试判断直线CD是否过定点.若过定点， 的方程。 172 第三章圆锥曲线的方程么型 03核心素养聚焦。 考向分类 考向2直线与抛物线的综合问题 考同1抛物线简单几何性质的应用 例1D(2021·浙江卷)已知F是抛物线 例日(2023·新课标全国Ⅱ卷)（多选题） y=2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与 设O为坐标原点，直线y=一√3(x一1)过抛物 x轴的交点，且|MF=2. 线C:y2=2x(p>0)的焦点，且与C交于M, (1)求抛物线的方程： N两点，l为C的准线，则(). (2)设过点F的直线交抛物线于A,B两 A.p=2 点，斜率为2的直线I与直线MA,MB,AB, B.IMINI x轴依次交于点P,Q,R,N,且RN|2=|PN· C.以MN为直径的圆与l相切 QVI,求直线I在x轴上截距的取值范围。 解析(1)因为|MF P D.△OMN为等腰三角形 解析因为y=一√3(x一1)与x轴的交点 =2,故p=2,所以抛物线 (1,0)为抛物线的焦点，所以p=2,故A正确； 的方程为y2=4x y=-3(x-1), (2)如图，设直线AB 联立 y2=4x, 消y得3.x2-10x+3= 的方程为x=ty+1, MO 0,解得=行或=3，所以不坊令直线与抛物 A(x,当)，B(x2,2), N(n,0), 线的交点为M分，2).N(3.-2V,则 所以直线【的方程为 MN=号，故B错误：易知线段MN的中点 x=岂十，由题设可得 Q停-2)到准线1：=-1的拒离为号 1且学 昌MN,所以以MN为直径的圆与L相切，故 [x=y+1, 由 可得y2-4ty-4=0, y2=4x C正确：易知OM=,ON=V②I.又 故yM2=一4，y十=41. 因为RN2=|PNIQN, MN=9,则OM≠ON≠MN1,故D 错误 所以(1+}x)月 答案AC 命题意图：主要考查抛物线的定义和标准 方程，抛物线的焦点弦的几何性质等基础 所以y项=|yellyo. 命题规律知识以及坐标法等 真题探源：取材于教材P135例4，P138[习 又直钱MA的方程为y=汁红十1， 题3.3]第5题 常考题型选填题难度系数0.5高考热度 ★★ +1 2(n+1)y1 核心素养 逻辑推理，数学运算 素养水平水平二 2+n 可得yp=2x十+2一 173 更难点手细高中数学选择性必修第-册RUA 2(n十1)2 同理y0=2x十2一 真题演练 x=ty+1 1.(2022·新高考全国1卷，考向1、2)（多 由 =岁+ 可得y=26n一1D 21-1 选题)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线 C:x2=2y(p>0)上，过点B(0,一1)的直线交 所以2”P] C于P,Q两点，则() = 2(n+1)业× 2(1+1)1 2.x2十2-2 .x1+2-y A.C的准线为y=一1 整理得 B.直线AB与C相切 C.1OPI·IOQ1>|OA2 D.BPI·|BQI>|BA =(21-1)2 yiyz (2x2+2-32)(2+2-y) 2.(2023·全国乙卷，考向1)已知点A(1, 4(21-1)3 (受+2-)受+2-) 5)在抛物线C:y=2p.x上，则A到C的准线 =(21-1)2 的距离为 3+42 3.(2023·全国甲卷，考向2)已知直线x一 故-， 2y+1=0与抛物线C:y=2p.x(p>0)交于A, 令=2-1，期1=宁且0， B两点，|AB引=4√15. 所以5 -24-1++ (1)求： s (2)设F为C的焦点，M,N为C上两点， 4(+)+≥ 且FM·FV=O,求△MFN面积的最小值. ,「m2+14n+1≥0， 4.(2023·上海卷，考向2)已知曲线T:y= 所以 n≠1， n≠1， 4x,第一象限内点A在T上，A的纵坐标是a. 解得n≤-7一4√3或一7十4√3≤n<1或 (1)若点A到P的准线距离为3，求a n>1. 的值： 故直线（在x轴上的截距的范围为≤ (2)若a=4,B为x轴上一点，线段AB的 -7-43或-7十4、3≤n<1或n>1. 中点在Γ上，求点B坐标和坐标原点O到AB 命题意图：主要考查直线方程、抛物线方 程、直线与抛物线相交等综合知识，以及坐 的距离： 命题规律 标法、设而不求、转化化归等思想方法 (3)直线l:x=一3，P是第一象限Γ上异 真题探源：根据教材P139习题3.3第10 于A的一点，直线PA交I于点Q,点H是点 题，P145复习参考题3、第6题等改编 P在直线（上的投影，若点A满足性质“当点 常考题型解答题 难度系数0.35高考热度★★★ P变化时，|HQ>4恒成立”，求a的取值 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平水平三 范围 174 第三章圆雏曲线的方程 -04学业质量测评。 基础过关练 测试时间：10分钟 综合提能练 测战时间：20分钟 1.[题型2](2024·临川二中检测)过抛物线 6.[题型1](2024·大连二十四中检测)已知抛 y=2p.x(p>0)的焦点F作倾斜角为60的 物线C:y2=2p,x(p>0)的焦点为F,点T在 直线1交抛物线于A,B两点，且|AF> BF,则的值为( C上，且lFT=号，若点M的坐标为0.1D, 且MF⊥MT,则C的方程为( A.3 B.2 c A.y2=2x或y2=8xB.y2=x或y2=8.a 2.[题型3](2024·海南中学测试)直线y C.y2=2.x或y2=4xD.y2=x或y2=4x x+b交抛物线y=22于A,B两点，0为 7.[题型3](2024·武汉六中质检)若直线y kx一2与抛物线y=8.x交于A,B两个不同 抛物线顶点，OA⊥OB,则b的值为( 的点，抛物线的焦点为F,且AF+BF| A.-1 B.0 C.1 D.2 8,则k=( 3.[题型3]（多选题）已知抛物线C:y=2px A.2或-1 B.-1 (p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P,Q两点，M为线段 C.2 D.1±5 PQ的中点，O为坐标原点，则( 8.[题型3](2024·重庆一中检测)（多选题）已 AC的准线方程为y=一1 知点M(1,0),直线l:x=一2，若某直线上存 B.线段PQ长度的最小值为4 在点P,使得点P到点M的距离比到直线l C.Saro≥2 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”， D.Op.O0=-3 则下列结论正确的是( 4.[题型2]已知过抛物线y=4x的焦点F的 A.点P的轨迹是一条线段 直线交抛物线于A,B两点，|AF|=2,则 B.点P的轨迹与直线'：x=一1没有交点 BF= C.y=2.x十6不是“最远距离直线” 5.[题型3]如图，已知直线l:y一2.x一4交抛物 线y=4x于A,B两点，试在抛物线AOB Dy=号十1是最远距离直线” 这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最 9.[题型2、3](2024·深圳中学检测)（多选题） 大，并求出这个最大面积 已知抛物线E:x=4y的焦点为F,圆C: x2+(y一1)2=16与抛物线E交于A,B两 点，点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动 点，过点P作平行于y轴的直线（交抛物线 E于点V(如图)，则下列四个命题中正确的 是(). A.点P的纵坐标的取值范围是(2√3,5) 175 更滩食手细高中教学选择性必修第一册 RJA B.|PN|+|NF等于点P到抛物线的准线 12.[题型3]如图，已知抛物线C:y=子2，圆 的距离 C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作 C.圆C的圆心到抛物线的准线的距离为2 不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线 D.△PFN周长的取值范围是(8,10) C1和圆C2相切，A,B为切点 (1)求点A,B的坐标： (2)求△PAB的面积 第9题图 第10题图 10.[题型1]如图，已知以点C为圆心的圆过点 A(1,0)且与直线x=一1相切，把点C的轨 迹记为E,则E的方程为 :过点A 的直线1与E交于P,Q两点，当以PQ为 直径的圆被y轴截得的弦长为4时，直线( 的方程为 11.[题型2、3设抛物线C:y2=2x,点A(2, 0),B(一2,0)，过点A的直线L与C交于 培优突破练 测试时间：20分钟 M,N两点 13.[题型1、3](2022·全国高中数学奥林匹克 (1)当I与x轴垂直时，求直线BM的方程； 竞赛甘肃预赛)如图，O为坐标原点，点F (2)求证：∠ABM=∠ABN. 为抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点，且抛 物线C上点P处的切线与圆C2:x十y=1 相切于点Q (1)当直线PQ的方程为x一y-2=0时， 求抛物线C的方程： (2)当正数p变化时，记S,S分别为 △FPQ,△FOQ的面积，求的最小值 176重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 由EF=EA|得（一1）2=(3-)P+12, 由A,B的点坐标易知直线AB的方程为y=2x一1，显 解得=5，即E(5,0), 然该直线与x轴不垂直，将直线AB的方程与抛物线C .圆E的方程为(.x一5)+y=16. 的方程联立并整理得x2一2x+1=0,4=2一4×1× 不妨设yM>0,直线OM的方程为y=kx,则k>0, 1=0,所以直线AB与C相切，故B正确： 根据=4，解得太=号 设P(1y),Q(),直线PQ的方程为y=kx一1， √1+ [y=kx-1: 9 由 得x2-k.x十1=0， 4 r= I=- L=y, 解得 或 4=k2-4>0. (x-5)2+y2=16. = 12 所以以十=k, 故M号，号) z120=1. 所以>2或k<-2,为为=()2=1， 由题意可设V(4cos0+5,4sin0),0∈[0,2π]， 所以Oi.0N-oas0叶8in0+9-号(3os叶 又OP列=√+y=V+r,10Q|=√+= v十， 4sin0)+9. 所以(OP11(OQ1=√(1+)(1+)=√·应 因为3cos0+4sin0=5sin(0+g)∈[-5,5]，其中 =k>2=OA2,故C正确： tamg-子，所以0i.0六∈[-3,21. 因为BP1=/1+1x|,BQ=√1+k|, 14.9π.提示：抛物线厂的焦点与准线的距离为3，故圆 所以BP1|BQ1=(1+k2)11=1+k2>5, 2的半径r=3.所以圆2的面积为=9元， 而1BA=5,故D正确。 152反提示：易知AF-00BF到一中名 2 提示：因为点A(1,5)在抛物线C:y2=2x上， (0为直线AB的倾斜角). 则5=2p,所以D=号，所以抛物线C的雅线方程为 因为A亦=3成，则c0s0=号则0=晋， =一号=一子，所以点A到抛物线C的准线的距离 同时可得1AF=AA1=2p,CA=2 Xsin号 为1+月-是 2p×受-5p,因此四边形CFAM的面积S 3.(1)设A(y),B(x…y) 合(2p+p)×3p=12,,解得=2,2. x=2y-1. 联立 消x得y2一4y+2p=0, ly=2pr, 3.3.2抛物线的简单几何性质 △=16p-8p>0,为+为=4p,12=2p: 真题演练 1.BCD提示：如图，因为抛物线C过点A(1,1),所以 又>0，p> 1=2p,解得p=之，所以C的方程为x=y且准线为 .AB1=√1+4·|-|=5·√16p-8p= y=一子，故A错误： 4√15， 解得p=一多（负值舍去）或p=2。∴p=2 (2)由(1)知F(1,0),设M3为)，N(xy4), Ntx=my十i, x=y+ 联立 消x得y2一4my一4n=0, y2=4x, △=16m2+16n>0,为十4=4m,y3头=-4n. 46 参考答案与提示么超 Fi.F=(-1)(x-1)十yy 当a>2时，①不恒成立. =(为十一1)(my十1-1)+为y 综上，a的取值范围为(0,2]. =(m2+1)y4+m(n-1)(为十)十 学业质量测评 (n-1)2 1.A =-4mn-4n十4r2n-4m2+2-2n十1 2.D提示：设A(,y),B(”),将y=x十b代入y =0, 之，化简可得-2红一2必=0，故十=2 ∴.4㎡=n2一6m+1≥0，此时△=4(n-1)2>0,解得 一2，所以yn为=x1十b(x十x)十∥=6 n≤3-2√2或>3+22， 又OA⊥OB,所以x1+1为=0，即-2b+∥=0，则 ∴Sg=21MF·1NF到=之+HD+HD b=2或b=0,经检验=0时，不符合题意，故b=2. 3.BCD提示：因为焦点F到准线的距离为p,所以p =合m%十n+1Dm,++D 2,所以抛物线C的准线方程为x=一1，故选项A错 =[m(-4n)+(m+m)…n+(n+1)门 误：当PQ垂直于x轴时PQ最小，不妨设P在x轴 上方，则此时P(1,2),Q(1,一2)，所以PQ=4,故选 =-2+1=(1-1)2, 项B正确：设P(,).Q(,业)，直线PQ的方程为 ∴.当n=3-22时，(Sax)m=(3-22-1)2 [r=my+1, 12-8√2. x=my+1,由 消去y可得x2一(4m2+ y2=4x, 4(1)由题意可得T的准线方程为x=一1.A(公). 2)x十1=0，则x=1,消去x可得y2-4my-4=0, 因为点A在第一象限，所以a>0 所以为+为=4m为=-4，则5四=专10F· 因为点A到准线的距离为3，所以号+1=3， 1m-为1=号×1X0n+w)-4=之× 解得a=2√2. √16m+16≥2（当m=0时等号成立），OP,石 (2)因为a=4,所以A(4,4) 十=一3，故选项C,D正确. 设B.0),则AB的中点坐标为（告，2）小， 4.2.提示：设点A的横坐标是x1,则依题意有焦点 F(1,0),AF1=x1十1=2，则x1=1.因为AF所在直 因为该点在抛物线上，所以4=2(1十4)， 线过点F,所以直线AF的方程是x=1,此时弦AB为 解得1=-2，所以B(-2,0). 抛物线的通径，故BF1=AF=2. 所以直线AB的方程为2x一3y十4=0， y=2x-4, x=4,nfx=1, 所以点0到直线AB的距离d=4=4区 5.由 解得或 y=4x, y=4y=-2 √2+3 13 由题图可知，A(4,4),B(1,一2)，则|AB=35 (3)由题意可得A(件）)，设rP(停m)(m≠a,m>0, 设P(x,)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P a>0), 到直线AB的距离，则 则直线PA:y一a= -2“4=--- 5 所以Q(-3,ma-12) ,又H(一3，m), 1)2-91.-2<%<4,.(w-1)2-9<0. m+a 所以HQ=m-二 d+12 d2志9-- m十a m十a =m+2>4, m十d 化简得(m-2)2>4(a-2).① 从而当1时d2号×2×35 2w5 当a-2<0时，①恒成立，∴.0<a<2: 当a=2时，m≠2，则(m-2)>0成立： 华故当点P的坐标为子，)时，△PAB的面积取得 47 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 最大值，最大值为乳 “最远距离直线”，故C正确：把y=之x+1代入= 6.A提示：设T(,为)，：抛物线C:y2=2x(p> 4.x,消去y并整理得x2-12x十4=0，因为△=(-12) 0,r(20 -4X1×4=128>0,所以此方程有解，所以y=号r+ M0,1),六kw= 10=-2 1是“最远距离直线”，故D正确， 0- 2 9.BCD提示：圆C:x2+(y1)2=16的圆心为(0,1)，半 MEIMT. ∴.k·knw=一1， 径r=4,与y轴正半轴的交点为(0,5)，抛物线E:x2= v台：即=专+1，① 4y的焦点为F(0,1),准线为直线y=一1，联立圆的方 程和抛物线的方程可得A,B两点的纵坐标为3，所以 :FT=吾， 点P的纵坐标y∈(3,5)，故A错误：由抛物线的定义 可得PN|十NF|等于点P到抛物线的准线的距离， 六油抛物线的定义可得十号-多，@ 故B正确：圆C的圆心到抛物线的准线的距离为2，故 :Tw,话=2m,%=》③ C正确：△PFN的周长为|PF|+|PNI+|NFI=r+ yP+1=yp十5∈(8.10)，故D正确. 将3代人①可得=号：第+1，解得=2 10.y=4x:2x-y一2=0或2x+y-2=0.提示：设点C 到直线x=一1的距离为d,则1CA=d,所以点C的轨 一号代入②式可得号+号-受 迹E为以点A为焦点，直线x=一1为准线的抛物线，设 即p-5p+4=0,解得p=1或p=4, 抛物线方程为y=2px(p>0),因为号=1，所以力=2， 抛物线方程为y=2x或y2=8x 则E的标准方程为y=4无.不妨设点P在x轴上方， y=kx一2， 7.C提示：设A(y),B(,).由 消去 y=8x, 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=1,点 P(1,2),Q(1,一2)，所以圆心为点A,半径为2的圆被 y得kx2-4(k+2).x十4=0，故△=16(k+2)2-16k y轴截得的弦长为2√2一下=23≠4，不符合题意： =641十k)>0,解得>-1，且西十西=4什2.由 当直线1的斜率存在时，设直线1的斜率为飞，则直线 1AF川=n+号=+2，BF=十号=+2，且 I的方程为y=k(x-1)(k≠0)，代入y=4r,消去y 并整理得k2x2一2(k+2)x十k=0,4>0成立，设点 AF1+BF=8,得十2十x+2=8,得+x=4, 所以4+2=4，解得k=-1或k=2,又>一1，所 P),Q为)，则十=2E十2， k2 以k=2. 1k设PQ的中点为Ma).则=法是，PQ 8.BCD提示：由题意可得，点P到点M的距离比到直 /+k· /+22一4=4k+1卫，所以圆的半 线1的距离小1，等价于点P到点M的距离等于到直 线'：x=一1的距离，故点P的轨迹是以M(1,0)为焦 径r=号PQ=2里，以PQ为直径的圆被y轴 点，直线1：x=一1为准线的抛物线，其方程是y= 4x,故A错误：点P的轨迹方程是y2=4.,它与直线 截得的弦长为2Λ AE+1)一十2少=4，解得 没有交点，故B正确：要满足“最远距离直线”，则必须 k=士2，所以直线1的方程为y=2(x一1)或y= 满足与抛物线y=4x有交点，把y=2x+6代入y -2(x-1D,即2x-y-2=0或2x+y-2=0. 4x,消去y并整理得x2+5.x+9=0,因为△=52一4× 1L.(1)当直线/与x轴垂直时，直线1的方程为x=2,可 1×9=一11<0，所以此方程无解，所以y=2x十6不是 得M的坐标为(2,2)或(2，-2). 48 参考答案与提示收超 所以直线BM的方程为y=之+1或y=一之一1 (y=k(x-1), 的 消去y并整理得x2一4kx十4t=0, (2)方法一当1与x轴垂直时，AB为MN的垂直平 分线，所以∠ABM=∠ABNV. 由直线PA与抛物线相切得k=t 当1与x轴不垂直时，设1的方程为y=k(.x一2)(k≠ 因此，点A的坐标为(2，). 0),Mx1y),N(x),则x>0,>0. 如图，设圆C的圆心为D,点B的坐标为(x,),连 y=k(x-2), 接PD,由题意知，点B,O关于直线PD对称， 由 得ky2-2y-4k=0. y2=2x 可知为十为=是为=一4 直线BM,BN的斜率之和为k十km一斗2十 2t 年2就寄 x=1十 .① 则 解得 2r x01-%=0, 将石=兴+2=是+2及+%的表达式 %一1+ 代入①式分子，可得y+为十2(”+为)= 因此，点B的坐标为（辛千） 2+4k(士22=一8十8=0. (2)由(1)知AP=t·√1+F,直线PA的方程为x 所以kM十kw=O,可知直线BM,BN的倾斜角互补， y一f=O.点B到直线PA的距离d= 1+ 所以∠ABM=∠ABN 综上，∠ABM-∠ABN. 设△PB的面积为S.则S)=号AP·d-号 方法二（几何法）设M的坐标 13.抛物线C上点P(2pt,2p)处的切线方程为2p1r 为(·”)，N的坐标为(x, B p(2pr+y).y=2tx-2pt, ”),不妨设>0，边<0，如图， 、于是原点O到切线PQ的距离为气一 5=1, 分别过M,N作x轴的垂线，分 别交x轴于点E,F(当1与x轴垂直时，认为E,F两 即4p-4r-1=0,所以=1十，+ 2p 点重合). D当2=1时=之则=1止五_1 2p 设直线MN的方程为x=my十2 欲证∠ABM=∠ABN,可证△BFNc△BEM, 解得p=22. 即证器-温即证会-六，即证器 所以抛物线C的方程是x2=4√2. mn十4 (2)设Q(xQ,2o一2pm),由直线PQ与圆C:相切， 二兰，整理得2mM十4(y十)=0， y 得。忙=一安解得0一料 (x=my+2, 延长PQ交y轴于点M(0,-2pr). 由 得y2-2y-4=0, ly=2x, 则S=5mw-San=(号+2m） 所以y+为=2m,y为=一4， 所以2my为十4(M十业)=一8m十8m=0. 等-r1(2+n. 4 所以∠ABM=∠ABN 12.(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的 方程为y=(x一t), 所以 2r+)4+D=4r++3225+3. 2 49 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 当且仅当r=,即p=V2/2+2时，等号成立。 7.A提示：依题意不妨设F(0,c),F:(0,一c),则过点 F且与渐近线y=号x平行的直线的方程为y 所以S的最小值为22+3. 6x十c,如图. d 单元学能测评 ax+c 1.B 2.C 3.B 4.A提示：设点P的横坐标为x,F,(一C,0). ,线段PF的中点在y轴上， -c十x=0,r=c =x+c. x=一2a .P与F:的横坐标相等，PF⊥x轴。 联立 解得 即M-会)： ∠PF,F=30,∴Pp,=号Ppl. y=-分x… y=2 因为M在以线段FF为直径的圆x+y=2内， :PE+PE=2a,PF=号a 所以（会）+（受）‘<， m∠PF,R--喜- 化简得<3a,即2-a<3a2,故5<2 4=5. 又双曲线的离心率e=名>1. 5.B提示：由题意得a2=10,=8,∴2=a2一？=2. 所以双曲线离心率的取值范围是(1,2). 设椭圆的上顶点为B,由c<b得∠FPF≤∠FBF 8B提示：由题意得直线AB的方程为)一+1a>》. <90O,因此PF⊥FF或PF⊥FF. 当△PAB的面积取得最大值时，设过点P且与AB平 当PF⊥FF时，PF=在=8」 a 10 .S△m,= 行的切线方程为y= x十m(m≠1). 是ER11PE,1=号x22x是-85 /10 5 +y=1 a 联立方程，得 同理，当PF⊥FR时，Sa5=85 y= 5 axtm, 6.A提示：：F驴=3下，点Q在点P,F之间.如 消去y,可得2x+2am.x十d2m-a2=0, 图，过点Q作QM⊥1，垂足为点M,由抛物线的定义知 令△=4amr一8(am-a)=0,得mr=2, QF=QM.设抛物线的准线1与x轴的交点为N, 易知m=一②（正值含去），所以切线方程为y=。x 则1FN|=4,又易知△PQMc∽△PFN,则 ENI /2,易得(0，一2)为切线上的点. 品即4-号 设此时切线到直线AB的距离为d, 4 即(0，一2)到直线AB的距离为d, QM=g,即1QF= 则d= 12+1 =a(w2+1) √日)+- a+1 又AB=+,所以21AB·d-2+1,解得a=2, 则M(一3,0)，N(√3,0)分别为椭圆的左，右焦点， 所以QM1+1QN1=2a=4,所以QN十QM 50《易错警示》参考答案收翅 曲线的渐近线方程是y=士号，焦距为22丽，求双曲 得到错误答案：y=18x 事实上，点P到点F(4,0)的距离与到直线x=一5 线的标准方程。 的距离相等，满足抛物线的定义，但4≠一5，故此 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 抛物线的方程不是标准方程。 -号 由a a2=18, 解得 2=a2+8=26. =8. 误区26。忽略直线与抛物线有一个公共点的 特殊情况 所以所求双前线的标准方程为后一普-1。 易错题26（错误率26%）(2024·武汉十一中单元检 当双曲线的焦点在y轴上时， 测)求过定点P(一1,1)，且与抛物线y=2x只有一个 =18 公共点的直线（的方程。 解得 a=8, 正解(1)当直线1的斜率不存在时，显然不满足题意 2=a2+=26. (2)当直线1的斜率存在时： 所以所求双曲线的标准方程为号一。-1。 ①若直线（与抛物线的对称轴平行，则直线/的方 故所求双曲线的标准方程为后一普-1或号 程为y=1,此时直线1与抛物线只有一个公共点： ②若直线1与抛物线的对称轴不平行，设直线1的 -1 y=k(x+1)+1, 方程为y一1=k(:x十1)(k≠0)，由 消 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦点 y=2x 在y轴上的情况 去x,得ky-2y+2k+2=0. 因为抛物线与直线只有一个公共点，所以△=4 误区25忽视抛物线标准方程中“标准”的含义 h(2k+2)=0,解得k=-1E 2 易错题25（错误率28%）(2024·哈尔滨三中单元检测) 已知点P到点F(4,0)的距离与到直线，x=一5的距离 故所求直线1的方程为(W3一1)x一2y+√3十1=0 相等，求点P的轨迹方程 或(1+/3).x+2y+3-1=0. 正解设点P(x,,则由题意得/一)义三x士5： 综上所述，所求直线1的方程为y=1或(3一 化简整理得y=18r+9,此即为所求的轨迹方程. 1)x-2y+√3+1=0或(1+3)x+2y+3-1=0. 易错探因本题在正解的画波浪线处容易出错，其原因 易错探因本题易错的地方是只考虑直线！的斜率k存 是由抛物线的定义判断该点的轨迹为抛物线，于是设 在且不为0时的情形，而忽略k不存在及直线1平行于 其方程为y=2px(p>0),而p=|4+|一5引=9，从而 抛物线的对称轴这两种情形.