3.3.1抛物线及其标准方程-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

《易错警示》参考答案收翅 曲线的渐近线方程是y=士号，焦距为22丽，求双曲 得到错误答案：y=18x 事实上，点P到点F(4,0)的距离与到直线x=一5 线的标准方程。 的距离相等，满足抛物线的定义，但4≠一5，故此 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 抛物线的方程不是标准方程。 -号 由a a2=18, 解得 2=a2+8=26. =8. 误区26。忽略直线与抛物线有一个公共点的 特殊情况 所以所求双前线的标准方程为后一普-1。 易错题26（错误率26%）(2024·武汉十一中单元检 当双曲线的焦点在y轴上时， 测)求过定点P(一1,1)，且与抛物线y=2x只有一个 =18 公共点的直线（的方程。 解得 a=8, 正解(1)当直线1的斜率不存在时，显然不满足题意 2=a2+=26. (2)当直线1的斜率存在时： 所以所求双曲线的标准方程为号一。-1。 ①若直线（与抛物线的对称轴平行，则直线/的方 故所求双曲线的标准方程为后一普-1或号 程为y=1,此时直线1与抛物线只有一个公共点： ②若直线1与抛物线的对称轴不平行，设直线1的 -1 y=k(x+1)+1, 方程为y一1=k(:x十1)(k≠0)，由 消 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦点 y=2x 在y轴上的情况 去x,得ky-2y+2k+2=0. 因为抛物线与直线只有一个公共点，所以△=4 误区25忽视抛物线标准方程中“标准”的含义 h(2k+2)=0,解得k=-1E 2 易错题25（错误率28%）(2024·哈尔滨三中单元检测) 已知点P到点F(4,0)的距离与到直线，x=一5的距离 故所求直线1的方程为(W3一1)x一2y+√3十1=0 相等，求点P的轨迹方程 或(1+/3).x+2y+3-1=0. 正解设点P(x,,则由题意得/一)义三x士5： 综上所述，所求直线1的方程为y=1或(3一 化简整理得y=18r+9,此即为所求的轨迹方程. 1)x-2y+√3+1=0或(1+3)x+2y+3-1=0. 易错探因本题在正解的画波浪线处容易出错，其原因 易错探因本题易错的地方是只考虑直线！的斜率k存 是由抛物线的定义判断该点的轨迹为抛物线，于是设 在且不为0时的情形，而忽略k不存在及直线1平行于 其方程为y=2px(p>0),而p=|4+|一5引=9，从而 抛物线的对称轴这两种情形.更难点手细高中数学选择性必修第-册RUA 3.3抛物线 3.3.1抛物线及其标准方程 重点和难点 课标要求 重，点：抛物线的定义及其标准方程 1.理解抛物线的定义 难点：抛物线定义的应用. 2.理解抛物线的标准方程. 口门-01必备知识梳理。 基础梳理 卫划重点 知识点1抛物线的定义 (1)注意定点F不在定直 我们把平面内与一个定点F和一条定直线(1不经过点F) 线1上，这是动，点轨迹为抛物 线的必要条件，否则，若定，点 距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线！ F在定直线上，则动点轨迹 叫作抛物线的准线. 为过定点F且和定直线【垂 知识点2抛物线的标准方程 直的一条直线.例如：到定，点 F(1,2)与定直线l:x=1的距 1.抛物线的标准方程 离相等的动点的轨迹为过定 与建立椭圆、双曲线的标准方程一样，选择不同的坐标系可 点F(1,2)且和定直线：x=1 以得到不同形式的标准方程，抛物线的标准方程有以下四种不同 垂直的直线y=2. 的形式 (2)抛物线的定义可归结 为“一动三定”：“一动”即一个 标准方程 图象 焦点坐标 准线方程 动点，设为M:“三定”即一个 定点F、一条定直线【、一个定 值（即动点M与定点F和定 y2=2p.x(p>0) (台) x=一2 直线1的距离的比值为常数1). (3)设M是抛物线上一 点，点M到准线I的距离为 () d,由抛物线定义，知抛物线是 y2=-2p.x(p>0) 点的集合(MlMF=d. (4)双曲线与抛物线上的 点的性质存在着差异，虽然抛 物钱的形状与双曲线的形状 x2=2py(p>0) (0,) y-光 看起来有点像，但绝不能把抛 物钱希成是双曲线的一支.当 抛物线上的点趋向于无穷远 时，过曲线上的点的切线接近 x=-2py(p>0) (0.-) 于和对称轴平行：而当双曲线 上的点趋向于无穷远时，过曲 158 第三章 圆维曲线的方程么型 2.参数p的几何意义 线上的点的切线接近于和渐 抛物线的标准方程中参数p的几何意义是：抛物线的焦点到 近线平行，抛物线没有浙近 线：从方程上看，抛物线方程 准线的距离（即焦准距），所以p的值水远大于0.当抛物线标准方 与双曲线方程有很大差别. 程中一次项的系数为负值时，不要出现p<0的错误 重难拓展 目敲黑板 重难点1抛物线的焦半径公式 (1)只有抛物线的顶点在 坐标原点，焦点在坐标轴上 1,用坐标表示的焦半径公式 时，抛物线的方程才具有标准 由教材中抛物线的定义可得到抛物线的焦半径公式如下： 形式 若点M(.xo,%)是抛物线y2=2px(p>0) 2 (2)标准方程的特征：等 上一点，抛物线的焦点为F,准线为，则线段 H 号的一边是某个变量的平方， MF叫作抛物线的焦半径.如图所示，过点M 等号的另一边是另一个变量 的一次单项式 作1的垂线段MH,由抛物线的定义可知 (3)焦点在y轴上的抛物 IMF]-IMHI-+2. 线的标准方程是x2=士2y (p>0),通常又可以写成y= 同理可得， ax,这与以前所学习的二次 若点M(.xo,%)在抛物线y2=一2px(p>0)上，则MF|= 函数的解析式是完全一致的， 但需要注意在由方程y=a.x 含-x: 求焦点坐标和准线方程时，必 若点M(.xo,%)在抛物线x2=2y(p>0)上，则|MF|= 须先将抛物线的方程化成标 准形式。 +号： 4记结论 若点M(xo,3%)在抛物线x2=一2y(p>0)上，则|MF|= 抛物线的焦点弦有关的结论 如图，AB是抛物线y”= . 2p:x(p>0)过焦点F的一条 弦，倾斜角为a,设A(x1,y), 例①(2024·青岛二中检测)设F为抛物线y2=4.x的焦点， B(x,),AB的中点M(xo, A,B,C为该抛物线上三点，若FA+F官+F心=0，则1FA|+ %),抛物线的准线为1，AA11 F+FC=(). l,BB⊥l,MM⊥L, A.6 B.4 C.3 D.2 解析]设A(.x1,y),B(x2,2),C(xay) 由题意得抛物线的焦，点为F(1,0),准线方程为x=一1. 因为FA+FB+FC-0,所以点F是△ABC的重心， 故x十x2十x3=3, (1)以AB为直径的国必 则FA+FB+FC1=x+1++1+x十1=x十十 与准线L相初：以AF,BF为直 x+3=3+3=6. 径的圆都与y轴相切. [答案A (2)∠A1FB1=90° 159 更难食手册高中数学选择性必修第一册UA 2.用角α表示的焦半径公式 (3)MF⊥AB. 如图，若倾斜角为α的直线AB过抛物线 (4)MA与MB是抛物 线的两条互相垂直的切线. y=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于 (⑤)1AB1=2(+) A,B两点，则有1AF=1-s。BF= G人a D OE E 十x十p= 2 B sin a' 1十。证明如下：如图，设A,B在准线1与 (6)A,B两点的横坐标之 x轴上的射影分别为C,D和E,G,准线I与x轴交于点P,则有 积、纵坐标之积为定值，即 AF=ACI=EP=PF+EF=PF+AFI cos a. 4为=一 AF=1-sa同理可得1BF1=1十8G (7)S6B= 2sin a 例2(2024·成都外国语学校测试)已知抛物线C:y2=x的 12 (8)AF+BF可p 焦点为F,直线I过点F与抛物线C相交于A,B两点，且AF 3FB,则直线1的斜率为( ）. (9)IAFI-1-cos @ A士 B.±v3 C.士1 BF=1+cos a' AF1+cosa 解析设直线1的倾斜角为0，因为AF=3FB, BF1-cos a' 所以|AF=3BF. (10)kkm=L兰=一4. 2 由2十丽一多 1 进一步地，若直线过抛物线对 称轴上一定点(a,0),与抛物 线交于P,Q两点，则kp· 可得号×=4，BF=3所以AF=3BF=3X号-1 当点A在x轴上方时，AF到=1一s 所以c0s0=号，am0-3,即直线1的斜率为，3，当点A在 轴下方时，由对称性知，直线！的斜率为一√3. 综上，直线l的斜率为士3. 答秦B 02关键能力提升。 题型方法 (2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再 题型1求抛物线方程的基本方法 根据题中条件，确定参数p. L.求抛物线方程的常用方法 (3)定义法：先判定所求点的轨迹符合抛 (1)直接法：直接利用题中已知条件确定 物线的定义，进而求出方程. 参数p. 求抛物线方程的主要步骤是先定位，即根 160 第三章圆维曲线的方程么型 据题中条件确定抛物线的焦点位置：后定量， 故所求抛物线的标准方程为y=一3x或 即求出方程中p的值，从而求出方程. 2.若已知对称轴确定在坐标轴的某半轴 x2=-9y. 上，则由条件设为y2=2p.x或y2=一2px或 (4)对于直线方程3.x一4y一12=0，令x= x2=2py或x2=一2py(p>0),进而求解， 0,得y=-3:令y=0,得x=4 所以抛物线的焦点为(0，一3)或(4,0). 3.若只知对称轴在x轴或y轴上而开口 方向不确定，则可设为y=m.x(m≠0)或x2= 当焦点为(0，-3)时，号=3，所以力=6，此 y(n≠0)，从面而避免了分类讨论 时拋物线的标准方程为x=一12y: 例3根据下列条件分别求出抛物线的标 准方程。 当焦点为(4,0)时，号-4，所以p=8,此时 1)准线方程为y=号： 抛物线的标准方程为y2=16.x. 故所求抛物线的标准方程为x2=一12y (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离 或y2=16.x. 为5： 题型2抛物线定义的应用 (3)经过点（一3，一1）： 如同椭圆和双曲线一样，抛物线的定义也 (4)焦点为直线3x一4y一12=0与坐标轴 具有“双向性”：一方面，满足到定点和定直线 的交点 的距离相等的点的轨迹是抛物线，利用它可以 解析](1)易知抛物线的准线交y轴于正 求某些动点的轨迹方程：另一方面，抛物线上 半轴，且号号，则D=号，故所求抛物线的标 2 的点到焦点的距离等于到准线的距离，利用它 可以将两个距离相互转化，使某些问题得到快 准方程为x2= 3 速解决。 (2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方 例4(1)平面上一动点P到定点F(1,0) 程为x2=2my(m≠0)，由焦，点到准线的距离为 的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的 5,知m=5,m=士5，所以满足条件的抛物线 轨迹方程： 有两条，它们的标准方程分别为x2=10y和 (2)已知圆C的方程为x2+y2一10x=0, x2=-10y. 求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的 (3)因为，点（一3，一1）在第三象限，所以设 轨迹方程。 所求抛物线的标准方程为y=一2p.x(p>0) 解析(1)方法一（直接法）设点P的坐 或x2=-2py(p>0). 标为(x,y),则有√(x一1)+y2=|x十1. 若抛物线的标准方程为y2=一2x(p>0), 两边平方并化简，得y2=2x十2x. 则由(-1)2=-2pX(-3,解得p=名： 4x(x≥0)， 即y2 若抛物线的标准方程为x2=一2py(p>0), 0(x<0), 故动，点P的轨迹方程为y=4x(x≥0)或 则由(-3)=-2pX(-1D,解得p=号 y=0(x<0). 161 重难包手细高中数学选择性必修第一册R/ 方法二（定义法）由题意，动点P到定点 解析由题意得F(0,2),准线方程为y F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点 一2.过P作PP1垂直于准线，交准线于P,过 F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线 A作AA,垂直于准线，交准线于A1,根据抛物 y=0上的，点符合题意； 线的定义可知PF|=|PP 当x≥0时，题中条件等价于点P到点 因为A(4,5), F(1,0)与到直线x=一1的距离相等，故点P 所以|AF1=√42十(5-2)2=5， 的轨迹是以F为焦，点，直线x=一1为准线的 抛物线，轨迹方程为y2=4 1AA|=5-(-2)=7. 综上，所求动，点P的轨迹方程为y= 所以△PAF的周长C=|AF|十|AP|+ 4x(x≥0)或y=0(r<0). IPFI=AF+API+PP>AFI+AA (2)设，点P的坐标为(x,y),动圆的半径 =5+7=12,当且仅当A,P,P1三点共线时， 为R 等号成立 ,动圆P与y轴相切，R=x. 答案C ,动圆与定圆C:(x一5)2十y=25外切， 题型4抛物线的实际应用 .PC=R+5.∴.|PC=x|+5. 在实际应用题中，有很多问题与抛物线有 当点P在y轴右侧，即x>0时，|PC= 关，如建筑工程中的桥拱、探照灯或手电筒的 x十5， 反射镜的轴截面、宇宙中的星体轨道等，要解 ∴点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物 决这些实际问题中的有关计算，我们可以利用 线，则圆心P的轨迹方程为y2=20x(x>0): 坐标法求抛物线方程，利用抛物线的标准方程 当点P在y轴左侧，即x<0时，PC= 及其几何性质进行推理、运算. 一x十5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴， 即点P的轨迹方程为y=0(x<0). 例⑥(2024·湖北仙桃中学测试)苏州市 故点P的轨迹方程为y2=20x(x>0)或 “东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔 y=0(x0). 连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基 题型3求解抛物线最值问题的方法 础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋 在解决与抛物线有关的最值问题时，一方 建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该 面要注意从几何角度进行观察、分析，并利用 抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两 抛物线的定义来解决问题：另一方面还要注意 个窗户的水平距离为30m,如图2，求此抛物 从代数角度入手，建立函数关系，利用求函数 线顶端O到连桥AB的距离。 最值和值域的有关方法来求解. 0 例5(2024·武汉三中测试)已知A(4, C 30m 5),抛物线x2=8y的焦点为F,P为抛物线上 150m 与直线AF不共线的点，则△PAF周长的最小 60m B 值为(). A.18B.13 C.12 D.7 图1 图2 162 第三章圆锥曲线的方程么型 解析建立平面直角坐标系， 故抛物线方程为y2=4x,y 如图3所示 四边形MAFB的面积 设抛物线的方程为x2 S=号1MA1XAFX2= -2py(p>0),D(15,t)(t<0), 则B(30,1-150). 1MA|=√TMF2-1. 由点B,D均在抛物线上， 因为S=ABMF, 152=-2t, 图3 得 302=-2p(t150), 所以AB-2/已=2、1-M平 MF 由抛物线的定义得|MF=x+1, 解得 所以抛物线顶端O到连桥 t=-50, 又x∈[1,3]，所以MF∈[4,16]， AB的距离为150十50=200m. 所以∈[·， 题型5抛物线方程与其他方程的综合 例口(2024·宜域一中月考)如图，抛物 所以AB∈[，] 线T:y2=2p.x(p>0)的焦点为F,圆F:x2十y 易错警示 一2x=0,M(x,y)为抛物线上一点，且x∈[1， ◆易错题25（错误率28%）(2024·哈 3],过M作圆F的两条切线，切点分别为A, B,求AB的取值范围 尔滨三中单元检测)已知点P到点F(4,0) 的距离与到直线x=一5的距离相等，求点 解析由题意知，圆F的圆心为F(1,0), P的轨迹方程. 半径r=1, 03核心泰养聚焦。 考向分类 不妨设k=√3，则切线方程为y=√3x, 考向1抛物线的定义与标准方程的 运用 联立一得点P坐标为P学，2. 2=2px, 例8(2023·天津卷)过原点O的一条直 线与圆C:(x十2)2十y2=3相切，交曲线y= 9P-4 D=8,解得p=6. 2px(p>0)于点P,若|OP|=8,则p的值 答案6」 为 命题意图：主要考查抛物线定义的应用，以 解析由已知得圆C的圆心为（一2,0），半 及标准方程等基本知识 径为3. 命题规律 真题探源：取材于教材P133[练习]第2、 设切线方程为y=kx,则2L=3, 3题 √+I 常考题型选填题难度系数0.6高考热度 ★★ 解得k=土√3. 又曲线y2=2px(p>0)具有对称性， 核心素养 效学运算、直观想象 素养水平水平二 163 更滩食手细高中数学选择性必修第一册RUA 考同2抛物线的综合应用 例9(2021·全国1卷)已知O为坐标原 A.2 B.3 C.6 D.9 点，抛物线C:y2=2p.x(p>0)的焦点为F,P 3.(2021·全国Ⅱ卷，考向1)若抛物线 为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一 y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x十1的距离 点，且PQ⊥OP,若FQ=6,则C的准线方程 为√2，则p=( ). 为 A.1 B.2 C.2√2D.4 解折不妨设P(2,p小， 4.(2020·天津卷，考向2)设双曲线C的 则有Q(6+号，0)，P=(6,-p). 方程为-￥=1(a>0,b>0),过抛物线y2= 4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐 因为PQ1OP,所以号X6-P=0, 近线与1平行，另一条渐近线与1垂直，则双曲 因为>0，所以p=3. 线C的方程为( ). 所以C的准线方程为x=一 3 Bx2一y =1 答案x=一3」 C.-y=1 D.x2-y2=1 命题意图：主要考查抛物线的相关知识 5.(经典·浙江卷，考向2)如图，设抛物线 命题规律 真題探源：取材于教材P133[练习]第3题 y=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三 个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上， 常考题型选填题难度系数0.7高考热度 ★★ 点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平水平二 比是( 真题演练 1.(2022·全国乙卷，考向1)设F为抛物 线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0), 若AF=|BFI,则|AB=( ). C A.2 B.2√2C.3 D.32 2.(2020·全国I卷，考向2)已知A为抛 昌 B.BF-1 AF2-1 物线C:y2=2p.x(p>0)上一点，点A到C的焦 BF2+1 点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= c D.AF+1 口-04学业质量测速。 基础过关练 测试时间：10分钟 A.(-1,0) B.(1,0) 1.[题型1门(2024·西安铁一中检测)已知抛物 C.(0,-1) D.(0,1) 线y2=2p.x(p>0)的准线经过点(-1,1)， 2.[题型1](2024·厦门一中检测)已知点 则该抛物线的焦点坐标为(). A(一2,3)在抛物线C:y=2x的准线上，记 164 第三章圆锥曲线的方程么型 C的焦点为F,则直线AF的斜率为( 综合提能练 测试时调：20分钟 A-专B-1C-是 D.- 7.[题型2]如图，在正方体ABCD-A,BCD 中，P是侧面BB1CC内一动点，若点P到 3.[题型2]已知抛物线C:y2=x的焦点为F, 直线BC与直线C,D,的距离相等，则动点P A(b)是C上一点，AF到=号，则 的轨迹所在的曲线是( () A.直线 D A.1 B.2 C.4 D.8 B.圆 4.[题型3](2024·武汉一中检测)（多选题）过 C.椭圆 抛物线y=2p.x(p>0)的焦点F作一条直 D.抛物线 线l与抛物线相交于不同的两点A(x,y), 8.[题型2、3]已知点E是抛物线C:y2=2px B(2,2),则下列说法中正确的是( (p>0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物 A.ABI=x1+x2+2p 线C的焦点，点P在抛物线C上.在△EFP B.|AB的最小值为2p 中，若sin∠EFP=t·sin∠FEP,则t的最大 C.nn- 值是( D.以线段AB为直径的圆与y轴相切 A.2 B.3 2 5.[题型5](2024·正定中学澜试)若抛物线y 9.[题型2](2024·南宁三中 =2c(p>0)的焦点与双曲线着-若-1的 测试)（多选题）如图，在平 右焦点重合，则实数p的值是 面直角坐标系Oxy中，抛物 6.[题型3、5]在平面直角坐标系Oxy中，曲线 线C:y2=2px(p>0)的焦 C1上的点均在圆C2:(x一5)2十y2=9外，且 点为F,准线为.设l与x 对C上任意一点M,M到直线x=一2的距 轴的交点为K,P为C上异于O的任意一 离等于该点与圆C上点的距离的最小值 点，P在L上的射影为E,△EPF的外角平 求曲线C的方程. 分线交x轴于点Q,过Q作QM⊥PF于M, 过Q作QN⊥PE交线段EP的延长线于点 N,则( A.PE=PF B.PF=QF C.PN=MF D.PN=KF 10.[题型5](2024·武汉二中月考)（多选题） 已知O为坐标原点，M(1,2),P是抛物线 C:y=2x上的一点，F为其焦点，若F与 双曲线号一y=1的右焦点重合，则下列说 法正确的有(. A.若PF1=6,则点P的横坐标为4 165 更难食手册高中数学选择性必修第一册U口 B.该抛物线的准线被双曲线所截得的线段 13.[题型2、3]在平面直角坐标系Oxy中，抛 长度为3 物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,直线 C.若△POF的外接圆与抛物线C的准线 x=3与抛物线C交于A,B两点，AF1= 相切，则该圆的面积为9π 4,圆E为△FAB的外接圆，直线OM与圆 D.△PMF的周长的最小值为3+√5 E切于点M,点N在圆E上，求OM·ON 的取值范围。 11.[题型3]已知抛物线y2=4x的焦点为F, 在抛物线上任取一点P,则P到直线y x十3的最短距离为 ,P到y轴的 距离与到直线y=x十3的距离之和的最小 值为 12.[题型2、5]已知抛物线y2=4a,x(a>0)的 焦点为A,以B(a十4,0)为圆心，|BA为半 径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆 交于不同的两点M,N,点P为线段MN的 中点。 (1)求AM+ANI的值， (2)是否存在这样的a,使2AP=|AM+ |AN|?若存在，求出a的值：若不存 在，请说明理由. C 培优突破练 测试时间：20分钟 14.[题型5](2022·全国高中数学联赛一试B 卷)在平面直角坐标系中，以抛物线T:y 6.x的焦点为圆心作一个圆2，与厂的准线 相切，则圆2的面积为 15.[题型1、2](2020·复旦大学强基计划测 试)已知抛物线y=2px(p>0),过焦点F 的弦交抛物线于A,B两点，且有A户= 3FB,准线与x轴交于点C,作A到准线的 垂线，垂足为A1,则当四边形CFAA,的面 积为12√3时，p的值为 166参考答案与提示收超 ‘(x-22) 由根与系数的关系可知”十”= 22m m一1，业为= 由 ，① 得(9-2)x2+82Px-16t-144=0, 此时MN=V+m×2王_2m+1D 27-9n=160+144 m-1m2-1 所以n十=82 2r-9 原点O到直线MN的距离为d=一色 则Gd.i-G成.Di-(22-,-)·(42- /1+m x1-必)-(42-x,t-4)·(一22，为)= ×2m+ 1十mm-1 2十2y3为-62(+2)-1(1十）十32 2m+1D (2+片)-(+6②)m+)+r+32 m2-1 由M,N都在双曲线的左支上知，一1<m<1, -4+8)(+92_4r(3r+22+4r+32=0. 21-9 212-9 令m㎡2-1=t(-1≤1<0)，则 所以0动.成-成i.即0-0 58a=2(}+是)≥2X(2-D=2.则5a≥2. 12.(1)根据题意建立平面直角坐标 当t=一1，即m=0时，等号成立. 系，如图，设M(x,y)(y>0)为界 故△OMN面积的最小值为2 线上任意一点，则依题意有 (2)假设存在这样的定点P(,0). MA+PAI=MBI+PBI. 当直线的斜率不为0时，由(1)知 1PA=2, Pi.P=(x-)·(-,业)=（一）( PB=4, 一)+y边=(my一√2-n)(m一√2-)+地= AB=PA+PB-2PAPB cos 60, (m+1)3一m(2十)·(y十为)+(W2+n).@ (MA1-MB=2, 将①代人②得成.p式=一3-22mm+2+m. AB=23. 一1 所以点M在双曲线r2-号-1x>0y>0)上 此时要想.为定值，则二3一22=占 即界线S的方程为r-兰=1(>0，>0. 得=一号，从而P成时=一 (2)依题意知，小道所在直线的方程为y=2(x十3) (y>0),所以双曲线右顶点(1,0)到小道所在直线的 即存在这样的定点P(一号.。)满足避意 距离为山=②一反+雪又小道所在直线 当直线的斜率为0时，易知PM·P=(n十1)(m-1) √2+I 广-1，若P(-号o）,则M忒=一之满足题意 与渐近线y=2x的距离为d,=5=0=2,从而 2+I 界线S上任意一点M到这条小道的距离d(M)∈ 统上·存在P(一号.o)满足题意 3.3抛物线 (n+). 3.3.1抛物线及其标准方程 13.(1)设直线MN的方程为x=my一√2，M(,为)， 真题演练 N(.由 x=my-√2， 1.B提示：如图，由题意可知F10,设A(学)·则 x-y2=1, 可得(m-1)y2-22my+1=0(m≠士1)， 由抛物线的定义可知AF=+1.因为BF=3 43 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 1=2,所以由1AF=BF,可得普+1=2，解得% 学业质量测评 1.B2.C3.A 士2，所以A(1,2)或A(1,一2).不妨取A(1,2,则AB 4.C提示：直线！过抛物线的焦点F,由抛物线的定义 =(1-3)+(2-0)严=8=2√2. 可得AB=x十x2十p,A错误： 当直线1Lr轴时，AB引有最小值且为2p,B正确： 由抛物线的方程可得F(号，0)， 设直线的方程为x=my+专，代人抛物线方程可得 y2一2mpy-p2=0,△=4n2p+4p>0, 2.C提示：如图，由题意得1AF=12,AM=9. 由抛物线C:y2=2px(p>0)可知点O到准线1的距离 则n为=一，所以=形=华，C正确： 因为y十y=2mp. 为号，即0B1=号： 所以十x=m(1十边)+p=(1+2m)p 由图可知，MN=OB=号 所以AB的中点的横坐标为十心=1+2)2 2 2 又由抛物线的定义可知，AN= AB=+D+卫=(1十m)p,则AB的中点到直线 2 |AFI,即|AM+|MN=|AF= x=- (1+2)卫+ 12,所以9+是=12，解得力=6， 号的距离为 2 +=(1+m)p,即 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，D错误， 3.B提示：抛物线y=2px(p>0)的焦点（号.0）到直 5.8. 6.设点M的坐标为(x,y),由已知得|x十2|= +1 线y一十1的距离为，区.可得2尼 =2,解得p=2. √(x一5)+y-3.易知圆C上的点位于直线x= 4.D提示：方法一y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则过 -2的右侧，即x+2>0,所以√(x-5)+y7=x+5. 化简得曲线C,的方程为y2=20.x 点1,0)和点(0，b)的直线1的方程为x+岩=1，而 7.D提示：由几何体ABCD-A:BCD是正方体，知 吉-芳=1的渐近线方程为。十名-0和后-名 DC⊥侧面BBCC,连接PC,所以DC⊥PC,即 PC为点P到直线DC的距离，从而PC等于点P 0,由1与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得 到直线BC的距离.由抛物线的定义知，动点P的轨迹 a=1,b=1,则双曲线C的方程为x2一y=1. 所在的曲线是抛物线。 方法二由题意知双曲线C的两条渐近线互相垂直， 8.A提示：由题意得，准线：x= 则a=b,即渐近线方程为x士y=0,排除B,C.又y -号，E(-号0)，r(o以.假设 4红的焦点坐标为1,0)，1过点1,0.(0，，所以哈9 点P在x轴上方，如图，过点P作 一1，b=1,则双曲线C的方程为x2一y=1. PH⊥I,垂足为点H,则由抛物线的 5.A提示：由题意可知抛物线的准线y 定义可知PH引=PF, 方程为x=一L. 如图，过点A作AA⊥y轴于点A+过 于是一密需-開-開 cOS∠EPH 点B作品上山轴于点则 B 1 cOs∠PEF. y=cosx在(0，π)上为减函数， ,当∠PEF取到最大值时（此时直线PE与抛物线相 BC BB BF一1 ACIAAAF-1 切)，Cos∠PEF取最小值，计算可得直线PE的斜率 44 参考答案与提示怅超 为1，从而∠PEF=45,÷==② 点到直线的距离公式得P(x,)到直线y=x十3的 2 9.ABD提示：由题意可得PF=PE,A正确： 距离d= 二边十3 2 因为PQ为∠NPF的平分线，所以∠FPQ=∠NPQ, 36一4h十12 (-2+2 又EP∥FQ,所以∠NPQ=∠PQF,所以∠FPQ 4 >2 ∠PQF,所以PFI=|QF1,B正确： 对于C,若PN|=MFI,而1PM=|PNI,所以M是 PF的中点，又QM⊥PF,所以|PQI=|FQ|.则△PQF 为等边三角形，即∠PFQ=60°，而P为抛物线上任意 一点，所以∠PFQ不一定为60°，C不正确： 由上面分析可得，四边形EFQP为平行四边形，所以 |EF=|PQl,EF∥PQ,所以∠EFK=∠PQF= 当且仅当%=2，和=1时等号成立.如图，连接PF, ∠QPN,在△EFK中，KFI=|EFI·cOs∠EFK,在 作PA⊥y轴于A,根据抛物线的定义知，P到y轴的 △PQN中，|PNI=|PQI·cos∠NPQ,所以IKF1= 距离PA=PFI一I,所以P到y轴的距离PA与 PVI,D正确. 到直线y=x十3的距离d之和为d+PF1一1，过点 10.ACD提示：因为双曲线的方程为号-了=1， F作直线y=x十3的垂线，垂足为H,则FH|= 所以a2=3.∥=1.则c=√a十=2， 山-0+3=22，根据图象得d什PF-1>FH刊 ② 因为抛物线C的焦点F与双曲线写一y=1的右焦 一1=22一1，当且仅当P,F,H三点共线时等号成 点重合，所以号=2，即p=4. 立，故P到y轴的距离与到直线y=x十3的距离之和 的最小值为22-1. 若PF=6,则点P的横坐标为xo=PF-专=4， 12.(1)设M,y),N(xNyw）, 所以A正确： 由抛物线的定义得AM+AN=xM十xrv十2a. 因为抛物线C的焦点F与双曲线亏一=1的右焦 又圆的方程为[x-(a十4)]+y=16, 将y=4a.x代人，得2-2(4-a)x+a2+8a=0. 点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长 .+N=2(4-a),AMI+ANI=8. 度为警-着-华所以B精误： (2)不存在. 因为O(0,0),F(2,0),所以△POF的外接圆的圆心 假设存在这样的a,使得2AP1=AM+|AN. 的横坐标为1，又△POF的外接圆与抛物线C的准线 过点P作PP垂直于抛物线的准线，垂足为P 相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F的距 AMI+ANI=2PP'...API=PP'. 离，等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为 由抛物线的定义知点P必在抛物线上，这与点P是 3,所以r=3,所以该外接圆的面积为S=π=9π，所以 线段MN的中点矛盾，这样的a不存在. C正确： 13.由题意，不妨设A在第一象限，故A(3,√6p), 因为△PMF的周长为C=|PF|+|PM+|MF|= 所以AF=3+号=4，解得p=2, r+号+PM+5=(+PM)+2+5≥w+ 所以抛物线C的方程为y2=4红， 2+5=3+5,当且仅当MP⊥y轴时等号成立，所以 则A(3,23).B(3,-23).F(1.0) D正确。 所以直线AF的方程为y=(x一1). 11.√2：2v2-1.提示：设点P(m,%),则哈=0，由 由题意知圆E的圆心在x轴上，设E(,O), 45 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 由EF=EA|得（一1）2=(3-)P+12, 由A,B的点坐标易知直线AB的方程为y=2x一1，显 解得=5，即E(5,0), 然该直线与x轴不垂直，将直线AB的方程与抛物线C .圆E的方程为(.x一5)+y=16. 的方程联立并整理得x2一2x+1=0,4=2一4×1× 不妨设yM>0,直线OM的方程为y=kx,则k>0, 1=0,所以直线AB与C相切，故B正确： 根据=4，解得太=号 设P(1y),Q(),直线PQ的方程为y=kx一1， √1+ [y=kx-1: 9 由 得x2-k.x十1=0， 4 r= I=- L=y, 解得 或 4=k2-4>0. (x-5)2+y2=16. = 12 所以以十=k, 故M号，号) z120=1. 所以>2或k<-2,为为=()2=1， 由题意可设V(4cos0+5,4sin0),0∈[0,2π]， 所以Oi.0N-oas0叶8in0+9-号(3os叶 又OP列=√+y=V+r,10Q|=√+= v十， 4sin0)+9. 所以(OP11(OQ1=√(1+)(1+)=√·应 因为3cos0+4sin0=5sin(0+g)∈[-5,5]，其中 =k>2=OA2,故C正确： tamg-子，所以0i.0六∈[-3,21. 因为BP1=/1+1x|,BQ=√1+k|, 14.9π.提示：抛物线厂的焦点与准线的距离为3，故圆 所以BP1|BQ1=(1+k2)11=1+k2>5, 2的半径r=3.所以圆2的面积为=9元， 而1BA=5,故D正确。 152反提示：易知AF-00BF到一中名 2 提示：因为点A(1,5)在抛物线C:y2=2x上， (0为直线AB的倾斜角). 则5=2p,所以D=号，所以抛物线C的雅线方程为 因为A亦=3成，则c0s0=号则0=晋， =一号=一子，所以点A到抛物线C的准线的距离 同时可得1AF=AA1=2p,CA=2 Xsin号 为1+月-是 2p×受-5p,因此四边形CFAM的面积S 3.(1)设A(y),B(x…y) 合(2p+p)×3p=12,,解得=2,2. x=2y-1. 联立 消x得y2一4y+2p=0, ly=2pr, 3.3.2抛物线的简单几何性质 △=16p-8p>0,为+为=4p,12=2p: 真题演练 1.BCD提示：如图，因为抛物线C过点A(1,1),所以 又>0，p> 1=2p,解得p=之，所以C的方程为x=y且准线为 .AB1=√1+4·|-|=5·√16p-8p= y=一子，故A错误： 4√15， 解得p=一多（负值舍去）或p=2。∴p=2 (2)由(1)知F(1,0),设M3为)，N(xy4), Ntx=my十i, x=y+ 联立 消x得y2一4my一4n=0, y2=4x, △=16m2+16n>0,为十4=4m,y3头=-4n. 46