3.1.2 椭圆的简单几何性质-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第三章圆锥曲线的方程么型 3.1.2椭圆的简单几何性质 重点和难点 课标要求 重点：椭圆的几何性质 1.掌握椭圆的简单几何性质. 难点：椭圆几何特征的发现 2.理解直线与椭圆的位置关系. -01必备知识梳理。 基础梳理 刀划重点 知识点1椭圆的简单几何性质 如图，在Rt△OBF,中， 1.椭圆的基本性质 BFl=a,IFO|=c,令 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 ∠FBO=0,则e=e=sin: a Ay y 在△MF1F2中，设∠MF,F2 B A =a,∠MF:F,=A,由正弦定 图形 A B B@a立 L A 里得，一 MF,MF+MF,I 荐+若-1a>60) +看1(a>60 sin a sin atsin B 标准方程 e= IFF -a≤x≤a且 一b≤x≤b且 2a=MF,千MF= 范围 一≤y≤b -asysa sin∠FMF_sin(a士) A(-a,0),A(a,0) A(0,-a),A(0,a), sin a+sin B sin a+sin 顶点 B(0,一b),B(0,b) B,(-b,0),B2(h,0) 轴长 短轴的长为2h,长轴的长为2a 焦点 F(-,0),F(c.0) F(0,-c.F(0,c) 焦距 FF:I=2c 对称性 关于x轴、y轴对称，(0,0)为对称中心 离心率 e= a (0<e<1) a 2.椭圆的离心率 (1)e=￡，由于a>c>0,所以0<e<1. (2)椭圆的离心率对鞘圆形状的影响：椭圆后+芳-1（®> b>0)的长半轴长为a,当c越接近于a,b就越接近于0，这时椭圆 就越扁：当c越接近于O,b就越接近于a,这时椭圆就越圆. 121 更避包手细高中数学选择性必修第-册RUa 用离心率e来刻画上述关系就是：当c越接近于a,e=。就越 接近于1，椭圆就越扁；当c越接近于0，e=￡就越接近于0，椭圆 就越圆.当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为 圆，它的方程为x2十y2=α.要注意：圆和椭圆是两种不同的曲 线，圆不是椭圆的特殊情况 (3)椭圆的扁圆程度由离心率e的大小确定，与椭圆的焦点 位置无关 知识点2直线与椭圆的位置关系 曰敲黑板 1.直线与椭圆的三种位置关系 对椭圆几何性质的挖掘 (1)黼圆上到中心距离最 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三 小的点是短轴的两个端，点（即 种位置关系，如图。 椭圆上的点到椭园中心的距 离的最小值为短半轴长b),到 中心距离最大的，点是长轴的 两个端点（即椭圆上的点到椭 圆中心的距离的最大值是长 相离 相切 相交 半轴长a). 2.利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 (2)椭圆上到焦，点距离最 设直线方程为y=k虹十n,稀圆方程为后+芳=1。>6>0。 大的点（称为“远日点”）和最 小的点（称为“近日，点”）是长 y=kx十m, 轴的两个端点，最大距离为 a十c,最小距离为a一C. 联立方程得之+兰 =1, (3)对于椭圆上的，点P, 当点P从长轴端点向短轴端 根据方程组解的情况便可确定直线与椭圆的位置关系.通常 点移动时，∠FPF2逐渐增 消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次 大，当点P在短轴端点时 ∠FPF最大. 方程 目敲黑板 △>0仁直线与椭圆相交一直线与椭圆有两个公共点： 椭圆的垂径定理 △=0台直线与椭圆相切一直线与椭圆有且只有一个公共点； 已知直线【与精圆交于 △<0台直线与椭圆相离台直线与椭圆无公共点. A、B两点，M为AB的中 3.弦长问题 点，则 (1)当椭圆的标准方程为 设直线：y=:虹十m交椭圆导+芳 =1(a>b>0)于点 F=1(a>6>0)时. P(x1,y1),P2(2,2)两点， b kw·ku=一 a" 则1PP2=√(x1一x2)2十(y一2) (2)当椭國的标准方程为 -[1+(货) y —1©一5一。>于、 =√(1一x2)(1+k2)=|1一x2|·V1+k2. k·kM= 122 第三章 圆锥曲线的方程么图型 同理可得PP=一·1+（≠0）， 可利用根与系数的关系求解x一x2|,y一|，常进行以 下变形： P划重点 |x-x2|=V(x1十x2)2-4x1x2; 由椭圆的第二定义探究椭圆的 几何性质 |yM一y2=W(y1+2)2-4yy2. 重难拓展 山准镜：首国听+芳=1 重难点1椭圆定义的拓展 (a>b>0)的准线方程为x= 椭圆的第二定义：P吧 。+F=1(a>b> =e,0<e<1,其中F为定点，l为 0)的准线方程为y=土9 定直线，为离心率，F￠l,d表示点P到直线l的距离： 两准线间的距离为 c 椭圆的第三定义：{P|kpAk阳=e2一1,0<e<1,其中kpA,k阳 焦点到相应的准线的距离 分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，e为离心率}. 为根 注意椭圆的第三定义中的定点在x轴上，且利用椭圆的第 椭圆的第二定义揭示了 三定义得出的轨迹方程不包括这两个定点. 椭圆上的点到焦点的距离与 例①已知动点M(x,y)到点F(一2√2,0)的距离与到定直 它到对应准线的距离关系，因 此，椭圆上一点到焦点的距离 线x=一6V2的距离之比为，则点M的轨迹方程为 可以转化为到准线的距离. (2)焦半径：对于椭圆写 解析由椭圆的第二定义可知点M的轨迹是椭圆，其中c= 是1(a>b>0)(F,R分别 22,-4=-62, 为椭圓的左、右焦点，P(x, 则a=24,即a=2√6， ”)为椭圆上任一点)，有焦半 径公式：|PF|=a十ex a26了，且0<<1，与描国的第二定义中需满 又e=c=223 PF2=a-ex: 对于辅圆 。+F=1(a> 足的条件相符 b>0)(F,F:分别为椭圆的 故脑國的中心在原点，其方程为号十 2416=1, 上、下焦点，P(x,)为椭圆 上任一点)，有焦半径公式： PFl=a-ey,PF:= a-eyi. 02关健能幼提升。 题型方法 观性，充分挖掘它的隐含条件，寻求4，b,c之间 题型1求椭圆的离心率 所满足的等式 例2(2024·绵阳中学月考)已知椭圆C: 1.求椭圆离心率的值 求椭圆离心率的值，关键是要找到a,b,c 荐+=1a>>0)的左，右焦点分别为R 之间所满足的关系式，这就需要利用图形的直F2,P为C上不与左、右顶点重合的一点，I为 123 更滩食手细高中数学选择性必修第一册RUA △PF,F2的内心，且3IF+2IF=2Pi,则C 的离心率为( 六Pp即PF=后·PF 由椭圆的定义知PF1+|PF2=2a, A号 B号 3 则E·|PF2|+|PF2|=2a, 解析设M是PF2 的中点，连接M,如图， 即PF1=2a c+a 则币+I正=2IM,又 由椭圆的几何性质知PF2<a十c, FNOF 3IF+2IF=2Pi,故 则 <a+c,即c2+2ac-a2>0, 3F+2F+2币= c十a 3IF+4M=0,F,I,M三点共线，且 ∴.e2+2e-1>0. 3瓜=4i,刷-草易知FM年 解得e<-√2-1或e>√2-1. 又e∈(0,1)，∴.e∈(W2-1,1). 分∠PFF2,又FM是PF2边上的中线，故 答案(2-1,1). F MLPF2,PF=FF|=2c, 3.由椭圆的离心率求参数 .PF2=2a-2c,MF2=a-c. 作IN⊥x轴于点N,则Rt△FIN 例目随四听+片1的离心率为号·则 Rt△FF2M,且|IN|=|IM, -周--音名 解折当焦点在x轴上时，m<4,)m 2 六4a=l0e,∴e=S=2 a 5* 2 ,解得m=3: 答泰B 2.求椭圆离心率的取值范围 当焦点在y轴上时，m>4,m一4=1 17 求椭圆离心率的取值范围，关键是寻找关 于a,b,c的不等式，这就需要利用椭圆上的点 解得m=16 的横，纵坐标以及角的取值范围、判别式、均值 定理等来构建不等式，从而求出e的取值范围. 综上，m=3或m= 3 例B已知椭圆酷+芳(。>>0)的左，右 金第3或9 焦点分别为F(一c,0),F2(c,0),若椭圆上存 题型2根据椭圆的几何性质确定椭圆 在一点P,使in∠PF,E,n∠PF,E,则该 的方程 例5(2024·南京外校检测)如图，椭圆 椭圆的离心率的取值范围为 解析在△PFF2中，由正弦定理，得 2+1（a>b之0)的离心率一1 3F,A分 PF2 PF 别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意 sin∠PFF2sin∠PFzF, 一点，若P户·PA的最大值是12，求椭圆的 “sin∠PE,Fsin/PF,.F' 方程. 124 第三章圆锥曲线的方程么型 R F MO Q 解析由题意知A(a,0),F(一c,0). PP'I=MRI=IFR+FMI= e-6- ，∴a=3c PF cos a. PF 设P(x0,),则一3c≤xa≤3c 又由椭圆的第二定义知PP=- PF=(-c-,-%), PF=E+PFl·ecosa. PA=(a-,-), 匠 P求.PA=(-c-a,-h)·(a-0: a 62 -)=一ac十cx0-a.xa十x十y哈=一a十 p=PF-1-ecos aa-ccos a c-a.n十x6十_， a2%-c2 后-(a-c)+ 同理，可得g=|QF|=1+ecos a 8-a-gi-(a-c)x+a-e-uc-g 房 a十ccos a 2m+5c=号m-9c-4,-3<<3 1Ia-ccos aaccos a-24( ∴当o=一3c时，P下，PA有最大值，且 定值) 最大值为122， 故+为定位 ∴.12c2=12,∴.c2=1, 题型4直线与椭圆的综合问题 ∴.a2=9,=u2-c2=8, 1.直线与椭圆的相交弦 六精国的方程为写+苦-1. 8 若直线y=kx十m(k≠0)与椭圆相交于 题型3椭圆两种定义的综合运用 A(为)，B(2,2)两点，则|AB引=√1十k· 例6过椭圆+ =1(a>b>0)的左焦 -或1AB=√1+是 ·-2. (弦长公式) 点F作一直线交椭圆于P,Q两点，若线段PF 2.中点弦问题 与QF的长分别为p,q,则+是否为定值？ 处理椭圆中的中点弦问题主要有三种 请证明你的结论 途径 解物+为定值.证明知下： (1)方程组法：通过解直线方程与椭圆方 b g 程构成的方程组，利用一元二次方程根与系数 如图，设∠PFO=a,l为左准线，P,Q在1 的关系及中点坐标公式求解， 上的射影分别为P'和Q',P,Q在x轴上的射 (2)点差法：设出弦的两个端点的坐标，代 影分别为M和N,l与x轴的交点为R. 入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的 125 更难包手细高中数学选择性必修第一册？U 关系 AB的中点为M(2,1), (3)中点转移法：先设出一个端点的坐标， ∴.直线与椭圆的另一个交点为B(4一x, 再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别 2-y). 代入椭圆方程作差即可. ,A,B两点都在椭圆上， 例☑(2024·西安高新一中检测)已知椭 「x2+4y2=16,① 圆后+善=1的弦AB的中点M的坐标为 (4-x)2+4(2-y)*=16.② 4 由①-②得x十2y-4=0. (2,1)求直线AB的方程. 显然点A的坐标满足这个方程，代入验证 解析方法一易知直线AB的斜率k存 可知，点B的坐标也满足这个方程，而过A,B 在，设直线AB的方程为y一1=k(x一2). 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为 y-1=k(x-2), x+2y-4=0. 得(4k2十1)x2 题型5椭圆的最值问题 例8(2024·湖南师大附中检测)设椭圆 8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0. 设A(1,),B(2y2),则1,2是上述 C号+苦-1a>6>0)的左焦点为F(-2 方程的两个根，于是西十=8(2-) 0).过F1且倾斜角为60°的直线与椭圆交于 4k2十1 A(a1,b),B(ae,b)两点，且AF=2FB 又M为AB的中点， (1)求证：2(b十b2)2+bb2=0,并求椭圆 4=42-2=2. 2 4k2十1 C的方程： 解得k=-2,且满足4>0， (2)设M(x1,y),P(x2,2),N(r3,y), Q(x4,y)是椭圆C上顺时针依次排列的四个 故所求直线AB的方程为x十2y一4=0. 点，求四边形MPVQ面积的最大值，并计算此 方法二设A(x,yM),B(x2,y2). 时x十x,y十的值. .M(2,1)为AB的中点， 解析(1)由AF=2F,B,得（一2-a1, ∴x十x2=4,y1十y2=2. -b1)=2(a2十2，b2),故b=-2b2, 又，A,B两点在椭圆上， 从而2(b+b2)2+bb2=2(-2b2十b2)2+ .x7+4yi=16,x+4y吃=16. (-2b2)b2=2b-26=0. 两式相减，得(x一x)十4(y一y)=0, 依题意知，直线AB的方程为y=3(x十2)， 于是(x1+x2)(x1-x2)十4(y1十y2)(y1 32)=0, y=3(x+2), 联立 4 .M二生三一4(y+2)4X2> xIx2 一号脚kw=一2 、/ 得(e+兮)y-专y叶6-6=0， √3 故所求直线AB的方程为x十2y一4=0. 8 方法三设所求直线与椭圆的一个交点 2+E6·6=4 故十6=3 为A(x,y). 3 a2+6 3 126 第三章圆锥曲线的方程么型 12 +46-a2b =2NoM10p1-(oM.0 于是2 a2+ =0, 3 + =号C+(+)-+nw 又a2-b=c2=22, 所以a=3,b=√5， =V+一 r1yzy2 故树圃C的方程为 5 =1. 之的n<0为坐标原点. (2)由1)及题意得号+普-1，普+普 同理，Sam<,sne<5, 1,故由基本不等式和绝对值不等式可得，2 +++>2得·+、晋晋 √5 Saw≤2 95 9 于是四边形MPNQ的面积S=S么柳十 35zx11+1x2D三325x1y2”1 从而的一长35，当且仅当哥 Sm+<3y5X4=6v后 此外，当M,N,P,Q依次为椭圆的四个顶 兽音-兽，且0的<0时取等号， 点时，四边形MPNQ的面积S=号·2u·2b= 故有十理=士送 9 51 65. x++g+-2 故四边形MPNQ面积的最大值为6√5， 此时x+x=9,y十y喔=5. 所以x十x2=9,y十吃=5. 易错警示 而Saam=2·lOM·OP·sin∠MOP =21OM·0P1VI-cosMOP ◆易错题20（错误率28%）若椭圆千8十 =2、TOMPTOPP-1 OMFTOPPoo∠MOP -1的离心率。=2求灰的值 9 口03-核心泰养聚焦-。 考向分类 c.(o. D(o,】 考向1求椭圆的离心率（或取值范围） 例9(2021·全国乙卷)设B是椭圆C: 解析设P(x,),由题意得B(0,b), +尔=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意 因为爱+9=1a2=+, 一点P都满足|PB≤2b,则C的离心率的取 所以PB=6+(06一b=G(1-)+ 值范围是( o6-6=一形(+)+管+d+. A[竖 B[2) 因为一b≤y%≤b, 127 更滩食手细高中教学选择性必修第一册RJA 当-艺≤-b,即公≥0时.PBl=4。 故PO1= 2 即|PB|mx=2b,符合题意，由b仔≥c2可得a2≥ [答案B 2,即0<号， 命题意图：主要考查利用椭圆的几何性质 >-b,即<C时，PB品= 当一 求椭圆的方程 命题规律 真题探源：本题取材于教材P112[练习]第 3、4题及P115[习题3.1]第4题 a2+,即2十a2+仔≤4，化简得(2-一F)2≤ 选填题、解 难度 ★★ 0,显然该不等式不成立 常考题型 0.5高考热度 答题第一问 系数 ★★ 答离C 核心素养 数学运算、直观想象 素养水平水平二 命题意图：主要考查椭圆离心率取值范围 考向3直线与椭圆的综合问题 命题规律的求解 真题探源：根据教材P111相关知识命制 例国(2021·天津卷)已知椭圆三+ 常考题型选填题难度系数0.45高考热度★★★★ 芳=1a>b>0)的离心率e=2左顶点为A 核心素养 数学运算、逻辩推理素养水平水平二 下顶点为B,C是线段OB的中点，其中 考同2椭圆的几何性质 例10(2023·全国甲卷)设0为坐标原 SMIC= 2· 点，F,R为椭圆C号+苦=1的两个焦点， (1)求椭圆的方程. 6 (2)过点(0，一)的动直线与椭圆有两个 点P在C上，cos∠FPF2= 寻，则1OP1= 交点P,Q,在y轴上是否存在点T,使得T户· ). T≤0？若存在，求出T点纵坐标的取值范 A号 B3 2 c号 n 围：若不存在，请说明理由， 解析由题意知|FF2|=2×√9一6= 解析()因为椭圆的离心率=号，所以 23,设|PF|=m,|PF2=n,则m十n=6. a=2c,b=√3c, 在△PFF2中， COSFPF:=IPE+PEE-EFE 所以A(-2,0.B0,).C0.-受） 2PFPF: m2+2-12 (m十n)2-2m1-12 故S△AMC= 2mn 2mn 12-mm=3 所以a=2v3,b=3, 727拉 =1. 解得mm=5 故指围的方程为后十号 y (2)如图，若过点 又PO-号P丽+PF), Q (0,一2)的动直线的斜率 所以P0°=(m+r+2m×)-30. 存在，则可设该直线的方程 128 第三章圆锥曲线的方程么型 为y=一是 T币.T夜0恒成立. 命题意图：主要考查椭圆的几何性质，直线 设P(x1,y),Q(x2,2),T(0,t) 与椭圆的位置关系，以及函数与方程、数形 3.x2+4y2=36, 命题规律 结合等思想方法 -r一昌 由 可得(3十4)x2 真题探源：根据教材相关知识命制 常考题型解答题难度系数0.4高考热度★★★★★ 12kx-27=0, 核心素养数学运算、逻辑推理素养水平 水平三 故△=144k2+108(3+4k2)=576k2+ 32>0西+-306- 27 真题演练 3+4k2 1.(2023·新课标全国I卷，考向2)设椭 因为T币=(x1y-),T-(x22-), 所以T币.T=2十(y-t)(业-t) 圆G景+y=1a>1.C:专+=1的离 +(知--，-多-) 心率分别为ei,e2.若e=√3e1,则a=(). A.23 B/ C.3 D.6 =1+)-(侵+小(a十)+ 2.(2023·新课标全国Ⅱ卷，考向3)已知 (侵+ 椭圆C,亏十=1的左，右焦点分别为， =(1+k2)×（ 35e)-k(是+)× F2,直线y=x十m与C交于A,B两点，若 3路+(+ 12k △FAB面积是△F2AB面积的2倍，则m (). -27N-27-18k-121+3(2+)+(3+2) 3+4 A号 B② 3 [3+2)2-12-45]k+3(是+)-27 3.(2022·全国甲卷，考向1D椭圆C:三十 3+4 因为T户.T≤0恒成立， =1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C (3+2t)2-12t-45≤0， 上，且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之 故 3(2+)-27≤0， 积为子，则C的离心率为( ). 解得一31<多。 A 号 c 若过点(0，一)的动直线的斜率不存在， 4.(2022·新高考全国I卷，考向2)已知 则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3),Q(0,3),此 椭圆C:若+若-1(o>6>0.C的上顶点为 时需-3≤1≤3. 综上所述，一3≤≤ A,两个焦点为F,F,离心率为分过F且垂 直于AF的直线与C交于D,E两点，DE= 所以存在点T(0,)(一3≤≤)，使得 6,则△ADE的周长是 129 重难点手册高中数学选择性必修第一册R/ 5.(2023·天津卷，考向3)设椭圆号+ 6.(2022·北京卷，考向3)已知椭圆E: =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1), 兰=1(u>b>0)的左、右顶点分别为A,A, 焦距为23. 右焦点为F,已知AF=3,A2F1=1. (1)求椭圆E的方程： (1)求椭圆方程及其离心率： (2)过点P(一2,1)作斜率为k的直线与椭 (2)已知P是椭圆上一动点（不与端点重 圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别 合)，直线AP交y轴于点Q,若△APQ的面积 与x轴交于点M,N.当|MN|=2时，求k 是△AFP面积的二倍，求直线AP的方程. 的值。 04学业质量测评。 A 基础过关练 测孩时闻：10分钟 下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有 1.[题型1](2024·西安铁一中期中)已知椭圆 (). A.y=3.x-2 B.y=3.x+1 C:x二十y=1的一个焦点为(2,0》，则C的 C.y=-3x-2 D.y=-3.x+2 离心率为( 5.[题型2]我国发射的“嫦娥一号”探月卫星的 A司 c号 D22 运行轨道分为三个阶段：绕地阶段、变轨阶 3 段、绕月阶段.绕地阶段时的运行轨道是以 2.[题型4](2024·湛江一中月考)椭圆片十 地心F1为一个焦点的椭圆，近地点A离地 面的距离为m,远地点B离地面的距离为n, y2=1的两个焦点分别为F,F2,过点F作 垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为 地球的半径为R,则卫星运行轨道的短轴长 P,则PF2|为( 为 ). A B.3 c D.4 6[题型2，]设椭圆C号+芳 =1(a>b>0) 3.[题型2]阿基米德不仅是著名的物理学家， 过点(0,4，离心率为号 也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭 (1)求C的方程： 圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长 与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴 (2)求过点(3,0)且斜率为号的直线被C所 上，且椭圆C的离心率为？，面积为12x,则 截线段的中点坐标. 椭圆C的方程为( . A+-1 c+-1 3 n后+苦 4.[题型4幻（多选题）已知直线y=3.x十2被椭 圆+Y1(@>0)截得的弦长为8，则 130参考答案与提示怅超 4.所以专=(-0-4，所以后=心口二 a2-4 r(0,气)，所以△OF的面积S%r=号OE· 又xd∈[0，a2]且a>2,所以a≥8，所以a∈[22.十o). 10F1=2ow 12.(1)由题意可知2a=2√2，即a=2, 因为6+a=a,且x瑞+a≥2abxo地，所 又椭圆过点P(1,号)所以2+办=1，解得6=1 以国为≤学所以5r≥名当组仅当后结= 所以椭圆C的方程为号十y=1 -4b 时，△B0F的面积取得最小值，最小值为名 (2)设M(x,y),N(xg3业)，Q(3m). 3.L.2椭圆的简单几何性质 因为O夜-OM+3O六，所以m=1十3=y+3, 真题演练 因为M,N是椭圆C上的点， 1.A 所以x+2=2,+25=2 提示：愿意得4=百心=豆-又 2 又Q在稀圆易+品=1上，所以云+2=0， 台一5则号=。百，解得a-2(负值合去. 3 所以(.x1+32)+2(1+32)2=20, 2.C提示：设F,F到直线y=x十m的距离分别为 即(x+2)+9(x+25)+(61x十12y1y)=20. d,d,因为F(-√2,0)，F(2,0),所以d= 所以2+9×2+6(xx+2为)=20， 二2+m.d山=l2+m.因为Sag他=2Ss,所 即2y=1g. 视 v2 则直线OM与ON的斜率之积M·w=边业= 2 以号1AB·d山=2X号1AB到·d,即山=2，所以 即直线OM与ON的斜率之积为定值 13.C提示：如图，设M(2m,m),N(2m,一n),则直线 一2+m=22+m,所以m=-号或-3v2.联立 PM的方程为y-m=一之（一2m),直线PN的方 x+3y=3, 消去y得4.2+6mx+3m-3=0,则△= y=x十 程为y十n=(一2m,易得P(2m+2nm-. 36r-16(8r-3>0,解得m<1,所以m=-号 由PM+PN中为定值，且四 3.A提示：设椭圆C的右顶点为B,则直线BP与直线 边形OMPN为平行四边形， AQ关于y轴对称，所以kO=一kg,所以心·kp= 得引PM+|PNP=|OM ON12=5(m+m)为定值 -w烟=一寸=2-1，所以：=复 又P为椭圆上任意一点，则m士m》+m》=1, 418提示：“e-后-子0=6- 即（是+是）m㎡+)+（ě-是）mn=1, 椭圆C的上顶点为A,两个焦点为F,F,连接AF,, △AFF为等边三角形. 从而可得是-是=0.又>b>0,则a=26,即号=2 记直线DE的倾斜角为0，易知0=30° 14.设点Mx),P(x,),Q(22),由题意知x≠ ,过F,且垂直于AF的直线与C交于D,E两点， 0,≠0.直线MP和MQ的方程分别为x1x十边y e=tan30°- ,2x十y= 300s30°-3 2 因为点M在直线MP和MQ上，所以十y%= 由焦点弦长公式可知，|DE|= 2abr a-c cos 0 斤，十3=. 2×2c×3c2 可知P,Q两点的坐标都满足方程xx十hy=仔， ie-ex =6,解得c=3 81 所以直线PQ的方程为xor十y=, :DE为线段AF:的垂直平分线，连接DF,EF,根 则直线PQ与z轴和y轴的交点分别为E(货0)和 据对称性，可得AD=DF2|,AE=EF, 33 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA △ADE的周长等于△FDF的周长， .△ADE的周长为IDE+IDF:|+|EF2I=4a= 同理可得点N的横坐标为xv=一k(十2) &=8x号=18 由题意得引xM一xN=2, 5.(1)依题意得a十c=3,a-c=1, 所以一k+2十+2②=2 所以a=2,c=L. 所以一=k(x+2)(+2), 又=a2-c2=4-1=3, 即√(+)-4x1=k[..+2(x1+x)+4]1. 所以椭圆的方程为片+苦-1，离心率=之 可得√一) -4×16k2+16 4k2+1 (2)不妨设点P在第一象限 因为S△AR=2S△LP· =k(16k+16 4k2十1 2×1器+小 又S△4P=3S△AP,所以S△4，AP=2S4Q, 化筒得号-给， 一4k 所以A,P=2PQ,故P(号，2） 解得k=一4. 所以直线A,P的方程为y=一。一2》， 学业质量测评 1.C 2.C 3.D 4.ACD 一复发 5.2√(m十R)(n+R).提示：：“嫦娥一号”探月卫星的 若点P在第四象限， 运行轨道是以地球的中心F,为一个焦点的椭圆，设长 由椭圆的对称性可知P(号，-2) 半轴长为a,短半轴长为b.半焦距为c: 3 a一c=m十R, 则IAF=a一c,BF=a十c,. 所以直线A.P的方程为y=(r一2， a十c=i十R. 又∥=d2-c2=(a-c)(a十c)=(m十R)(n+R), 即y6 ∴.b=√(m+R)(+R) 综上，直线AP的方程为y=一 成一 ,'.短轴长为2b=2w(m+R)(n十R). 2e=25. 6①将点0.代人C的方程得碧=1.则6= 6.(1)依题意有6=1， 所以a2=4 2 a2=+2. 所以椭圆E的方程为片+少=1. 解得a=5。:桶圆C的方程为坛+若-1 (2)直线BC的方程为y一1=k(x十2). (2)过点(3,0)且斜率为号的直线方程为y=号(x y=k(x+2)+1, 由 3),设直线与C的交点为A(xy),B(x”). x2+4y2=4, 得(42+1).x2+(16k+8k)x+16k2+16k=0. 将直线方程y=言（红一3）代人C的方程，得莞+ 由△=(16k2+8k)2-4×(4k2+1)×(16k”+16k)= 工3》=1，即x2-3x-8=0,故十x=3. 25 一64k>0.得k0. 设B(x1y),C(r+), 设线段AB的中点坐标为(x',y,则x=4十至=3 2 , h2+n=16k+16 则4+=-16k+80 4k2十1 y-“吉=号+-6)=-号 2 5 直线AB的方程为(y一1)x-x1y十x=0. 即所求中点的坐标为（号，一号）】。 令y=0,得点M的横坐标为xM=一 为一1 7.D提示：由题意知b=2,若椭圆C上存在四个不同的 k(+2) 点P满足△PF,F:的面积为45，则号×b×2> 34 参考答案与提示么超 46.即c>2,则>12又c=号-岳=1 “只。=名。化简得6，又=6+， 气则e>是，又0<1，则<<1.甲e的取值 =…则t=占-号板C不符合题意， 范围为() 对于D.若四边形AB2AB的内切圆过焦点F,F:, 8.B提示：由题意可知正方体的 则其半径为c,.ab=ca+形， 对角面的顶点在椭圆C:兰 两边平方并整理得一3ac2十a=0, ∴e-3e2+1=0, 若-1。>6>0)上，如图所示 解得2=35（舍去）或2=35】 2 2 又易知正方体的对角面为矩形，且长为2，宽为1， 在平面直角坐标系中，可得矩形的一个顶点P为 则一故D符合题意 (号，号)又P在椭圆C上且6- 2 1.号v5-1.提示：如图，连 1 接PF,由于直线I是圆F =1,∴.a=1 的切线，所以PF⊥PF. 2 在R△PFF2中，|PF| 六喻橘球的肩案。=1一号 OF=OF:=c. 9.BC提示：由题图可得a1>,0>2,∴，a1十G>ae十 所以PE,=之ER, a,故A不正确：：在椭圆轨道I中，PF=a1一c1, 在椭圆轨道Ⅱ中，PF|=ae一c·.a,一c=a:一cg, 期∠P5一音，所以直线1的斜率：=m音-。 IPF,|=√/IFF:-PF下=√3e 故B正确：由a一C=a2一c得(a:十？)2=(a2十 q)2,即ai-c+2ae=ai-ci+2ae,即所+2a1c 根据椭圆的定义可知：一舌一盖一P所 FE 房+2a2,6>,∴age>a12,.9>丝 2 =3-1. 3c+e√3+1 故C正确，D不正确. 10.D提示：椭圆C导+芳-1a>6>0, 12油题意可得西-平，解得-亮 5 4 =1. A1(-a,0),A(a,0),B(0,b),B2(0,-b),F1(-c, 所以C的方程为后十 16 0),Fg(c.0). (2)设P(xp,),Q(6,),根据对称性可设3%>0， 对于A,若AFIF,A=|FF1P, 由题意知yp>0. 则(a-c)=(2c)2, 即a一C=2么，一弓，不消足条件，放A不符合题意， 由已知可得B5,0),直线BP的方程为y=一1（红一5）， 所以BP=y√1十6，IBQ=√1+话. 对于B,若∠FBA=90°， 因为BP=BQ|,所以=1， 则1AF2=BF2+|BA2 将yp=1代人C的方程，解得xn=3或xp=一3 即(a十c)2=a十a2+,整理得c2+ac-a2=0, 由直线BP的方程得ya=2或%=8. +一1=0，解得e后或e=有舍去， 所以点P,Q的坐标分别为P,(3,1),Q(6,2): 2 P2(-3.1),Q(6.8). 故B符合题意： 对于C,若PF⊥x轴，且PO∥AB, PQ1=而，直线PQ的方程为y=号x点 则P(-c,名）n= A(-5,0)到直线P,Q的距离为， 35 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 故△APQ,的面积为××V而=多 设线段MN的中点坐标为()， 2 1 P,Q=V130,直线P,Q:的方程为y=gx+ 则6-空产-为--D-中 2 3 点A到直线P:Q:的距离为0】 则线段MN的垂直平分线的方程为y十十 26· 故△APQ的面积为×需×，面-号 3 6 综上，△APQ的面积为 令=0，得为1+4级=1+4快 13.(1)若选择条件①，设P(x,y)根据题意知， 当<0时，专十≤-4，当且仅当=一受时取等 平-停整理得号+= 43 号，所以-子<<0： r 3 当>0时，6十>4，当且仅当k=2时取等号，所 所以动点P的轨迹方程为十y=1. 若选择条件②，设P(r,y),S(x',0),T(0,y'), 以0%<是 则√/(x')+(y)=3.(*) 综上，Q的织坐标的取值范周是[一子·] 2 14.D提示：若P(2,0)或P(一2.0)，kw,km互为相 因为0-号函+号0亦.所以 反数，A,B两点关于x轴对称，无论取何值， =3 k都不存在：若P(0,2b)或P(0,一2b),:k,km 3 互为相反数，A,B两点关于y轴对称，无论k取 整理得 =2 何值，ku=0. y=3y. 设P(m,n),mn≠0，A(xA).B(xgyg),则直线PA 代人（试得听+少=1， 的方程为y一=k(x一m). (y=k(x-m)+n, 所以动点P的轨迹方程为行+了=1。 消去y得（片+）x2+(2k 若选择条件③，设P(x,y),设直线1与圆相切于点 2mk2)x+k22-2mkn+n2-4=0, H.PA+PB=d+d:=20H=4>23= .m十xA= 2nk-2mk2 ABI. 十k 由椭圆的定义知点P的轨迹是以A,B为焦点的椭 2nk-2mk -m,w=k(-26-2mk +k2 圆，所以2a=4,2c=AB1=23, +k2 故a=2.c=3,b=1. 2m)+元 所以动点P的轨迹方程为号+y=1. 同理可得2-m=一(2婆 十 (2)设Q(0,),当1的斜率不存在时，MN的垂直平 2m）+m. 分线为x轴，即与y轴相交于原点，所以h=0 当的斜率存在时，设直线的方程为y=k(x一1) kw=L二g (k≠0)，M,y),N(,2）. TA-TH (y=k(x-1). k(一2+2 -2n）+k(2k+2mk 十k -2m + -2k+2k_2k+2mk 行十 后十足 消去y整理得(1+4k).2-8kx+4(-1)=0, mhy 8k2 因为△>0恒成立，所以十=1十k 综上，k与点P和b有关，与k无关 36 参考答案与提示收型 15.(1)设B(x,y,则P(y-√5.-5-x), 2.D提示：两定圆O,O无公共点，则它们的位置关系 代入椭圆C的方程得动点B的轨迹方程为9一5 是外离或内含.设两定圆O,O的半径分别为n, n(n>n),圆O的半径为R.又圆O与圆O,O都内 +5y=1. 切.则当两圆O,O外离时，OO|=R-n,IO)|= 4 R-n,.10)|-OO|=n-n<OO|,此时圆 (2)连接QF,易知PQ1+|PF≥QF1=√18+65 心O的轨迹是双曲线的一支：当两圆O,O内含时， =√3(W5+1)2=√/15+V3. 1O0=n-R,1OO|=R-n,.10O|+O01 记右焦点F(5,0),如图，连接PF,QF, n一n>OO,此时圆心O的轨迹是椭圆. 则1PQI+1PF1=6+|PQ1-|PF|≤6+|QF1=6+ 3.A提示：如图，设双曲线的左焦 点为F,连接MF. M √18-65=6+√15-√. :O,N分别是线段F1F2,MF 故PQ+PF列的取值范围为[15+3,6+√5一们. 的中点，·ON=21MEl 又MF:-MF1=2a=10,.∴.|MF=MF,|- 10=18-10=8,.10N1=4. 4.A提示：不妨设点P在第一象限，F,F分别为左、 3.2双曲线 右焦点.因为P在椭圆上，所以PF|十PF=26. 3.2.1双曲线及其标准方程 又P在双曲线上，所以PF|一|PF=23.两式联 真题演练 立，得|PF1=√6+3，PF2|=6-3.又FF|= 1.D提示：因为PA一PB=2A,所以点P在以A, 4,所以根据余弦定理可以求得cos∠FPF,=寻 B为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上， 由c=2,a=1可得=2-a2=4-1=3, 5.(1)由双曲线的定义得|MF,|一|MF|=2a=6, 双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 即双曲线的右支方程为一号 =1(x≥1)， 3 假设点M到另一个焦点的距离等于x,则16一x=6, 面点P还在函数y=3√A一x的图象上， 解得x=10或x=22. 由于c-a=5-3=2,10>2,22>2, y=3w4-x, 2 所以由 解得 所以点M到另一个焦点的距离为10或22 22 32 3 =1(x≥1)， 小3g (2)由题意得2=9+16=25，∴c=5,F1F|=10. 2 将1IPF2|-PF,1=2a=6两边平方， 即op-V厚+牙=m PF+PF:-2PFPF:=36. 2.B提示：因为2=a2+=9,所以OP1=OF=3. .PF+PF=36+2PFPF:=36+2X 设点P的坐标为(x,y),则x2+y=9, 32=100. 把=9一y代入双曲线的方程，得=号， 在△FPF中，由余弦定理得 co/F PF:=IPE+IPE-EF 所以Sam=0F·y=号， 2PFPF: 100-100 3.5.提示：由已知得c=√+？=√/5+4=3.所以 21PF,IIPF:1-0. 双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线x十 .∠F1PF=90° 2y-8=0的距离为13+2X0二81-5=5. Sm,=7PE,1PE=号×32=16. 1+25 学业质量测评 6.B提示：依题意得a=4,b=3c=√a2+=5.设点 1.C P在双曲线的右支上，如图所示，过F:作FD⊥AF 37重滩点手册高中数学选择性必修第一册亿UA 误区20不能确定焦点在哪条坐标轴上 误区22忽略双曲线的焦点位置 易错题20（错误率28%）若椭国千8十号-=1的离心 易错题22（错误率25%）(2024·珠海一中检测)若方 率e=号，求k的值 程，二十。。1表示双尚线，则实致加的取值范 围为 正解(1)若焦点在x轴上，即当k+8>9时，2=k+8, 2一m>0, (2-m<0. 公=又因为e=后=是，所以2= 正解依题意有 或 a a m-3<0 m-3>0, k-1=1 解得一3<<2或m>3. +8=,解得k=4 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十○). (2)若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a=9, 答案(-3,2)U(3,+0∞). 公=+8，又因为一之，所以-5=一_1与 易错探因本题在正解的画波浪线处容易出错，其原因 9 是只考虑了双曲线的焦点在x轴上的情况，忽略了焦点 子，解得=一早。 4 在y轴上的情况，从而得到错误答案（一3,2）. 综上可知，6=4或=一 误区23忽略直线与双曲线有一个公共点的特 答案k=4或=一 殊情况 易错题23（错误率28%）(2024·厦门一中单元检测)已 易错探因本题易得到如下错解：由已知得：=k十8， 公=9.又因为e=台=克所以心== 知过点P1,1)的直线1与双曲线x一兰=1只有一个 4 a 公共点，试探究直线1的斜率k的取值 会品8-解得=4 正解设直线I的斜率为k,则：y=k(x一1)十1，代入双 错解中忽视了椭圆的焦点位置的不确定性，应分 曲线的方程得(4-)x2-(2k-2k).x一+2k-5=0. 焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论. 若4一=0，即k=士2，此时直线与双曲线的渐近 线平行，直线与双曲线只有一个公共点： 误区21忽略双曲线定义中的限制条件 若4一≠0，则△=(2k一2k)2-4(4一)（一+ 易错题21（错误率26%）(2024·武汉六中检测)已知 2k-5)=0,解得=是， F(-5,0),F2(5,0),动点P满足PF-|PF2| 2a,当a为3和5时.P点的轨迹分别是( 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2， A双曲线和一条直线 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 B双曲线和一条射线 情况： C,双曲线的一支和一条直线 (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x D.双曲线的一支和一条射线 (或y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线 正解依题意得FF=10,当a=3时，2a=6<F,F2|, 只有一个交点. 故P点的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|F,F:|, (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直 故P点的轨迹为一条射线.又PF一|PF|=2>0, 线与双曲线仅有一个交点 ∴P点的轨迹为双曲线的右支和一条射线，故选D. 第二种情况特别容易忽略掉，值得注意. 答案D 误区24忽略对焦点所在轴的讨论 易错探因本题易忽视双曲线定义中的限制条件“差的 绝对值”从而误选B或C 易错题24（错误率30%）(2024·正定中学检测)已知双