2.4 圆的方程-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第二章直线和圆的方程么组 2.4圆的方程 重点和难点 课标要求 1.掌握圆的标准方程 重点：圆的标准方程和一般方程 2.掌握圆的一般方程. 难点：圆的方程的应用. 3.了解点与圆的位置关系. 口01必备知识梳理。 基础梳理 冒敲黑板 知识点1圆的标准方程 (1)所谓标准方程，是指 L.圆的标准方程的定义 方程的形式，圆的标准方程体 我们把方程(x一a)2十(y一b)2=2称为圆心为(a,b),半径 现了圆的几何性质，突出了圆 长为r(>0)的圆的方程，又把它叫作圆的标准方程. 的几何要素：圆心位置和半径 2.几种特殊位置的圆的标准方程 (2)國的标准方程的右端 条件 方程的标准形式 >0,当方程右端小于或等 于0时，对应的方程不是圆的 圆心在原点 x2+y2=r2(r≠0) 标准方程 圆过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b(a2+7>0) 圆心在x轴上 (x-a)2+y2=2(r≠0) 刀划重点 圆心在y轴上 x2+(y-b)2=2(r≠0) 在國的标准方程(x一a)2十 圆心在x轴上且圆过原点 (x-a)2+y2=a2(a≠0) (y一b)=产中有三个参数a, 圆心在y轴上且圆过原点 x2+(y-b)2=(b≠0) b,r,只要求出a,b,r,圆的方 圆与x轴相切 (.x-a)2+(y-b)2=(b≠0) 程就确定了，因此，确定圆的 圆与y轴相切 (.x-a)'+(y-b)=a2(a≠0) 方程需三个独立条件，其中圆 心是回的定位条件，半径是圆 圆与两坐标轴都相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(a=b≠0) 的定形条件 知识点2圆的一般方程 刀划重点 1.圆的一般方程的定义 (1)一般地，二元二次方 当D+E-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示 程A.x2+B.xy+Cy2+Dx+ 一个圆，这个方程叫作圆的一般方程 Ey十F=O表示园的充要条件 2.圆的一般方程的形式特点 是：A=C≠0，B=0,D+ (1)x2,y项的系数相同且不等于0(x2和y2项的系数如果 E2-4AF>0. 是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可). (2)圆的一般方程中有三 (2)不含xy项， 个系数，这说明确定一个圆需 (3)D+E-4F>0. 要三个独立条件 79 重滩台手册高中数学选择性必修第-册RUa 知识点3点与圆的位置关系 刀作比较 1.点与圆的位置关系如图所示：点在圆外、点在圆上、点在 间的标准方程 圆内 (x-a)2+(y-b)= 方程 2(r>0) D c 图心 (a,b) 点在圆外 点在圆上 点在圆内 半径长 2.判断方法 优点 几何特征明显 (1)设点M(x,%)到圆C:(x一a)2+(y-b)2=2的圆心C 回的一般方程 r+y+Dx+Ey+F 的距离为d,则d=MC=v(x。一a)+(%-b) 方程 =0(D+-4F>0) ①d>r,即（一a)2+(%一b)>r产台点M在圆C的外部. 闲 .-) ②d<r,即(x一a)2+(%一b)2<r产台点M在圆C的内部. ③d=r,即(x一a)2+(%一b)2=r产台点M在圆C上， 丰径长 名D+E-4F (2)已知点M(x,%)和圆的方程x2十y2+Dx十Ey十F 优点 突出方程形式上的特点 0(D+E一4F>0),则其位置关系如下表： 国敲黑板 位置关系 代数关系 由点与國的位置关系确 定参数的范固时，可以根据点 点M在圆外 xi+%十Dx十E%+F>0 与圆的位置关系将方程中的 点M在圆上 x+%+Dx0十Ey%十F=0 等号变为“<”“>”或“=”，还 点M在圆内 :xi十哈+Dx十E%十F<0 可以用点到國心的距离与圆 的半径的大小关系来求解 重难拓展 园作比孩切 重难点1轨迹和轨迹方程 “轨迹”与“轨迹方程”有 1.轨迹方程和轨迹的定义 区别.“轨迹”是图形，要指出 已知平面上一动点M(x,y),点M的轨迹方程是指点M的 形状、位置、大小（范国）等特 坐标(x,y)满足的关系式.轨迹是指点在运动变化过程中形成的 征；“轨迹方程”是方程，不仅 图形.在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 要给出方程，还要指出变量的 2.用坐标法求轨迹方程的步骤 取值范国 用坐标法求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标 P拓视野 (x,y)所满足的关系式，并把此关系式化为最简形式的方程.如果 古希腊数学家阿波罗尼斯 题目中没有平面直角坐标系，需要先建立适当的平面直角坐标系. 发现：“平面内到两个定点A,B 求轨迹方程的一般步骤： 的距离之比为定值m(n≠1) 建系一建适当的平直角坐标系 的点的轨迹是圆”.后来，人们 设点 H(七，y)表示轨迹（出线）上任意一点M的坐标 将这个圆以他的名字命名为 阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆. 列式 列出关十xy的力程 马记方法 化简 把方程化为最简形式 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法也直译法， 证功 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 即根据题目条件，直译为关于 80 第二章 直线和圆的方程么型 例①(2024·武汉二中月考)已知点A(一2,0)，B(2,0), 动点的几何关系，再利用有关 C(1,W3). 公式（如两点间的距离公式、 (1)求△ABC的外接圆圆O的方程： 点到直线的距离公式等)进行 (2)在圆O上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为 整理、化简.这种求轨迹方程 垂足，当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程. 的方法不雾要特殊的技巧 解析(1)设圆O的一殷方程为x2+y2十Dx十Ey十F=0,其 (2)代入法也称相关点 中D2+E2-4F>0, 法，如果动点P(x,y)依赖于 因为圆O经过A(一2,0)，B(2,0),C(1,W3)三点， 另一动点Q(a,b),而Q又按 (-2)2-2D+F=0, D=0, 某个规律运动，则可先用x,y 所以2+2D+F=0, 解得E=0, 表示a,b,再把a,b代入它满 12+(W3)2+D+3E+F-0, F=-4. 足的条件便得到动点P的轨 迹方程 所以圆O的一般方程为x2+y2一4=0。 (3)定义法，通过分析已 (2)设M(x,y),P(xp,yp),则D(xp,0). ,M为线段PD的中点，即xp=x,yn=2y, 知条件，找到其中隐含的圆， 又点P在圆O:x2+y2=4上， 利用定义求解 在处理轨迹问题时一定 r+(2=4,即听+y=1. 要善于根据题目的特点选择 故点M的轨篷方程为听+少=1 恰当的方法 -02关健能边提升。 题型方法 才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系 题型1求圆的方程问题 数法 1.用直接法求圆的标准方程 例2(2024·南京外国语学校月考)已知 (1)如果动点满足圆的定义，则可直接用 △ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2, 定义来求圆的标准方程。 一2)，C(5,5),求其外接圆P的方程 (2)根据题中条件确定圆心和半径（有些 解析方法一设所求圆的方程为x十 题中已明确圆心和半径)，再直接套用圆的标 y2+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0). 准方程。 -D+5E+F+26=0. 2.用待定系数法求圆的标准方程 由题意可得-2D一2E+F十8=0， 由于圆的标准方程中含有a,b,r三个参 5D+5E+F+50=0, 数，所以必须具备三个独立条件，才能求出一 D=一4. 个圆的标准方程。 解得E=一2， 3.用待定系数法求圆的一般方程 F=-20. 如果已知条件中圆心的位置不能确定，则 故所求外接圆P的方程为x2十y2一4x 选择圆的一般方程.圆的一般方程也含有三个 2y-20=0. 独立的参数，因此必须具备三个独立的条件， 方法二 由题意可得弦AC的中垂线的方 81 重滩台手册高中数学选择性必修第-册RUa 程为x=2,BC的中垂线的方程为x十y一3=0， 又ON⊥PQ, Q x=2, x=2, 所以|OP2=ON2+ 由 解得 x+y-3=0, y=1, |PNI2=|ON2+|BN|2,所 A元 所以圆心P的坐标为(2,1). 以x2+y2+(x-1)2+(y 外接圆的半径r=AP 1)2=4. =/(2+1)2+(1-5)9 故线段PQ中点的轨迹方程为x2十y一 =5, x-y-1=0. 故所求外接圆P的方程为(x一2)十(y 题型2二元二次方程表示圆的方程 1)2=25. 问题 4.用几何性质法求圆的标准方程 例④(1)(2024·潍坊一中检测)若方程 用几何性质法求圆的标准方程时，一般有 x2+y2+2a.x+2ay十2a2+a-1=0表示圆，则 两种思路： a的取值范围是 (1)根据题意设出圆心、半径，然后由圆上 (2)(2023·深圳中学检测)若方程a2x2+ 任意一点到圆心的距离等于半径列方程求得 (a十2)y2十2ax十a=0表示圆，则a的值为 参数的值，由此确定圆心坐标和半径. ( ) (2)从几何的角度考虑，圆心在圆的弦的 A.1或一2 B.2或-1 垂直平分线上，求出连接圆上两点的线段的垂 C.-1 D.2 直平分线的方程，与已知的圆心所在的直线方 解析(1)方程x2+y2+2a.x十2ay+2a2+ 程联立求得圆心坐标，再由两点间的距离公式 a-1=0可化为(x+a)2+(y+a)2-1一a,它 求得半径 表示圆，需满足1一a>0,故a<1. 例3(2024·呼和浩特二中检测)已知圆 (2)方程a2x2+(a+2)y2+2ax十a=0中二 x2+y2=4上一定点A(2,0),点B(1,1)为圆 次项系数不一定为1，因此若它表示圆，需要二 内一点，P,Q为圆上的动点 次项的系数相等且不等于0，转化为一般式后满 (1)求线段AP中点的轨迹方程： a2=a+2≠0， (2)若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨 足D2十E2-4F>0.则 12a12- 解 a+2 迹方程 得a=一1. 解析(1)设AP的中，点为M(x,y),由中 ,点坐标公式可知点P的坐标为(2x一2,2y). [答案(1){aa<1}.(2)C 因为点P在圆x2十y2=4上， 题型3点与圆的位置关系的综合应用 所以(2x-2)2十(2y)2=4. 1.由圆的方程判断点与圆的位置关系 故线段AP中点的轨迹方程为(.x一1)2十 例5(2024·福州一中检测)已知A(6, y2=1. 0),B(一2,0)，C(一3,3)，D(6,3),判断A,B, (2)设O为坐标原点，PQ的中点为V(x,y). C,D四点是否共圆. 连接BN,ON,OP,如图所示. 解析由线段AB,BC所在的直线的斜率 在Rt△PBQ中，|PN=BNl. 分别为k相=0，k=一3，得kw≠k, 82 第二章直线和圆的方程收出型 A,B,C三点不共线.设过点A(6,0), (2)因为点O(0,0)在圆的外部， B(-2,0),C(一3,3)的圆的方程为x2十y+ 所以0十0一0十0十m>0,即m>0. Dx十Ey十F=0,把A,B,C三，点的坐标代入得 又D+E2-4F>0. 62+0+6D+E×0+F=0. 所以(-1)2+1-4m>0,即m<2 (-2)2+02-2D+E×0+F=0, (-3)2+32-3D+3E+F=0, 故实数m的取值范国为(0，)： D=-4, 解得E=一6， 蜜案（①）A(2(0,2). F=-12. 题型4圆的方程的综合应用问题 故所求圆的方程为x2十y2一4.x一6y 1.与圆有关的对称问题 12=0. (1)求已知圆关于点或直线对称的圆的方 把D(6,3)代入得62+32一4×6-6×3 程，一般有两种方法。 12=一9≠0. 方法一确定对称圆的圆心和半径长.步 点D不在该圆上， 骤如下：①确定已知圆的圆心和半径长；②利 A,B,C,D四点不共圆. 用对称求出待求圆的圆心；③写出待求圆的 2.由点与圆的位置关系求参数范围 方程 由点与圆的位置关系确定参数的范围时， 方法二相关点法.步骤如下：①设出待 可以由点与圆的位置关系特征将方程中的 求圆上任意一点P(x,y):②求出点P的对称 “=”变为“>”或“<”，还可以用点到圆心的距 点Q(x',y):③将点Q的坐标代入已知圆的方 离与圆的半径的大小关系来判断。 程，化简得待求圆的方程。 例6(1)(2024·安阳三十九中月考)若 (2)圆是轴对称图形，每条过圆心的直线 点(1,1)在圆(.x-a)2+(y十a)2=4的内部，则 都是圆的对称轴，即圆的每条对称轴都过圆 a的取值范围是( 心.利用这条性质可求相关参数的值或代数式 A.-1<a<1 B.a<-1 的取值范围. C.a<-1或a>1D.a>1 例7(2024·中山一中单元测评)若圆 (2)若坐标原点O在方程x2十y2一x十y十 (x十1)2+(y一3)2=9上相异两点P,Q关于直 m=0所表示的圆的外部，则实数的取值范 线kx十2y一4=0对称，则k的值为 围为 解析圆是轴对称图形，过圆心的直线都 解析(1)方法一因为点(1,1)在圆(x一 是它的对称轴 a)2十(y十a)2=4的内部，所以，点(1,1)到圆 已知圆的圆心为（一1,3），由题设知直线 心(a,一a)的距离小于2， k.x十2y一4=0过圆心， 故V(1-a)2+[1-(-a)]2<2, 则k×(一1)十2X3一4=0，解得k=2. 两边平方得(1-a)2+(a十1)2<4， 答案2. 化简得a<1,解得一1<a<1. 2.求三角形的外接圆的方程问题 方法二因为点(1,1)在圆(x一a)2十 例8求圆心在直线x一2y一3=0上，且 (y+a)2=4的内部，所以(1-a)2+(1+a)2< 过点A(2,一3)，B(一2，一5)的圆的方程. 4,化简得a2<1,解得一1<a<1. 解析方法一（几何性质法）设点C为 83 重滩台手细高中数学选择性必修第-册RUa 圆心， 方法四（待定系数法）设所求圆的方程 ,点C在直线x一2y一3=0上， 为x2十y+Dx+Ey十F=0(DP+E-4F ∴.可设点C的坐标为(2a十3，a. 0,则国心为（一号、一号）。 连接CA,CB. ,该圆经过A,B两点，.|CA=|CB, ,圆心在直线x-2y-3=0上，圆过A(2, -3),B(-2,一5)两点， ∴.√(2a+3-2)2+(a+3) =√(2a+3+2)2+(a+5)2, 2+E-3=0… D=2, 解得a=一2， 4+9+2D-3E+F=0. 解得E=4, F=-5. .圆心为C(一1，-2)，半径r=v10. 4+25-2D-5E+F=0. 故所求圆的标准方程为(x十1)2+(y十 故所求圆的方程为2十Y十2x+4y一5=0. 2)2=10. 3.与圆有关的最值问题 方法二（待定系数法）设所求圆的标准 已知点(x,y)在圆(x一a)+(y-b)2=r 方程为(x一a)2+(y-b)2=r2, 上，求d=√(x一m)十(y一)的最值问题的 (2-a)2+(-3-b)2=r2, 方法如下： 由题设条件知(-2一a)2+(一5一b)2=r2, 1)求圆心O(a,b)与定点M(m,n)间的距 a-2b-3=0, 离do. fa=-1, (2)根据圆的几何性质知： 解得b=一2， ①当M在圆外时，dmx=d0十r,dmim= 2=10. do一r. 故所求圆的标准方程为(x十1)2十(y十 ②当M在圆内时，dnax=do十r,dn= 2)2=10. r-dmo. 方法三（几何性质法）连接AB,则线段 例9(2024·武汉外国语学校单元检测) AB的中点的坐标为(0，一4). 已知P是圆C:(x-5)+(y-5)2=(r>0) ·直线AB的斜率k=23)=号】 上的一个动点，它关于点A(9,0)的对称点为Q, 2-(-2)2’ O为原点，线段OP绕原点O逆时针方向旋转 ∴.弦AB的垂直平分线的斜率为k=一2， 90后，所得线段为OR,求|QR的最小值与最 ∴.弦AB的垂直平分线的方程为y十4= 大值 -2.x,即2x+y+4=0. 解析如图，设点P的 又圆心是直线2x十y十4=0与直线x R 坐标是(x,y),则点Q的坐 2y一3=0的交点， 标是(18一x,一y). 2x十y十4=0，gx=-1, 由 得 线段OR由OP绕原 x-2y-3=0,y=-2, 点逆时针旋转90°得到， .圆心的坐标为（一1，一2）， ∴.圆的半径r=√/(-1-2)2+（一2+3） 设R(,),则义·当=一1， 10, 义=- 故所求圆的标准方程为(x十1)2十(y十 2)2=10. 由平面几何知识得，点R的坐标为（一y,x), 84 第二章直线和圆的方程么型 则|QR|=√(18-x+y)2+(-y-x)= 解析以圆孤形拱桥的顶点为原点，过圆 √2·√(x-9)+(y+9) 孤形拱桥的顶点的水平切线为x轴，过圆孤形 ,P(x,y)为圆(x-5)2+(y-5)2=r2上 拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角 的点， 坐标系，如图2所示。 .√(x一9)+(y十9)的几何意义为点 设圆心为C,离拱顶2米的水面所在弦的 M(9,一9)到圆上的点P(x,y)的距离. 端点为A,B, 则由已知可得A(6,一2). 连接PM,当PM最小时，QR也最小： 设圆的半径为r,则C(0,一r), 当PM最大时，QR也最大 连接MC,则|PMm=||MC|-r| 即圆的方程为x2十(y十r)2=2 将点A的坐标代入上述方程，可得r=10, 1、(9-5)2+(-9-5)2-r=12v53-r1, 所以圆的方程为x2十(y十10)2=100. PM mnx=MC+r=2V53+r. 当水面下降1米后，设水面所在弦的端，点 ∴.|QR|m=√2|2√53-r|,|QR|mx= 为A',B',可设A'的坐标为(o,一3)(x0>0), /2(2w53+r). 代入x2+(y+10)=100,解得x=√51， 4.与圆的方程有关的实际问题 故水面宽度为2√/51米. 例10一座圆弧形拱桥，当水面在如图1 答案D 所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米， 易错警示 当水面下降1米后，水面宽度为( ). A.14米 B.15米 ◆易错题13（错误率30%）(2024·温 C.√51米 D.2v51米 州中学单元检测)若关于x,y的方程(22十 3 m-1).x2十(m一m十2)y2+m十2=0表示 的图形是一个圆，求实数m的值. B ◆易错题14（错误率25%）已知某圆的 B A 圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段 12 C 长为8，求该圆的标准方程 图1 图2 门03-核心素聚焦一。 考向分类 F=0. D=-4. 考向1求圆的方程 得16+4D+F=0,解得E=一6， 例①(2022·全国乙卷)过四点(0,0)， 2-D+E+F=0, F=0, (4,0),(-一1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方 易得D十E一4F>0,所以过这三点的圆 程为 的方程为x2十y一4x一6y=0, 解析①若圆过(0,0)，(4,0)，(-1,1)三 即(x-2)2+(y-3)2=13. 点，设过这三点的圆的一般方程为x十y十 ②若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三，点 Dx十Ey十F=0,分别将三点的坐标代入，可 方法一设过这三，点的圆的一般方程为 85 重随手细高中数学选择性必修第一册【 JA x2+y2十Dx十Ey十F=0,分别将三点的坐标 易得D十E一4F>0,所以过这三点的圆 F=0, D=-4, 的方程为x+y-号-2y-9=0,即(x 代入，可得16+十4D十F=0, 解得E=-2, 20+4D+2E+F=0, F=0, 9°+0-1-1 25 易得D+E一4F>0,所以过这三点的圆的方 答案(x-2)2+(y-3)2=13或(.x-2)2+ 程为x2十y2一4x一2y=0,即(x一2)2十(y 1)2=5. y-1)2=5或(x-号)}+(6-)2-或 方法二在平面直角坐标系中作出这三 (x- 》产+(0-1D=(写出一个即可. 25 个，点，显然由这三个点的连线组成的三角形为 直角三角形，该直角三角形的外接圆的圆心为 命题意图：主要考查圆的一般方程以及直 线与圈有关的几何性质等 点(0,0)和点(4,2)连线段的中，点，即(2,1)，直 命题规律 真题探源：取材于教材P88[习题2.4门第 径2R等于点(0,0)和点(4,2)连线段的长， 2题 即2R=√(4-0)+(2-0)，可得R=√5， 常考题型选填题难度系数0.5高考热度 ★★★ 所以圆的方程为(x一2)2+(y一1)2=5. 核心素养 直观想象，数学运算 素养水平 水平二 ③若圆过(0,0)，（一1,1），(4,2)三点，设 过这三点的圆的一般方程为x十y十Dx十 考向2圆的方程的应用 Ey十F=0,分别将三点的坐标代入，可得 例12(2024·北京卷)圆x2+y-2x十 6y=0的圆心到直线x一y+2=0的距离为 F=0, D=- 3 ( 2-D+E+F=0, 解得E 14 3 A.√2 B.2 C.3 D.3/2 20+4D+2E+F=0, F=0, 解析由题意得x2十y2一2x十6y=0,即 易得D十E一4F>0,所以过这三，点的圆 (x一1)2十(y十3)2=10，其圆心坐标为(1， 的方程为+y-号-y=0 一3)，则圆心到直线x一y十2=0的距离为 11-(-3)+2=32. 即(-)+(-3)-5 /12+(-1)2 [答案D ④若圆过(4,0)，（一1,1），(4,2)三点，设 过这三点的圆的一般方程为x2十y十Dx十 命题意图：主要考查國的一般方程和标准 Ey十F=0,分别将三点的坐标代入，可得 方程 命题规律 真题探源：根据教材P88[习题2.4]第3题 16+4D+F=0, D=-16 演变 2-D+E+F=0, 解得E=一2， 常考题型选填题难度系数0.70高考热度 ★★ 20+4D+2E+F=0, F=16 · 核心素养 效学运算、直观想象 素养水平水平 86 第二章直线和圆的方程收出型 真题演练 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的 1.(2020·全国Π卷，考向1、2)若过点(2， 最小值为(). 1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x A.4 B.5 C.6 D.7 y一3=0的距离为( 3.(2022·全国甲卷，考向1)设点M在直 A号 B2⑤ 线2.x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M 5 上，则⊙M的方程为 c5 n 4.(2018·天津卷，考向1)在平面直角坐 标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的 2.(2020·北京卷，考向1、2)已知半径为1 方程为 -04学业质量测评◆ A 基础过关练 测试时间：10分钟 (2)求该圆半径r的取值范围： 1.[题型1、4](2024·济南一中单元检测)若圆 (3)求圆心C的轨迹方程. x2+y2+Dx+Ey十F=0关于直线l:x y十4=0和直线2：x十3y=0都对称，则 D十E的值为( ). A.-4 B.-2 C.2 D.4 2.[题型2]若圆x2+y-2a.x+3by=0的圆心 位于第三象限，则直线x十ay+b=0一定不 经过( ). A.第一象限 B.第二象限 B 综合提能练 测试时前：20分钟 C.第三象限 D.第四象限 6.[题型4]已知两点A(一1,0)，B(0,2),点P 3.[题型3]已知圆的方程为x+y+2(a一1)x十 是圆x2十y2一2x=0上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是(). a2-4a+1=0(0<a<2),则点(-1，-1)的 位置是( ). A2,2 A.在圆上 B.在圆内 B4+54-⑤ C.在圆外 2 2 D.不能确定 4.[题型1门已知点A(一3,0)，B(3,0),动点P C.5,4-√5 满足PA=2PB,则点P的轨迹方程为 D.4+54-5 21 2 5.[题型1,2](2024·广东华侨中学单元检测) 7.[题型4幻若x十-了=0，则，'2的取值 已知方程x2+y2-2(m十3)x+2(1-4㎡)y+ 范围为( ). 16m十9=0表示一个圆. (1)求实数m的取值范围： 87 重随点手册高中数学选择性必修第-册RUA R(-o,-]u9+) 11.[题型1、4](2024·重庆一中月考)在平面 直角坐标系Oxy中，二次函数f(x)=x2+ c(-o,-2Ju[2+) a.x+b(a,b∈R,b>0)的图象与x轴交于 A,B两点，与y轴交于C点，经过A,B,C D[-z.2] 三个点的圆记为⊙M, 8.[题型1、4](2024·嘉兴一中期中)（多选题） (1)当a=4,b=2时，求△ABC的面积： 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯与欧几里 (2)求⊙M的方程： 得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个 (3)⊙M是否经过定点（其坐标与a,b的值 定点A,B的距离之比为定值λ（入≠1）的点 无关)？请证明你的结论 的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名 字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在 平面直角坐标系Oxy中，A(一2,0)，B(4,0), 点P满足路-设点P的轨迹为C,下 列结论正确的是( A.C的方程为(x十4)2+y2=9 B.在x轴上存在异于A,B的两个定点D, E,使得阳-号 C.当A,B,P三点不共线时，射线PO是 ∠APB的平分线 D.在C上存在点M,使得MO=2MA 培优突破练 测试时间：20分钟 9.[题型2、4](2024·太原五中月考)已知圆 12.[题型2、4](2022·全国高中数学联赛一试 C:x2+y2+2(a-1)x-12y+2a2=0.当圆 A1卷)在平面直角坐标系Oxy中，圆2： C的面积最大时，实数a的值为 :若 x2+y2+dx+ey+f=0(其中d,e,f为实 此时圆C的一条对称轴为直线l:m.x十y一 数)的一条直径为AB,其中A(20,22), 6=0(m>0,n>0,则3n的最大值 B(10,30),则f的值为 13.[题型1、4](2022·全国高中数学联赛重庆 为 赛区初赛)已知圆O:x2十y2=2和O: 10.[题型1]设定点M(一3,4)，动点N在圆 (x一3)2十y2=5在第一象限内的公共点为 x2+y2=4上运动，O为坐标原点，以OM, A,过点A的直线分别交圆O,O2于C,D ON为两边作平行四边形MONP,求点P 的轨迹 两点(C,D异于点A),且AC=2AD,则直 线CD的斜率为 88重滩点手册高中数学选择性必修第一册亿UA 正解：6.x十8y一4=0可化为3.x十4y-2=0,根据两 平行直线间的距离公式可得d2二兴=告 了齐，表示以原点为圆心，以平为半径的圆 √3+ 故m=一3. 易错探因求解本题时易出现如下错解： 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=12-(-41=6 形如Ax2十By十F=0的方程表示一个圆， √3+4平 5 只要A=B≠0. 导致上述错解的原因是两平行线(，中x,y的 所以2m2+m-1=m一m+2.即m+2-3=0, 系数不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使 解得m=1,=一3. 用条件 所以当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是 误区12求直线方程时忽略斜率不存在的情况 一个圆. 导致上述错解的原因为形如Ax2+By+F=0的 易错题12（错误率28%）已知直线1过点A(1,2),且原 点到直线1的距离为1，求直线（的方程. 方程表示圆的条件是A=B≠0，且界<0， 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 误区14对圆心的位置考虑不全致错 方程为：x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意. 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直 易错题14（错误率25%）已知某圆的圆心在x轴上，半 线l的方程为y-2=k(x-1),即kx一y-k+2=0. 径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 正解一如图，由题设知AC=r= y 因为原点到直线1的距离为1， 所以一+2=1，解得= 5,AB=8,.lOA=4. /+1 4“ 在Rt△AO℃中.OC 所以直线L的方程为y一2= 4(x-1), √/AC-OA下=5-4=3. 设点C的坐标为(a,0),则1OC=a=3, 即3.x-4y+5=0. a=±3. 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y十5=0. 故所求圆的标准方程为(x十3)十y2=25或(.x 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 3)2+y2=25. 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 正解二由题意设所求圆的标准方程为(x一a)十y-25. 误区13对方程表示圆的条件认识不深刻而致误 :圆截y轴所得线段长为8，∴圆过点(0,4)， 将(0,4)代人方程得a2+16=25,.a=士3. 易错题13（错误率30%）(2024·温州中学单元检测) 故所求圆的标准方程为(x+3)2+y=25或(x 关于xy的方程(2m2+m-1)x2+(m2-m十2)y2+ 3)2+y=25. m+2=0表示的图形是一个圆，求实数m的值. 易错探因点C在x轴上，则点C可能在x轴正半轴上， 正解欲使方程Ax2十By2+F=0表示一个圆， 也可能在x轴负半轴上，正解一中在求出|O℃=3后， 只要A=B≠0，且界<0 容易只考虑在x轴正半轴上的情况而漏解。 由2m2十m一1=一n+2,得r+2m一3=0， 误区15忽略方程中未知量的取值范围致错 所以=一3或m=1. ①当m=1时，方程为22+2y+3=0,号>0，不 易错题15（错误率31%）(2024·雅安中学单元测试) 已知直线l:y=x+b与曲线C:y=√1一Z有两个不 合题意，舍去： 同的公共点，求实数b的取值范围。 ②当m=一3时，方程为14x2十14y2=1,即x2+ 正解如图（数形结合），方程y=x十b表示斜书为1，在参考答案与提示收超 =0 11.(1)2可化为2x一y-2 令1=x-2,则1∈[1,2]. 当x∈[3,4时， a-(-) ∴4与e之间的距离d 75 10 (√m+)m=2+4+5 /2+(-1) 品别 -(-)川=2 所以当x一3时，㎡+？的最小值是 a>0,a=3. 2.4圆的方程 (2)设点P(x,),若点P满足条件②，则点P在与 真题演练 l1,l2平行的直线1：2x-y+C=0上， L.B提示：因为圆与两坐标轴都相切，所以可设该圆的 方程为(x一a)十(y一a)2=a2(a>0). 且lC-3-1 2 又点(2,1)在该圆上，所以(2-a)2+(1一a)=a2, 即a2-6a十5=0，解得a=1或a=5. ∴2-+号=0或2，+是=0 所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5). 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有 所以圆心到直线2x-y一3=0的距离为2X1一1一3 √V2+(-1) 2二地十31=2.z土b-1山 5 52 25或l2X5-5-3-25 5 即12x一为十3=x6+-1. 2+(-1)产5 .x-2为十4=0或3十2=0. 2.A提示：设圆心C(x,y),则√/（一3+(y一4）=1， :点P在第一象限，∴3.十2=0，舍去 化简得(.x-3)十(y-4)=1, /=-3, 所以圆心C的轨迹是以M3,4)为圆心，1为半径的圆， 解得 舍去 所以(OC1+1≥OM=,3+4平=5. (1-2%+4=0, %=2 所以1OC1≥5-1=4， 2一类十号-0解聘 1 当且仅当C在线段OM上时取得等号. 由 3.设A(3,0),B(0,1),⊙M的半径为r, 无一23m+4=0, 则km-号一子AB的中点坐标为（受·号） 即点P(号，忍)同时满足三个条件。 “AB的垂直平分线方程为y一司=3(x一号）， 12.C提示：设4：x-2y+2=0,:x一2=0，l:r+ ky=0,易知l与l交于点A(2,2),显然4恒过坐标 即3x-y-4=0. 原点，如图 3.x-y-4=0, 联立得 解得M1,一1). 2x十y-1=0, .2=MA2=(3-1)￥+[0-(-1)]=5， ∴.⊙M的方程为(x-1)+(y+1)=5. 4.x2+y2一2x=0.提示：设圆的方程为x2+y+D十 Ey+F=0(D+E-4F>0). 当a∥12时，符合题意，此时k=0:当∥4时，符合 F=0, D=-2, 题意，此时k=一2：当过点A(2,2)时，符合题意，此 时k=一1.当k≠0，一2，一1时，三条直线将平面分成 则1+1+D十E+F=0,解得E=0, 7个部分，不符合题意.综上可知选C 4+2D+F=0, F=0, 即圆的方程为x十y2-2x=0. 130提示：令)=0，整理为关于m,m的直线方 学业质量测评 程(.x2-1)m十2x·n十x-2=0, L.D提示：由圆的方程x2十y+Dx十Ey十F=0可得圆心 则（√m2+n)m= x-2 =1x-2 √(x-1)+(2x)Fx2+1' 的坐标为(-号，一号)又圆关于直线，4对称，所以 21 重难点手册高中数学选择性必修第一册亿UA +号+o, 所以x2+十y=1(≤0). 直线山，2都经过圆的圆心，所以 上述方程表示的是圆心 3x号-0， 2 在原点，半径为1的半 D=6, 解得 所以D十E=4, 圆如图所示，则产2的古支 E=-2. 几何意义是半圆上的点 2.D提示：因为圆x2+y一2ax十3by=0的圆心（a (x,y)与点(2,0)连线的 -号)位于第三象限，所以a<0,b>0.直线x十ay十 斜* 由图可得，A(01),B(0,-1),P(2,0),k=二9 =0可变形为=一一合则斜率6=一>0飘 0-2 a 截距一b>0,所以直线不经过第四象限. 3.C4.(x-5)2+y=16. 所以产2的取值范围为[一合] 5.(1)要使方程表示圆， 8.BC 提示：设点P(红，则=路=是 则4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m+9)>0, 即4m2+24m+36+4-32mr+64m-64m一36>0， +2)士立，化简整理得x+y+8x=0,即(x+ /(x-4)+y 整理得7m2-6m-1<0,解得-号<m<1 4)2十y2=16,故A错误： (2:,=号/4m+3)+40-m)产-416m+9 点P的轨迹是圆心为（一4,0），半径为4的圆，所以根 据对称性可知，当D(-6.0,B(-12.0)时，阳- =,-7m+6m+1=√-7(m-）+9 合故B正确： 0 在△APO中.cos∠APO=AP+PO-AOL 2APPO x=m+3, (3)设圆心坐标为(x,y),则 在△BPO中，cos∠BPO=BP+POBO. y=4m2-1. 2BPPO 消去n可得(x一3)=1 要证射线PO为角平分线， =4y+1). 只需证明co5∠APO=cos∠BPO. -<m<,9<< 即证AP+POAO-BP+POO. 2APPO■ 2 BPPO 故圆心C的轨迹方程为(x一3)=士(y+1D(9<< 化简整理即证PO2=2AP12一8. 设P(x,y),则|PO12=x2+y,21AP-8=2r2+ 4),即y=4x-3)-1(9<r<4). 8x+2y=(x2+8x+y2)+(x2+y2)=x2+y, 6B提示：将圆方程化为标准方程得(x一1)户+y=1, 故cos∠APO=cos∠BPO,故C正确： 所以圆心(1,0)到直线AB:2x一y十2=0的距离为d 设Mx3%),由MO引=21MA|. 4,故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是 可得√/+场=2√(x+2)+场， 整理得3.+3+16十16=0. 5+1,最小值是号-1，又1AB=5,故△PAB面 而点M在圆C上，故满足场十场十8.x=0. 5 联立解得x=2,无实数解，于是D错误. 积的最大值和最小值分别是生5， 9.一1语提示：圆C的方程可化为[x十(a一1了+ 7.D提示：因为x+√1一y=0, (y-6)2=-a2-2a+37.当a=-1时，-a2-2a+ 所以√1一y=一x 37=一(a+1)2+38取得最大值38，此时圆C的半径 22 参考答案与提示收组 最大，面积也最大，此时，圆心坐标为(2,6)，且圆C的 由f(0)=0+a×0+b=b可得方程①有一个根为b, 一条对称轴为直线1：mr十y一6=0(m>0,n>0),故 代人方程①得出E=一b一1， 点(2,6)在直线1上，所以2m+6n-6=0.即m十3n 所以⊙M的方程为x8+y+a.x一(b+1)y十b=0. (3)把⊙M的方程改写为z2+y-y+a.x+b1一y)=0. m n x=0, x=0 令1-y=0, 解得 ）=(10+积+0）≥(10+20×0）) x+y2-y=0. (y=1, 号当且仅当别-，即m==寻时取等号，所以 故⊙M过定点(0,1). 12.860.提示：易知2的圆心（即AB的中点）为(15， 1 3-。工3，故3牛的最大值为晶 26),0的半径为4B=20-10+(2-30正- 2 10.如图，设P(x,y),N(xo,为)， /4红，故圆2的方程为(x-15)2+(y-26)°=41，即 连接OP,MN,则线段OP的 x2+y-30.x-52y+860=0.所以f=860. 中点坐标为（受，受），线段 (x2+y=2, 13.5.提示：联立方程得 (x-3)2十y2=5, MN的中点坐标为(23。 x=1,x=1 解得 或 ) y=1y=-1. 又点A在第一象限，则A(1,1).设点D(x0%),因为 由于平行四边形的对角线互相平分 AC=2AD,所以D为AC的中点， 所以是受一23音=“士4，从面 五=x+3, 为=y-4 设AD的中点为E(,士）)： 又点N(.x+3,y一4)在圆上，所以(.x+3)产+(y一4)2=4 地十1 2 .1 当点P在直线OM上时，有=一号y一号或x 一=十1 2 号y-器 又kD·4D=一1，则可得n=5, 则直线CD的斜率为5. 故所求点P的轨迹为圆心为（一3,4），半径为2的圆， 2.5直线与圆.圆与圆的位置关系 且除去点(-号，号)和点（一得）， 真题演练 11.(1)当a=4,b=2时.f(x)=x2十4x+2, 1.A提示：如图，在△OPA中，OA1 令f(x)=x2+4x+2=0,得x=-2士2， PA,OP=2,OA=1,则PA=1, 不妨令A(一2十2,0)，B(-2-2,0),则AB=22. ∠OPA=于.在△OPD中，OD⊥PD, 令x=0,得C(0,2). 所以△ABC的面积为S=号×22×2=2巨. OP=E,设☑0PD=-aa∈[-子·]，则PD=2amsa 所以Pi.P市=Pi1·P市1cos∠APD-1X,2csa· (2)设所求圆的一般方程为十y十Dx十Ey十F=0, 由题意得f(x)=x2十a.x十(a,b∈R,b>0)的图象与 cos(a+)=cos a(cos a-sin a)=Itcgs 2a 2 两坐标轴的三个交点即为圆x2十y十Dx十Ey十F m2a=是+号ms(2a+）因为a∈[- 1 0和坐标轴的交点， 令y=0得x+Dx十F=0,由题意可得，这与x十a.zx ]所以2a+吾∈[-平，]，当2a+吾=0，即 十b=0是同一个方程，故D=a,F=h. 令x=0得y2+Ey+F-y+Ey+b=0,① 。=一香时，iP币有最大值，最大值为号+号 23