2.3 直线的交点坐标与距离公式-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

参考答案与提示收超 ∴.直线1的方程为2.x-y十1=0， 所以角A的平分线所在直线的斜率为？， 选择条件②.，直线1经过点(1,3)，由题意可知直 因此所求的方程为y一4=7(x一3)， 线的斜率存在，设为k, 即7x-y-17=0. ∴.直线1的方程为y一3=(x一1). 4(1-9) 提示：由题意画出图形，如图1. “直线1在x轴上的截距为一号 由图可知，直线BC的方程为x十y=1 ∴直线过点(-号0)： x十y=1 由 y=a.x十b 解得M,) 代入可得k=2,∴.直线1的方程为2.x一y+1=0. (2)在直线1：2x一y十1=0中，令x=0可得y=1,令 可求0，b.D(-o0）: y=0可得x=一 2 .直线1与坐标轴围成的三角 :直线y=ax十b将△ABC分割为面积相等的两部 形面积S=号×1X 分，Sw=合Sar 12.以BC所在直线为x轴，AE所在直外 又Sar=Sw,Saw=Samv, 线为y轴建立平面直角坐标系（如 图)，由已知可知A(0,60),B(90,0). 即号×-女×6名×1-× “AB所在直线的方程为壳十六 整理得华-1-) aa十1 2 1,即y=60-3 b 由图可知，欲使开发的长方形地面面积最大，则长方 形的一个顶点（设为P)必在线段AB上，从而可设 P(x,60-号)，其中0<90， .所开发部分的面积为S=(300一x)(240一y). 故5-(300-(240-60+号)-号r+20r+ 图1 图2 1 54000(0≤x≤90)，∴.当x= 20 即b= ，可以看出，当a增大时，b也增大. 2x(-) ++ 15时，5取得最大值，最大值为-号×15+20×15+ 当a一十e时，一号即K号 当a→0时，直线y=a.x十b接近于y=b: 540=61150.此时y=60-号×15=50， 1 2 因此当点P距AE所在直线15m,距BC所在直线 当6时蜘周一器--名 50m时所开发的面积最大，最大面积为54150m2. 1-6b161- 13.7x-y-17=0.提示：因为A(3,4),B(6,0),C(-5, 综上可知1一号K 则kk=一1.所以∠BAC-90° 2.3直线的交点坐标与距离公式 如图，设角A的平分线所在直 真题演练 线的倾斜角为a, 1.B提示：记点A(0,一1)，直线y=k(x十1)恒过点 则tana=-tan(45°+∠ABO) B(一1,0)，当AB垂直于直线y=k(x十1)时，点A(0, 一1)到直线y=k(x十1)的距离最大，且最大值为 1+ 1AB=2. 2.C提示：由题意可得 19 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA d-lcos 0-msin 0-21Imsin o-cos 0+21 A'(1,-3).直线A'B与直线x+y=0的交点即所求 、m十了 √m+ √m+(m 1 的点，直线AB的方程为桌号即一女 sin 0-- =cos0)+2 /m2+1 m十1 √mr+ 5· _Lm+五sim(0p+2(其中cos9= 早与十=0联立解得 13 Vm+1 m 5 7.D提示：由题意可知，：的最小值的几何意义为点M (x,y)到点A(1,0),B(-1,0),C(0,2)的距离之和的 -1长n0-p≤1,2m≤水m屏+名 最小值，此时M是“费马点”，所以∠AMB=120°，且点 √十1 /十1 M(x,y)在y轴上，如图. 又m++2=1+2 m+1 √m+1 故1OM=09-号，AM=B=210M=2 31 .当m=0时，d取最大值3 学业质量测评 ICM-2 1.D2.C3.B 故：的最小值为2×2+？号-2h反 4 提示：设A(0,2),B(4,0),则线段AB的中点为 (2,.直线AB的斜率m=号一之 则线段AB的垂直平分线方程为y一1=2(x一2)， E 即2.x-y-3=0. A EO 又点(7,3)与点(m,n)重合， H-3 第7题图 第8题图 m-7 1m十2-13=0， 则有 即 8.B提示：如图，从特殊位置考虑.点A(一2,0)关 2×7+m-3”-3=0, 2m一n+5=0, 于直线BC:x+y=2的对称点为A(2,4),连接AF, 2 2 直线A:F的斜率kAr=4.点E(一1,0)关于直线AC: y=x+2的对称点为E(一2,1)，点E(一2,1)关于直 解得 34 1 m十n=5 n=5 线BC:x十y=2的对称点为E(1,4),连接EF,此时直 线EF的斜率不存在，·kLF<知，即m∈(4，十o),. 5.过点P(3,0)且与y轴平行的直线为x=3,此时它被两 9.BC提示：，a,b是方程：x+2x十e=0的两个实根， 条已知直线所截得的线段不被P点平分，因此x=3不 符合题意.于是可设所求直线1的方程为y=k(x一3)， ∴a+b=-2.ab=c又：0<<号 解方程组一L引得交点A(装二号告与)： .la-b=/(a+b)-4ab=√-4c∈[/2,2]. 2x-y-2=0, 解方程组一得交点（生》） ∴两条平行直线之同的距离4=口∈[受.] 2 x+y+3=0. 10.7x-7y十5=0.提示：设P(x,y)是∠BAC的角平 由题意可得点P是线段AB的中点，结合中点坐标公 分线上任意一点，则点P到AB,AC的距离相等，即 式可得 14-3+10-3z-4y-51,所以4x-3y+10= (号+)=3且（兰2+）=0， /4+3 4+3 士(3x-4y-5),即x+y+15=0或7x-7y+5=0. 解得k=8. ∴所求直线1的方程为y=8(x一3)，即8x一y一24=0. 又∠BAC的角平分线的斜率在子到号之间，所以所 6.C提示：点A(3,一1)关于直线x+y=0的对称点为 求角平分线所在直线的方程为7x一7y十5=0. 20 参考答案与提示收超 =0 11.(1)2可化为2x一y-2 令1=x-2,则1∈[1,2]. 当x∈[3,4时， a-(-) ∴4与e之间的距离d 75 10 (√m+)m=2+4+5 /2+(-1) 品别 -(-)川=2 所以当x一3时，㎡+？的最小值是 a>0,a=3. 2.4圆的方程 (2)设点P(x,),若点P满足条件②，则点P在与 真题演练 l1,l2平行的直线1：2x-y+C=0上， L.B提示：因为圆与两坐标轴都相切，所以可设该圆的 方程为(x一a)十(y一a)2=a2(a>0). 且lC-3-1 2 又点(2,1)在该圆上，所以(2-a)2+(1一a)=a2, 即a2-6a十5=0，解得a=1或a=5. ∴2-+号=0或2，+是=0 所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5). 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有 所以圆心到直线2x-y一3=0的距离为2X1一1一3 √V2+(-1) 2二地十31=2.z土b-1山 5 52 25或l2X5-5-3-25 5 即12x一为十3=x6+-1. 2+(-1)产5 .x-2为十4=0或3十2=0. 2.A提示：设圆心C(x,y),则√/（一3+(y一4）=1， :点P在第一象限，∴3.十2=0，舍去 化简得(.x-3)十(y-4)=1, /=-3, 所以圆心C的轨迹是以M3,4)为圆心，1为半径的圆， 解得 舍去 所以(OC1+1≥OM=,3+4平=5. (1-2%+4=0, %=2 所以1OC1≥5-1=4， 2一类十号-0解聘 1 当且仅当C在线段OM上时取得等号. 由 3.设A(3,0),B(0,1),⊙M的半径为r, 无一23m+4=0, 则km-号一子AB的中点坐标为（受·号） 即点P(号，忍)同时满足三个条件。 “AB的垂直平分线方程为y一司=3(x一号）， 12.C提示：设4：x-2y+2=0,:x一2=0，l:r+ ky=0,易知l与l交于点A(2,2),显然4恒过坐标 即3x-y-4=0. 原点，如图 3.x-y-4=0, 联立得 解得M1,一1). 2x十y-1=0, .2=MA2=(3-1)￥+[0-(-1)]=5， ∴.⊙M的方程为(x-1)+(y+1)=5. 4.x2+y2一2x=0.提示：设圆的方程为x2+y+D十 Ey+F=0(D+E-4F>0). 当a∥12时，符合题意，此时k=0:当∥4时，符合 F=0, D=-2, 题意，此时k=一2：当过点A(2,2)时，符合题意，此 时k=一1.当k≠0，一2，一1时，三条直线将平面分成 则1+1+D十E+F=0,解得E=0, 7个部分，不符合题意.综上可知选C 4+2D+F=0, F=0, 即圆的方程为x十y2-2x=0. 130提示：令)=0，整理为关于m,m的直线方 学业质量测评 程(.x2-1)m十2x·n十x-2=0, L.D提示：由圆的方程x2十y+Dx十Ey十F=0可得圆心 则（√m2+n)m= x-2 =1x-2 √(x-1)+(2x)Fx2+1' 的坐标为(-号，一号)又圆关于直线，4对称，所以 21《易错誉示》参考答案么超 知点A(2,1),B(-2,2),若直线1过点P(- 名解得a=8 -)且与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取 正解二令3X1=a(a-2),解得a=一1或a=3. 当a=一1时，两条直线的方程都为x一3y一1= 值范围是( 0,即两条直线重合，故舍去： A[-若] 当a=3时，两条直线的方程分别为3x十3y十1= 0,x十y+3=0,两条直线平行 a[-号ou(o,） .a的值为3. c(-o,-0)）Ui,+∞) 答案3. 易错探因用正解一解题时易忽略两条直线重合的情 n(-,]u[是.+) 况，由号-。产2·直接解得a=-1或a=3,从而产生 正解 如图，当直线I由位置PA绕点 增解。 P转动到！垂直于x轴时（不包括与 x轴垂直的位置)，1的斜率为正值 误区10忽略直线斜率不存在的情况致错 01 并逐渐变大，当直线1垂直于x轴 易错题10（错误率30%）已知直线l41:(2-a)x十ay 时，l无斜率，当直线1由垂直于x轴（不包括与x轴垂 3=0,2:(2a十3).x-(a一2)y十2-0互相垂直，则实数 直的位置)转动到PB的位置时，斜率变为负值并逐渐 a的值为 变大，易求得直线PA的斜率km=号，直线PB的斜 正解-因为4⊥l4.则必有(2-a)(2a十3)一a(a-2)= 11 0.即a-a-2=0. 率k= 6 ,则直线1的斜率k的取值范围是（一©， 所以a=2或a=一1. -]u[号+) 正解二①若a=0,直线4：2x一3=0与直线1：3x十2y十 2=0不垂直 答案D ②若2一a=0,即a=2,直线1：2y一3=0与直线 易错探因解本题时易由直线PA的斜率k:=号，直线 l:7x+2=0显然垂直 PB的斜率km=一吕，得直线1的斜率表的取值范围 ③若a≠0，且a≠2，则直线，l2的斜率k1,k都 是[一昌·号引事实上，在直线1的允许活动范图内 存在=。=》当6Lk时，6k= 即“一2.2如十多=一1，解得a=-1 直线！的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不一 d-2 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 综上可知，当a=2或a=一1时，直线l4⊥l. 时，直线！的斜率不存在，出错的原因是忽略了直线斜 答案2或-1， 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 易错探因在利用斜率判晰直线位置关系时，一定要先 90时直线无斜率 保证直线斜率存在。 误区9忽略两直线重合的情形致错 误区11求解两条平行直线间的距离时忽视直 线方程中一次项系数对应相等 易错题9（错误率27%）已知直线4.x十3y十1=0与.x十 易错题11（错误率26%）(2024·爱门外国语学校单元 (a一2)y十a=0平行，则a的值为 检测则)求两平行直线l1:3x+4y+2=0.l2:6x+8y 正解-：两直线平行、a0a≠2.且导-产2子 4=0之间的距离。 重滩点手册高中数学选择性必修第一册亿UA 正解：6.x十8y一4=0可化为3.x十4y-2=0,根据两 平行直线间的距离公式可得d2二兴=告 了齐，表示以原点为圆心，以平为半径的圆 √3+ 故m=一3. 易错探因求解本题时易出现如下错解： 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=12-(-41=6 形如Ax2十By十F=0的方程表示一个圆， √3+4平 5 只要A=B≠0. 导致上述错解的原因是两平行线(，中x,y的 所以2m2+m-1=m一m+2.即m+2-3=0, 系数不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使 解得m=1,=一3. 用条件 所以当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是 误区12求直线方程时忽略斜率不存在的情况 一个圆. 导致上述错解的原因为形如Ax2+By+F=0的 易错题12（错误率28%）已知直线1过点A(1,2),且原 点到直线1的距离为1，求直线（的方程. 方程表示圆的条件是A=B≠0，且界<0， 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 误区14对圆心的位置考虑不全致错 方程为：x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意. 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直 易错题14（错误率25%）已知某圆的圆心在x轴上，半 线l的方程为y-2=k(x-1),即kx一y-k+2=0. 径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 正解一如图，由题设知AC=r= y 因为原点到直线1的距离为1， 所以一+2=1，解得= 5,AB=8,.lOA=4. /+1 4“ 在Rt△AO℃中.OC 所以直线L的方程为y一2= 4(x-1), √/AC-OA下=5-4=3. 设点C的坐标为(a,0),则1OC=a=3, 即3.x-4y+5=0. a=±3. 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y十5=0. 故所求圆的标准方程为(x十3)十y2=25或(.x 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 3)2+y2=25. 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 正解二由题意设所求圆的标准方程为(x一a)十y-25. 误区13对方程表示圆的条件认识不深刻而致误 :圆截y轴所得线段长为8，∴圆过点(0,4)， 将(0,4)代人方程得a2+16=25,.a=士3. 易错题13（错误率30%）(2024·温州中学单元检测) 故所求圆的标准方程为(x+3)2+y=25或(x 关于xy的方程(2m2+m-1)x2+(m2-m十2)y2+ 3)2+y=25. m+2=0表示的图形是一个圆，求实数m的值. 易错探因点C在x轴上，则点C可能在x轴正半轴上， 正解欲使方程Ax2十By2+F=0表示一个圆， 也可能在x轴负半轴上，正解一中在求出|O℃=3后， 只要A=B≠0，且界<0 容易只考虑在x轴正半轴上的情况而漏解。 由2m2十m一1=一n+2,得r+2m一3=0， 误区15忽略方程中未知量的取值范围致错 所以=一3或m=1. ①当m=1时，方程为22+2y+3=0,号>0，不 易错题15（错误率31%）(2024·雅安中学单元测试) 已知直线l:y=x+b与曲线C:y=√1一Z有两个不 合题意，舍去： 同的公共点，求实数b的取值范围。 ②当m=一3时，方程为14x2十14y2=1,即x2+ 正解如图（数形结合），方程y=x十b表示斜书为1，在更难点手细高中数学选择性必修第-册RUA 2.3直线的交点坐标与距离公式 重点和难点 课标要求 1.掌握两条直线的交点坐标。 重点：两直线的交点坐标，点到直线的 2.掌握两，点间的距离公式. 距离公式 3.掌握点到直线的距离公式 难点：点到直线的距离公式的推导 4.理解两条平行直线间的距离公式. 01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 Aix+By+C=0, 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 A2x+B2y+C2=0. 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方 程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有 无穷多解，则两条直线重合 (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 Aix+Biy+C:=0, 方程组 的解 一组 无数组 无解 A2x+B2y+C:=0 两条直线4,12的公共点 一个 无数个 零个 两条直线，间的位置关系 相交 重合 平行 知识点2两点间的距离公式 园划重点 已知点P1(1y),P2(x22),得PP=(2一d,2一y). 已知斜率为k的直线上 于是|PP|=√(-)+(-y).由此得到P(x), 的两点P(,),P2(,边)， 由两点间的距离公式可得 P(2,)两点间的距离公式DP2=(x一x)+(2一M)度. PP 特别地，(1)原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离OP|= =√/(x2一x)+(y2-M) zFy. ={x-x|·√1十k (2)当PP2平行于x轴时，PP2|=x2一x =-√+是 (3)当PP2平行于y轴时，PP2|=|y2一yI. 70 第二章 直线和圆的方程么图型 知识点3点到直线的距离公式 卫提个醒 (1)定义 点到直线的距离公式适 点P。到直线l的距离是指从点P。到直线I的垂线段P,Q 用于平面内任一点到任一条 的长度，其中Q为垂足，实质上，点到直线的距离是直线上的点与 直线的距离的求解.在应用此 直线外该点的连线的最短距离. 公式时，若给出的直线方程不 (2)公式 是一般式，则应先把方程化为 一般式，再利用公式求解 已知一个定点P(x,y),一条直线为l:Ax十By+C=0,则 定点P到这条直线1的距离为d=A+B6十C √A'+B 知识点4两条平行直线间的距离公式 冒敲黑板 (1)定义 (1)两条平行直线间的距 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线 离公式适用于两条直线的方 段的长 程都是一般式，并且x,y的系 (2)公式 数分别对应相等的情况，否则 设有两条平行直线：Ax十By+C1=0,l2:Ax+By+C2= 必须先将系数化为对应相等 0,则它们之间的距离为d=1C一C 才能套用公式 √A+B2 (2)两条平行直线间的距 重难拓展 离可以转化为，点到直线的距离. 重难流1坐标法（或解析法）】 1.坐标法的定义 通过建立平面直角坐标系，设出已知点的坐标，表示出未知 点的坐标，把几何问题转化为代数问题，从而通过代数运算解决 几何问题，这种解决问题的方法叫作坐标法，也称为解析法。 2.坐标法解决问题的一般步骤 已刻重点 (1)建立适当的平面直角坐标系. 建立适当的坐标系对简 化计算很重要，建立坐标系应 (2)设出已知点的坐标，表示出未知点的坐标 遵猜以下原则： (3)利用已学的坐标公式列出方程（组），通过计算得出代数 (1)要使尽可能多的已知 结论 点落在坐标轴上，这样便于 (4)得到几何问题的结论. 计算： 用框图表示如图。 (2)如果图形中有互相垂 儿何问题 建立坐标系代数问题 直的两条线段，可以考虑将其 所在直线作为坐标轴： 儿何结论 代数结论 (3)如果图形具有中心对 例I在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|+ 称性，可以考虑将图形的中心 |AC2=2(|AD2+|DC1). 作为坐标原点： 71 更难食手细高中数学选择性必修第一册RU口 证明以D为原点，BC边所在直线为x轴 (4)如果图形具有轴对称 建立平面直角坐标系，如图所示， 性，可以考虑将对称轴作为坐 设A(b,c),C(a,0),B(-a,0). 标抽. B (D)Cx 因为|AB2=(a+b)2+c2,|AC2=(a b)2+(-c)2,AD2=b2+c2,|DC2=a2, 所以|AB12+|AC12=2(a2++c2),|AD12+DC2=a2+ b+c2, 所以AB12+|AC2=2(|AD?+|DC2). 重难点2过两条直线交点的直线系方程 国记方法河 (1)设直线l1:Ax+By十C=0与直线2：Ax+B2y十C2=0 求过两直线交点的 相交，则过，l2的交点的直线系方程为m(Ax十By十C)十 直线方程的方法 n(A2x十B2y十C2)=0(其中m,n为参数，且m2+n≠0). (1)方程组法：一般是先 当m=1,n=0时，此方程即直线4的方程： 解方程组求出两直线的交点 当m=0,n=1时，此方程即直线12的方程 坐标，再结合其他条件求出直 上面的直线系方程可以改写为Ax十By十C十入(A2.x+ 线方程 B2y十C2)=0(其中入为参数)，() (2)直线系法：先设出过 两直线交点的直线系方程，再 需注意，此时直线系中不包括直线. 结合条件利用待定系数法求 (2)点斜式y一%=k(x一xo)和斜截式y=kx十b都是交点直 出参数，最后确定直线方程 线系方程 ①将点斜式整理为y一%一k(x一x)=0,对照交点直线系方 程（￥），其中入就是一k,y一%=0是直线1，x一。=0是直线 l2,故y一%=k(x一x0)是过点(xo,yo)除x=外的所有直线： ②同①可说明直线系方程y=k.x十b(b为已知，k为参数)是 过点(0，b)除x=0(即y轴)外的所有直线， 例2(2024·武汉联考)若直线l经过两直线2x-3y-3=0 和x十y十2=0的交点，且斜率为一3，则直线1的方程为 解析因为直线（过已知两直线的交点，所以直线【的方程可 设为2.x-3y-3十a(x十y十2)=0（其中入为常数）， 即（λ+2）x+(入一3)y+2-3=0.① 又直线1的斜率为一3， 则测士名-一3，解得=马 3-入 2 将入-号代入①式并整理得15x十5y+16=0.此即所求直线 l的方程， 答秦15x+5y+16=0. 72 第二章直线和圆的方程么型 口02-关健能力提升。 题型方法 即点P的坐标为(2,1). 题型1两条直线的交点及其应用问题 因为直线【与直线x十y一2=0垂直， 1三条直线相交于同一点的问题 所以直线l的斜率为1. 已知三条直线相交于同一点，求直线方程 由点斜式得直线l的方程为y一1=1· 中的参数，只需求出其中两条直线的交点，利 (x-2),即x-y-1=0. 用该点也在第三条直线上即可求解。 方法二直线1的方程可设为2x一y 例B若三条直线1：4x+y+4=0,l2: 3十λ(4x-3y一5)=0（其中A为常数）， mx十y十1=0，la:x一y十1=0不能构成三角 即(2+4λ).x-(1十3A)y-5入-3=0. 形，则m的值为 因为直线l与直线x十y一2=0垂直， 解析显然与1不平行，当1∥12或2∥ 所以件数（一》=-1，解得X=-1 l时不能构成三角形，此时对应m的值分别为 故直线l的方程为x一y一1=0. m=4,m=-1; 答案x一y一1=0. 当直线1,2，经过同一点时，也不能构 3.直线过定点问题 成三角形. 例5(2024·辽宁大连二十三中检测)已 xy+1=0, x=-1, 由 得 知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4一3m=0. 4x+y十4=0，y=0. (1)求证：无论m为何实数，直线l恒过一 代入l2的方程得一m十1=0，即m=1. 定点M; 综上，m=4或m=一1或m=1. (2)若直线1与直线x十y一4=0交于点 答寨1或一1或4. P,与直线x一y=0交于点Q,且线段PQ的中 2.求过交点的直线问题 点是(1)中的定点M,求直线l的方程. (1)常规解法（方程组法）：一般是先解方 证明(1)直线l:(2+m)x十(1一2m)y十 程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线 4-3m=0.即(x-2y-3)m十(2.x+y+4)=0, 方程 x-2y-3=0, x=-1, (2)特殊解法（直线系法）：先设出过两直 令 解得 2.x+y+4=0, y=-2, 线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系 故无论m为何实数，直线l恒过一定点 数法求出参数，最后确定直线方程。 例4(2024·武汉六中月考)已知直线1 M(-1,-2). 经过直线2.x一y-3=0和4.x-3y-5=0的交 (2+m).x+(1-2m)y+4-3m=0, (2)联立 点P,且垂直于直线x十y一2=0，则直线l的 x+y-4=0, 方程为 x=11m-8 3m+1 2x-y-3=0,「x=2, 解得 故P(1m-8m+12 解析方法一由 得 m+12 3m+1'3m+17 4x-3y-5=0 y=1. 3m+1' 73 更避包手细高中数学选择性必修第-册RUA (2+m).x+(1-2m)y+4-3m=0, 联立 P2或P.直线PM的 x-y=0, 方程为y二8-二5战8 -x-5 3m-4 3-m 故Q(3m-4,3m-4 4-82-564-8 5 32一5 5 解得 3m-4 3-m’3-m y 即4x-3y十4=0或24.x-7y-64=0. 3-m 题型3点到直线、平行线间的距离公 由于线段PQ的中点是(1)中的定，点M, 式的应用 m+1213m-4 由(1)知M(-1,-2),所以3m+13-m 1.点到直线的距离公式的应用 2 (1)如果已知点P。的坐标为(0，%)，求 11m-8⊥3m-4 P。到已知直线l:Ax十By十C=0的距离，可直 -2,且3m+1 3一m=-1,解得m=2, 2 接应用公式d=A十B%十C √A+B 故直线1的方程为3.x一4y一5=0. (2)若已知点到直线的距离，求其他未知 题型2两点间的距离公式及其应用 数，则可逆用公式列出方程，从而解决问题 问题 2.利用点到直线的距离公式求直线方程 1.求两点间的距离问题 由已知条件求直线的方程，往往用待定系 对于任意两点A(x1,),B(x2,y2)间的 数法.一般情况下，若直线过定点可设直线的 距离公式|AB|=√(x2一x)2+(2一y)产，习 点斜式方程，但要注意在直线的点斜式方程中 惯上是用第二个点的坐标减去第一个点相应 不含斜率不存在的直线，所以应验证斜率不存 的坐标.当两点确定的直线垂直于x轴或y轴 在的直线是否满足已知条件，注意不要漏解。 设好直线方程后，根据题目条件及点到直线的 时，A,B间的距离可直接用两点的纵坐标或横 距离公式，列关系式求解未知量即可.此类问 坐标之差的绝对值求出. 题可能有两解，也可能有一解或无解， 2.两点间的距离公式的逆向运用问题 例☑已知直线1经过点A(2,4),且被平 已知所求点的相关信息及该点到某点的 行直线l:x-y十1=0与l2:x-y-1=0所截 距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利 得的线段的中点M在直线x十y一3=0上，求 用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的 直线l的方程. 方程或方程组求解。 解析因为，点M在直线x十y一3=0上， 例6(2024·南昌一中检测)在已知直线 所以设点M的坐标为(1,3一t). 2.x一y=0上存在一点P,使它到点M(5,8)的 因为点M到直线l1,2的距离相等， 距离为5，求直线PM的方程. 即-3++1山=t-3+1-1 解析，点P在直线2x一y=0上， 2 √2 .可设，点P的坐标为(a,2a) 解得1多 ∴.(a-5)2+(2a-8)2=5, 所以M号，).又直线1经过点A(2,40, 即5c-42a+64=0,解得a=2或 1 所以直线l的方程为5.x一y一6=0. 74 第二章直线和圆的方程么型 3.利用平行直线间的距离公式求直线方程 (2)线关于点的对称问题 例8已知直线1过点A(0,1),l2过点 如图2，直线1关于点P对称的直线满 B(5,0),如果1∥l2,且直线与l2之间的距 足的条件：①直线与直线1平行.②直线l上 离为5，求直线1，l2的方程. 的任意一点关于点P的对称点在直线'上 解析①当直线的斜率存在时，设直线的 斜率为k,由斜截式得直线，的方程为y k.x十1，即kx一y十1=0；由点斜式可得直线2 的方程为y=k(x-5),即kx-y一5k=0. 则直线4与2间的距离d=1+5k 5 图2 图3 √1+k (3)线关于线的对称问题 25k2+10k+1=25k2+25,k=1 如图3，求直线1关于直线1的对称直线 故直线41的方程为12x一5y十5=0，直线 12的问题，首先求出直线11与l的交点P,然后 l2的方程为12.x-5y-60=0. 在直线上选择一点M,求出M关于直线L的 ②若直线1,2的斜率不存在，则直线 对称点N,再由两点式或者点斜式求出直线2 的方程为x=0,直线l2的方程为x=5,它们之 的方程即可 间的距离为5，同样满足条件 求出P的坐标，→求出直线，的方程. 综上，满足条件的直线方程有两组，即1： 求出N的坐标 12.x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0, 特别地，直线Ax十By十C=0关于直线x十 或l4:x=0,l2:x=5. y十C=0的对称直线为A(-y-C)+B(-x 题型4直线的交点坐标与距离公式的 -C)+C=0:直线Ax十By十C=0关于直线 综合问题 x-y十C=0的对称直线为A(y一C)+B(.x+ L.对称问题 C)+C=0. (1)点关于线的对称问题 例9在△ABC中，已知A(3,3),AB边 如图1，点P(xo,%)关于直线Ax十By十 上的中线CM所在直线的方程为5√3.x十9y一 C=0的对称点P(.x,y)满足的条件：①PP'的 18=0,∠ABC的角平分线BT所在直线的方 中点M在直线上；②PP与直线垂直.列两个 程为y=1. 方程然后求解。 (1)求顶点B的坐标： A.X+0+B.y+业+C=0, 2 2 (2)求△ABC的面积. y一%=B 解析(1)设B(xo,y%),则AB的中点 x一xA· ·P(x,y） M5,3)在中线CM所在的直线上， 2 所以53.8+9.3血-18=0， P(xM） Ar+By+C=0 2 2 即53.xo十9+6=0.① 图1 又点B在直线BT上，则y%=1.② 75 更雕食手细高中数学选择性必修第一册RU 由①②可得x0=一√3，%=1， 解析(1)设点A(2,3)关于直线1：x十y十 即点B的坐标为（一3,1）. 1=0的对称点为A'(x,y) (2)因为点A(5,3)关于直线BT的对称 y-3=1, x-2 点D的坐标为(W3,一1)，点D在直线BC上， 则 x+2+y+3+1=0, 所以kc=km=1-C-D=-B 2 2 -√3-3 3 x=-4, 解得 即A'(-4,-3). y=-3, 所以直线BC的方程为x十√3y=0. 因为直线BC和直线CM交于点C, 所以直线AB的方程为- x+√3y=0, 即4x-5y+1=0. 所以联立 5/5.x+9y-18=0, 当，点C为直线4x一5y十1=0与直线x十 x=33, y十1=0的交，点时，AC|十|BC取得最小值. 解得 即C(3√3，-3). y=-3, 4x-5y+1=0. 联立 解得 则|BC=√(3/3+3)2+(-3-1)2=8， x+y+1=0, 1 y=- 3 点A到直线BC的距离d=WB+3 =2、3, V1+3 所以c-号-3》. 所以Sm=号×8X23=85. 即|AC|+|BC引的最小值为|A'B|= √(1+4)+(1+3)2=√41. 2.最值问题 根据题目条件求距离的最大值及最小值 (2)由题意知直线AB的方程为3= 是解析几何的一个重要问题，解决此类问题主 号整理得2x-y-1=0,当点D为直线 要有两种方法 2x一y-1=0与直线x十y十1=0的交点时， (1)代数法：把距离表示为某个变量的函 IIAD-|BD|最大， 数，转化为函数的最值问题. (2x-y-1=0, x=0, (2)几何法：由几何图形指出哪种状态下 由 解得 即D(0, x+y+1=0, y=-1, 有最大值和最小值，进而求出最大值和最 一1)，从而|AD引-|BD|的最大值为AB= 小值 √(2-1)+(3-1)严=√5. 例10(2024·江苏连云港高级中学月 易错警示 考)在平面直角坐标系中，点A(2,3),B(1,1), 直线l:x十y十1=0. ◆易错题11（错误率26%）(2024·厦门 (1)在直线L上找一点C,使得AC+BC 外国语学校单元检测)求两平行直线4：3x十 最小，并求出这个最小值和点C的坐标： 4y+2-0,2:6x十8y4=0之间的距离. (2)在直线1上找一点D,使得||AD| ◆易错题12（错误率28%）已知直线1 |BD|最大，并求出这个最大值和点D的 过点A(1,2),且原点到直线1的距离为1，求 坐标 直线1的方程 76 第二章直线和圆的方程么型 门03-核心素养聚焦。 考向分类 命题意图：主要考查点到直线的距离公式 向1平面内距离的最值 命题规律基本不等式等基本知识 例11(2019·江苏卷)在平面直角坐标 真题探源：取材于教材P77[练习]第2题 系Oxy中，P是曲线y=x+4(x>0)上的 常考题型选填题难度系数0,6高考热度 ★ 个动点，则点P到直线x十y=0的距离的最小 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平 水平一 值是 耳题演练 解析]设Pxx十4)，x>0,则点P到直线 1.(2020·全国Ⅲ卷，考向1)点(0，-1)到 x十x+4 2x+4 直线y=k(x+1)距离的最大值为(). x十y=0的距离d= A.1 B.2 C.3 D.2 √2 2 2.(2018·北京卷，考向1)在平面直角坐 /2x, 标系中，记d为点P(cos0,sin)到直线x =4,当且仅当2x= √2 4,即x=2时取等 my一2=0的距离.当0，m变化时，d的最大值 号，故点P到直线十y=0的距离的最小值是4， 为( 答案4. A.1 B.2 C.3 D.4 04学业质量测评。 A 基础过关练 测试时间：10分钟 +号 C.y=1 D.x-+l 1.[题型2](2024·新疆兵团二中单元检测)已 4.[题型4]将一张坐标纸折叠一次，使得点(0， 知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为（一2， 2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m,n)重合， 一3)，则点P(x,y)到原点的距离是(). 则m十n= A.2 B./13 C.15D.17 5.[题型1、3](2024·南昌二中单元检测)过点 2.[题型3](2024·天津一中单元检涮)若两条 P(3,0)作直线1，使它被两相交直线2x 平行直线1：x-2y十m=0(m>0)与l2: y一2=0和x+y十3=0所截得的线段恰好 2x十y一6=0间的距离是√5，则m十n= 被点P平分，求直线1的方程 (). A.0 B.1 C.-2 D.-1 3.[题型1](2023·肇庆二中月考)光线沿直线 y=2x十1射到直线y=x上，被y=x反射 后的光线所在的直线方程为(). Ay-2-1 By-—是 77 更难食手细高中教学 选择性必修第一册 a B综合提能练 测试时闻：20分钟 10.[题型3](2024·淮南五校联考)已知 6.[题型2、4]已知点A(3,一1)，B(5,-2),且 △ABC的三边所在直线的方程分别是IB: 点P在直线x+y=O上，若使|PA十|PB 4x-3y+10=0,lx:y=2,lcA:3.x-4y=5, 取最小值，则点P的坐标是( ). 则∠BAC的角平分线所在直线的方程 A.(1,-1) B.(-1,1) 为 c(.》 11.[题型4](2024·人大附中检测)已知三条直 D.(-2,2) 线4：2x-y+a=0(a>0),l:-4x+2y+ 7.[题型2、4](2024·石家庄二中单元检测)费 1=0,l:x十y一1=0，且4与l2之间的距离 马点是平面上到一个三角形的三个顶点的 距离之和最小的点.当三角形三个内角均小 是源 于120时，费马点与三个顶点的连线正好三 (1)求a的值. 等分费马点所在的周角，即该点所对的三角 (2)能否找到一点P,使得P点同时满足下 形三边的张角相等，均为120°.根据以上 列三个条件：①P是第一象限的点：②P 性质，=√/(x-1)+y2+√(x+1)+y+ 点到L的距离是P点到1：的距离的2： 、x2+(y一2)产的最小值为( ③P点到1的距离与P点到13的距离 A.2 B.√3C.2-√3D.2+3 之比是√2：5. 8.[题型1、4(2024·武汉三中月考)如图，已 若能，求出P点的坐标：若不能，请说明 知点A(一2,0)，B(2,0),C(0,2),E(一1， 理由 0),F(1,0),一束光线从F点出发，落到BC 上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落 到线段AE上（不含端点），则直线FD的斜 率的取值范围是(). A.(-0∞，-2) B.(4,十∞) C.(2,十∞) 培优突破练 测试时间：20分钟 D.(1,十oo) A EO F Bi 12.[题型1、4]（复旦大学自主招生）平面上有 9.[题型3、4](2024·武汉十一中月考)（多选 三条直线x-2y+2=0,x一2=0，x十ky= 题)设两条直线的方程分别为x十√3y十a 0,如果这三条直线将平面划分成六个部 0,x十3y十b=0,已知a,b是方程x2十2x十 分，则k可能的取值情况是( c=0的两个实根，且0≤c≤2，则下列关于 A.只有唯一值 B.可取两个不同值 这两条直线之间的距离d的说法，正确的是 C.可取三个不同值D.可取无穷多个值 13.[题型2、4幻(2022·全国高中数学联赛甘肃 A.d的最大值为2 B.d的最大值为1 赛区预赛)设f(x)=m.x2十(2n十1)x m-2(m,n∈R,m≠0)在[3,4]上至少有 Cd的最小值为号 D.d的最小值为√2 个零点，则m2十n2的最小值是 7