2.2 直线的方程-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

参考答案与提示收超 不可能为180°一a 由已知可得A(1,1),B(-1,5), 米 1-(2%-8, 青<8 图1 图 图 故义+3 2(-1<≤1)的最大值为8，最小值为子 5.一√3；120°.提示：由题意知a1=30° ∴k=tan30=⑤ B-1,5) 3 hL,6=-1,∴=-太=-原 A(1,1) .tanm=-3.又0°≤am<180°，.am=120. P(-2,-33引 6.B提示：OA0=OA,十AA=86+9×16=230m.即 第10题图 第11题图 点A(230,0),由对称性知B(一230,0)，因为OP= 11.如图，以点B为坐标原点，BC,BA所在直线分别为 OP1+P1P。=57+9×4.4=96.6m,即点P。(0.96.6), x轴、y轴建立平面直角坐标系. 所以人-8--Q42,6从人-5-0 由AD=50m,AB=30m, 42,即最长拉紫所在直线的斜率为士0.42 可得C(50,0),D(50,30),A(0,30) 7B提示片一，它表示过函数y=ax图象 设点M(x,0),因为AC⊥DM,且直线AC,DM的斜 上的点(x,y)与点D(1,0)的直线的斜率，如图，令a= 率均存在.所以e·kw-1,所以”司·沿 km,b=k,c=kx,由图知kx<kW<km即c<h<a. =一1，解得x=32.即BM=32m时，两条小路所在 直线AC与DM相互垂直. :x-3-2=0 12.6.提示：以A为坐标原点，平 行于4的直线为x轴，建立如 图所示的平面直角坐标系，设 B(a,-2),C(b,3). 第7题图 第8题图 AC⊥AB,∴.kwkM=-1, 8ABC提示：易知1=3二二2 =-5 -2-0 “2×爱=-1，b-6=0h=6.6= a 2.2=专如图，当>号或≤-受时直线1与 3-0 则R△AB的面积S=号V+·V+9 线段AB有交点，因此当-号<a<专时，直线1与线 后·+9=2++≥ 段AB无交点， 又一子：提示：作点A2,1关于y轴的对称点A(-21, √72干72=6（当且仅当a=一2时取等号）. 1 故R△ABC的面积的最小值为6. 设入射点Q(0,b),则A',QB三点共线， 2.2直线的方程 真题演练 1 1.B 2.D ,k0=-k0=一3 11×(-a)-(-2)×2=0. 3.4. 提示：由题意知 108: 提示：如图，由牛号-二》的几何意义 (-2)×(-a)-(-10×(-a)≠0. 解得a=4. 可知，它表示经过定点P(一2，一3)与曲线段AB上任 学业质量测评 意一点(r,y)的直线的斜率k,由图可知k≤k≤km: 1.B2.A 17 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 3BD提示：对于A,若直线过原点，横纵截距都为0，则 为高线和中线，所以欧拉线方程为2x一4y十3=0. 不能用方程￡+义=1表示，故错误： 7,.B提示：设直线的方程为若+若=1(a>0.6>0),因 对于B,当m=0时，平行于y轴的直线方程为x=2, 为直线过点P1,4),所以是+音-1则截距之和u十 故正确： 对于C,若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存 6=a+b0(日+)=5++≥5+2V号 在，不能用y一1=tanx一1)表示，故错误： 对于D,设点P(x,y)是经过两点P(为)，P(, =0,当且仅当会-会，即2a=6时取得最小值，所以 边)的直线上的任意一点，根据PP∥P,P可得(2一 日+会=1，解得a=3,则6=6，所以直线的方程为 )(x一2)一（一）(y一y)=0,故正确. 4.ABD提示：对于A,y=a.x-3a十2(a∈R)可化为y 若+若=1，即2x+y-6=0. 2=a(x-3),则直线y=ar一3a+2(a∈R)必过定点 8.ACD提示：对于A,当a=0时，两直线方程分别为 (3,2),故正确： y=1和x=2,此时也满足两直线互相垂直，故错误： 对于B.令x=0,则y=一2，即直线y=3.x一2在y轴 对于B,直线的斜率k=一sina,则一1≤k≤1，即一1≤ 上的截距为一2，故正确： 对于Cw3.x十y十1=0可化为y=一3x一1，则该直线 m1.,则c[0晋]U[x小，故正确： 的斜率为一√3，即倾斜角为120°，故错误： 对于C,当=x:或为=为时，直线方程为r=1或 对于D,设过点（一1,2）且垂直于直线x-2y+3=0的 y=”,此时直线不能用两点式方程表示，故错误： 直线的斜率为，因为直线x一2十3=0的斜率为号： 对于D,若直线过原点，则直线方程为y=x,此时也满 足条件，故错误， 所以k·号=一1，解得k=-2,则过点(-1,2)且垂直 9.AD提示：如直线y=x十号，既不与坐标轴平行又不 于直线x一2y+3=0的直线的方程为y-2=-2(.x+ 经过任何整点，A是真命题： 1),即2x十y=0,故正确 如直线y=2x+V2,过整点（一1,0），B是假命题： 5.一号：一2。提示：1由直线1在x轴上的截距为-3 如直线y=x十令不过任何整点，C是假命题 得直线过点(-3,0)，代人方程得(m2-2m一3)× 如直线y=√2x十2，过唯一的整点（一1,0），∴D是 (-3)-(2m+m-1)×0+6-2m=0, 真命题。 即3m-4m一15=0，解得m=3或m=-号 10.8:x十4y-8=0. 提示：设直线1的方程为。十岩 经检验可知当m=3时，直线方程为y=0,不合题意 1(a>0,b>0). （会去)，所以m=一吾 因为直线1过点(4，，所以+方-1 (2)由直线1的斜率为1得直线方程中x,y的系数互 为相反数，且不为0，所以(m2一2m一3)一(22+m一 又因为+>2√日×石，所以1>2√即 1)=0,解得m=一2或m=一1. 当m=一1时，22十m-1=0,不合题意（舍去）， ab>16,当且仅当-名即a=8,6-2时取等号. 所以m=一2. 所以(Sm)-×16=8， 6B提示：因为A(1,0),B(0,2),可得AB的中点为 (1)直线AB的斜率为-2，所以线段AB的垂直 此时直线1的方程为专十立=1，即x十y一8=0， 11.(1)选择条件①.：直线1与直线2一y一1=0平行， 平分线方程为y-1=2(x一号)，即为2x-4y十3 ∴.可设直线1的方程为2x一y十n=0, O,由于等腰三角形ABC中，边AB上的垂直平分线也 把点(1,3)代人可得m=1, 18 参考答案与提示收超 ∴.直线1的方程为2.x-y十1=0， 所以角A的平分线所在直线的斜率为？， 选择条件②.，直线1经过点(1,3)，由题意可知直 因此所求的方程为y一4=7(x一3)， 线的斜率存在，设为k, 即7x-y-17=0. ∴.直线1的方程为y一3=(x一1). 4(1-9) 提示：由题意画出图形，如图1. “直线1在x轴上的截距为一号 由图可知，直线BC的方程为x十y=1 ∴直线过点(-号0)： x十y=1 由 y=a.x十b 解得M,) 代入可得k=2,∴.直线1的方程为2.x一y+1=0. (2)在直线1：2x一y十1=0中，令x=0可得y=1,令 可求0，b.D(-o0）: y=0可得x=一 2 .直线1与坐标轴围成的三角 :直线y=ax十b将△ABC分割为面积相等的两部 形面积S=号×1X 分，Sw=合Sar 12.以BC所在直线为x轴，AE所在直外 又Sar=Sw,Saw=Samv, 线为y轴建立平面直角坐标系（如 图)，由已知可知A(0,60),B(90,0). 即号×-女×6名×1-× “AB所在直线的方程为壳十六 整理得华-1-) aa十1 2 1,即y=60-3 b 由图可知，欲使开发的长方形地面面积最大，则长方 形的一个顶点（设为P)必在线段AB上，从而可设 P(x,60-号)，其中0<90， .所开发部分的面积为S=(300一x)(240一y). 故5-(300-(240-60+号)-号r+20r+ 图1 图2 1 54000(0≤x≤90)，∴.当x= 20 即b= ，可以看出，当a增大时，b也增大. 2x(-) ++ 15时，5取得最大值，最大值为-号×15+20×15+ 当a一十e时，一号即K号 当a→0时，直线y=a.x十b接近于y=b: 540=61150.此时y=60-号×15=50， 1 2 因此当点P距AE所在直线15m,距BC所在直线 当6时蜘周一器--名 50m时所开发的面积最大，最大面积为54150m2. 1-6b161- 13.7x-y-17=0.提示：因为A(3,4),B(6,0),C(-5, 综上可知1一号K 则kk=一1.所以∠BAC-90° 2.3直线的交点坐标与距离公式 如图，设角A的平分线所在直 真题演练 线的倾斜角为a, 1.B提示：记点A(0,一1)，直线y=k(x十1)恒过点 则tana=-tan(45°+∠ABO) B(一1,0)，当AB垂直于直线y=k(x十1)时，点A(0, 一1)到直线y=k(x十1)的距离最大，且最大值为 1+ 1AB=2. 2.C提示：由题意可得 19第二章 直线和圆的方程么出型 2.2直线的方程 重点和难点 课标要求 重点：几种直线方程形式的建立 1.掌握直线的点斜式和斜截式方程 难，点：对二元一次方程表示一条直线、 2.理解直线的两点式和截距式方程 一条直线可以用二元一次方程表示的认识。 3.掌握直线的一般式方程 门01必备知识梳理。 基础梳理 刘重点 知识点1直线的点斜式方程 (1)构成直线的要素有两 个：一点和一个方向，点斜式 方程y一%=k(x一xm)由直线上一定点(x,%)及其斜率k 方程是这两个要素的直接 确定，我们把这种方程叫作直线的点斜式方程，简称点斜式」 反映 (2)当领斜角为90°时，直 知识点2直线的斜截式方程 线没有斜率，点斜式方程不 1.定义 存在. (3)从点钟式方程y 我们把直线1与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫作直线1在 =(x一)中能观察到，直 y轴上的截距，也称为纵截距 线过定点(0，)，斜率为. 国敲黑板 方程y=kx十b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确 1)y--二4(x 定，所以方程y=kx十b叫作直线的斜截式方程，简称斜截式 x2一x1 2.对截距的理解 )(m≠2)与y二y 为一y 纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取 I(x1≠x≠)小，显 Tg一x1 一切实数，即可为正数、0或负数.当直线1与y轴的正半轴相交 然后者表示的直线的范国比 前者缩小了，但后者便于记忆 时，截距b>0:当直线1与y轴的负半轴相交时，截距b<0:当直 和应用，所以把后者作为公式 线（经过原点时，截距b=0.但并非所有的直线都与y轴有交点， (2)当直线没有斜率(x1 )或斜率为0(y=y)时，不 当直线1与y轴平行时，1在y轴上没有截距.由于有些直线没有 能用两点式方程 斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有的直线都可 ①若x1=,出≠y,则 直线方程为x一1=O(或x 以用斜截式表示.当直线与y轴平行时，直线不能用斜截式表示， x2=0): 这时其方程可以表示为x=x(x1为直线与x轴交点的横坐标). ②若y=y2,1≠x,则 直线方程为y一y=0(或y 知识点3直线的两点式方程 32=0). (3)对于两，点式中的两点， 我们把经过两点P(,M),P(2,边)（其中≠，y≠2） 只要是直线上两个不同的点 的直线方程)二业=一工叫作直线的两点式方程，简称两点式 即可，两点式方程与这两个点 J2一h2一 的顺序无关 59 更滩点手细高中数学选择性必修第一册R 知识点4直线的截距式方程 引划重点 我们把直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫作直线在x轴 (1)应用截距式方程的前 提是a≠0且b≠0，故直线过 上的截距，此时直线在y轴上的截距是6.方程十=1由直线1 原点或与坐标轴平行时不能 用截距式方程. (2)截距式方程有两个特 在两个坐标轴上的截距α与b确定，所以叫作直线的截距式方程. 点，一是左边的两个式子必须 知识点5直线的一般式方程 用“十”连接，二是等号右边必 1.直线的一般式方程的定义 须是”如管一堂=1，营+ =2等都不是直线的截距式 我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By十C=O(其中A,B 方程 (3)截距并非距离，即a∈ 不同时为0)叫作直线的一般式方程，简称一般式。 R,b∈R,截距相等包括截距 注意(1)在一般式方程A.x十By十C=0(A,B不同时为0) 都为0的情况。 冒敲黑板 中，若B=0,则x=一它表示一条与y轴平行或重合的直线： 方程 点斜式 y3=k(x-) 若A-0,剔y=一日它表示一条与x轴平行或重合的直线。 斜载式 y=kx十b y一M三x一I (2)直线的一般式方程Ax十By十C=0(其中A,B不同时为 两，点式 为一当 h一 (1≠，y≠边) 0),表面上看有A,B,C三个系数，实际上求直线方程时，只需两 裁距式 +名= 个独立的条件即可，这是因为A,B不同时为0.当A≠0时，方程 (a≠0，b≠0) Ar+By+C=0 可化为x十界+=0，只需璃定月织的值：当B≠0时，方程可 一般式 (A,B不同时为0) 常数的几何意义 化为会十叶日=0，只需确定含和号的值这也就与两点确定一 (,%)是直线上的 点斜式 一个定点，k是斜率 条直线一致了 k是斜率，b是直线在 斜戴式 y轴上的藏距 2.直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 (,1),(,3为)是 两，点式 直线上的两个定点 一般式 斜截式 截距式 a,b分别是直线在x 裁距式 轴、y轴上的非零 Ax+By+C=0 +飞 截距 一般式 (A,B不同时为0) A,B,C为系数 (B≠0) (A,B,C+0) 造用条件 点斜式 直线不垂直于x轴 3.两个重要结论 斛裁式 直线不垂直于x抽 (1)平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x,y的二 直线不垂直于x轴 两点式 和y轴 元一次方程Ax十By十C=0(A,B不同时为0)来表示， 直线不垂直于x轴 截距式 (2)任何关于x,y的二元一次方程Ax十By十C=0(A,B不 和y轴，且不过原点 一般式 任何情况 同时为0)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线. 60 第二章直线和圆的方程》么型 重难拓展 重难点1与直线的位置关系有关的结论 方程形式 斜截式 一般式 位置关系 y=kx+b: Ax+By+C=0, y=k2x十 A:x+B:y+C:=0 相交 点1≠k2 AB2一A2B≠0 垂直 k:k知=一1 AA2+BB2=0 AB2-A2B1=0, B,C-B2C1≠0 (AB:-A:B=0, 平行 k1=k2且1≠b 或 A,C:-AC≠0 -最≠是 (Ag,B2,C2均不为0) k1=k2且 AB2-A2B=B2C- 重合 b=b B:C:=AIC:-A:C=0 例①(2023·济宁期未)若直线l1:a.x十2y-1=0与直线l: ②提个醒女 x+号y+9=0平行则a 解题时，若无特殊说明， a×号-2=0 应把求得的直线方程化为一 解析，l1∥12，∴ 解得a=士2. 般式.对一般式作如下约定： 9a+1≠0， 按含工项、含y项、常数项的 答案士2. 顺序排列，且x的系数为正， 例2若直线l:a.x十(1一a)y=3与le:(a-1)x十(2a+3)y=2 x,y的系数和常数项一般不 互相垂直，则a的值为(. 出现分数 A.-3 B.1 C0或-昌 D.1或-3 解析，l1⊥l2,,∴.a(a-1)十(1-a)(2a十3)=0，即a2十 2a-3=0,解得a=1或a=-3. 答秦D 重难点2常见的直线系方程 司敲黑板 1.平行直线系和垂直直线系及其应用 一般地，与直线Ax十 (1)平行直线系 By十C=0平行的直线系方程 一条直线的确定需要两个独立条件.具有某个独立条件的所 都能表示为Ax十By十m=0 有直线的集合，称为直线系，它的方程称为直线系方程.如：y一 (其中m为参数)，我们可以依 61 重难⑤手细高中数学选择性必修第一册RA 3=k(x十2)就是过点P(一2,3)且不垂直于x轴的所有直线：又 据题设中另一个条件来确定 如：y=3x十b(b∈R)表示斜率为3的一组平行直线， m的值. 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系，平行 [D拓视野 直线系的斜率已确定， 方向向量与直线的参数方程 般地，与直线Ax十By十C=0平行的直线系方程都能表示 如图，设直线（经过，点 为Ax十By十m=0(其中m为参数)，我们可以依据题设中另一个 P。(xo,%),v=(m,n)是它的 一个方向向量，P(x,y)是直 条件来确定m的值. 线1上的任意一点，则向量 (2)垂直直线系 P。P与v共线.根据向量共线 与直线Ax十By十C=0垂直的直线方程可设为Bx一Ay十 的充要条件，存在唯一的实 n=0,再由其他条件列方程求出. 数1，使PP=tv,即(-xo, 2.中心直线系及其应用 y一%）=t(m,n),所以 (1)把平面内恒过定点的直线的全体称为中心直线系.中心 x=x6十mt, ① 直线系过确定一点，如：恒过点P(一1,2)的直线系方程为y一2= y=3为十t. k(x+1)或x=-1. M P(z.y) (2)中心直线系里的所有直线均过某定点，求该定点的方法 如下 OP.Ct N/ ①直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方 在①中，实数1是对应点 程，进而得定点. P的参变数，简称参数。 ②方程法：将已知方程整理成关于参数的方程，由于直线恒 由上可知，对于直线上 过定点，则关于参数的方程恒成立，进而求出定点.如整理成f(x, 的任意一点P(x,y),存在唯 y)十a·g(x,y)=0,而该方程关于a恒成立，则有f(x,y)=0且 一实数1使①成立：反之，对 于参数t的每一个确定的值， g(x,y)=0,其解就是所有直线都恒过的定点. 由①可以确定直线【上的一 3,直线方程的平移变换问题 个点P(x,y).我们把①称为 直线y=kx十b的平移规律：直线y=kx十b上、下（或沿 直线的参数方程. y轴)平移m(m>0)个单位长度，得y=kx十b士m(上加下减)：直 特别地，当直线（的倾斜 线y=k.x十b左，右（或沿x轴）平移m(m>0)个单位长度，得y= 角为a,则直线1的一个方向 k(x士m)+b(左加右减). 向量为v=(cosa,sina), 例3已知直线l:5a.x一5y-a+3=0.求证：不论a为何值， 于是直线【的参数方程 直线！总经过第一象限. 为=6十1aosa, (1为参数). y-y+tsin a E明方法一将直线1的方程整理为y= 由于v=(cosa,sina)为 单位向量，所以1的几何意义 ar-》. 为向量PP的模 ∴直线1的斜率为a,且过定点A(号，)。 62 第二章 直线和圆的方程么出型 而点A(号，)在第一象限（知图），故不论a为何值，直线1 恒过第一象限， 方法二直线1的方程可化为(5.x-1)a-(5y一3)=0. 要使上式对任意的a总成立， I= 5.x-1=0, 5. 必有 5y-3=0. 即直线I过定点A(得，)， y 5 以下同方法一 -02关建能动提升。 题方法 2.利用直线的斜截式方程求直线方程 题型1直线的点斜式方程及其应用 直线的斜截式方程y=kx+十b不仅形式简 1.利用直线的点斜式方程求直线方程 单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线 若能求得直线的斜率及直线上一点的坐 在y轴上的截距，只要确定了k,b的值，直线的 标，可利用点斜式方程y一=k(x一o)直接 图象就一目了然了.另外直线的斜截式方程为 写出直线方程. y=kx十b,不要记成y=k(x十b) 例④(2024·南昌二中 y 例5(2024·东北师大附中检测)已知直 月考)如图，在平行四边形 3 0 OABC中，C(1,3),A(3,0). 线1与直线y=2x十4互相垂直，直线1与直 A (1)求直线AB的方程： O1234 线y=x+6在y轴上的截距相等，则直线1的 (2)过点C作CD⊥AB于点D,求直线 方程为 CD的方程 第物因为直线1与直线y=x十4垂 医超1易得c=}-8. 直，所以直线（的斜率k=一2 因为AB∥OC,所以kB=3. 又因为直线y=x十6在y轴上的截距为6， 又直线AB过，点A(3,0), 所以直线I在y轴上的藏距为6. 所以直线AB的方程为y=3(x一3)， 所以直线l的方程为y=一2x十6， 即y=3.x-9. 即2.x十y-6=0. (2)由(1)知直线AB的斜率为3， 答案2x十y一6=0. 因为CD⊥AB, 3.由平行或垂直的条件求直线方程 所以km=一子又直线CD过点C1,3) 已知两条直线：y=k1x十b,l2:y= k2x十b2,则 所以直线CD的方程为y一3=一启红-1， l1∥12台k1=k2,且b≠b2: 即y=一 110 l1⊥12=k1k2=-1. 3x十3 (1)上述结论成立的前提条件是两条直线 63 更难手细高中数学选择性必修第一册 RJA 的斜率都存在 (2)由k1=k2并不一定能推出11∥12，还有 的两点式方程为8-看{二引基理得2x 可能4与2重合. 5y十10=0，此为AC边所在直线的方程. (3)若kk2≠一1，则两条直线不垂直. 设AC边的中点为D(x,y), 例6(2024·武昌实验中学月考)已知直线 -5+05 I=- 2 2 4的方程为y=一2x+1,直线2过点A(一2,4). 则 0+2=1, (1)当11∥12时，求2的方程： (2)当41⊥2时，求的方程。 所以点D的坐标为(-号，. 解析设1，l2的斜率分别为k1,k2 AC边上的中线所在的直线为BD,由两点 (1)因为∥12，所以k2=k1=一2. 式得直线BD的方程为《二》 -3 又因为l2过点A(-2,4), 所以l2的方程为y一4=一2(x十2)， 即y=-2x. 整理得8.x十11y+9=0,此即AC边上的中线 (2)因为1⊥l2,所以kk2=一1. 所在直线的方程。 (2)①当a=2时，A,B两，点的横坐标均为 因为1=-2.所以a= 2,直线AB垂直于x轴，故所求直线的方程为 又因为l2过，点A(一2,4)， x=2,即x-2=0. 所以4的方程为y一4=x+2, ②当a≠2时，由直线方程的两点式可得 号 即y=2x+5. 整理得x+(2-a)y十a-4=0.(*) 题型2直线的两点式方程及其应用 又当a=2时，（￥）式可化为x一2=0. 1.利用直线的两点式方程求直线方程 综合①②可知，所求直线方程为x十(2 求直线的两点式方程的策略及注意点： a)y十a-4=0. (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线 2.利用直线的截距式方程求直线方程 方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适 用截距式求直线方程的步骤： 用条件：两点的连线不平行于坐标轴.若满足， (1)由已知条件确定直线在x轴和y轴上 则考虑用两点式求方程 的截距。 (2)用两点式求直线方程时常会因将字母 (2)若两截距为0，则直线过原点，可直接 或数字的顺序弄错而导致错误.在记忆和使用 写出方程：若两截距不为0，则代入公式严十 两点式方程时，必须注意坐标的对应关系。 例7(1)已知三角形的三个顶点坐标分 名=1中，可得所求直线的方程。 别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求AC边 例8(2024·安微江南六校高一联考)已 所在直线的方程以及该边上中线所在直线的 知直线1经过点P(4,3),且在两坐标轴上的截 方程； 距相等，求直线1的方程. (2)求过点A(2,1)和点B(a,2)的直线 解析当直线1过原点时，它在两坐标轴 方程 上的截距都是0. [解析(1)过点A(一5,0)，C(0,2)的直线 设直线方程为y=k.x(k≠0)， 64 第二章直线和圆的方程么图型 又因为L过点P(4,3), “四边形的面积S=号×2X(是十4一4) 所以3=4故6=是 +号×4X(2+2-)=4()-16×g+8 所以直线方程为)y=工 3 46-2)-8. 当直线【不过原点时，设直线的截距式方 程为工+Y=1(a≠0)， >4,0<,∴5e(8. 因为直线过点P(4,3), 答案(，8). 所以4+3=1，所以4=7， 题型4直线方程的综合问题 所以直线的方程为号十兰=1， 1.灵活选用直线方程的不同形式求方程 (1)已知直线过某点，常设点斜式方程.此 即x十y=7. 时应讨论斜率是否存在. 综上，直线l的方程为3.x一4y=0或x十 (2)已知直线的斜率，常设点斜式或斜截 y-7=0. 式方程 题型3直线的一般式方程及其应用 (3)已知截距，常设斜截式或截距式方程. 直线l41:A1x十By十C=0,直线l2:Ax十 此时应注意截距式不能表示平行或重合于坐 B2y+C2=0. 标轴的直线和过原点的直线， ①l1∥l2台A1B2-A:B1=0,且B,C2 (4)已知两点，常设两点式方程，注意两点 B,C1≠0（或AC2一A2C1≠0）： 式不能表示平行或重合于坐标轴的直线， ②l⊥l2台A1A2+BB2=0. (5)已知条件过少或难以利用时，可设直 例日(2024·西安高新一中月考)已知直 线的斜截式，但不要忘记讨论斜率是否存在. 线4：y-今一十4，直线：2+y一4-4 (6)若所求的是直线与坐标轴围成的三角 =0(k≠0)，若直线(，2与两坐标轴围成一个 形面积或周长，则应选用截距式方程， 四边形，则当k>4时，四边形面积的取值范围 例10已知直线l的方程为3.x+4y一 是 12=0,求直线的方程，使直线1满足： 2 解析直线2的方程可化为y= (1)过点（一1,3），且与直线1平行： (2)过点（一1,3），且与直线1垂直： (3)直线1与l垂直，且直线1与两坐标轴 围成的三角形面积为4， 当>4时，号>0，一是<0，-k+4<0, 解析(1)方法一由直线1'与l平行，可 设直线1的方程为3.x十4y+m=0(m≠一12)， 将（一1,3）代入得m=一9. 易知1，l2均过定点(2,4)，直线11与x轴 ∴.所求直线方程为3x十4y一9=0. 交于点2-0)，直线4与y轴交于点(0， 方法二由直线1与l平行，且过点（一1,3）， 得直线1的方程为3(x十1)+4(y一3)= + 0,即3.x+4y-9=0. 65 更雕食手细高中数学选择性必修第一册RU (2)方法一由直线与l垂直，可设直线 因为所求直线过点(2,3)，所以其方程为 1的方程为4x一3y十n=0,将（一1,3）代入得 y-3=-2(x-2),即2.x+y-7=0. n=13. (2)直线1与两坐标轴的交，点分别为（一2m ,.所求直线方程为4x一3y十13=0. +2,0),(0,m-1), 方法二由直线1与1垂直，且过（一1,3）， 则所国成的三角形的面积为2×一2m十 得直线1的方程为4(x十1)一3(y一3)=0， 21×|m-11. 即4x-3y+13=0. (3):直线1的方程可化为y= 4+3, 由题意可知2×-2m十2引×m-1川=4， 即(m-1)2=4, “直线1的针率为一是 解得m=3或m=一1. 3.与直线方程有关的最值问题 Lk、= 例12(2024·贵阳一中单元检测)已知 设直线在y轴上的裁距为b,则直线的 A是直线1：y=3x上的第一象限内的一点， 方程为y=号x十6，直线I在x轴上的藏距为 B(3,2)为定点，直线AB交x轴的正半轴于点 C,求使SAM最小的点A的坐标. 一号私由题意可知，直线[与两坐标轴所国成 解析]如图，设点A的坐标为(m,3n) (m>0). 的三角形的面积S=号·161·一0=4，解 得6=士6 以直线的方程为y=+4或) 3 4 (1)当直线AB不垂直于x轴时， 3 由两点式得直线AB的方程为 即4x-3y十4V6=0或4x-3y-4/6=0. 高号后(m≠号且m≠). 2.直线与坐标轴围成的图形面积或周长 7m 问题 令y=0,得xc=3m-2 例11(2024·长郡中学检测)已知直线 因为点C在x轴的正半轴上， l:x-2y+2m-2=0. 所以2>0，即m心号 (1)求过点(2,3)且与直线1垂直的直线的 方程： 7m 所以S0c0=253m2·3m=7 212 2(3m-2) (2)若直线1与两坐标轴所围成的三角形 设S△Aoc的面积为S, 的面积等于4，求实数m的值， 则21m2-6mS+4S=0. 解析(1)直线l:x一2y+2m一2=0的斜 又因为△=36S-4×21×4S≥0， 率为2：故所求直线的斜率为一2。 即3S-28S≥0，所以5≥器 66 第二章 直线和圆的方程么图型 当S=器时m=等>号此时点A的坐标 易错坐示 3 为（4. ◆易错题9（错误率27%）已知直线 a.x+3y十1=0与x+(a-2)y+a=0平行， (2)当直线AB与x轴垂直时，点A的坐 则a的值为 标为(3.9)，此时56c=272S 23 ◆易错题10（错误率30%）已知直线 综上所迷，△A0C的面积的最小值为 l1:(2-a)x+ay-3=0,l2:(2a+3)x-(a 3 2)y+2=0互相垂直，则实数a的值 此时点A的坐标为（停）。 为 03核心泰养聚焦。 考向分类 向2由直线的平行或垂直关系求直 考向1直线方程的应用 线方程 例3（经典·北京卷）已知点A(2,5), 例1④（经典·福建卷改编）已知直线！过 B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上，则2x一y 点(0,3)，且与直线x十y十1=0垂直，则1的方 的最大值为( 程是( ) A.-1 B.3 A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.7 D.8 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 金面依题意得如-》}一2所以线 解析方法一依题意得直线【的斜率为 1,又直线l过点(0,3)，所以直线（的方程为 段1B:y-1=-2(x-4),x∈[2,4]，即y y-3=1×(x-0),即x-y十3=0. -2.x+9,x∈[2,4]，故2x-y=2x-(-2.x+ 方法二因为直线l垂直于直线x十y十 9)=4x-9,x∈[2,4]. 1=0,所以可设直线l的方程为x一y+c=0, 设h(x)=4x一9，易知h(x)=4.x-9在 又直线1过点(0,3)，则c=3.故直线l的方程 [2,4]上单调递增，故当x=4时，h(x)mx=4× 是x-y十3=0. 4-9=7. 答案D 答案 C 命题意图：主要考查直线的垂直条件以及 命题意图：主要考查直线方程以及函数与 直钱方程的求解等 方程的思想方法等 命题规律 命题规律 真题探源：根据教材P67[习题2.2]第8题 真题探源：根据教材P62的相关知识命制 改编 常考题型 选填题难度系数0.7 高考热度 常考题型选填题难度系数0.7 高考热度 ★ 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平水平 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平水平一 67 更避包手细高中数学选择性必修第-册RUA 真题演练 A.2.x-y+√5=0或2.x-y-√5=0 1.(经典·安徽卷改编，考向1)已知直线 B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0 3x十4y=b与两坐标轴围成的三角形的面积为 C.2.x-y+5=0或2.x-y-5=0 多则=( D.2.x+y+5=0或2.x+y-5=0 A.6 B.6或-6 3.(经典·湖南卷改编，考向2)在平面直 C.-6 D.2或12 角坐标系Oxy中，若直线l1:x一2y一1=0和 2.(经典·广东卷改编，考向1)平行于直 线2.x十y+1=0且在y轴上的截距的绝对值 直线l2:2x一ay一a=0平行，则常数a的值 为5的直线的方程是( 为 04学业质量测评，口 基础过关练 试时间：10分钟 A.直线y=a.x一3a+2(a∈R)必过定点(3,2) 1.[题型1]直线y一2=-√3(.x十1)的倾斜角 B.直线y=3x一2在y轴上的截距为一2 及在y轴上的截距分别为( ). C.直线V3.x+y+1=0的倾斜角为60 A.60°，2 B.120°，2-3 D.过点(-1,2)且垂直于直线x一2y+3=0 的直线的方程为2x十y=0 C.60°，2-√/3 D.120°，2 5.[题型3、4](2024·珠海一中测试)设直线1 2.[题型4](2024·武汉一中检测)如果直线4： 的方程为(m2一2m一3)x一(2m2+m一1)y 2x-y-1=0与直线2：2x+(a十1)y+2=0 十6-2m=0. 平行，那么a等于(). (1)若直线l在x轴上的截距为一3，则m= A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.[题型1、2、3](2024·中山一中检测)（多选 (2)若直线1的斜率为1，则m= 题)下列说法正确的是( 、B综合提能练 测试时河：20分钟 A,截距相等的直线都可以用方程工+义=1 6.[题型4们(2024·西安铁一中学检测)数学家 表示 欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重 B.方程x十my一2=0(m∈R)能表示平行于 心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外 y轴的直线 心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直 C经过点P(1,1),倾斜角为0的直线方程为 线被称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶 y-1=tan0(x-1) 点A(1,0),B(0,2),且AC=BC,则△ABC D.经过两点P(x1,y),P2(2,y2)的直线 的欧拉线的方程为( 方程为(y2一y)(x一x1)一(x2一x1)(y A.4.x+2y+3=0 B.2x-4y+3=0 M)=0 C.x-2y+3=0 D.2x-y+3=0 4.[题型1、2、3]（多选题）下列说法正确的是 7.[题型2]经过点P(1,4)的直线在两坐标轴 (). 上的截距都是正值，若使截距之和最小，则 68《易错誉示》参考答案么超 知点A(2,1),B(-2,2),若直线1过点P(- 名解得a=8 -)且与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取 正解二令3X1=a(a-2),解得a=一1或a=3. 当a=一1时，两条直线的方程都为x一3y一1= 值范围是( 0,即两条直线重合，故舍去： A[-若] 当a=3时，两条直线的方程分别为3x十3y十1= 0,x十y+3=0,两条直线平行 a[-号ou(o,） .a的值为3. c(-o,-0)）Ui,+∞) 答案3. 易错探因用正解一解题时易忽略两条直线重合的情 n(-,]u[是.+) 况，由号-。产2·直接解得a=-1或a=3,从而产生 正解 如图，当直线I由位置PA绕点 增解。 P转动到！垂直于x轴时（不包括与 x轴垂直的位置)，1的斜率为正值 误区10忽略直线斜率不存在的情况致错 01 并逐渐变大，当直线1垂直于x轴 易错题10（错误率30%）已知直线l41:(2-a)x十ay 时，l无斜率，当直线1由垂直于x轴（不包括与x轴垂 3=0,2:(2a十3).x-(a一2)y十2-0互相垂直，则实数 直的位置)转动到PB的位置时，斜率变为负值并逐渐 a的值为 变大，易求得直线PA的斜率km=号，直线PB的斜 正解-因为4⊥l4.则必有(2-a)(2a十3)一a(a-2)= 11 0.即a-a-2=0. 率k= 6 ,则直线1的斜率k的取值范围是（一©， 所以a=2或a=一1. -]u[号+) 正解二①若a=0,直线4：2x一3=0与直线1：3x十2y十 2=0不垂直 答案D ②若2一a=0,即a=2,直线1：2y一3=0与直线 易错探因解本题时易由直线PA的斜率k:=号，直线 l:7x+2=0显然垂直 PB的斜率km=一吕，得直线1的斜率表的取值范围 ③若a≠0，且a≠2，则直线，l2的斜率k1,k都 是[一昌·号引事实上，在直线1的允许活动范图内 存在=。=》当6Lk时，6k= 即“一2.2如十多=一1，解得a=-1 直线！的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不一 d-2 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 综上可知，当a=2或a=一1时，直线l4⊥l. 时，直线！的斜率不存在，出错的原因是忽略了直线斜 答案2或-1， 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 易错探因在利用斜率判晰直线位置关系时，一定要先 90时直线无斜率 保证直线斜率存在。 误区9忽略两直线重合的情形致错 误区11求解两条平行直线间的距离时忽视直 线方程中一次项系数对应相等 易错题9（错误率27%）已知直线4.x十3y十1=0与.x十 易错题11（错误率26%）(2024·爱门外国语学校单元 (a一2)y十a=0平行，则a的值为 检测则)求两平行直线l1:3x+4y+2=0.l2:6x+8y 正解-：两直线平行、a0a≠2.且导-产2子 4=0之间的距离。