2.1直线的倾斜角与斜率-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量. 因为cos(Ai,m=Ai·m_ ADIml 3 所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为号 (2)B驴=(-1,0,2)，设Q为直线PB上一点，且B0 因为04=号0A,所以0A=号O。 前=(-x,0,2x,连接QC,又C市=(-1,1,0) C3=(0,-1,0).则夜-Ci+ò-(-一x,-1,2x), 则X(-号.0，号）所以元=0.2后，0. 则点Q到直线CD的距离 d=√-(11osC,Ci) -(79-6） 设平面AAA的法向量为n=(x,y,z). √à- AA·n=0, 26y=0, 则 即 AA·n=0, √+1+4-( 1 令x=1.得平面AAA的一个法向量为m=(1,0.72)。 √号++ 又OA1=(0,0,3), 因为号++=昌(+）)+>≥号 所以cos(OA,nm=,212=12厘 3/1T×333 所以>号.所以异面直线PB与CD之间的距离为号 故0A与平面AAA所成角9的正弦值为7巴 33 19.(1)该四面体为正四面体。 第二章直线和圆的方程 (2)在四面体AAAA中，不妨令(Q4,=OA。=OA OA=3.AiA=AiA=AA=AA=AA=AA=a. 2.1直线的倾斜角与斜率 在面AAA内作点O的投影O,连接OAz. 真题演练 在等边△AAA中，)为其外心， 1.B提示：===的几何意义是指 则0A:=号×。-号 曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等，即指 在RI△AOA:中.可得OA1=√a-OA= 过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n为2,3,4. V-() 所以(5。-3)+（停）=解得a=2后。 所以0A:9。-号×2,6-4 学业质量测评 3 1.C2.D3.A 因为AO⊥平面AAA.且垂足为)， 4.ABC提示：(1)当a=0°时，l:的倾斜角为90（如 故以O为原点，以AO,OA 图1). 所在直线为x轴、：轴，建立如图所示的空间直角坐 (2)当0°<c<90时，2的倾斜角为90°+a(如图2). 标系， (3)当a=90时，4的倾斜角为0°（如图3）. 则O(0,0,0),A(0.0,4),A(W2,一6,0) (4)当90°<a<180时，b2的倾斜角为a一90（如图4）. A(/26,0),A(-2√2,0,0)，O0,0,1). 故直线1：的倾斜角可能为90°一a,90°十a,90°-a,但 16 参考答案与提示收超 不可能为180°一a 由已知可得A(1,1),B(-1,5), 米 1-(2%-8, 青<8 图1 图 图 故义+3 2(-1<≤1)的最大值为8，最小值为子 5.一√3；120°.提示：由题意知a1=30° ∴k=tan30=⑤ B-1,5) 3 hL,6=-1,∴=-太=-原 A(1,1) .tanm=-3.又0°≤am<180°，.am=120. P(-2,-33引 6.B提示：OA0=OA,十AA=86+9×16=230m.即 第10题图 第11题图 点A(230,0),由对称性知B(一230,0)，因为OP= 11.如图，以点B为坐标原点，BC,BA所在直线分别为 OP1+P1P。=57+9×4.4=96.6m,即点P。(0.96.6), x轴、y轴建立平面直角坐标系. 所以人-8--Q42,6从人-5-0 由AD=50m,AB=30m, 42,即最长拉紫所在直线的斜率为士0.42 可得C(50,0),D(50,30),A(0,30) 7B提示片一，它表示过函数y=ax图象 设点M(x,0),因为AC⊥DM,且直线AC,DM的斜 上的点(x,y)与点D(1,0)的直线的斜率，如图，令a= 率均存在.所以e·kw-1,所以”司·沿 km,b=k,c=kx,由图知kx<kW<km即c<h<a. =一1，解得x=32.即BM=32m时，两条小路所在 直线AC与DM相互垂直. :x-3-2=0 12.6.提示：以A为坐标原点，平 行于4的直线为x轴，建立如 图所示的平面直角坐标系，设 B(a,-2),C(b,3). 第7题图 第8题图 AC⊥AB,∴.kwkM=-1, 8ABC提示：易知1=3二二2 =-5 -2-0 “2×爱=-1，b-6=0h=6.6= a 2.2=专如图，当>号或≤-受时直线1与 3-0 则R△AB的面积S=号V+·V+9 线段AB有交点，因此当-号<a<专时，直线1与线 后·+9=2++≥ 段AB无交点， 又一子：提示：作点A2,1关于y轴的对称点A(-21, √72干72=6（当且仅当a=一2时取等号）. 1 故R△ABC的面积的最小值为6. 设入射点Q(0,b),则A',QB三点共线， 2.2直线的方程 真题演练 1 1.B 2.D ,k0=-k0=一3 11×(-a)-(-2)×2=0. 3.4. 提示：由题意知 108: 提示：如图，由牛号-二》的几何意义 (-2)×(-a)-(-10×(-a)≠0. 解得a=4. 可知，它表示经过定点P(一2，一3)与曲线段AB上任 学业质量测评 意一点(r,y)的直线的斜率k,由图可知k≤k≤km: 1.B2.A 17第二章直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 重点和难点 课标要求 重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的 1.理解直线的倾斜角。 直线的斜率公式 2.掌握直线的斜率. 难点：用直线的领斜角和斜率刻画直线的几 3.理解两条直线平行的判定 何特征，建立直线的倾斜角、斜率及直线上任意两 4,理解两条直线垂直的判定， 点纵、横坐标差商之间的关系。 01一必备知识梳理◆ 基础梳理 园作比孩 知识点1直线的倾斜角 直线的斜率与倾斜角的 区别与联系 1.直线倾斜角的概念 (1)每条直线都有唯一的 当直线1与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线 倾斜角，但不是所有的直线都 有斜率，倾斜角为90°的直线 !向上的方向之间所成的角α叫作直线L的倾斜角. 没有斜率。 2.倾斜角的范围 (2)不同的倾斜角对应不 同的斜率，当倾斜角不是90 当直线（与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°. 时，倾斜角的正切值就是斜 因此，直线的倾斜角a的取值范围为0≤a<180,具体如下： 率，此时斜率和倾斜角可以相 互转化。因此，确定一条不垂 倾斜角 a=0° 0°<a<90 a=90 90°<a<180 直于x轴的直线，只要知道直 线上的一个点和直线的斜率 平行于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 即可. 里提个醒 直线 下列特殊角的正切值要 熟记： 领钟角a 斜率k 0° 0 知识点2直线的斜率 30 要 1.斜率的概念 45 1 我们把一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫作这条直线 60 3 120 -3 的斜率，即k=tana 135 -1 2.斜率与倾斜角的关系 150 设直线的倾斜角为a,斜率为k. 50 第二章 直线和圆的方程么出型 a的大小 0 0<a<90 90° 90°<a<180 同敲黑板 (1)当x1=x2时，公式右 的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 边无意义，直线的斜率不存 k的增 随a的增 随a的增 在，领斜角为90°.所以斜率公 式的适用范围不包括倾斜角 诚性 大而增大 大而增大 &=90°的情况.在研究直线的 知识点3过两点的直线的斜率公式 斜率问题时，一定要注意讨论 斜率存在与不存在两种情况. 1.公式 (2)斜率公式中k的值与 经过两点P1(x1,y),P2(x2,2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 P,P2两点在该直线上的位 为k=业二丛 置无关，即在直线1上任取不 同的两点P,P,斜率均不变. 2.直线斜率与方向向量的关系 (3)斜率公式中两纵坐标 和两横坐标在公式中的次序 由斜率公式的推导可知，若直线！的斜率为k,它的一个方向 可以同时调换，即=必二当 ax 向量的坐标为(x,为)，则k=也，那么斜率为的直线的一个方 =2二当 r2-x1 向向量可以为(1，k). 知识点4两条直线平行的判定 卫划重点 1.特殊情况下的两条直线平行的判定 (1)l1∥12→k1=k2或两 若两条直线中有一条直线没有斜率，则当另一条直线也没有 条直线的斜率都不存在， 斜率，即两条直线的倾斜角都为90时，它们互相平行. (2)若直线l1,2重合，此 2.两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 时仍有k1一k2或斜率不存 对于斜率分别为k1,k2的两条不重合直线41，l2,有l∥l2写 在，用斜率证明三点共线时， 常常用到这个结论 k=kz 知识点5两条直线垂直的判定 划重点7 1.特殊情况下的两条直线垂直的判定 (1)当l⊥2时，有kk= 若两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0， 一1或其中一条直线垂直于x 即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0时，两条直 轴，另一条直线垂直于y轴： 线互相垂直. 而若kk2=一1，则一定有 2.两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 l1⊥l2. (2)当两条直线的斜率都 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率 存在时，若两条直线垂直，则 之积等于一1；反之，如果两条直线的斜率之积等于一1，那么它们 可以用一条直线的斜率表示 互相垂直.即12k1k=一1. 另一条直线的斜率， 重难拓展 重难点1利用斜率解决三点共线问题 (1)直线上任意两点所确定的方向相同，即在同一条直线上 任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是可以利用斜率证明三 51 更滩食手细高中数学选择性必修第一册RU 点共线的原因. (2)已知A,B,C三点，如果直线AB的斜率与直线AC(或 BC)的斜率相等，由于这两条直线有公共点A(或B),那么直线 AB与直线AC(或BC)重合，即A,B,C三点在同一条直线上.如 果直线AB与直线AC(或BC)的斜率都不存在，那么直线AB与 直线AC(或BC)也重合，此时，A,B,C三点在同一条直线上.综 上可知，A,B,C三点共线=任意两点形成的直线的斜率相等或 都不存在 例☐(2024·扬州中学单元检测)如果A(2m,),B(4, 一1)，C(一4，一m)三点在同一条直线上，求常数m的值. 解析由于A,B,C三点所在直线不可能垂直于x轴， 所以设直线AB,BC的斜率分别为kB,k. 由斜争公式得=8饭=0-8 7 点A,B,C在同一条直线上 ∴.kB=k 5乙8gpm-8m-12=0 解得m=3+5 2 ,m%=3-v57 2 m的值是3十5或3-√ 2 2 重难点2求代数式的最值或范围问题 划重点7 求二的最值，可利用二的几何意义：连接定点(a,)与动 (1)由图形直观求直线的 倾斜角，关键是依据平面几何 点(x,y),借助图形，将求最值问题转化为求直线斜率的取值范围 的知识判断直线向上方向与 问题 x轴正向之间所成的角，同时 应明确领斜角的范国：0°≤ 例2已知点A(-1一√3，一1)，B(3,0),若点M(x,y)在线 a<180°. 段AB上，则的取值范围是( ). (2)根据直线的斜率求倾 斜角时，注意利用k=tana进 A(-,-2Ua,+∞) B[-1,-2J 行求解，在求取值范固时，注 意结合正切函数的性质求解。 C.[-1,w3] D[- 金打易知表示线段AB上的点与点（一1,2）连线的针 52 第二章 直线和圆的方程么型 单设0-1.2周a=-己1如8号-号路 合图移（图略）可知青的取值范国为-©，引U[3,十四， 答案]A 02-关健能力提升。 题型方法 解析设直线2的倾斜角为a2,结合图形 题型1求直线的倾斜角问题 及三角形外角与内角的关系可得a2=120°+ 1.定义法求直线的倾斜角 a1=120°+15°=135°，故直线2的倾斜角为135. 求直线的倾斜角时主要根据定义来求，解 题型2求直线的斜率问题 答此类问题的关键是根据题意画出图形，找准 1.根据倾斜角求斜率 倾斜角。 已知倾斜角求斜率时，若α≠90°，根据公 刷3(2024·天津宝坻一中月考)设直线 式k=tana直接计算.当倾斜角未给出时，可 l的斜率为，且一1≤k<√3，则直线l的倾斜 根据直线与其他直线的位置关系（如平行、垂 角a的取值范围为(). 直等)确定所求直线的倾斜角，再代入k=tana 计算。 A[o,5)U(x)B[o,)U(3,x 例5(2024·武汉华中师大一附中期中) c(,3） D.[o,)U[, 若直线1的倾斜角为？，方向向量为®=（一山， 解析]由-1≤k<√3，得-1≤tana<√3， a),则实数a的值是( ) 又x∈[0，r), ∴ae[o,5U[还. A.5 B.-√3 c 3 答案D 解析，直线l的方向向量是e=(一1，a), 2.图形法求直线的倾斜角 直线l的斜率为k= 结合图形求直线的倾斜角时，应注意平面 几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有 又直线的候针角。-学 关推论 例④(2024·成都外国语学校单元检测) .斜率k=an=一5=一, 已知直线41的倾斜角a1=15°，直线141与l2的 解得a=√3. 交点为A,直线和2向上的方向之间所成的 [答案A 角为120°，如图，求直线2的倾斜角. 2.利用过两点的直线的斜率公式求斜率 已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检 验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不 存在：若不相等，则可用斜率公式飞=”二山 x2一1 53 重难包手细高中数学选择性必修第一册RJA (x1≠x2)直接计算. 2-1 例6(2024·辽宁葫芦岛检测)王老师在 -2-(-3)=1,即k≠k, 课堂上与学生探究直线时，有四位同学分别给 所以l1与12不平行。 出了结论.甲：直线经过点(1,2).乙：直线经过 (2)由题意知2恰好与y轴重合， 点(3,9).丙：直线经过点(0，一1).丁：直线的 所以l4∥l2、 斜率为整数.如果只有一位同学的结论是错误 (3)由题高知短-二}-1， 的，那么这位同学是( A.甲 3-4=1, B.乙 C.丙 D.丁 kam一2-3 解析假设甲同学的结论错误，则乙、丙、 即km=kH,所以l1与2平行或重合。 丁同学的结论正确，由乙、丙同学的结论正确 需进一步研究E,F,G,H四，点是否共线， 可知直线的外率=9专。》-9此时丁同 国为c（》-1. 学的结论错误，故假设不成立.同理，乙同学的 所以E,F,G,H四点共线 结论是错误的 所以4与2重合 答泰B 2.两条直线垂直关系的判定与应用 题型3两条直线平行、垂直关系的判 判断两条直线是否垂直的依据：当这两条 直线都有斜率时，只需看它们的斜率之积是否 定及应用 等于一1即可.但应注意，当有一条直线与x轴 1.两条直线平行关系的判定与应用 垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，两条 (1)判断两条直线平行，首先应看两条直 直线也垂直 线的斜率是否存在，即看直线上两点的横坐标 例⑧判断直线l1与2是否垂直. 是否相等 (1)1的斜率为-10，l2经过点A(10,2), (2)判断斜率是否相等，实际是看倾斜角 B(20,3): 是否相等，归根结底是充分利用两条直线平行 (2)1经过点A(3,4),B(3,10),L2经过点 的条件：同位角相等，则两条直线平行 M(-10,40),V(10,40); (3)在两条直线的斜率都存在且相等的情 (3)l1经过点A(-1,2),B(5,-1),l2经 况下，应注意两条直线是否重合， 过点C(1,0),D(4,6) 例☑根据下列给定的条件，判断直线 与直线2是否平行. 解析(1)设直线1，l2的斜率分别为k,k, (1)l1经过点A(2,3),B(一4,0)，l2经过 则6=-10,6=80-0周为6处=-1，所 点M(-3,1),V(-2,2): 以l⊥12. (2)平行于y轴，l2经过点P(0,一2)， (2)由点A,B的横坐标相等得11的倾斜 Q(0,5): 角为90°，则11⊥x轴.设直线l2的斜率为k2, (3)l1经过点E(0,1),F(一2，一1)，2经 40一40 过点G(3,4),H(2,3). 则：=10-(-10)=0则/x轴.故41， 原打a国为ke=2PD-2w (3)直线么的斜率=写{品=-2： 54 第二章直线和圆的方程》么型 直线么的针单=2，因为：=-1 n-2 (kAD=ki. m-2 -3, 即 所以⊥l2. kADk AB=一1， n-2.n十1 m-2`m-5=-1, 3.两条直线的平行、垂直关系在几何中的 应用 m=16 解得 (1)利用直线的斜率判定平面图形的形状 n=- 8 般要运用数形结合的思想方法，先由图形作 出猜测，再利用直线的斜率关系进行判定， m=2, m=16 , 或 (2)由几何图形的形状求参数（一般是点 综上可知， n=-1 8 n=- 的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间 5 的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑图 题型4直线的倾斜角与斜率的综合 形可能出现的各种情形. 应用 例日(2024·山东省实验中学单元检测) 例10(2024·济宁鱼台一中质检)已知 直线1过点P(一1,2)，且与以A(一2，一3)， 已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,一1)， B(3,0)为端点的线段相交，则直线1的斜率k C(4,2),D(2,2),求m和n的值，使四边形 的取值范围为 ABCD为直角梯形. 解析作出直线PA,PB,如图所示，则kA= 点拨直角梯形有一组对边平行，还有垂 2-(-3) 直关系，此题可分AB∥CD,AD∥BC两种情 -1-(-2) 5.km=3=-2 y 况讨论 P(-1,2) 解折由题意可知，r-2二1D-一3. 4-5 B3,0) k如号片0，且xkm=0≠-1 A(-2,-3) 当直线I绕点P从直线PA逆时针转到与 所以直线BC与直线CD不垂直. y轴平行的直线PC(PC⊥x轴)的位置时，直 y 线（的斜率从5开始增大，并趋向于十∞，即 k∈[5，十o∞). D(2,2) C(4,2) 当直线I从直线PC逆时针转到直线PB 的位置时，直线l的斜率从一∞开始增大，并 A(mn) B(5,-1) A(m,n） 范向于-2，且在PB位置达到一2即k (-0,21: ·四边形ABCD是直角梯形， .有以下两种情形： 所以直线【的斜率k的取值范围为（一∞， ①AB∥CD,AB⊥AD, -21U5,+o. 由图可知，A(2,-1),.m=2,n=-1. ②AD∥BC,AD⊥AB, (-,-2]U[5,+∞). 55 更避包手细高中数学选择性必修第-册RUA 易错警示 ◆易错题8（错误率30%）(2024·江西 ◆易错题7（错误率28%）(2024·海南 临川一中月考)已知点A(2,1),B(一2,2)，若直 中学检测)有下列命题：①若两直线平行，则 线1过点P(一青，一)，且与线段AB有交点， 其斜率相等；②过点（一1,1），且斜率为2的 则直线！的斜率k的取值范围是( 直线方程是2：③若两条直线垂直，则 A[-8别 其斜率的乘积必是一1：④垂直于x轴的两 条直线都和y轴平行.其中真命题的个数是 B[-日，oU(o,》 c(-∞，-gU1,+eo) A.4 B.2 C.1 D.0 D.(-o,- ]u[号，+∞) 03核心素养聚焦。 考向分类 已达标： 考向1斜率公式的应用 ③甲企业在[0，t],[t1,t2],[t,t]这三段 例I(2020·北京卷节选)为满足人民 时间中，在[0，t]时的污水治理能力最强， 对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加 其中正确结论的序号是 强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设 解折-fb）二f@表示两，点(a,fa), b-a 企业的污水排放量W与时间t的关系为W= (b,f(b))连线斜率的相反数，因此斜率越大， f0),用-)@的大小评价在[a,b1这段 b-a 污水治理能力越弱. 时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期 由题图可知甲企业的污水排放量在1时 内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系 刻高于乙企业，而在2时刻甲、乙两企业的污 如图. 水排放量相同，故在[t,t2]这段时间内，甲企 W甲企业 业的污水治理能力比乙企业强，①正确；在妇 乙企业 乙企业 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水 污水达标排放量 甲企业于 达标排放量，故都已达标，②正确：甲企业在 0 6 给出下列四个结论： [0,h4],[t4,t],[t2,s]这三段时间中，在[4， ①在[t1,]这段时间内，甲企业的污水治 t2]时对应的两点连线的斜率最小，因此在[， 理能力比乙企业强： 12]时的污水治理能力最强，③错误 ②在时刻，甲、乙两企业的污水排放都 答案①②. 56 第二章直线和圆的方程 命题意图：从所给图形中读取有用的信息 答秦C 命题规律并能利用图形直观分析解决问题 命题意图：考查通过三角形三个顶点的坐标 真题探源：根据教材P54的相关知识命制 求斜率，进而判所三角形的形状，解决本题 常考题型选填题难度系数0.5高考热度 ★ 时，应根据直角三角形的特点，用代数语言 命题规律 核心素养 直观想象、逻辑推理素养水平水平 把几何问题转化为代数问题来解决，体现了 考向2两条直线平行与垂直的应用 对数学抽象、逻辑推理等核心素养的考查 真题探源：根据教材P57例5演变 例1☑（经典·辽宁卷）已知点O(0,0), A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形，则 常考题型选填题难度系数0.55高考热度 ★ 必有(). 核心素养 数学抽象，逻辑推理 素养水平水平 A.b=a B.b=a+1 真题演练 1.(经典·安徽卷，考向1)函数y=f(x) Ch-a)6-a-)=0 的图象如图，在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个 D6-a+b-a2-=0 不同的数…，x,使得)-)= T? 解析显然角O不能为直角（否则得a= =fx),则n的取值范围是( 0,不能组成三角形).若角A为直角，则根据点 A,B的纵坐标相等得b一a3=0;若角B为直 A.3,4} 角，则利用mk地=-1得b-a3-=0.综上 B.{2,3,4} C.{3,4,5} 可得6-a)b-a-）=0. D.{2,3 04学业质量测评。 基础过关练 测试时间：10分钟 A.垂直 B.平行 1.[题型1]已知点A(1,2),在x轴上存在一点 C.重合 D.以上都不正确 P,使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐 4.[题型1门(2024·南宁三中月考)（多选题）若 标为( 直线4的倾斜角为α，且1⊥2，则直线l2的 A.(0,3) B.(0,-1) 倾斜角可能为( C.(3,0) D.(-1,0) A.90°-a B.90°+a 2.[题型1、2]若直线斜率的绝对值等于√3，则 C.190°-a D.180°-a 直线的倾斜角为( ). 5.[题型1、2已知直线l1的倾斜角a为30°，l1 A.60° B.309 ⊥，则直线2的斜率 ,l2的 C.120 D.60°或120 倾斜角&2= 3.[题型3](2024·黄石二中月考)过点(W3, B综合提能练 测试时间：20分钟 √6)，(0,3)的直线与过点(6,2)，(2,0)的 6.[题型2](2024·苏州中学检测)斜拉桥是桥 直线的位置关系为(). 梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉 57 更难食手册高中数学选择性必修第一册U口 索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致， 11.[题型3]某矩形花园ABCD内需要铺设 如图1.图2是一座斜拉索大桥的平面图，共 两条笔直的小路，已知AD=50m,AB= 有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已 30m,其中一条小路定为AC,另一条小路 知拉索上端相邻两个锚的间距PP+1(i= 过点D,问如何在线段BC上找到一点M, 1,2,3,…,9)约为4.4m,拉索下端相邻两个 使得两条小路所在的直线AC与DM相互 锚的间距A,A+1(i=1,2,3,…,9)均为16m. 垂直？ 最短拉索的锚P1,A:满足OP1=57m,OA 86m.若以O为原点，直线OA,为x轴建立 坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为 y Pa索塔 O桥面A 图1 图2 A.士0.40 B.±0.42 C.±0.43 D.士0.45 7.[题型4(2024·新余一中月考)若a=1血2， 1 3c-n则( A.a<<c B.c<<a C.c<a<b D.b<a<c 8.[题型4](2024·广州理工实验学校检测) (多选题)设点A(一2,3)，B(3,2),直线l经 过点P(0,一2)，且斜率为a,若直线l与线 段AB没有交点，则a的取值可能是(). 培优突破练 测试时间：20分钟 A.-1 B.-2C.1 n 12.[题型3](2018·全国高中数学联赛甘肃赛 区预赛)如图，已知直线山∥2，点A是：， 9.[题型2]光线从点A(2,1)出发射入y轴上 l2之间的定点，点A到l,2之间的距离分 的点Q,再经y轴反射后过点B(4,3),则入 别为3和2，点B是L上的一动点，作AC 射光线所在直线的斜率为 AB,且AC与11交于点C,则△ABC的面 10.[题型4](2024·合肥一中检测)已知实数 积的最小值为 x,y满足y=x2一2.x十2（一1≤x≤1），则 牛的最大值为 ,最小值为 58重滩点手册高中数学选择性必修第一册亿UA (2)当c>b时，cos(BD,BC)<0,这时(BD, 误区5对平面的法向量理解有误 BC是钝角，则(BD,BC)的补角x-〈BD,B,C)即 易错题5（错误率25%）(2024·深圳中学单元测试)如 异面直线BD,和B,C所成的角： 图，已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面 (3)当c=b时，cos(BD,BC)=0,这时(BD, ABC的一个法向量为 BC=90°，则(BD,BC即异面直线BD,和B,C所 正解由已知可得AB-O亦-OA=(0. 成的角， b,0)-(a,0,0)=(-ah,0).Ac 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 OC-0A=(0,0.c)-(a,0,0)=(-a, B-21 0,c).设平面ABC的法向量为n=(x,y,),则n·AB √a++c+2 (r.y.).(-a.b.0)--ax+by-0.n.AC-(r.y. 答案 -21 √a++CV你+元 (-a,0,)=-ax十c=0,即y=分r=名.令 c 易错探因本题易错的地方是求出cOs(BD·B,C) x=c,则y=ac,x=ah.所以平面ABC的一个法向量 V云++√/+后，误认为异面直线BD,和BC 2-2 为n=(c,ac,ab). 答案(bx,ae,ab). 所成角的余弦值为√+++ b2-c2 易错探因本题易错的地方是认为法向量只需满足与 出错原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围 AB,AC的数量积为0，从而在求法向量的过程中，错误 地取x=0,则y=0,z=0,因此得到平面ABC的一个 是(0，受]，其余弦值为非负数：(2)误把两向量BD和 法向量为n=(0,0,0). B,C的夹角看作异面直线BD1和BC所成的角. 误区6忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 误区7忽视对直线斜率的存在性的判断 易错题6（错误率38%）在长方体ABCD-ABCD 易错题7（错误率28%）(2024·海南中学检测)有下列 中，AB=a,BC=b,AA1=c,则异面直线BD1和BC 命题：①若两直线平行，则其斜率相等：②过点（一1， 所成角的余弦值为 1》,且斜率为2的直线方程是2：③若两条直线 垂直，则其斜率的乘积必是一1：①垂直于x轴的两条 直线都和y轴平行.其中真命题的个数是(). A.4 B.2 C.1 D.0 正解对于①，若1：x=2,4:x=3,虽然11∥1，但斜率 正解以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 不存在，，①不正确.对于②，直线方程所表示的不 B(h,a,0),D1(0.0,c),B(h,a,c),C(0,a,0),则BD 是一条完整的直线，不包括点（一1,1），∴②不正确. (-b,-a,c),BC=(-b.0,-c), 对于③，若4：x=2,:y=3,虽然4⊥，但不满足 故cos(BD,Bd=BD·B亡 kk=一1，∴③不正确.对于④，若x1=0,2=4,前 IBDB.CI 者不满足与y轴平行，∴④不正确. B-2 答案D √a+B+e、+ 易错探因求解本题时易错选A导致上述错解的原因 对上式进行以下讨论： 是忽视对直线斜率的存在性的判断. (1D当c<b时，cos(BD,BC)>0,这时BD, 误区8忽略直线倾斜角为90°时直线无斜率 B,C是锐角，则(BD,BC)即异面直线BD,和B,C 所成的角： 易错题8（错误率30%）(2024·江西临川一中月考)已 《易错誉示》参考答案么超 知点A(2,1),B(-2,2),若直线1过点P(- 名解得a=8 -)且与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取 正解二令3X1=a(a-2),解得a=一1或a=3. 当a=一1时，两条直线的方程都为x一3y一1= 值范围是( 0,即两条直线重合，故舍去： A[-若] 当a=3时，两条直线的方程分别为3x十3y十1= 0,x十y+3=0,两条直线平行 a[-号ou(o,） .a的值为3. c(-o,-0)）Ui,+∞) 答案3. 易错探因用正解一解题时易忽略两条直线重合的情 n(-,]u[是.+) 况，由号-。产2·直接解得a=-1或a=3,从而产生 正解 如图，当直线I由位置PA绕点 增解。 P转动到！垂直于x轴时（不包括与 x轴垂直的位置)，1的斜率为正值 误区10忽略直线斜率不存在的情况致错 01 并逐渐变大，当直线1垂直于x轴 易错题10（错误率30%）已知直线l41:(2-a)x十ay 时，l无斜率，当直线1由垂直于x轴（不包括与x轴垂 3=0,2:(2a十3).x-(a一2)y十2-0互相垂直，则实数 直的位置)转动到PB的位置时，斜率变为负值并逐渐 a的值为 变大，易求得直线PA的斜率km=号，直线PB的斜 正解-因为4⊥l4.则必有(2-a)(2a十3)一a(a-2)= 11 0.即a-a-2=0. 率k= 6 ,则直线1的斜率k的取值范围是（一©， 所以a=2或a=一1. -]u[号+) 正解二①若a=0,直线4：2x一3=0与直线1：3x十2y十 2=0不垂直 答案D ②若2一a=0,即a=2,直线1：2y一3=0与直线 易错探因解本题时易由直线PA的斜率k:=号，直线 l:7x+2=0显然垂直 PB的斜率km=一吕，得直线1的斜率表的取值范围 ③若a≠0，且a≠2，则直线，l2的斜率k1,k都 是[一昌·号引事实上，在直线1的允许活动范图内 存在=。=》当6Lk时，6k= 即“一2.2如十多=一1，解得a=-1 直线！的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不一 d-2 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 综上可知，当a=2或a=一1时，直线l4⊥l. 时，直线！的斜率不存在，出错的原因是忽略了直线斜 答案2或-1， 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 易错探因在利用斜率判晰直线位置关系时，一定要先 90时直线无斜率 保证直线斜率存在。 误区9忽略两直线重合的情形致错 误区11求解两条平行直线间的距离时忽视直 线方程中一次项系数对应相等 易错题9（错误率27%）已知直线4.x十3y十1=0与.x十 易错题11（错误率26%）(2024·爱门外国语学校单元 (a一2)y十a=0平行，则a的值为 检测则)求两平行直线l1:3x+4y+2=0.l2:6x+8y 正解-：两直线平行、a0a≠2.且导-产2子 4=0之间的距离。