1.4 空间向量的应用-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第-章空间向量与立体几何么型 1.4空间向量的应用 重点和难点 课标要求 重点：空间图形基本要素及其关系的 向量表示，用向量法解决空间图形的位置 1.理解直线的方向向量和平面的法向量 关系和距离、夹角等问题。 2.用向量法判定空间直线与平面的位置关系. 难，点：建立空间图形基本要素与向量 3.用向量法求空间角， 之间的关系，把立体几何问题转化为空间 4.用向量法求空间距离 向量问题 -01必备知识梳理◆ 基础梳理 知识点1空间中点、直线和平面的向量表示 (1)点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间 中任意一点P就可以用向量OP来表示.我们把向量OP护称 为点P的位置向量， 0 (2)直线的方向向量 空间中任意一条直线（的位置可以由直线！上一个定点A以 及一个定方向确定.如图，A是直线1上一点，向量a表示直线l 的方向（方向向量）.在直线L上取AB=a,那么 a B 对于直线（上的任意一点P,一定存在实数， B 使得AP=tAB=ta.这样，点A和向量a不仅 可以确定直线！的位置，还可以具体表示出直线1上的任意一点， 我们把直线1上的向量a以及与a共线的向量叫作直线l的 同敲黑板 方向向量 O-Oi+iA,可得 (3)空间平面的向量表示 O币=(1-t)O月+tOB,显然 如图1，设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和 (1一t)十t=1.由此我们可以 得到空间中P,A,B三点共线 b,P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一 的充要条件一一存在实数x,y, 的有序实数对(x,y),使得OP=xa+3b.这样，点O与向量a,b 使得OP=xO月+yOB(x+ 不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点. y=1). a 04 图1 23 重滩台手细高中数学选择性必修第-一册UA 进一步地，如图2，取定空间任意一点 刀划重点 O,可以得到空间一点P位于平面ABC内 我们可以得到空间一点 的充要条件是存在实数x,y,使OP-OA+ P位于平面ABC内的另一个 xAB+yAC①.我们把①式称为空间平 图2 充要条件一—存在实数工，y, 面ABC的向量表示式， ,使得OP=xOi+yO+ :0C(x+y+z=1). 知识点2平面的法向量 (1)平面法向量的定义 通记方法 如图，直线l⊥a,取直线I的方向向量a, 求平面法向量的具体步骤 则向量a叫作平面a的法向量.给定一个点 设平面ABC的法向量 A和一个向量a,那么过点A且以向量a为 设向量 为#=（红出，司 法向量的平面是完全确定的，可以表示为集 选取两个不共线的向 <迹向量 量ABAC 合{Pa·AP=0. 列方 由m·AB=0,m·AC=0 (2)平面法向量的性质 、程组 列出方程组 ①平面a的一个法向量垂直于与平面&共面的所有向量. 解方 ②一个平面的法向量有无数个，它们互相平行. 程组 解方程组·0 nAC=0 知识点3异面直线所成的角 取x,中的一个为非 零值 零值（常取±1） (1)定义：设a,b是两条异面直线，过空间任意一点O作直线 a'∥a,b∥b,则a'与b'所夹的锐角或直角叫作a与b所成的角， 得结论 得到平面的一个法向量 (2)范围：两条异面直线所成的角0的范围是(0，] (3)异面直线所成角的向量求法：设异面直线a,b所成的角 为0，它们的方向向量分别为a,b,其夹角为p,则有cos0=cosg -8☆ 知识点4直线与平面所成的角 (1)定义：直线与它在这个平面内的射影所成的角叫作直线 与平面所成的角. (2)范围：直线与平面所成角0的范围是[o,]: (3)直线与平面所成角的向量求法：设直线（的方向向量为 a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为0，a与4的夹角为 g则有sn0=cosg=8 记方法 知识点5二面角的向量求法 求平面与平面的夹角的方法 1.向量方法 方法一若AB,CD分别是二面角al-3的两个面a,3内与 思路一：利用平面的法向 棱1垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角 量求角， 24 第一章 空问向量与立体几何么9型 (如图1). (1)选择坐标运算，确定 平面的法向量n1,n。 (2)计算n·e,n,ne (3)计算|cos(n1,n2)|= D nm,此即为平面与平面 h·ng 图1 图2 的夹角或其补角的余弦值 方法二设n1,2是二面角al3的两个面a,3的法向量，则 思路二：在两个平面内构 向量n1与2的夹角（或其补角）的大小就是二面角的平面角的大 造向量求角 小（如图2）. (1)在两个平面内各找一 知识点6利用空间向量求点到平面的距离 个定点A,C,分别过点A,C 在平面内作与棱垂直的线段， (1)定义：如图，平面外一点P到它在这个平 垂足分别为B,D,则(AB. 面内正射影的距离，叫作点P到这个平面的 CD)(或(BA,DC)即为平面 距离 与平面的夹角，如图所示 (2)点到平面的距离的向量求法：点P到平 面a的距离可以通过在平面a内任取一点A,求向量PA在平面a 的法向量n上的投影来解决.即若PA为平面a的一条斜线段，n 为平面a的法向量，则点P到平面a的距离d= PA·nl (2)选择坐标运算或基 n 底运算求cos(AB.CD)= 重难拓展 AB·CD 重难点1利用空间向量解决立体几何问题的“三 ABIICDI 2.几何方法：利用定义作 步曲” 出两平面的夹角，通过解三角 (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题 形求解 中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题， (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及 距离和夹角等问题 (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 例①(2024·武汉十一中月考)如图1， 已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，对角 线AC,BD交于点O,OA=8,OB=6, OP=8,OP⊥底面ABCD,设点M满足 PM=AMC(0<<1). (1)若入=号，求平面MAB与平面 图1 ABC的夹角： (2②)若直线PA与平面BDM所成角的正弦值为巴，求入 的值. 25 重滩台手册高中数学选择性必修第-册RUA 解析由题意得OA,OB,OP两两垂 回拓视野司 直.以O为坐标原点，OA,OB,OP所在 叉乘法 直线分别为x轴、y轴、之轴建立如图2 该方法只适合选择题、填 所示的空间直角坐标系Oxy,则A(8, 空题，不可用于解答题 0,0),B(0,6,0),C(-8,0,0),D(0,-6,A 定义向量的叉乘：两个不 0),P(0,0,8) 图2 共线的空间向量a=(x·y (1)易得AB=(-8,6,0).设M(1,y1), 1)与b=(x2,y2,),向量的 :PMi=}MC,.(m,-8)=}(-8-,-, 又乘aXb为同时与a,b垂直 的向量，则向量a×b为向量a a=3(-8- 与b确定的平面的法向量，且 x=-2, C1+31 33, 解得y=0, T22 21=6. Ti:y 3-8=- 3, （y4一14： x22 ∴M(-2,0,6).∴.BM=(-2,-6,6). gx12·x19一hx).其 易知平面ABC的一个法向量为(0,0,1)，记为n1=(0,0,1). a.b =ad-bc. 设平面MAB的法向量为n2=(x2,y2,z2), c.d 该公式也可以用下列方 AB·n2=0,-8.x2+6y2=0, 则 即 法记忆： BM·m2=0,-2x2-6+6x2=0, 已知平面内两相交直线 令x2=3,则32=4,22=5，.n2=(3,4,5). 的方向向量为a=(x1,y, n1·2=5_2 ∴.cos(m,n)=m1X522 ),b=(x,,),平面的 法向量为n=(x,y,2). ·平面MAB与平面ABC的夹角的大小为 分两步写，第一步：横写 两遍，拍头去尾.第二步：由左 (2)易得PA=(8,0,-8),DB=(0,12,0). 向右，交叉相乘再相减 设Mx,为，)，：PM=1M心， .(x8,9,3-8)=λ(-8-x3,一9，一8) -8λ x3=λ(-8-x3), x3=1十入 则n=(y2一刘必，x4 y为=一入y% 解得=0， x1gx12y1xg）. 4-8=-入购， & 2购1十入 M赞0，，i=(-6 设平面BDM的法向量为m=(xy1,), BM·m=0,. 则 D3·m=0,12y=0, 26 第-章空间向量与立体几何么型 令=入，则x4=1,y=0,.m=（1,0,). .m=1+采，PA·m=8-8以. “直线PA与平面BDM所成角的正弦值为 10 -lcos(PAm 18-8a PA|m√82+(-8)2·√1+2 1-λ V2+2a0 2x2-5以+2=0，解得X=2或入=2. 又0<A<1,-2 -02关建能力提升。 题型方法 量与平面的法向量垂直. 题型1用向量法证明空间中的平行 (3)面面平行的证明方法 方法一由面面平行的判定定理可知，要 关系 证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、 (1)用坐标法证明线线平行的步骤 线线平行即可. ①建立适当的空间直角坐标系，求出相应 方法二求出平面a,3的法向量u,v,要 点的坐标： 证明a∥3，只需证明u∥g ②求出直线的方向向量的坐标： 例2(2024·中山纪念中学检测)如图1， ③证明两个向量共线： 在正方体ABCD-A,BC1D中，M,N分别是 ④证明其中一个向量所在直线上的一点 CC,BC的中点，求证：MN∥平面ABD 不在另一个向量所在直线上，即表示方向向量 的有向线段不共线，即可得证， (2)利用空间向量证明线面平行的方法 方法一证明直线的方向向量与平面内 任意两个不共线的向量共面，即满足p=xa十 图1 b(x,y∈R),则p,a,b共面，即可说明直线与 图2 这两个不共线的向量确定的平面平行 证明方法一如图2，以D为原点，DA, 方法二证明直线的方向向量与平面内 DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、2轴建立 某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平 空间直角坐标系， 行的判定定理即可得证 设正方体的棱长为1，则M(0,1,2), 方法三先求直线的方向向量的坐标，然 后求平面的法向量的坐标，证明直线的方向向 N(21,1,D0,0,0,A1,0,1),B1,1,0) 27 重滩台手册高中数学选择性必修第-册RUa 所以M=(20.2).DA=1,0.1. 令2=1，可得平面BDC的一个法向量为 n2=(-1,1,-1). Di=(1,1,0). 则n1=2,所以n1∥n2, 设平面ABD的法向量为n=(x,y,z), 故平面AB'D'∥平面BDC. n·DA=0,x十g=0, 则 即 题型2用向量法证明空间中的垂直 n·DB=0,x+y=0, 令x=1,得y=-1,x=-1, 关系 所以平面ABD的一个法向量为n=(1, (1)用向量法证明空间中两条直线相互垂 -1,-1). 直的主要思路是证明两条直线的方向向量相 所以M·n=0.所以MN⊥n. 互垂直.具体方法为： 因为MV庄平面A1BD, 方法一坐标法.根据图形的特征，建立 所以MN∥平面A1BD 适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的 方法二因为M=C衣-CM=)CB 坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数 量积为0. 2CC-2D,A-DD)=号DA,所以/ 方法二基向量法.利用向量的加诚运算 DA.因为MN过平面A1BD,DAC平面ABD, 律，结合图形，将要证明的两条直线所在的向 所以MN∥平面ABD. 量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两 例B已知正方体ABCD-A'B'C'D',求 向量的数量积为0. 证：平面ABD'∥平面BDC. (2)利用空间向量证明线面垂直的两种 证明设正方体的棱 方法 长为1，建立如图所示的 方法一利用判定定理，即通过证明向量 空间直角坐标系Dxy之， 数量积为0来验证直线的方向向量与平面内 则A(1,0,0),B(1,1,1) 两条相交直线的方向向量垂直. D(0,0,1),B(1,10), 方法二求平面的法向量，验证直线的方 D(0,0.0),C(0,1,1). 向向量与平面的法向量平行， 于是AB=(0,1,1),DB=(1,10. (3)利用空间向量证明面面垂直的两种 设平面ABD'的法向量为n=(M,≈)， 方法 m⊥AB,n·AB-y十ǎ=0， 方法一利用两个平面垂直的判定定理 则 即 m1DB,m·DB=x+=0. 将面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转 令y1=1,可得平面ABD'的一个法向量 化为线线垂直问题. 为n1=(-1,1,-1). 方法二直接求出两个平面的法向量，证 设平面BDC的法向量为=(x2,边，)， 明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直 易知Di=(1,1,0),DC=(0,1,1D 例④在正方体ABCD-A1B,CD1中，E, n2⊥DB,,n2·DB=2十2=0， F分别是BB1,DB的中点，求证：EF⊥平 即 n2⊥DC,n2·DC=h+=0. 面BAC 28 第-章空间向量与立体几何么型 证明方法一设AB=a,AA=b,AD=c, EF.AC-(-a,-a,a)·(-2a,2a,0) 如图1，连接BD,则E萨-EB+B广=号(BB十 2a2-2a2+0=0,∴.EF⊥AB1,EF⊥AC 又AB,∩AC=A,AB1,ACC平面BAC, BD)=(AA:+BD)=(AA+AD-AB)= .EF⊥平面B1AC 2(b+c-a).AB-AB+AAj-a+b. 方法三由方法二得EF=(一a,一a,a), AB=(0,2a,2a),AC=(-2a,2a.0). 设平面B1AC的法向量为n=(x,y,z), n·AB=0,2ay+2ax=0, 则 即 n·AC=0,-2a.x+2ay=0, 令y=1,则x=1,x=-1, .n=(1,1,-1). 图】 :EF=-am,∴.Ei∥n, :E㎡.AB=2(b+c-a)·(a+b) ∴.EF⊥平面B1AC 例5(2024·正定中学月考)如图1，在三 w-a+e…a+c…b)=2b-ae+ 棱柱ABCA:B,C中，侧棱垂直于底面，AB⊥ 0十0)=0， BC,E,F分别为A1C和BC的中点.求证： ∴.EF⊥AB,即EF⊥AB. (1)平面ABE⊥平面BBCC: 同理，可证得EF⊥BC (2)CF∥平面ABE. C 文AB∩BC=B,AB,BCC平面BAC, ∴.EF⊥平面BAC A B 方法二设正方体的棱长为2a(a>0),建 立如图2所示的空间直角坐标系。 B 图1 图2 A 证明由题意知BC,BA,BB两两互相垂 直.以B为坐标原点，BC,BA,BB的方向分别 为x轴、y轴、之轴的正方向，建立如图2所示 的空间直角坐标系 图2 设BC=a,AB=b,BB1=c.a,b,c>0,则 则A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a 2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a),.EF-(-a B(0,0.0),A(0,b,0),C(a0.c),F(号0,0 -a,a),AB=(0,2a,2a),AC=(-2a,2a,0). Ei.ABi=(-a,-a,a)·(0,2a,2a) =-aX0+(-a)×2a十aX2a=0. 易得正=0，-6,0，A应-（号一台d小 29 重滩台手册高中数学选择性必修第-册RUa 设平面ABE的法向量为n=(x,y,z), a,b用基向量表示出来，再求有关的量. n·AB=0,-by=0, ②坐标法 则 …a正=o,甲号-+c=0 即 根据题目条件建立恰当的空间直角坐标 系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线 令x=2,则y=0,=一4 角，避免了传统的找角或作角的步骤，使过程 变得简单 ∴n=(2,0,-). 例6(2024·海南中学检测)如图1，已知 易知平面BBCC1的一个法向量为(0,1， 两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别 0),记n'=(0,1,0). 为1和2，AB=4,则异面直线AQ与BP所成 :n·n=2×0+0×1+(-）×0=0, 角的余弦值为 .平面ABE⊥平面BBCC. (2)易得C=(-号0，-c小， 由(1)知平面ABE的一个法向量为n 图1 图2 (2,0,-) 解析由题意知，四边形ABCD是正方 :n·C=2×(-号)+0×0+(-8)× 形，如图2，连接AC,BD,交于点O,则AC BD.连接PQ,则PQ过点O (-c)=0,且C1Ft平面ABE, 由正四棱锥的性质知PQ⊥平面ABCD,故 ∴.CF∥平面ABE 以O为坐标原，点，以直线CA,DB,QP分别为x 题型3空间角的求解方法 轴、y轴、之轴建立如图2所示的空间直角坐标 L.求异面直线夹角的方法 系，则P(0,0,1),A(22,0,0),Q(0,0,-2), (1)几何法：作出与异面直线所成角相等 B(0,22,0), 的平面角，进而构造三角形求解。 .A0-(-22,0,-2),B=(0,-22,1. (2)向量法：在两异面直线a与b上分别取 点A,B和C,D,AB与CD可分别作为直线a,b 于是cos(AQ,B驴)=A9·B驴 3 AQ BP9 AB.CDI 的方向向量，则cos= .异面直线AQ与BP所成角的余弦值 IABIICDI 运用向量法常有两种途径： ①基底法 国 在一些不适合建立空间直角坐标系的题型 中，我们经常采用取定基底的方法，这是个小技 2.求直线与平面所成角的方法 巧.由公式asa.b=日治求向量ab的夹角 (1)定义法：根据斜线与平面所成角的定 义，找出斜线和它在平面内的射影所成的角， 时，关键是求出a·b及a与b,一般是先把 再利用解三角形的方法求解。 30 第一章空间向最与立体几何么出 (2)公式法：利用公式 ∴.A1N∥平面D1AE cos0=cosa·cos2,其中0 .AN∩MN=N,AN,MNC平面 是斜线OA与平面所成的 AMN, 角，a是斜线的射影OB与 .平面A:MN∥平面D1AE. 平面内直线OM所成的角，0是斜线OA与平面 又AFC平面AMN, 内直线OM所成的角（如图）.因此只需知道0与 ∴.AF∥平面D1AE. 及即可求得a. (2)如图3，以D为 (3)向量法：设直线1的方向向量为m,平 坐标原点，DA,DC,DD 面α的法向量为n,直线与平面α所成的角为 的方向分别为x轴、y轴、 0,则 之轴的正方向，建立空间 sin0=cos(m,n1=m·ml 直角坐标系 m n' 设正方体的棱长为 例7(2024·厦门一中月考)如图1，在正 图3 2,则A(2,0,0),E(0,2, 方体ABCD-A,BCD中，点E,M,N分别是 1),D1(0,0,2),M(1,2,2),N(2,2,1), 棱CC,BC,BB,的中点，点F在线段MN上 D1E=(0,2,-1),AD=(-2,0,2) 运动 VM=(-1,0,1) (1)求证：AF∥平面DAE: 点F在线段MN上， (2)求直线EF与平面D1AE所成角的正 ∴.可设N=ANM(0≤≤1)， 弦值的最大值 则F(2-a,2,1十入)， D D M ∴.EF=(2-λ，0，A). B E A (由点在线段上，结合共线向量定理引入 变量入.) 设n=(x,y,z)是平面D1AE的法向量， B 图1 图2 n·DE=0,2y-=0, n·AD=0,-2x+2x=0, 证明(1)如图2，连接BC1,A1N,NE, 取之=2，得y=1,x=2,n=(2,1,2). AM. 设直线EF与平面D1AE所成的角为0， M,N分别是B1C,BB的中点， ∴.MN∥BC. 则sim0=cos(n,E)1=n,E EF 又BCi∥AD,.MN∥AD 4 22 ,MN吐平面DAE,ADC平面DAE, 3W2λ-4λ+43√/(A-1)2+1 .MN∥平面DAE (结合向量的夹角公式，用含入的式子表示 易知NE∥AD,NE=AD, 出sina.) .四边形ANED是平行四边形， a∈[0,1]，.当A=1时，sin0取得最 ∴.AN∥D1E. ,A1N平面DAE,D1EC平面D1AE, 大值，且(sin0)m2y2 31 31 重随令手细高中教学选择性必修第一册RA (结合二次函数和反比例函数的性质，求 设平面AAC的法向量为m=(x1,yM, 得sin0的最大值.) m·AC=0, ∴.直线EF与平面D1AE所成角的正弦值 ),则 m·AA=0. 的策大位为 -√2.x1-√2y+5=0, 即 3.求二面角的方法 2√2y=0, (1)二面角的传统求法 取x1=V5,可得平面AAC1的一个法向 ①利用射影面积公式cosa= S影求二面 量为m=(5,0,√2) 角的大小 设平面ABC的法向量为n=(,边，2)， ②通过找或作二面角的平面角进而求其 n·ACi=0,-√2.x2-√2y+5=0, 大小 则 即 n·AB,=0,-2√2x2=0. (2)二面角的向量求法 取y2=V5,可得平面ABC的一个法向 用向量法求二面角的大小时，要先求出两 个（半）平面的法向量，分别设为m,n,并设二 量为n=(0,5,w2). 面角为0.若0为锐角，则cos0=cos(m,n) 所以osm,m）=mh一万X厅7 m·n 22 丹：若0为纯角则sF-osm,n- 观察图形可知二面角AA,C1-B1为钝角， 州注意0的范围是[0， 所以二面角AA,C-B,的余孩值为一号。 例8（经典·天津卷改编）如图1，在三棱 柱ABC-A,BC中，H是正方形AA1BB的 中心，AA1=2、2,CH⊥平面AABB,且 题型4空间距离的求解方法 CH=√5，则二面角AAC,-B1的余弦值 (1)求点到直线的距离的方法 为 ①找垂线段，求其长度： ②利用等面积法： ③借助向量的模，利用向量数量积的几何 意义求解 (2)求点到平面的距离的方法 图1 图2 ①直接法：由点到平面的距离的定义转化 解析如图2，建立空间直角坐标系Bxyg, 为平面几何中解直角三角形的问题： 则A(2√2,0,0)，A(2V2,2√2,0)，B1(0, ②体积法：由已知点和平面内不共线的三 22,0),C(√2，w2,√5)， 点构成三棱锥，转化为体积问题，用等体积法 所以A1C1=(-√2，-√2，N5),AA1=(0, 求解； 22,0),A1B1=(-22,0,0) ③利用向量法. 32重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA ∴.PA⊥AB,PA⊥AD. AB=2,AD=5D0=30 AB⊥AD, 2 AP,AB,AD两两垂直. 以A为原点建立如图所示 ,.cos∠ABD= 4+6-PA2 2×2×6 的空间直角坐标系Aryz. 2x2×号 在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E, 解得PA=14. 则CE⊥AD. 设P(x+y,),x>0,则由PB=PC=6,PA=、14可 在Rt△CDE中，DE=CE=1. x2+y2+z2=6, x=-1. 设AB=AP=1,则B(t,0,0),P(0,0,t) 得x2+(y-22)2+2=6,解得y=2, 由AB十AD=4得AD=4-1, (x-2)2+y+x2=14, =3, .E(0,3-1,0),C(1,3-1,0,D(0,4-1,0). 故P(-1,2,3), 假设在线段AD上存在一点G,使得点G到点P,B, C,D的距离都相等. (-号）合号) 设G(0,m,0)(其中0≤m≤4-t), 则G元=(1,3-1-m,0),GD=(0,4-1-m,0),Gd 又0=(-22.0.成-（分号）。 (0,-m,t),Gi=(t,-m,0). 由G式=GD得1+(3-1-m)=(4-1-m)产， 得ò.成=-2×号+2×号+0×号=0， 即=3一m.① AO⊥BE 由Gd1=G利得(4-t-m)2=m+.② ,AO⊥BF,BE∩BF=B,∴AOL平面BEF. 由①②消去1.化简得m2-3n十4=0.③ 又AOC平面ADO,.平面ADO⊥平面BEF. 由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一 (3)取平面AOC的一个法向量为m1=(0,0,1). 点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等. 设m=(,,≈)为平面AOD的法向量， 1.4空间向量的应用 0-(-2w2.0.0币-(--号，号》 真题演练 -2x1十2y1=0, 1.(1)设AF=AC,以B为坐标原 故 点，BA,BC所在直线分别为 29=0, x轴、y轴，过点B作垂直于平 取1=1，则m=(1,互，w3), 面ABC的直线为：轴，建立如图 所示的空间直角坐标系，连接OF, ,.c05(m1,m2）= 则B(0,0.0),A(2.0.0).0W2,0),F(2一2,22λ，0). 污竖 由图易知，二面角D-AOC为钝二面角，设为0， 放由BF⊥AO可得B亦·A0=(2-2,22x,0)·(-2, √2,0)=4λ-4+4a=0, 六sim0=是 2 解得入=号，故F为AC的中点 ∴二面角DAOC的正弦值为厚。 由D,E,O,F分别为PB,PA.BC,AC的中点， 2.(1)如图，连接MN. 可得DE型2AB,OF⊥号AB,即DELOF, 由题意知AC∥AC且AC= 故四边形ODEF为平行四边形，∴.EF∥DO AC,MN/AC且MN=AC 又EF士平面ALDO,DOC平面AIDO, .A C LMN, ,.EF∥平面AD .四边形ANMC为平行四边形，∴AN∥CM. ,AN证平面CMA,CMC平面CMA. (2)易知D0-号，在△ABD中，BD=号PB=号 ∴.AN∥平面CMA. 6 参考答案与提示收超 (2)以A为坐标原点，AB,AC,AA,所在直线分别为 又因为二面角APCB为锐二面角， x轴y轴、：轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以二面角APCB的大小为号： 则A(0,00).M1,1.0),C(0,1,2), 4.(1)因为ABCD-AB,CD,为正方体.所以CD∥ 则AM=(1,1,0),AC=(0,1,2). CD. 设平面CMA的法向量为m=(x,y,), 又因为CD平面A,BCD,CDC平面A,BC1D, AM.m=0,「x十y=0, 则 即 所以CD∥平面AB,CD. AC·m=0,y+2x=0. 因为平面CDEF∩平面AB,CD,=EF,且CDC平 令x=2,则y=一2，=1，.m=(2,-2.1), 面CDEF,所以CD∥EF,故C:D∥EF,所以四边形 易知平面ACCA的一个法向量为n=(1,0,0), EFCD为矩形.又点E为A:D的中点，故CF= 设平面CMA与平面ACCA,所成的角为0， 州0-惯调-行音 2 2 DEAD=C.故点F为BG的中点 (2)如图，以D为坐标原点，分别 “平面CMA与平面AC,A所成角的余弦值为号 以DA,DC,DD所在直线为x轴、A y轴、：轴建立空间直角坐标系. (3)结合(2)可知AC=(0,2,0), 令正方体ABCD-AB,CD的棱 设点C到平面CMA的距离为d, 6 则d=心m=寺 长为2，设A,M=AA方(0≤≤左A 1),则C(0,2,0),E(1.0,2),F(1,2,2),M(2,2,2), 3.(1)因为PA⊥平面ABC,BC,ACC平面ABC Ci=(1,-2,2),CF=(1,0,2),CM=(2,2x-2,2). 所以PA⊥AC,PA⊥BC 设平面CEF的法向量为n:=(,为·)，则 所以AC=PC2一PA=2,所以AB+BC=2=AC, C2·n=0,（x-2y+21=0 即 故y=0. 所以AB⊥BC C求.m=0,x+2=0. 又因为PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB, 令0=一1，则x=2.所以n=(2,0,-1). 所以BC⊥平面PAB. 设平面CMF的法向量为n2=(:x4,为，)， (2)如图，以A为原点，AB所在直 则 CM·m2=0,2x十(2x-2)为+2=0， 线为x轴，过点A且与BC平行的 即 C市.m=0,n+2=0. 直线为y轴，AP所在直线为：轴， 建立空间直角坐标系，则A(0,0,A 令=-1则=2=所以=(2-月 0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0 设二而角MCF-E的平面角为0，且0为锐角， 0). ii·nz 所以AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0), 故cos0=|cos(n1,ne)= ImInz PC=(1,1,-1). 4+1 设平面PAC的法向量为m=(,y·), 3 m·Ai=0,〔=0， 2+(·V2+()+(-1 则 即 m·AC=0,气n+=0. 解得A=立0<，放会批- 令=1，则4=一1，所以m=(1,一1,0). 学业质量测评 设平面PBC的法向量为n=(,,业，2)， 1.C2.A3.C n·BC=0,3y=0, 则 即 4.D提示：如图，建立空间直角 n,p心=0，m+-=0. 坐标系，则A(2,0,0),B(2,2 令x=1,则=1，所以n=(1,0,1) 0),C(0.2.0),C1(0.2.1), 所以os(m,m=m员X万交 m·n三11 BC=(-2,0,1).连接AC, 重滩点手册高中数学选择性必修第-册UA 易证AC⊥平面BBD,D,.平面BBDD的一个法 因为B萨.DG=O,所以BF⊥DG,故C正确： 向量为a=AC=(-2,2,0). .所求角的正弦值为 因为AE=一Ci,所以AE∥CH,故D正确， lcos(a,BC=la…BC 4=10 7,90°：30°.提示：以D为坐标原点建立如图所示的空 aBC1V⑧×55 间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则D(0,0.0), 5.BC提示：以D为坐标原点，DB,DC,DA所在直线分 B(2,2.0),B(2.2.2).C(0.2.2),A(2,0,2),E(2,1, 别为x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系. 0),F(0,2,1).所以B=(-2,0,2).BD=(-2,-2 设折叠前的等腰直角三角形ABC的斜边BC一2， -2) 则D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1), 因为BC.BD=O,所以BD与BC,夹角的大小是 则AB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1),D心=(0,1,0)， 90°.又AC=(-2.2,0).EF=(-2,1,1),设异面直线 Bj=(-1,0,0), AC.E乎 从而有AB·AC=0+0十1=1，故A错误； EF与AC的夹角为，则cos0= ACIEFI A店.心=0，故B正确： BD·AC-0,故C正确： 乞，所以0=30. 易知平面ADC的一个法向量为BD=(一1,0,0)， 设平面ABC的法向量为n=(x,y,x), AB·n=0, (x-g=0, 则n0, 即 令y=1,则x=1,x=1, y-=0, 故n=(1,1,1)为平面ABC的一个法向量，BD·n= 1,故D错误。 第7题图 第8题图 8.C提示：如图，以C为原点，以与边BC垂直的直线为 x轴，以BC为y轴，CC,为x轴，建立空间直角坐标 系，则A(W3,1,0),B(0,2,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2), 于是AB-=(-3,1,2),AC=(-3,-1,2).A心= B (-3.1.0) 第5题图 第6题图 设平面ABC:和平面ABB:的法向量分别为n=(x, 6.CD提示：设正方体的棱长为1，以D为坐标原点， y,z),m=(a,b,c), DA,DC,DD,所在直线分别为x轴，y轴，轴建立如 n…AB=-3.x+y+2x=0. 图所示的空间直角坐标系，。 则 n…AC--3x-y+2x=0, 则A10,1D,E(1,号0）.C(0,1,0),F(0,1,2) m·AB=-3a+b+2=0, C0,1,D,H(o,号1)G(20,1）A(1,0,0), m·AB=-√3a+b=0, B(1,1,0),D0,0,0) 取x=2,a=1,则平面ABC和平面ABB的一个法 向量分别为n=(2,0w3),m=(1,w3,0). 所以A-(0,2,-1）,AC=(-11,1D,亦=（-1， 设平面ABB与平面ABC的夹角为a, 0.2)D心-(201)i=(0.-2,1) 则0-loxm.1=日册-7及2牙 所以A亡.AC=一号，所以AE与AC,不垂直，故A 9.B提示：平面a的方程为3x-5y十一7=0， ,平而a的一个法向量为m=(3,一5,1). 错误： 显然平面ADDA,的一个法向量n=(0,1,0),因为 :经过点(0,0.0)的直线1的方程为号=之=高： B亦·n=0,所以BF∥平面ADDA,放B正确： ,直线1的一个方向向量为n=(3,2,一1) 参考答案与提示收超 设直线1与平面a所成的角为8， AP.AB 则sin0=|cos(m,n)|= m· 10 之，号)又访=10.0.则 IABI 35 直线1与平面。所成角的正弦值为。 AP.AB 所以点P到AB的距离d= AB 10.BC提示：如图，建立空间直角 坐标系，则A(0,0,0),B(1,0, V品=音故D结误 0),D(0,1,0),A(0,0,1), 11.(1)如图，取AB的中点O,连接 G1,11),D(0,1D.E( D),),则OB=DC=1 因为DC∥OB,所以四边形 01 DCBO为平行四边形. D 又BC=OB=1,所以四边形 所以Bi=(-1,0.0),B成-(-20,1） x DCO为菱形，所以BD⊥CO同理可得，四边形 设∠ABE=a,则cos0= A= IBAIBE 5 sin 0= DOA为菱形，所以AD∥CO,所以BD⊥AD.因为 PD⊥底面ABCD,BDC底面ABCD,所以PD⊥BD /-0s0-25 又AD∩PD=D,AD,PDC平面ADP,所以BD⊥平 5 面ADP 故点A到直线BE的距离d山=m0=1×2 因为PAC平面ADP,所以BD⊥PA. 5 (2)由(1)知BD⊥AD,又AB=2AD=2,所以DB=3. 25,故A错误： 以D为原点，DA,DB,DP分别为x轴，y轴、轴建 易知C0-2CA-(-号，-20)，平面ABCD 立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0.0),B(03,0),P(0,03),D(0,0,0). 的一个法向量为DA=(0,一1,1)，则点O到平面 则AB=-1,3,0),A=(-1.0.3.D币=(0. ABC,D,的距离d= 函Gò-是-华放 05). IDA 设平面PAB的法向量为n=(x,y,), B正确： AB·n=0,-x十3y=0, AB=(1,0,-1D,AD=(0.1.-1),Ad=0,1,0), 则 即 Ap.n=0,-x+3x=0. 设平面ABD的法向量为n=(x,y,), 令x=5.则y=1,x=1, n·AB=0, 则 x-=0, 所以 所以平面PAB的一个法向量为n=(W3,1,1). n.AD=0, y-g=0, 设直线PD与平面PAB所成的角为a, 令=1，得y=1,x=1, 所以n=(1,1,1)为平面ABD的一个法向量， 则sima=cos(n,D庐=n·D2 nlDPI 5X5 51 所以点D,到平面A,BD的距离d=团D,m n 所以直线PD与平面PAB所成角的正弦值为得 店得 12.(1)存在.如图，建立空间直角坐 因为平面ABD∥平面BCD,所以平面ABD与平面 标系Dx,则A(1,0,1),B(1, B,CD间的距离等于点D到平面ABD的距离，所以 1,0),B(1.1.1).设F(0,0,h) E(m,1,1),则BE=(m-1,0, 平面ABD与平面B,CD,间的距离为，故C正确： 1),FA=(1.0.1-h). 因为护-=是A成+号市+号A.所以市=（是， 若BE⊥平面ABF,则FA·B,E=0,∴h=m. 即E,F满足DF=CE时，BE⊥平面ABF. 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA (2)若E为BC的中点，则m=号，由1)知，BE 则cos<O心，n〉= :-9 平面ABF,则平面ABF的一个法向量为B它-（一2， ∴.平面PEF与平面PBD的夹角为45. 0.1 14.C提示：以C为原点建立空间直 角坐标系，如图。 又BB=(0,0.-1), AC=2, B到平面ABF的距离为B成·BE-25 C(0,0.0).A(2.0.0). B.E 5 ,PA⊥底面ABC,BCC平面ABC,.PA⊥BC 13.(1),在菱形ABCD中，∠ABC=120°， :AC⊥BC,PA∩AC=A, 故∠A=60°，AB=AD, ∴BC⊥平面PAC..BC⊥PC. ∴△ABD是等边三角形，又F京=ADi. ∴∠ACP为二面角P-BCA的平面角. EF∥BD,.△PEF也是等边三角形. 又，二面角PBCA的大小为60°， 平面PEF⊥平面BCDEF,取EF的中点O,连接PO, ∠PCA=60 则PO⊥EF,且POL平面BCDEF,连接DO, 又.在Rt△PAC中，AC=2,∠PAC=90°，∠PCA= BF⊥PD.且POLBF,PD∩PO=P. 60°，.PA=23,即P(2,0,23). BF⊥平面OPD,.BF⊥OD. 在菱形ABCD中，O为EF的中点，连接AO,延长DO ∴Sa=号×2X23=25. 交AB于点N,则DN⊥AB, 又AO⊥BD,∴O为△ABD的重心 :三棱锥PABC的体积为4y5, 3 又点O在EF上，EF∥BD. V装r=者Saw·Bd=号×2B·d 成=号成即=号 =4v6 3 (2)如图，连接C0,以O为坐标 原点，以OF,OC,OP分别为 ∴C=22,即B(0,22,0). ‘ED x轴y轴轴建立空间直角坐 ,BC⊥平面PAC, 标系，设菱形ABCD的边长为左 ∴.平面PAC的一个法向量为n=(0,1,0). 2,则P(0,0/5),B(1,3-3λ，0)，D(-1/3-3x, 又pi=(-2,22,-23).pi=26, 0).C(0,2/5-3x,0) a成需渠号 :PO⊥平面BCDEF, .∠PCO即为PC与平面BCDEF所成的角， “直线PB与平面PAC所成的角=受-(n,P成， 0-是是专将得安 ∴sm=n(受-(ai)=cos(n.PB)- 又OC⊥平面PEF, :0文-(o,3要.0）为平面PEF的-个法向量. 单元学能测评 1.D 设平面PBD的法向量为n=(x,y,2), 2D提示：易知E是C的中点，连接OE,所以O元 励-(-2,0.0.成-(1.号-号）) 是Oi+OO,G是△ABC的重心，则AG=号AE, n·Bd=0, -2x=0. 则 即 所以AG=号A花=号(O元-Oi.因为0G=2GG,所 令y=1,则平面PBD的一个法向量为n=(0,1,1), 以6心=号0G=号(oi+AG)=号oi+4(o 10重滩点手册高中数学选择性必修第一册亿UA (2)当c>b时，cos(BD,BC)<0,这时(BD, 误区5对平面的法向量理解有误 BC是钝角，则(BD,BC)的补角x-〈BD,B,C)即 易错题5（错误率25%）(2024·深圳中学单元测试)如 异面直线BD,和B,C所成的角： 图，已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面 (3)当c=b时，cos(BD,BC)=0,这时(BD, ABC的一个法向量为 BC=90°，则(BD,BC即异面直线BD,和B,C所 正解由已知可得AB-O亦-OA=(0. 成的角， b,0)-(a,0,0)=(-ah,0).Ac 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 OC-0A=(0,0.c)-(a,0,0)=(-a, B-21 0,c).设平面ABC的法向量为n=(x,y,),则n·AB √a++c+2 (r.y.).(-a.b.0)--ax+by-0.n.AC-(r.y. 答案 -21 √a++CV你+元 (-a,0,)=-ax十c=0,即y=分r=名.令 c 易错探因本题易错的地方是求出cOs(BD·B,C) x=c,则y=ac,x=ah.所以平面ABC的一个法向量 V云++√/+后，误认为异面直线BD,和BC 2-2 为n=(c,ac,ab). 答案(bx,ae,ab). 所成角的余弦值为√+++ b2-c2 易错探因本题易错的地方是认为法向量只需满足与 出错原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围 AB,AC的数量积为0，从而在求法向量的过程中，错误 地取x=0,则y=0,z=0,因此得到平面ABC的一个 是(0，受]，其余弦值为非负数：(2)误把两向量BD和 法向量为n=(0,0,0). B,C的夹角看作异面直线BD1和BC所成的角. 误区6忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 误区7忽视对直线斜率的存在性的判断 易错题6（错误率38%）在长方体ABCD-ABCD 易错题7（错误率28%）(2024·海南中学检测)有下列 中，AB=a,BC=b,AA1=c,则异面直线BD1和BC 命题：①若两直线平行，则其斜率相等：②过点（一1， 所成角的余弦值为 1》,且斜率为2的直线方程是2：③若两条直线 垂直，则其斜率的乘积必是一1：①垂直于x轴的两条 直线都和y轴平行.其中真命题的个数是(). A.4 B.2 C.1 D.0 正解对于①，若1：x=2,4:x=3,虽然11∥1，但斜率 正解以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 不存在，，①不正确.对于②，直线方程所表示的不 B(h,a,0),D1(0.0,c),B(h,a,c),C(0,a,0),则BD 是一条完整的直线，不包括点（一1,1），∴②不正确. (-b,-a,c),BC=(-b.0,-c), 对于③，若4：x=2,:y=3,虽然4⊥，但不满足 故cos(BD,Bd=BD·B亡 kk=一1，∴③不正确.对于④，若x1=0,2=4,前 IBDB.CI 者不满足与y轴平行，∴④不正确. B-2 答案D √a+B+e、+ 易错探因求解本题时易错选A导致上述错解的原因 对上式进行以下讨论： 是忽视对直线斜率的存在性的判断. (1D当c<b时，cos(BD,BC)>0,这时BD, 误区8忽略直线倾斜角为90°时直线无斜率 B,C是锐角，则(BD,BC)即异面直线BD,和B,C 所成的角： 易错题8（错误率30%）(2024·江西临川一中月考)已