1.2 空间向量基本定理～1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

更难点手细高中数学选择性必修第-册RUA 1.2空间向量基本定理 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 重点和难点 课标要求 重点：空间向量基本定理，空间直角坐 1.了解空间向量基本定理 标系的建立和空间向量运算的坐标表示 2.掌握空间向量的坐标表示 难点：基底的恰当选择，空间向量运算 3.掌握空间向量运算的坐标表示 的坐标表示及其应用. 01必备知识梳理一 基础梳理 口划重点 知识点1空间向量基本定理 (1)若p=xa十3b+之c, 1.空间向量基本定理 则xa十b+c叫作向量a, 类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理， b,c的线性表达式或线性组 定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向 合，或者说p可以由a,b,c线 量p,存在唯一的有序实数组(x,y,),使得p=xa十b十xC 性表示 (2)对于基底{a,b,c},除 2.基底与基向量 了应知道a,b,c不共面外，还 如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合 应明确以下三点 就是{pp=xa+b十c,x,y,:∈R}.这个集合可看作由向量a, ①任意性：用空间任意三 b,c生成的，我们把{a,b,c}叫作空间的一个基底，a,b,c都叫作 个不共面的向量都可以线性 基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 表示出空间中的任意一个 基底 向量： 3.单位正交基底 ②唯一性：基底选定后， 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 空间的所有向量均可由基底 1,那么这个基底叫作单位正交基底，常用{i,j,k}表示 唯一表示，选用不同的基底， 同一向量的表达式可能不同： 由空间向量基本定理可知，空间中的任意向量α，均可以分解 ③广泛性：所有空间向量 为三个向量xi,以，k,使a=xi十yj十xk.像这样，把一个空间向 都可以用三个基向量线性表 量分解为三个两两垂直的向量，叫作把空间向量进行正交分解。 示，那么，所有空间向量间的 知识点2空间向量的坐标表示 运算都可以转化为基向量间 1.空间直角坐标系 的运算，这为几何问题代数化 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},如图，以点 莫定了基础. O为原点，分别以，j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度 14 第-章空间向量与立体几何么型 建立三条数轴：x轴、y轴、x轴，它们都叫作 同敲黑板 坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标 画空间直角坐标系Oxyz 系Oxyx,O叫作原点，i,j,k都叫作坐标向量， 时，一般使∠xOy=135°（或 通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别 45),∠yO0:=90°.在空间直 称为Oxy平面、Oyx平面、Oxx平面，它们把空间分成八个部分. 角坐标系中，让右手拇指指向 2.空间向量的坐标 x轴的正方向，食指指向y轴 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a,作OA=a(如图)， 的正方向，如果中指指向x轴 由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组(x,y,x),使a= 的正方向，则称这个坐标系为 xi十以十zk. 右手直角坐标系.我们使用的 4 有序实数组(x,y,)叫作a在空间直角 坐标系一般都是右手直角坐 A(玉，y,x】 坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a= 标系. (x,y,z).(x,y,)也称为点A的空间直角坐 O 标，记作A(x,y,). 知识点3空间向量的坐标运算 1.与空间向量运算有关的坐标表示 设a=(a1,a2,aa),b=(b1,b2,b). 名称 坐标表示 加法 a+b=(a1+b,a2+b2,a4+b3) 减法 a-b=(a-b,az-b2,a3-b3) 数乘 a=(λa1,acag,aaa)(a∈R) 数量积 a·b=a1b+azb2+agb 共线 当b≠0时，a∥b=a=h台a1=ab,a2=b,a4=b(∈R) 垂直 a⊥ba·b=0a1b1十a:b+a3b=0 向量 长度 la=√a·a=√a+ai+a 向量夹 a·b aib+azb2+ab 角公式 cos(a,b)-lallb]yaiFa-a P提个强 2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系 设A(x1y1),B(x,2,),O(0,0,0),AB=Oi-Oi= 设A(x1,,),B(x 2,).若C(x,y,z)是AB (x2一12一y1,2一)，即一个空间向量的坐标等于表示此向 量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 的中点，剥由0心-号(0i+ 3.两点间的距离公式 O亦知点C的坐标为（十， 2 已知A(x,y,心)，B(x2,2,2),则A,B两点间的距离 dw=|AB|=V√(x2-)2+(-)2+(2-)产. 十业，十）： 2 2 15 更避包手细高中数学选择性必修第-册RUA 重难拓展 国记方法 重难点1特殊向量的坐标表示 点P(a,b,c)关于坐标轴、 (1)当向量a平行于x轴时，纵坐标、竖坐标都为0，即a= 坐标平面、原点对称的点的坐 (x,0,0)(x∈R). 标如下表所示 (2)当向量a平行于y轴时，横坐标、竖坐标都为0，即a= 对称軸、对称平 对称点坐标 面或对称中心 (0,y,0)(y∈R). x抽 (a,-b.-c) (3)当向量a平行于z轴时，横坐标、纵坐标都为0，即a= y轴 (-a.b.-c) (0,0,z)(x∈R) z轴 (-a,-b.e) (4)当向量a平行于Oxy平面时，竖坐标为0，即a=(x,y,0) Qy平而 (a,b.-c) (x,y∈R) O小：平面 (-a,b,e） (5)当向量a平行于O平面时，横坐标为0，即a=(0,y,) (x平面 (a,-b,c) (y,∈R) 坐标原点 (-a,-b,一c) (6)当向量a平行于Oxx平面时，纵坐标为0，即a=(x,0,≈) 记忆口诀：关于谁对称，谁 (x,∈R) 保持不变，其余坐标相反 例①在下列向量中，与向量a=(0,0,1)平行的向量为 A.b=(1,0,0) B.c=(0,1,0) Cd=(-1,-1,-1) D.e=(0,0,-1) [解析方法一比较各选项中的向量，观察哪个向量符合= (0,0,λ)的形式，经过观察，只有e=一a. 方法二向量a=(0,0,1)的横、纵坐标都是0，所以向量a∥ 之轴，经过观察易得只有e=(0,0,一1)的横、纵坐标都是0，即e∥ 之轴. [答案南D ]-02一关健能的提升。 题型方法 所求向量反复分解，直到全部可以用基底表示 题型1空间向量基本定理的应用 为止： (1)用基向量表示空间某一向量的方法 ③在具体的问题情境中，经常需要自己选 如下： 择基向量，选从同一顶点出发的三条棱所在的 ①找到以目标向量所对应线段为一边的一 向量为基向量是常规方法： 个封闭图形： ④在将向量用基向量表示时，要根据情况 ②结合三角形法则或平行四边形法则，用 灵活运用数乘向量、相等（相反）向量以及向量 基向量表示封闭图形的各边所对应的向量，将的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则， 16 第-章空间向量与立体几何么型 转化的方式往往不唯一，要尽可能选择最简捷 b)·(a+b)=(a+b)2等. 的方式 ②进行向量坐标运算时，可以先代入坐标 (2)在平行六面体ABCD-A,BCD中， 再运算，也可以先进行向量式的化简再代入坐 AB+AD+AA=AC是一个很重要的结论，它 标运算.如计算(2a)·(一b),既可以先利用运 类似于在平行四边形ABCD中，AB+AD=AC 算律把它化成一2(a·b),也可以先求出2a, 例☑(2024·南京外国语学校检测)如图， 一b后，再求数量积：计算(a十b)·(a一b),既 在平行六面体ABCD-ABCD,中，AB=a, 可以先求出a十b,a一b后，再求数量积，也可以 AD=b,AA=c,M是AD,的中点，N是CA 先把(a+b)·(a一b)写成a一b后计算 上的点，且CN:CA,=1:4,则向量MN可表示 (3)向量的数量积运算一般有两种解题思 为(). 路：一是先求坐标，再运算：二是先类比多项式 进行化简，再代入坐标求解，解题时应选择恰 当的解题方法 例③(2024·杭州学军中学月考)(1)已 知点A,B,C,D的坐标分别为(0,1,2)，(1,2， 3),(1,3,1),(x,5,3),且A,B,C,D四点共面， A.2a+bic 则x= ca-bc (2)若向量a=(1,1,2),b=(1,2,1),c= (1,1,1),则(c-a)·2b= 解析因为在平行六面体ABCD-A:B,CD 解析(1)由A,B,C,D四点共面可知3入， 中，M是AD的中点，N是CA上的点，且 u∈R,使得AB=λAC+uAD, CN:CA1=1:4,所以MN=MA+AN 易得AB=(1,1,1),AC=(1,2,-1) -2Ai+AC=-号Ai+子(AC-AA) AD=(x,4,1), x=3, 号A+3+办-AM)=A8+A亦 入十xμ=1， 3MAi-jatib-ic 故2x+4=1.解得A=-号 2 -A+4=1, μ=2 [答案D (2)c-a=(0,0,-1),2b=(2,4,2), 题型2空间向量的坐标运算 .(c-a)·2b=0+0-2=-2. (1)空间向量的坐标运算法则和平面向量 答案(1)3.(2)-2. 的坐标运算法则类似，可类比记忆： (2)利用向量坐标运算解决问题的关键是 题型3空间向量平行和垂直的坐标 熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧： 表示 ①在运算中注意相关公式的灵活运用，如 设a=(a1,a2,ag),b=(b,b2,b),则： (a十b)·(a-b)=a2-b=a2-b12,(a+ (1)平行：a∥ba=b台a=b,a2=Ab2, 17 更难食手细高中数学选择性必修第一册 RJA aa=λb3(A∈R,b≠0). 题型4利用空间向量的坐标运算求夹 (2)垂直：a⊥b台a·b=0台a1b1十a2b2十 角和距离 a3b3=0. 在立体几何中，求线段的长度和两直线夹 1.空间向量平行、垂直关系的判定 角的大小时，通常将其转化为相应向量的长度 例4已知向量a=(1,2,2),b=(2, 及两向量的夹角进行求解.求两直线的夹角 -2)6=(-23,-)d=(1,-. 时，可先求出两向量的夹角，再根据向量夹角 与直线夹角的关系得出结论， 求证：a⊥b,c∥d. 例日(2024·镇海中学检测)在直三棱柱 运明：a=(1,2,号》)，b=(号，-21， ABC-A,BC,中，AC=BC=1,∠BCA=90°， AA=2,Q为A1A的中点 a…b=1×2+2×(-2)+2×1=0, (1)求BQ的模； .a⊥b. (2)求cos(BQ,CB),cos(BAi,CB),并 c-(-23,-2)d=(1,-2 比较(BQ,CB)与BA,CB)的大小. c=-21.-2)=-2a 解析(1)以C为坐标原，点，建立如图所示 的空间直角坐标系， ∴.c∥d. 则C(0,0,0),B(0,1,0),Q(1,0,1),B1(0, 2.由平行、垂直关系求值 1,2),A1(1,0,2) 例团(2024·长春外国语学校月考)已知 B0=(1,-1,1). 空间向量a=(2,4,一2)，b=(一1,0,2)，c= (x,2,-1). ∴.1B01=12+(-1)2+1严=√3. 21 (1)若a∥c,求c: (2)若b⊥c,求cos(a,c)的值. A 解析](1)因为a∥c,所以存在实数k,使 得c=k. B y 又a=(2,4,-2),c=(x,2,-1), x=2k, (2)由(1)得CB=(0,1,2),BA1=(1, 所以2=4k, 解得 -1,2) -1=-2k, x=1, .BQ.CB =1,|BQ=/3,CB= 则|c=√12+22+(-1)2=√6. √0+1+22=√5： (2)因为b⊥c,且b=(-1,0,2),c=(x,2, -1),所以b·c=-x十0一2=0，解得x ∴cos(B0,CBi)=1=15 √3×5151 -2.所以c=(-2,2,-1),故cos(a,c〉= ,BA·CB=3,IBA1|=√6，|CB a·c=2×(-2)+4×2+(-2)×(-1)=6 a c W4+16+4×√4+4+1 6 =√5， 18 第-章空间向量与立体几何么型 ..cos(BAi.CB)=330 易错警示 √6×/510 ◆易错题3（错误率27%）(2024·深圳 0<<01 中学单元测试)在平行六面体ABCD ABCD中，M为AC与BD的交点.若 (B0,CB)∈(o,),(BA,CB)∈ AB=a,AD=b,AA=c,试用基底{a,b, (0, c表示向量CM, ◆易错题4（错误率26%）(2024·哈尔 :y=cosx在(0，)内单调递减， 滨调考)已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+ (BQ.CB>>BAI,CB). y一2，y),且a,b同向，求x,y的值 门03核心泰养聚焦一。 考向分类 y-2 考向1利用坐标法求异面直线所成的角 /5(y2+5) 例⑦（经典·四川卷）如图1，四边形 (y-2)2 ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平 =√5y+5) 面互相垂直，动点M在线段PQ上，E,F分别 为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所 传·w-2年-2+9 (y-2) 令y-2=t(-2≤t0). 成的角为0，则cos0的最大值为 当1=0，即y=2时，cos0=0: M P Q M P 当1≠0时，os0=15·2+4+9= E 5 9+4十1 5 B B (++哥 图1 图2 解析由题意得AQL平面ABCD,且AB 故当1=-2时，60s0取得最大值号 AD,如图2，以点A为原点，AB所在直线为 妹上，os日的最大值为导。 x轴、AD所在直线为y轴、AQ所在直线为z轴 建立空间直角坐标系.设正方形的边长为2，则 昏离景 E(1,0,0),F(2,1,0). 设M0,y,2)(0≤y≤2). 命题意图：利用坐标法求空间角的大小 命题规律 真题探源：根据教材P20例3演变 则c0s0= EM.AF IEMIIAFI 常考题型选填题难度系数0.45高考热度 ★★ (-1,y,2)·(2,1,0) y+5·5 核心素养 效学运算、逻辑推理 素养水平水平二 19 重难⑤手细高中数学选择性必修第一册PUA 考向2利用坐标法证明平行问题 证明过点D作DO⊥AC于点O, 例⑧(2023·新课标全国I卷节选)如 因为平面ACFD⊥平面ABC, 图1，在正四棱柱ABCD-A1BCD1中，AB 所以DOL平面ABC. 2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1, 如图2，以O为原点，建立空间直角坐标系 BB1,CC,DD上，AA2=1,BB2=DD2=2, CC2=3.求证：B2C2∥A2D2. 设CD=2,2, 则O(0,0,0),B1,1,0),C(0,2.0),D0,0,2). 因此BD=(-1,-1,2),BC-(-1,1,0). 则Bi.BC=0. D 所以BD⊥BC. 又因为在三棱台ABC-DEF中，BC∥EF, 所以EF⊥DB. 图1 图2 证明在正四棱柱ABCD-A1B,C1D1中， 命题意图：利用坐标法证明垂直关系 命题规律 以C为坐标原点，CD,CB,CC1所在直线分别 真题探源：根据教材PI9相关知识命制 为x轴、y轴、x轴，建立如图2所示的空间直 常考题型解答题难度系数0.5高考热度★★★★★ 角坐标系. 核心素养数学运算、直观想象素养水平水平二 则A2(2,2,1),D2(2,0,2),B2(0,2,2), 真题演练 C2(0,0,3), .AD=(0,-2,1),B2C=(0,-2,1), 1.(2018·全国1卷，考向1)在长方体 ∴AD,=BC ABCD-A1BC1D1中，AB=BC=1,AA=√3， 又A2D2∩B2C2=☑，∴.B2C2∥A2D2. 则异面直线AD,与DB,所成角的余弦值为 命题意图：利用坐标法证明直线与直线平行 ( 命题规律 真题探源：根据教材相关知识命制 A号 常考题型解答题难度系数0.6高考热度★★★★ B号 核心素养数学运算，直观想象素养水平水平二 c 号 考同3利用坐标法证明垂直问题 2.(2020·全国Ⅲ卷节选，考向2)如图，在 例9(2020·浙江卷节选)如图1，在三棱 长方体ABCD-A,BCD,中，点E,F分别在 台ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC, ∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC.求证： 棱DD1,BB1上，且2DE=ED,BF=2FB.求 EF⊥DB. 证：点C在平面AEF内. D 图1 图2 20 第一章空间向量与立体几何 -04学业质量测评。 基础过关练 测试时间：10分钟 综合提能练 测战时间：20分钟 1.[题型2](2023·长沙一中检测)已知向量 7.[题型2](2024·天津南开中学检测)已知向 a=(0,-1.1),b=(4,1,0),a+b1=w29, 量a=(0,1,1),b=(1,2,1),则a在b上的 且λ>0，则A=( 投影向量为( A.2 B.3 C.4 D.5 A.(1,2,1) B(分1,2》 2.[题型2、4]已知a+b=(2,2,23),a一b= C.(0,2,1) D1,22 (0,√2,0)，则cos(a,b)》=( 8.[题型2](2024·荆州中学月考)已知a= A号 B cs (1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则1b-a的最小 值是( ）. 3.[题型1门(2024·武汉三中检测)（多选题）下列 选项中的三个向量能构成空间基底的是 A号 B.55 C36 5 5 9.[题型1,2](2024·吉林大学附中月考)（多 Aa=(1,0.0),b=(0,2,0),c=(2-2,0 选题)已知正方体ABCD-ABCD的棱长 为2，M为B1C的中点，则下列命题中正确 B.a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,2) 的是(). C.a=(1,0,1),b=(0,1,1),c=(2,1,2) A.AB,与BC所成的角为60 D.a=(1,1,1),b=(0,1,0),c=(1,0,2) 4.[题型1、2](2024·惠州一中月考)已知{a, B.若CN=}NC,平面AMN交CD于点 b,c}是空间的一个单位正交基底，{a十b,a一 0,则c0=3 b,3c}是空间的另一个基底，若向量m在基 C.若点P在正方形ABB:A1的边界及内部 底{a,b,c}下的坐标为(3,5,9)，则m在基底 运动，且MP⊥DB,则点P的轨迹长等 {a十b,a-b,3c}下的坐标为 于√2 5.[题型4]已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长 与底面边长相等，E是SB的中点，则AE, D若E,F分别在DB,AG上，且器 SD所成角的余弦值为 AF=2,直线EF与AD1,AD所成的角 6.[题型3]在棱长为a的正方体OABC FC O1A1BC1中，E,F分别是AB,BC上的动 分别是aA.则a十B 点，且AE=BF.求证：AF⊥CE 10.[题型2](2024·成都七中检测)在棱长为1 的正方体ABCD-A,BCD中，E为CC 的中点，P,Q是正方体表面上相异的两点， 满足BP⊥A,E,BQ⊥AE.若P,Q均在平 面A:BC1D内，则PQ与BD的位置关系 是 ,AP的最小值为 21 更难食手细高中数学选择性必修第一册 RJA 11.[题型2、4](2024·湖南雅礼中学月考)如 C 培优突破练 测试时河：20分钟 图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是 13.[题型1、4]（同济大学自主招生题改编）已 矩形，AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面 知棱长为a的正四面体A-BCD,如图，建 ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点 立空间直角坐标系，O为A在底面上的射 P,使得PS⊥PD. 影，M,N分别为线段AB,AD的中点，则点 (1)求a的最大值： M的坐标为 ,CN与DM (2)当a取得最大值时，求异面直线AP与 所成角的余弦值为 SD所成角的余弦值， 14.[题型2、4]（经典·全国高中数学联赛上海 赛区预赛)如图，在四棱锥P-ABCD中， PA⊥底面ABCD.在四边形ABCD中， 12.[题型2,3](2024·西北工业大学附中检测) AB⊥AD,AB+AD=4,CD=2,∠CDA= 在①(DE+CF)⊥(D龙-C),②1DE1= 45°.设AB=AP,在线段AD上是否存在 1 2 ,③0<cos(E驴，DB)<1这三个条件中 点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相 等？并说明理由. 任选一个，补充在下面的横线中，并回答 问题， 问题：如图，在正方体ABCD-A,BCD 中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系 Dxyz. 已知点D1的坐标为(0,0,2)，E为棱D1C 上的动点，F为棱B,C上的动点， ,试问是否存在点E,F,满足E疗· AC=0?若存在，求AE·BF的值：若不存 在，请说明理由 22参考答案与提示收超 故异面直线PA与BC所成角的余弦值为 序=1-i+i=1-b+2a+c.@ 入x 联立①②，得 r一2+'消去x,得2A十 A(十1) 4=1-x, 解得=a)产2 L.2空间向量基本定理 第10题图 第11题图 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1L.(1)如图，连接AC,AC,则AC=AC+CC=AB+AD 真题演练 +AA-AB+AA+AD+3AA-(AB+BE)+ L.C提示：以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分 (AD+D)=A正+A 别为x轴y轴、轴建立空间直角坐标系，如图.由条 ∴A.E,C,F四点共而。 件可知D(0,0.0),A(1,0,0),D1(0,0,√3)，B1(1.1. (2):E萨=A市-A正=AD+D亦-(AB+B成) 3),所以AD=(-1,0v3),DB=(1,13). A市+号D丽-A范-号B那=-A+AD+号AA, 则由向量夹角公式得s(Ad,D成)=A西，D成 ADIDEI x=-1y=1=,x+y叶=号 12.(1)A=AB+B丽，BC-B丽+BC 25号，即异面直线AD与DB,所成角的余弦值 2-5 BB⊥平面ABC...BB·A店=0，B那.B=O 为绵 ,△ABC为正三角形， D “A成，=-《耐.商=晋-等 ·AB,BC=(AB+BB)·(BB+BC =店·丽+A店.+B弼+B· =ABIBCI cos(AB.BC)+BB =-1+1 =0, 2.设AB=a,AD=b,AA:=c,如图，以C为坐标原点， AB⊥BC,即AB⊥BC. 分别以CD,CB,CC的方向为x轴y轴，轴建立 (2)结合(1)知AB·B=ABC1cs(A.B武)+ 空间直角坐标系。 BB=BB-1, 连接CF,则C(0,0,0).A(a.b,c),E(a,0,号). 又A1=√B+B-√2+B-BC1, F(0,b3c）Ei=(o.b.号c),C=(0,b.3c）得 ·cos(A,BC)= 恶晨 EA-CF 因此EA∥CF,即A,E,F,C四点共面 解得BB1=2,即侧棱长为2. 所以点C在平面AEF内. 13.A提示：设Pi=a,Pi=b,P元=c=fa, 则Pi=Pi-Pi+P心=a-b+c, Pi=a-b+ac.① 由P元=AEò(2≤A≤4)， 得i=产P0=2Da+e0以 由F,E,B三点共线可知，存在实数x使得 3 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 学业质量测评 :AB=(0,2,-2),BC=(-2,0,-2) 1.B2.C3.BCD4.(4,-1,3). cosA店，BC)= AB.BC 4 5复。提示：如图，以0为坐标原点建立空间直角坐标 ABBC .AB与BC所成的角为60°，故A正确 系，令正四棱锥的棱长为2，则A(1,一1,0)，B(1,1,0), C=号C,∴N(0,2,)设00m,2),易得 D-1.-1.0.50.0.(3号） Ai=(-12.0),A衣=(-2.2,2）A0=(-2 m,2),由已知得A,M,N,O四点共面， ∴.3入∈R,使得AM=AA,N+红A,O. 1-1=-2x-2: 1=2, 3 证-(-号号)市=-1-1一②. 得2=2A+m, 解得 2 0(o,2小 0=+2 ∴osAi,S市=A正.5市 m=3 IAEISDI 31 .Gi-(0.-号，0，ò=号，故B错误。 一AE,SD所成角的余弦值为 3 设P(2,y,)(0≤y≤2,0≤≤2)，则M亦=(1，y-2, 6.如图，以O为坐标原点建立空间直 x),DB=(2,2,-2),由Mp.DB=2+23y-4-2 角坐标系，则A(a,0,a),C(0,a, 0,得y一x=1,点P的轨迹长为线段y一=1(1≤ a).设AE=BF=x(0≤x≤a),则 y≤2)的长度，为√2，故C正确， Ea,x,0),F(a-x,a,0),所以A,下 E.F分别在DBAG上，且器-花-2， (-x,a.-a).CE=(a,r-a,-a). 因为A.CE=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)= D=号成=号22，-2)=（分÷-专） -ar+a.r-a2+d=0, A产=号AC=号(-22,0)=(-÷，青0）则 所以AF⊥CE,即A,F⊥C,E 7.B提示：a=(0,1,1),b=(1,2,1),∴a·b=0× E(,青号)F(号，专0以故=(-号，0， 1+1×2+1×1=3,b1=w1+2+1下=√6，，∴.a在 -号）又DA=(2,0,2,D4=(2,0,-2,则sa 6上的投影向量为后·合-66=号1,21 =(分1,2)月 Icos(EF.D,A)= √(-号)+(-号)×件可 8.C提示：，b-a=(1十1,21-1,0)，.b-aF= 8 1++(2-1)+0=5-2+2=5(4-号)）广+ 3 22×2 =1,a=0,cos =I cos(EF,DA)= 昌ba)=景db-a-=35 51 + 9.ACD提示：如图，建立空间直角 =0,即月=受，则 (-)+(-号)×4+ 坐标系，则A(2,0,2),B(2,2,2), C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0, a十B受，故D正确。 0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0, 0,0),M1,2,0). 10平行：32 提示：以D为原点，DA,DC,DD所在直 4 参考答案与提示收型 线为x轴、y轴、：轴建立如图所示的空间直角坐标系 Drys. 即异面直线AP与SD所成角的余孩值为。 12.由题意可知，正方体ABCD-A:BCD的棱长为2，则 易得D0.0,0.A,01).E(01.2）B1,1,0). A(2.0,0),B2,2,0),A(2,0.2),D0.0,0),C(0,2,0). 因为P,Q均在平面A,BCD内，所以可设P(a,b, 设E(0,a,2)(0≤a≤2)，F(b,2,2)(0≤≤2)， 1D.Qm,n,1,从而Ai=（-1,1,-号).B=(a 则EF=(h,2-a,0).AC=(-2.2,-2),AE=(-2, a,2).BF=(b-2,0,2), 1,b-1.1),B0=(m-1,n-1,1). 则Ei.AC-4-2(a+),A正.B亦-8-2h. 因为BP⊥AE,BQ⊥AE, 若选择①(D成+C)⊥(D证-C亦)，则D驼=C求，故 .A2=-(a-1)+(6-1)-2=0, a=b.由E亦.AC-4-2(a+b)=0,解得a=b=1, 所以 0·AB=-(m-1D+(n-1)-号=0， 故存在点E0,1,2),F(1,2,2),满足E亦.AC=0. 此时AE.B正=8-2b=6. 1 b-a=2 解得 所以P0-=(n-b,n-b,0). 1 若选择@D=里则v公=平，解得a 一m=交 又Di=(1,1.0),且PeDB. 之，由亦.AC=4-2a+0)=0,解得6=多 所以PQ与BD的位置关系是平行. 故存在点0，号2)，r(号2,2)，满足亦.AC-0, 由以上分析可知，6a=之 此时证.成=8-2×号=5， AP=a-D+=√a-1)+(a+) 若选择③0<cos(E京，D》<1,则E亦与D成不共线， 所以b≠2-a,即a+h≠2，所以E亦.AC-4-2(a+ √2-a+-√(a-）+g )≠0，故不存在点E,F满足示.AC-0. 当a=子时，AP有最小值，最小值为2 1a(-7- 。提示：由正四面体的棱 长为a知△BCD的外接圆半径为停。. (-a,-o :正四面体的高为√口-（停）-5a。 第10题图 第11题图 1L.如图，以A为坐标原点，AB,AD,AS所在直线分别为 A0.0a) x轴y轴、轴建立空间直角坐标系， AB的中点M的坐标为(-子a,侵，a) 设BP=x(0<x<2), 则A(0,0.0),S(0,0,1),D(0,2,0),P(ax,0), 又o骨.=(，a) “P=(-a.-x,l),Pi=(-a,2-x,0). (1)PS⊥PD,.P5.Pi=0, 同理可得寸-（之停，）， ∴a2-x(2-x)=0,即a2=-(x-1)2+1, :D成与C夹角的余弦值为cos(DM,C)= .当x=1时，a取得最大值1. DM.CN (2)由(1)知，当a取得最大值1时，AP=1,1,0),SD= DMIICNI 6 02,-1),∴0sA泸，S动=A2.SD=0 14.PA⊥平面ABCD,且ABC平面ABCD,ADC平面 LAPUSDI 51 ABCD, 5 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA ∴.PA⊥AB,PA⊥AD. AB=2,AD=5D0=30 AB⊥AD, 2 AP,AB,AD两两垂直. 以A为原点建立如图所示 ,.cos∠ABD= 4+6-PA2 2×2×6 的空间直角坐标系Aryz. 2x2×号 在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E, 解得PA=14. 则CE⊥AD. 设P(x+y,),x>0,则由PB=PC=6,PA=、14可 在Rt△CDE中，DE=CE=1. x2+y2+z2=6, x=-1. 设AB=AP=1,则B(t,0,0),P(0,0,t) 得x2+(y-22)2+2=6,解得y=2, 由AB十AD=4得AD=4-1, (x-2)2+y+x2=14, =3, .E(0,3-1,0),C(1,3-1,0,D(0,4-1,0). 故P(-1,2,3), 假设在线段AD上存在一点G,使得点G到点P,B, C,D的距离都相等. (-号）合号) 设G(0,m,0)(其中0≤m≤4-t), 则G元=(1,3-1-m,0),GD=(0,4-1-m,0),Gd 又0=(-22.0.成-（分号）。 (0,-m,t),Gi=(t,-m,0). 由G式=GD得1+(3-1-m)=(4-1-m)产， 得ò.成=-2×号+2×号+0×号=0， 即=3一m.① AO⊥BE 由Gd1=G利得(4-t-m)2=m+.② ,AO⊥BF,BE∩BF=B,∴AOL平面BEF. 由①②消去1.化简得m2-3n十4=0.③ 又AOC平面ADO,.平面ADO⊥平面BEF. 由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一 (3)取平面AOC的一个法向量为m1=(0,0,1). 点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等. 设m=(,,≈)为平面AOD的法向量， 1.4空间向量的应用 0-(-2w2.0.0币-(--号，号》 真题演练 -2x1十2y1=0, 1.(1)设AF=AC,以B为坐标原 故 点，BA,BC所在直线分别为 29=0, x轴、y轴，过点B作垂直于平 取1=1，则m=(1,互，w3), 面ABC的直线为：轴，建立如图 所示的空间直角坐标系，连接OF, ,.c05(m1,m2）= 则B(0,0.0),A(2.0.0).0W2,0),F(2一2,22λ，0). 污竖 由图易知，二面角D-AOC为钝二面角，设为0， 放由BF⊥AO可得B亦·A0=(2-2,22x,0)·(-2, √2,0)=4λ-4+4a=0, 六sim0=是 2 解得入=号，故F为AC的中点 ∴二面角DAOC的正弦值为厚。 由D,E,O,F分别为PB,PA.BC,AC的中点， 2.(1)如图，连接MN. 可得DE型2AB,OF⊥号AB,即DELOF, 由题意知AC∥AC且AC= 故四边形ODEF为平行四边形，∴.EF∥DO AC,MN/AC且MN=AC 又EF士平面ALDO,DOC平面AIDO, .A C LMN, ,.EF∥平面AD .四边形ANMC为平行四边形，∴AN∥CM. ,AN证平面CMA,CMC平面CMA. (2)易知D0-号，在△ABD中，BD=号PB=号 ∴.AN∥平面CMA. 6《易错警示》参考答案收超 平行六面体ABCD-ABCD中，M为AC与BD的 误区1将向量与平面平行误认为线面平行 交点.若AB=a,AD=b,AA=c,试用基底{a,b,c 易错题1（错误率26%）已知AB,CD是异面直线，CD 表示向量C应 a,AB∥a,M,N分别是AC,BD的中点.求证：MN∥a 正解因为CDCa,AB∥a,且AB,CD是异面直线，所以 在平面a内存在向量a,b,使得A访=a,C市=b,且两个 向量不共线。 由M,N分别是AC,BD的中点，得=号i十 正解 如图，连接AM,A:C,CM,则CM=AM- A成+BN+C+Ci+Dd=号迹+i=号(a+b. AC=AA+M-AB+A可)-AA+号(AB+ 所以MN,a,b共面.所以MN∥a或MNCa 若MN二a,则AB,CD必在平面a内，这与已知 A:D.)-(A:B+AD)=A:A (A.B.+AD) AB,CD是异面直线矛盾. 故MN∥a. =-2a-2b叶e. 易错探因本题易错的地方是将向量与平面平行误认为 易错探因本题易错的地方是AM没有用基底表示，向量 线面平行。 的分解不彻底，因此得到如下错解：连接AM,AC, CM.CM=A M-AC =AA+AM-(AB.+ 误区2混淆向量的夹角与空间角 A D)=c+AM-a-b. 易错题2（错误率30%）(2024·重庆质检)如图，在平 面角为120'的二面角a-AB3中，ACCa,BDC3,且 误区4对两向量平行理解有误 AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为点A,B.已知AC= 易错题4（错误率26%）(2024·哈尔滨调考)已知向量 AB=BD=6,则线段CD的长为 a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y 的值。 正解由题意知a/6期子-y2=子， 2 y=3r,① 正解：AC⊥AB.BDLAB. 可得 ..CA.AB=0.BD.AB=0. x2+y-2=2x,② :二面角AB3的平面角为120°， 把①代入②得2+x-2=0,解得x=-2或x=1 .(CA,Bi》=180°-120°=60° 当x=一2时，y=-6:当x=1时，y=3. :.C市=(CA+AB+Bd):=C+A+B市+ x=-2, 当 2Ci.AB+2Ci.BD+2BD.AB=3×62+2× =-6时.6=(-2，-4，-6)=-2a向量a 62×cos60°=144.∴.CD=12. 与b反向，不符合题意，故舍去： 答案12. 当时，b=(1,2.3)=a.向量a与b同向，符 易错探因本题易错的地方是混清二面角的平面角与向 y=3 量夹角的概念，误认为(CA,BD)=120°，从而得到错误 合题意， 答案CD=6√2. 故x,y的值分别为1,3. 易错探因“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区3对基底概念理解不清 条件本题易忽略“同向”这一条件的限制，从而扩大了 易错题3（错误率27%）(2024·深圳中学单元测试)在 范围