1.1 空间向量及其运算-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 重点和难点 课标要求 1.了解空间向量的概念. 重点：空间向量及其相关概念，空间向 2.掌握空间向量的加减运算。 量的线性运算，空间向量的数量积。 3.掌握空间向量的数乘运算。 难点：用向量法解决立体几何问题 4.掌握空间向量的数量积运算。 口01-必备知识梳理。 基础梳理 刀划重点 知识点1空间向量的有关概念 理解空间向量相关概念的 1.空间向量的定义及表示 注意点 定义 在空间，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量 (1)单位向量有无数个， 它们的方向并不确定，它们不 长度或模 空间向量的大小叫作空间向量的长度或模 一定相等.与a(a≠0)方向相 几何 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有 同的单位向量为日，方向相 表示 向线段的长度表示空间向量的模 空间向量常用一个小写字母表示.如：向量a,b,其 反的单位向量为。寻 (2)零向量也有无数个， 表示方法 模分别记为a,b 符号 它们的方向是任意的，但规定 表示 空间向量也可以用有向线段表示.如 所有的零向量都相等 图，向量a也可记作AB,其模记为a (3)在空间中仍然有A心= 或AB DC(AB,CD不共线)曰四边 形ABCD为平行四边形. 2.几类常见的空间向量 (4)若两个空间向量相 名称 方向 模 记法 等，则它们的方向相同，且模 零向量 任意 0 0 相等，但起点、终点未必相同 单位向量 任意 1 a的相反向量：一a 相反向量 相反 相等 AB的相反向量：BA 相等向量 相同 相等 a-b 1 重避台手册高中数学选择性必修第-册RUA 知识点2空间向量的加减运算 习作比较 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 平面向量与空间向量的 角 区别与联系 (1)区别：平面向量研究 图形叙述 a+b/ 加 则 的是二维平面的向量，空间向 Aa B 运 量研究的是三雏空间的向量， 平 语言叙述 共起点为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 行 (2)联系：向量的定义、表 B 边 示方法及零向量，单位向量、 图形叙述 相反向量、相等向量的概念等 法 在平面和空间中都适用. 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 法运算 袋 B b 则 图形叙述 a-b 0 A 加法 交换律 a+b-b+a 运算律 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 知识点3 空间向量的数乘运算 与平面向量一样，实数入与空间向量a的乘积加仍然是一个向量， 定义 称为空间向量的数乘 A>0 加与向量a的方向相同 几何 A<0 a与向量a的方向相反 a的长度是a的长度的2倍 意义 A=0 a=0,其方向是任意的 结合律 (a)=(u)a(为实数) 运算律 分配律 (A+u)a=a+ua,(a+b)=a+ib 知识点4共线向量与共面向量 平行（共线）向量 共面向量 位置 表示空间向量的有向线段所在的 关系 直线的位置关系：互相平行或重合 义 平行于同一个平面的向量 特征 方向相同或相反 特例零向量与任意向量共线 共面向量定理：向量p与两 共线向量定理：对任意两个空间向量a,b 要 个不共线向量a,b共面的充 (b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的 件 要条件是存在唯一的有序实 实数入，使a=b 数对(xy),使p=xa十yb 第一章空间向最与立体几何么组 知识点5空间向量的数量积运算 同敲黑板 1.空间向量的夹角 (1)非零向量a,b的数量 如图，已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a, 积的符号由夹角日的余弦值 的符号决定，当0为锐角时 OB=b,则∠AOB叫作向量a,b的夹角 a·b>0,但当a·b>0时，0 定义 B b 不一定是锐角，因为日也可能 为0：当0为钝角时，a·b0, 但当a·b<0时，0不一定是 记法 (a.b) 钝角，因为0也可能为π.因 范围 0≤(a,b)≤m,当(a,b)=受时，a⊥b 此，0为锐角是a·b>0的充 分不必要条件：0为纯角是a· 2.空间向量的数量积 b<0的充分不必要条件 已知两个非零向量a,b,则1ab1cos《a,b)叫作a,b的数量积，记 (2)数量积运算不满足结 合律，即(a·b)·c≠a·(b 定义 作a·b,即a·b=al blcos(a,b.零向量与任意向量的数量积 C):也不满足消去律，即a· 为0，即0·a=0 b=a·c→b=c. (a)·b=A(a·b),A∈R 运算律 a·b=b·a(交换律) (a+b)·c=a·c十b·c(分配律) 3.空间向量数量积的性质 序号 空间向量数量积的性质 (1) a·e=acos(a,e)(其中e为单位向量) 同敲黑板 (2) 若a,b为非零向量，则a⊥b-→a·b=0 如何理解空间向量的投影？ (3) a·a=a2或la=a·a=√a 对于向量a的投影向量 c,无论它是向量a向另一个 (4) 若a,b为非零向量，则cos(a,b)= a·b ab 向量投影，还是向量a向一条 直钱投影，或是向量a向一个 (5) a·b≤a|b(当且仅当a,b共线时，等号成立) 平面投影，都有向量a一c与 4.投影向量 投影向量c垂直.此时表示三 (1)向量向向量投影 个向量a,c,a一c的有向线段 如图1，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量， 构成一个直角三角形（如图）. 因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量 这样，通过勾股定理，可以借 助几何更直观地理解向量投 b 的投影，得到与向量b共线的向量c,c=acos(a,b)b,向量c 影的本质。 称为向量a在向量b上的投影向量。 (2)向量向直线投影 类似地，可以将向量a向直线！投影（如图2）. 3 重避台手册高中数学选择性必修第-册RUA a B 国敲黑板 A a B 空间向量数量积a·b的 A CB' 几何意义 图1 图2 图3 向量a,b的数量积等于a (3)向量向平面投影 的长度|a与b在a的方向上 如图3，向量a向平面3投影，就是分别由向量a的起点A和 的投影bcos(a,b)的乘积， 终点B作平面B的垂线，垂足分别为A',B,得到向量AB,向量 或等于b的长度|b|与a在b 的方向上的投影acos(a,b) AB称为向量a在平面3上的投影向量.这时，向量a,AB的夹 的乘积. 角就是向量a所在直线与平面B所成的角. 知识点6共线向量定理、共面向量定理的推论 已提个醒 1.共线向量定理的推论一三点共线问题 共线向量定理除了可以 如图，！为经过已知点A且平行于已知非零向 证明三，点共线，还可以证明空 量a的直线，对空间任意一点O,点P在直线（上 间中两直线平行.由于空间中 两个非零向量共线时，这两个 的充要条件是存在实数t,使OP=OA+ta. ① 向童所在的直线可能平行，也 其中向量a叫作直线！的方向向量 可能重合，所以在证明时要说 若在l上取AB=a,则①式可化为OP-OA+AB. ② 明一条直线上有一点不在另 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间 一条直线上，从而推得两直线 任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定. 平行.不能由向量平行直接推 可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用 出线线平行 共面向量定理除了可以 平面向量判断平面内三点共线是一样的. 证明四点共面，还可以证明线 事实上，OP=OA+tAB=(1一t)OA+tOB,显然(1一t)+ 面平行，同理，也要说明线不 t=1. 在面内. 故“存在x,y,使得O币=xOA+yO(其中x+y=1)”是“P, A,B三点共线”的充要条件」 2.共面向量定理的推论一四点共面问题 如图，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序 实数对(x,y,使AP=xAB+yAC(p=xa十3b):或对空间任意 一点O,有O币-OA+xAB+yAd BC p A aB ③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任 意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定 第-章空间向量与立体几何么国型 事实上，O币-OA+.xAB+yAC=(1-x-y)OA+xOB十 yOC,显然，(1-x-y)十x十y=1. 故“存在x',y',,使得OP=xOA+yO店+O心（其中x'+ y十z'=1)”是“P,A,B,C四点共面”的充要条件 重难拓展 画记方法词 重难点1空间向量的数乘运算 空间向量的线性运算技巧 1.实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运 1.巧用平移：进行向量的 加，减运算时，务必要注意两 算，如A士a无意义. 向量的系数相等后，才可利用 2.任何实数与向量的积仍是一个向量.空间向量的数乘运算 三角形法则或平行四边形法 可以把向量的模扩大（当入>1时），也可以缩小（当入<1时）： 则求和向量、差向量，必要时 可以不改变向量的方向（当>0时），也可以改变向量的方向（当 可采用空间向量的自由平移 A<0时). 获得更准确的结果 3.注意实数与向量的乘积的特殊情况：当入=0时，a=0:当 2.数形结合：利用数乘运 入≠0时，若a=0,则a=0. 算解题时，要结合具体图形， 明确表示向量的有向线段，利 4.根据空间向量的数乘运算的定义可知，结合律显然成立 用三角形法则、平行四边形法 5.由于向量a,b可平移到同一个平面内，故a十b,a,b,A(a十 则，将目标向量转化为已知 b)也都在这个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以 向量 空间向量也满足数乘运算的分配律. 3.明确目标：在化简过程 例工已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在 中要有目标意识，巧妙运用运 平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O, 算法则和中点性质，将目标向 Q是CD的中点，求下列各题中x,y的值. 量转化为已知向量， (DOQ=PQ+x PC+yPA: 4相关结论： (1)AB=O求-OA(0为 (2)PA=x PO+y PQ+PD. 空间中任意一点). 解析]方法一(1)如图，由图可知O反=PQ-P心=P戒 (2)在平行六面体ABCD 2pi+P心)=P0-pi-2P元，∴x=y=-2 AB1CD1中，AC=AB+ AD+AA (2)如图，PA+PC=2P0,∴PA=2P0-PC (3)若G为△ABC的重 PC+PD=2 PQ...PC=2 PQ-PD. 心，则AG+BC+CG=0. ..PA=2 PO-(2 PQ-PD)=2 PO-2 PQ+PD. (4)若O为空间中任意一 .x=2,y=-2 点，则有： ①P是线段AB的中点 =0i=20i+0丽： ②G为△ABC的重心台 0心-}oi+oi+0d: 5 重避台手册高中数学选择性必修第-册RUA 方法二(1)，OG-PQ=OP=xPC+yPA, ③G为□ABCD的中心= 且P0-2pi+号P心“x=y=-2 0=}0i+0+0心+ (2).PA-PD=DA=x PO+yPQ 0i. 且DA=2Q0=2Pò-2P. ∴.x=2,y=-2 重难点2共线向量与共面向量 刀划重点7 例2给出下列命题： 1.理解共线向量的定义 ①若空间向量满足a∥b,b∥c,则a∥c; 时，要注意以下两点 (1)零向量和任一空间向 ②用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量， 量是共线向量 则这两个向量一定不共面： (2)共线向量不具有传递 ③已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB,BC,CD,DA 性.如a∥b,b∥c,但a∥c不 分别确定的四个向量之和为零向量： 一定成立，因为当b=0时，虽 ④若存在实数x,y,使得OP=xOA+yO店，则O币与OA,OB 然a∥b,b∥c,但a不一定与c 共线 共面； 2.对向量共线的充要条 ⑤共面的三个向量的起点和终点一定共面： 件的理解，应从以下几个方面 ⑥若向量a,b共线，则a与b所在直线平行： 正确把握」 (1)充要条件包含两个 ⑦向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面. 命题： 其中正确命题的序号是 ①a∥b(b≠0)→存在唯 解析命题①中，当b为0时不成立，故命题①错误： 一的实数，使a=b: 空间中，用有向线段表示的向量仍然是自由向量，而任意两 ②存在唯一的实数入，使 a=b(b≠0)→a∥b. 个向量总是共面向量，故命题②错误： (2)在充要条件中，要特 空间四边形的四条边中每条边都可以确定两个方向相反的 别注意b≠0，若不加b≠0，则 向量，当四个向量不是首尾相接时，这四个向量的和就不是零向 充要性不一定成立，例如，若 量，故命题③错误； a≠0，b=0,则a∥b,但A不存 在，充要性也就不成立了 由空间共面向量定理可知命题④正确： (3)向量共线的充要条件 若三个向量中有两个向量是平行向量，第三个向量与其中一 可以作为判定线线平行的依 个向量有相同的起点，则这三个向量一定是共面向量，但这三个 据，但必须注意在向量a(或 向量的起点与终点却可以不共面，故命题⑤错误： b)上需存在一点不在向量b 向量a,b共线，则a与b可能在同一条直线上，故命题⑥ (或a)上 3.向量p与a,b共面的 错误； 充要条件是在向量a与b不 向量ā，b,c共面是指三个向量能平移到同一平面上，但三个 共线的前提下才成立的，若a 向量所在的直线可以共面，也可以异面，故命题⑦错误 与b共线，则不成立 答案④. 第-章空间向量与立体几何么国型 口02关键能动提升◆ 题型方法 证明(1)如图2，连接AC,AC,则AC 题型1利用向量法解决立体几何中的 AC+CC=A店+A市+AA=A店+号AA+ 证明问题 1.共线的证明 AD+3AA-(AB+BE)+(AD+DE)- 例3(2024·武汉二中月考)如图1，在平行 A它+A京，∴由共面向量定理可知A,E,C, 六面体ABCD-AB,CD,中，A它=号AD, F四点共而 (2)E京=A京-A龙=AD+D-(AB+ A户=号F元.试用向量法证明：E,F,B三点 B)=A市+号DD-A店-号BB=-A店+ 共线 D AD+AA,又E=xA店+yAD+:AAi, E. ∴=-1y=1=3叶y叶- 3.平行关系的证明 立体几何中的线线平行可转化为两个向 图1 图2 量的平行，即证明两个向量具有数乘关系.证 证明如图2，连接EF,FB,由题意得EF 明线面平行、面面平行均可转化为证明线线平 A-AE=号F心-ADi)=号(F心-BC) 行，然后根据空间向量的共线定理进行证明. 例5(2024·东北育 号(F心+C)-号成.所以球/成又EFn 才中学月考)如图，已知矩 FB=F,所以E,F,B三点共线 形ABCD和矩形ADEF 2.共面的证明 所在平面互相垂直，点M,B 例④(2023·海南师范大学附属中学月 N分别在对角线BD,AE上，且BM=BD, 考)如图1，在平行六面体ABCD-A1BCD 中，E,F分别在棱BB和D1D上，且BE AN=专AE.求证：MN∥平面CDE. 号AB,DF=号DD. 证明：点M在BD上，且BM=号BD, (1)求证：A,E,C,F四点共面： ∴Mi=D丽=}Di+}A成 (2)若E=xAB+yAD+:AAi,求x十 y十x的值. 同理，AN=}A0+}D苑 D ·MN=Mi+BA+A=(号DA+ B }A)+BA+(}AD+号D)=号BA+ D苑=ò+}D成 图1 图2 7 重随食手细高中数学选择性必修第一册RJA ,CD与DE不共线，根据向量共面的 .∴.AO⊥BD,AO⊥OG. 充要条件可知MN,CD,D元共面. 又.BD∩OG=O,.AO⊥平面GBD MNt平面CDE,.MN∥平面CDE 题型2空间向量数量积的运算 4.垂直关系的证明 (1)在空间向量数量积的运算中：①a· 证明两条直线垂直可以转化为证明这两 b=b·a:②a·(b+c)=a·b+a·c:③(a)· 条直线的方向向量垂直.首先将两个方向向量 b=λ(a·b)=a·(ab):④a2-b=(a+b)· 表示为几个已知向量a,b,c的线性形式，然后 (a-b):⑤(a+b)2=a2+2a·b+b:⑥(a 利用向量的数量积等于0说明两条直线的方 向向量垂直 b)2=a一2a·b十b;等等.这些性质与实数运 例6(2024·杭州二中检测)如图1，在正 算是类似的。 方体ABCD-A,BCD,中，O为AC与BD的交 (2)在空间向量数量积的运算中：①若a· 点，G为CC的中点.求证：AO⊥平面GBD b=a·c且a≠0，不能得到b=c,即数量积等 D D 式两边不能同除以一个向量：②(a·b)·c≠ a·(b·c),即向量的数量积不满足乘法结合 律：③由a·b=0,不能得到a=0或b=0:④由 a·b=人，不能得到a=合或b-名，即向量不能进 图1 图2 行除法运算.这些性质与实数运算是不一样的， [证明如图2，连接OG,设AB=a,AD 例7(2023·绵阳中学检测)如图，在四 b.AA=c. 面体O-ABC中，OA=OB=OC=1,∠AOB= 则a·b=0,b·c=0,a·c=0. ∠COB=60°，AOOC.求： AO-AA+AO-AA+(AB+AD) -c+2(a+b).BD-AD-AB=b-a.C- 元+C元=号A+AD+2cC=2(a+b) zc. (1)OA·OB: (2)(OA+O)·(CA+CB)】 “A0.Bd=(c+2a+2b)·(b-a)= 解析(1)OA·O店=1OA11O店1· c.(b-a)+(a+b).(b-a)-c.b- c0s∠A0B=1X1Xcos60=2 c…a+2w-a)=2b2-a3)=0, (2)(OA+OB).(CA+CB)=(OA+ OB)·(Oi-OC+O店-O元)=(OA+ A0.o-(c+2a+2)(2a+2b OB).(OA+OB-20C)=(OA+OB)*- 2c)=}(a+b+c(a+b)-c 2(OA+OB)·O元=1OA12+2OA·OB+ 1O12-2OA·OC-2OB.OC=12+2× a+b)2e=(ap+b3)2lc=0, 1×1×cos60°+1-0-2×1×1×cos60°=2. 第-章空间向量与立体几何么型 题型3利用空间向量的数量积求角或 AP·(号AP+号A店-AD)=号1AB2 角的余弦值 (1)对向量夹角的正确理解 号A:=0,所以P馆1DMi,即PB1DM ①(a,b)表示a与b的夹角，书写一定要规 (2)PA=AD=AB=2BC=2a(a>0), 范，不能误写为(a,b). 由于P币=A市-A户，AC=A店+号A市，因此 ②在图1中，(OA,OB)=∠AOB,而图2 中，(AO,OB)=x-∠AOB.向量夹角与向量 pi.AC=(A市-AP).(A+号AD)=2a2. 的大小无关，只与方向有关 又1PD1=√PA2+AD2=22a,AC1 √/AB1?+BC12=√5a, 图1 图2 所以cOs〈AC,PD)= AC.PD ACIPD (2)向量夹角与异面直线所成角的区别与 2a2 -110 联系 √5a×2w2a 101 已知两个向量a,b所在直线为异面直线， 两异面直线所成的角为 所以AC与PD所成角的余弦值为 10 ①区别：向量a,b夹角的范围是[0，x],异 题型4利用空间向量的数量积求距离 面直线夹角的范围是(0，]： (1)借助空间向量求两点间的距离或线段 长度的方法如下： ②联系：当两向量的夹角为锐角时，0=(a, ①将相应线段用向量表示，通过向量运算 b):当两向量的夹角为乏时，两异面直线互相垂 来求对应向量的模： ②因为a·a=a2,所以a=va·a,这 直：当两向量的夹角为钝角时，0=x一〈a,b). 是借助向量解决距离问题的基本公式，另外， 例8(2024·深圳中学检测)如图，在四 棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形， 该公式还可以推广为|a土b|=√/(a土b)严= AD∥BC,∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD,且 a士2a·b+b: PA=AD=AB=2BC,M为PC的中点. ③可用|a·e|=|a||cos0(e为单位向 (1)求证：PB⊥DM: 量，0为a,e的夹角)来求一个向量在另一个向 (2)求AC与PD所成角的余弦值. 量所在直线上的投影. (2)利用空间向量的数量积与空间向量模 的关系，常把空间两点间的距离问题转化为空 间向量模的大小问题，利用数量积进行计算 基本思路如下： ①选择以两点为端点的向量，将此向量表 证明(1)由图可得PB=AB-A护，DM 示为几个已知向量的和或差的形式： ②求出几个已知向量的模和两两之间的 2D市+DO)=2(A市-A+A店-号A市) 夹角： 2A+号A成-A心则P市.DM=(A店 ③利用相关公式求出模，即可求出空间两 点间的距离. 重随食手细高中教学选择性必修第一册RU口 例9(2024·长沙长郡中学月考)如图，在 (1-2A)AB+AAD】 四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD .BF LAC...BF.AC=[(1-)AP- DC.AB//DC,AD=DC=AP=2,AB=1,E (1-2a)AB+AAD)·(AD+2AB)=-2(1 为棱PC的中点. 2以)+4以=0，解得X=子 (1)求证：BE⊥PD: (2)若F为棱PC上一点，且满足BF⊥ 易知|PC|=V(AD+2AB-AP)2= AC,求线段PF的长， V4+4+4=23,PF=}PC-,即线孩 PF的长为号 易错警示 证明(1)：E为PC的中点，∴B驼 ◆易错题1（错误率26%）已知AB,CD 2(驴+BC)=(A驴-A店+A花-A福) 是异面直线，CDCa,AB∥a,M,N分别是 AC.BD的中点.求证：MN∥a. 2(AP+AC-DC)=2(A泸+AD),又DP ●易错题2（错误率30%）(2024·重庆 质检)如图，在平面角为 D A护-AD,“B配.D驴=号(A萨-A前) 120的二面角a-AB3中， O,.BE⊥PD. ACCa,BDCB,且AC⊥ (2):F为PC上一点，设PF=APC(0≤ AB,BD⊥AB,垂足分别为 ≤1)，∴.B-B驴+P=Ap-AB+aP心 点A,B.已知AC=AB=BD=6,则线段CD AP-AB+A(AD+2AB-AP)=(1-A)AP- 的长为 门03-核心素养聚焦。 考向分类 所以EA=C户，所以EAILCF, 考向1利用向量法证明空间的位置 所以E,A,C1,F四点共面， 关系 即点C在平面AEF内 例10(2020·全国Ⅲ卷 方法二连接AC.因为AC=AB+BB,+ 节选)如图，在长方体ABCD ABCD中，点E,F分别在棱 B C=AB+BF+FB +B C=AF+DE+ DD1,BB1上，且2DE=ED1, AD=A京+A,所以，点C在平面AEF内. BF=2FB. B 求证：点C在平面AEF内.D 命题意图：考查四点共面问题 命题规律 证明方法一连接CF因为EA=ED十 真题探源：根据教材P5例1改编 DA,CF=CB+B产，CB=CB=DA,BF 常考题型解答题难度系数0.7高考热度 ★★★ =号B店=号D市=E成. 核心素养 逻辑誰理 素养水平水平二 10参芳答案与提示 华大基础教育 A,ACC∩平面ABC=AC. 第一章空间向量与立体几何 .AE⊥平面ABC 1.1空间向量及其运算 ∴，AE⊥BC 真题演练 E亦.B=(EA+A.B武 1.ABD提示：方法一如图，连接AD.在正方形 =-AE.BC+AF.BC AADD中，AD,⊥DA,因为AD∥BC,所以BC⊥ -A下.BC DA:,所以直线BC,与DA,所成的角为90°，故A正 又：AB∥AB,F是AB的中点， 确.在正方体ABCD-A:BCD,中，CD⊥平面 户-2亦=-号成 BCCB,又BCC平面BCCB·所以CD⊥BC,连接 :∠ABC=90,BA.BC=0 BC,则BC⊥BC,因为CD∩BC=C,CD,BCC平 面DCBA,所以C⊥平面DCBA,又CAC平面 成.或-=号i,0=0.即EF1BC DCBA1,所以BC⊥CA:,所以直线BC与CA所成 学业质量测评 的角为90°，故B正确 1.D 2.A 3.ABC 4.CD提示：依题意作出图形如图.结 合图形分析可知DA与PB,PD与 AB,PA与CD分别垂直.则选项B, C,D中两向量的夹角均为90°，所以其 方法二设正方体的棱长为1，：BC-心+B弧， 数量积都为O.而选项A中，只有当矩形ABCD为正方 DA -DA+DD.CA-CC+CB+CD. 形时，才有PC⊥BD,即P心.BD=O. ..BC DA =BC DA+BC DD+BB DA+ 提示：先将a一b=7化为(a一b)2=7,求得a· BB.DD=-1+0+0+1=0, BC·CA=0-1+0+1+0+0=0, b=号，再由a·b=lalIbcos(a,b>求得cos(a,b)- ∴BC⊥DA,B⊥CAi, a·b 2 BC⊥DA,BC⊥CA,故A,B正确， 1a1b2×2=8 如图，连接AC,交BD于点O,则易得OC⊥平面 6.如图，连接AC.:AO=AC+C0=AB+AD+ BB,DD,连接OB,因为OBC平面BBDD,所以 OC⊥OB,∠OBC为直线BC与平面BBD,D所成 2C可=A店+Ai+号CD+D元)=A店+A市+ 的角.设正方体的棱长为a,则易得BC=√2a,OC ci+号D而=Ai+A市+号D而，C成=C市+ 受所以在△BG中.0G=号.所以∠0C- DD=-AB+DD. 30°，故C错误， “A0.c元=（号A+AD+号D丽）·(-AB+ 因为CC⊥平面ABCD,所以∠CBC为直线BC与平 面ABCD所成的角，易得∠CBC,=45,故D正确. D心)=-号A第·AB-AD·A店-号DD·AB+ 2.如图，连接A1E :AA=AC,E是AC的中点，AE⊥AC Ai.D元+Ai.D元+D元·D成=0， :平面AACC⊥平面ABC,AEC平面AACC,平面 A0CD,即AO1CD. 1 重滩点手册高中数学选择性必修第-册亿JA (Ai+AD=36,所以os(BD,AC= BD·A心 BDACI 36 62×63 ,故D错误 6 9.ABC 提示：AD=AC+号AB。 第6题图 第7题图 ∴3AD=AC+2AB. 7.C提示：如图，设正四面体ABCD的棱长为a,记点H :.2AD-2AB-AC-AD.:.2BD=DC. 为底面三角形ABC的中点，点O为其内切球的球心， 则3Bd=Bd+D心-BC,即3Bd-B,故A正确： 连接DH,OA,AH,易知点O在DH上 :Q为△ABC的重心，则QA+QB+QC=0. AH-号×- 34. ..3PQ+QA+QB+QC=3 PQ..(PQ+QA)+ (P+Q)+(PQ+Q)=3PQ,则PA+Pi+P心 因为oH-=2,HD-V-言0=5 34, 3成，即成-号+号市+元，故B正确： 所以OA2=OH+AH=(HD-OHD2, 若i.C=0,元.亦=0，则i.武+元.A访-0. 即2+(a)-(9。-2),解得a=46. ∴Pi.C+P心.(AC+Ci=0,Pi.BC+r心· AC+元.Ci=0,即pi.BC+P元.AC-P心.BC 所拟HD-a=& 0,(pi-P心.BC+P心.AC-0 连接OM,ON,OP,因为Pi=OM-O币，Pi=O六 C.BC+P心.C=0,则AC.+P元.AC=0, Oi,所以Pi.P=(OM-O亦)·(O亦-OP, “AC.(P心+CB)=0.即AC.P3=0,故C正确： 0M.Oi-O币.0M+0六)+O亦，而OM.Oi 连接PN,:M=P成-Pi=号（丽+P心） -4.O六+OM=0,则Pi.Pi=O币-4. 由题意可知，2≤O币1≤OD=8-2=6,所以0≤ Pi=(P丽+F元-Pi,“M1=1i+ 0市-4≤32， 故Pi·P的取值范围为[0,32]. 心-pi=号pi-i-心. 8.AB提示：因为以顶点A为端点的三条棱的长均为6， 又pi-Pi-心=P所+p馆+心-2i.pi 且它们彼此的夹角都是60°，所以AA,·AB=AA, 2Pi.P心+2P心.Pi=2+2+2-2×2×2× AD=AD.AB=6×6×cos60=18,(AA+AB+ 是-2x2×2×号+2×2x2×号=8，=区. AD)2=A4+A成+A市+2A·A+2A范.AD+ 故D错误 2A4.AD-36+36+36+3×2×18=216,则A1 A4+A花+AD1=6√6，故A正确 51 32 提示：由题意得∠ABC=90°，△ABP是正三 因为AC·Di=(AA+AB+AD)·(AB-AD)= 角形，连接点P和线段AC的中点D,连接BD,如图 AA.A店-AA.AD+A官-AB.AD+AD.AB 所示 A市=0，故B正确. 易得BD=PD要.则∠PDB=90 连接AD,显然△AAD为等边三角形， 则∠AAD=60°. 又点G为△ABC的重心，∴GD=吉BD-号， 因为B,C-AD.且向量A,D与AA的夹角是120， G-VPD+C-写 所以B,C与AA的夹角是120°，故C错误. .就=A莎.（元-）=A市.元-A, 因为BD=AD+AA-AB,AC-AB+AD. 所以1BD1=√(AD+AA-AB)=62,1AC1 Pi=-1Pi·cos120=号 √i+AD2=63,BD·AC=(AD+A4-A)· a成=.文-， LAPIBCI 参考答案与提示收超 故异面直线PA与BC所成角的余弦值为 序=1-i+i=1-b+2a+c.@ 入x 联立①②，得 r一2+'消去x,得2A十 A(十1) 4=1-x, 解得=a)产2 L.2空间向量基本定理 第10题图 第11题图 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1L.(1)如图，连接AC,AC,则AC=AC+CC=AB+AD 真题演练 +AA-AB+AA+AD+3AA-(AB+BE)+ L.C提示：以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分 (AD+D)=A正+A 别为x轴y轴、轴建立空间直角坐标系，如图.由条 ∴A.E,C,F四点共而。 件可知D(0,0.0),A(1,0,0),D1(0,0,√3)，B1(1.1. (2):E萨=A市-A正=AD+D亦-(AB+B成) 3),所以AD=(-1,0v3),DB=(1,13). A市+号D丽-A范-号B那=-A+AD+号AA, 则由向量夹角公式得s(Ad,D成)=A西，D成 ADIDEI x=-1y=1=,x+y叶=号 12.(1)A=AB+B丽，BC-B丽+BC 25号，即异面直线AD与DB,所成角的余弦值 2-5 BB⊥平面ABC...BB·A店=0，B那.B=O 为绵 ,△ABC为正三角形， D “A成，=-《耐.商=晋-等 ·AB,BC=(AB+BB)·(BB+BC =店·丽+A店.+B弼+B· =ABIBCI cos(AB.BC)+BB =-1+1 =0, 2.设AB=a,AD=b,AA:=c,如图，以C为坐标原点， AB⊥BC,即AB⊥BC. 分别以CD,CB,CC的方向为x轴y轴，轴建立 (2)结合(1)知AB·B=ABC1cs(A.B武)+ 空间直角坐标系。 BB=BB-1, 连接CF,则C(0,0,0).A(a.b,c),E(a,0,号). 又A1=√B+B-√2+B-BC1, F(0,b3c）Ei=(o.b.号c),C=(0,b.3c）得 ·cos(A,BC)= 恶晨 EA-CF 因此EA∥CF,即A,E,F,C四点共面 解得BB1=2,即侧棱长为2. 所以点C在平面AEF内. 13.A提示：设Pi=a,Pi=b,P元=c=fa, 则Pi=Pi-Pi+P心=a-b+c, Pi=a-b+ac.① 由P元=AEò(2≤A≤4)， 得i=产P0=2Da+e0以 由F,E,B三点共线可知，存在实数x使得 3《易错警示》参考答案收超 平行六面体ABCD-ABCD中，M为AC与BD的 误区1将向量与平面平行误认为线面平行 交点.若AB=a,AD=b,AA=c,试用基底{a,b,c 易错题1（错误率26%）已知AB,CD是异面直线，CD 表示向量C应 a,AB∥a,M,N分别是AC,BD的中点.求证：MN∥a 正解因为CDCa,AB∥a,且AB,CD是异面直线，所以 在平面a内存在向量a,b,使得A访=a,C市=b,且两个 向量不共线。 由M,N分别是AC,BD的中点，得=号i十 正解 如图，连接AM,A:C,CM,则CM=AM- A成+BN+C+Ci+Dd=号迹+i=号(a+b. AC=AA+M-AB+A可)-AA+号(AB+ 所以MN,a,b共面.所以MN∥a或MNCa 若MN二a,则AB,CD必在平面a内，这与已知 A:D.)-(A:B+AD)=A:A (A.B.+AD) AB,CD是异面直线矛盾. 故MN∥a. =-2a-2b叶e. 易错探因本题易错的地方是将向量与平面平行误认为 易错探因本题易错的地方是AM没有用基底表示，向量 线面平行。 的分解不彻底，因此得到如下错解：连接AM,AC, CM.CM=A M-AC =AA+AM-(AB.+ 误区2混淆向量的夹角与空间角 A D)=c+AM-a-b. 易错题2（错误率30%）(2024·重庆质检)如图，在平 面角为120'的二面角a-AB3中，ACCa,BDC3,且 误区4对两向量平行理解有误 AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为点A,B.已知AC= 易错题4（错误率26%）(2024·哈尔滨调考)已知向量 AB=BD=6,则线段CD的长为 a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y 的值。 正解由题意知a/6期子-y2=子， 2 y=3r,① 正解：AC⊥AB.BDLAB. 可得 ..CA.AB=0.BD.AB=0. x2+y-2=2x,② :二面角AB3的平面角为120°， 把①代入②得2+x-2=0,解得x=-2或x=1 .(CA,Bi》=180°-120°=60° 当x=一2时，y=-6:当x=1时，y=3. :.C市=(CA+AB+Bd):=C+A+B市+ x=-2, 当 2Ci.AB+2Ci.BD+2BD.AB=3×62+2× =-6时.6=(-2，-4，-6)=-2a向量a 62×cos60°=144.∴.CD=12. 与b反向，不符合题意，故舍去： 答案12. 当时，b=(1,2.3)=a.向量a与b同向，符 易错探因本题易错的地方是混清二面角的平面角与向 y=3 量夹角的概念，误认为(CA,BD)=120°，从而得到错误 合题意， 答案CD=6√2. 故x,y的值分别为1,3. 易错探因“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区3对基底概念理解不清 条件本题易忽略“同向”这一条件的限制，从而扩大了 易错题3（错误率27%）(2024·深圳中学单元测试)在 范围