第3章 函数的概念与性质 单元学能测评-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

单元学能测评 满分：150分时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 A.(-1,+o∞) B.(-c∞，-1) 分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是 C.(-1,4) D.(-co,1) 符合题目要求的. 7.(2023·湖北襄阳四中月考)已知函数f(x) 1已知幂函数f(x)的图象过点(2，号)，则 在R上是单调函数，且对任意x∈R,都有 f(f(x)-2x)=3,则f(3)=(). f(8)的值为( . A.3 B.7 A号 R号 C.9 D.11 C.22 D.8√② 8.已知f(x)为R上的奇函数，f(2)=2,若对 2.设函数f(.x)=x2+2(4一a)x+2在区间 Hx1x2∈(0，十o∞)，当x1>x2时，都有 (一∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围 (1一x2 「f)_f]<0,则不等式 是(). A.a>-7 B.a≥7 (x+1)f(x+1)>4的解集为( C.a≥3 D.a≤-7 A.(-3,1) 3.函数f(x)是奇函数，且在(0，十∞)内是增函 B.(-3,-1)U(-1,1) 数，f(一3)=0，则不等式xf(x)<0的解集 C.(-o∞，-1)U(-1,1) 为(). D.(-∞，-3)U(1,+o∞) A.(-3,0)U(3,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. B.(-∞，-3)U(0,3) 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 C.(-∞，-3)U(3,十o∞) 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 D.(-3,0)U(0,3) 分，有选错的得0分 4.已知f(x)是定义在[2b,1一b们上的偶函数，且 9函数f)一千a的图象可能是( 在[2b,0]上为增函数，则f(x一1)≤f(2x)的 解集为( A[-1号] B[-1] C.[-1,1] n[哈] x+2,x≤0， 5.已知函数f(x) 若f(f(a) =2,则a的值为( . A.0或1 B.-1或1 C.0或-2 D.-2或-1 10.定义域为R的函数f(x)满足f(x十2) x2+1,2≤0， 6.已知函数f(x)= 若f(x-4)> 3f(x),当x∈[0,2]时，f(x)=x2-2x,若 1.x>0, f(2x一3)，则实数x的取值范围是( x∈[-4-2]时fx)≥（径-）恒成立， 45 则整数1的值可以为(. 16.(15分)已知函数f(x)的定义域为（一2,2），函 A.-1B.0 C.1 D.3 数g(x)=f(x-1)+f(3-2x). 11.若函数f(x)=|x十1|十|2x十a的最小值 (1)求函数g(x)的定义域. 为3，则实数a的值可能为( (2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递 ). 减，求不等式g(x)≤0的解集。 A.-1B.-4 C.5 D.8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f(x)=(2一m一1).x是幂函数， 且f(x)在(0，十∞)上单调递增，则实数m= 13.设f(x)是定义在R上的函数，且满足对任 意x,y,等式f(2y-x)=-2f(x)+3y(4x 一y十3)恒成立，则f(x)的解析式为 14.若fx)=x2-2x,g(x)=ar+2(a>0),H∈ [-1,2],3∈[-1,2]，使g(x)=fx),则 实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤， 1513分)已知)-号是奇函数，且 j2=号 (1)求实数a,b的值. (2)判断函数f(x)在(-o∞，一1]上的单调 性，并加以证明. 46 17.(15分)已知f(.x)是定义在区间[-1,1]上 18.(17分)为弘扬中华传统文化，某学校课外阅 的奇函数，且f(1)=1,当a,b∈[-1,1]， 读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著” 4十b≠0时，有fa)土f>0成立. 和“古诗词”的阅读活动.根据调查，小明同 a十b 学关于两类读物的阅读量统计如下： (1)判断f(x)在区间[一1,1]上的单调性并 小明“经典名著”的阅读量∫()（单位：字）与 证明 时间（单位：分）满足二次函数关系，部分数 (2)若f(.x)≤m2-2m+1对所有的a∈ 据如下表所示 [一1,1恒成立，求实数m的取值范围。 0 10 20 30 f(t) 0 2700 5200 7500 小明“古诗词”的阅读量g(t)(单位：字)与时 间t(单位：分)满足如图所示的关系 (1)请分别写出函数f(t)和g(t)的解析式. (2)在每天的一小时课外阅读活动中，小明 应如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅 读时间，可使每天的阅读量最大？最大 值是多少？ 8学 11000 8000---- 4060t4纷 47 19.(17分)已知函数f(x)=一x2十m.x一m (1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值. (2)若函数f(x)在[一1,0]上单调递减，求 实数m的取值范围。 (3)是否存在实数m,使得f(x)在[2,3]上的 值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m 的值：若不存在，请说明理由. 48当n>>√a+ab-a时，nn>(√a+ab-a)'= .2h+1-b=0,,.b=-1. 2a2+ab-2a√a+ab,n+x>2v√a+ab-2a, :f(x)在[2h,0]上为增函数. ∴.函数f(x)在[一2,0们上为增函数 .x-ab+a(n+x)>(√a+ab-a)-ab十 故函数f(x)在[0,2]上为减函数. a(2v√a+ab-2a)=0: 则由f(x-1)≤f(2x)可得x-1≥2x, xi+ab xi十ab ∴.f（x)-fx)=2hn+2ab2hr+2ab 即（一1）≥4r,解得-1长≤分 _i+a(n十a)-(+ab(n+a :定义域为[-2,2]， 2K+a)(+a) -2≤x-1≤2， -1≤x≤3， _(=)2-ab十a(十x] 解得 2b(x1+a)(.x+a) -2≤2.x≤2， |-1≤x≤1. >0. 综上，-1长≤分放选B ∴.f(x)在（√a+ab-a,十oo)上单调递增. 5.D提示：当4≤一2时，fa)=a+2≤0，∴f(fa)= 同理，f(x)在(0，√云+ab一d)上单调递减. f(a+2)=a十4=2，.a=-2. 当-2<a≤0时.a+2>0,∴.f(a)=a+2>0. 故当x=a+ab一a时，即装人（√a+ab-a)克水 后使装入水后的水杯的重心最低 a》=fa+2)=a+2+a2=2,a=-1. 单元学能测评 当a>0时a+2>2.÷y=r十上在>2时单调递增， 1A提示：幂函数)=r的图象过点(2.号)， +立>之，显然满足ff(a)=2的a的值不 存在 9=%,a=-,=+ 综上可得，a=-1或a=-2. 6.C提示：f(x)的图象如图所示.由图可知， 8)=8十=厚放选入 2.B提示：函数f(x)图象的对称轴为x=a一4， 若/-4>2-3.则-0. x-4<2x-3, 又，函数在（一©，3上为减函数， 解得一1<x<4,故实数x的取值范围是（一1,4）. a-4>3,即a≥7. 3.D提示：(x)在R上是奇函数，且f(x)在(0， 十∞)上是增函数， 0工无 .f(x)在（一oo,0)上也是增函数。 7.B提示：令f)=3(t为常数).则有f(f(x)一2x) 由f(-3)=0得f(-3)=-f(3)=0,即f3)=0, f(t.:f(x)是R上的单调函数，∴.f（x)-2x 作出f(x)的草图，如图所示. t,∴.f(x)=2x十t,.f(t0=21+1=3,∴t=1, y ∴f(.x)=2x+1,∴f（3)=2×3+1=7. 8.B 提示：由(-)「f]<0得(n 23-2-10】23 n)「f）-f)]<0, TI 因为n一>0，n>0, 所以f)一rf(r)<0,即f）<xf). |x>0, 1r0, 设g(x)=xf(x),则g(x)在(0，十oo)上单调递减， 由图象得xf(x)<0曰 或 f(x)0tf(x)>0, 而g(.x+1)=(x+1)f(.x+1)>4=2f(2)=g(2), 解得0<x<3或-3<r<0, 则0x十1<2，解得一1<x1. xf(x)<0的解集为(-3,0)U(0,3),故选D 因为f(x)为R上的奇函数， 4B提示：，f(x)是定义在[2h,1一b们上的偶函数， 所以g(-x)=一xf(一x)=xf(x)=g(x), 40 则g(x)为R上的偶函数， r一n-1=1, 解得m=2或-1（舍去）. 故g(x)在（一∞，0）上单调递增， m>0, g(x+1)=(x+10f(x+1)>4=g(-2),则-2<x+1 13.f(x)=3.x(x+1).提示：：f(x)是定义在R上的函 <0,解得-3<x<-1. 数，且对任意x,y,(2y-x)=-2f(x)+3y(4x 综上，原不等式的解集为（一3，一1）U(一1,1). y+3)恒成立 9.ABC提示：函数表达式中含有参数a,要对参数进行 ∴.令y=x,得f2r-x)=-2fc)+3.x(4x-x+3),即 分类讨论，若a=0,则x)=兰-子，选项C可能：若 f(x)=-2f(x)+3x(3x+3), .3f（x)=3.x(3x+3),.fx)=3.x(x+1). a>0,则函数定义域为R,且f(0)=0,选项B可能：若a <0,则x≠土√一a,选项A可能。 14(o,2] 提示：由于函数g(x)在定义域[一1.2]内 10.AD提示：因为x∈[-4，-2]，所以x+4∈[0,2. 是任意取值的，且必存在∈[一1,2]，使得g())= 因为x∈[0,2]时，fx)=x2-2x f(),因此问题等价于函数g(x)的值域是函数 所以f(x+4)=(x+4)-2(x+4)=x+6.x+8. f(x)值域的子集. 因为函数f(x)满足(x+2)=3f(x), f(x)=x2-2x=(x-1)2-1.x∈[-1.2]，f(x)∈ 所以fx+4)=3f(x+2)=9f(x), [一1,3]，函数fx)的值城是[-1,3]，因为a>0,所以 所以f)-gu+D=号u+r+8e[-4.-24 函数g(x)的值域是[2一a,2+2a],则有2-a≥-1 且2+2a≤3，即a≤号，故a的取值范围是(0，号]， 又因为x[-4,-2],)≥8（是-）恒成立 15.(1),f(x)为奇函数，f-x)=一f(x), 放(-)<)出=-寸 即气兰一长解得0 解不等式可得>3或-1≤<0， 又t∈Z,故选AD 又2)=景2-号=2 山.BD提示：当-号<-1，即a>2时，有 (2)由(1)知fx)=2+2_2x+2 3x=3+3r -3x-a-1K-受， 则f(x)在（一∞，一1]上为增函数. 设x<≤一1， f(x)= +a-1,-<K-1 则)-)=号国-)(1-】 3r+a+1,x≥-1. x1x≤-l, 易得，当x=- 号时心x=/(-号）=号-1=3. a-<0>l11->0 可得a=8. ∴f(x1)-f(x)<0,即f(x1)<f(.), 当-号>一1，即a<2时有 .f八x)在（一，-1]上为增函数， -2x-1<2, 3x+a+l>-号， 16.(1)由题意知 -2<3-2x<2, f(r)= -xa+l,-l长≤-号， -1x3 -3r-a-1.x<-1 易得，当x=-号时.f(x)m=f(号)=-号十 故函数gx)的定义域为（号，号）】。 1=3,可得a=-4, (2)由g(x)≤0得f(x-1)+f3-2r)≤0， 综上可得，所求a的值为一4或8 ∴f(x-1)≤-f(3-2.x). 12.2.提示：幂函数f(x)=(m一n一1)xm在区间 :f(x)为奇函数，.f(x一1)≤f(2x一3). (0,十∞)上单调递增， 又，f(x)在区间（一2,2）上单调递减， x-1≥2x-3 ①当0≤60-1<40，即20<1≤60时， 解得号<≤2. h()=f(t)十g(60-1)=-F+2801+200(60-1)= -2+801+12000=-(t-40)+13600. ∴g(x)≤0的解集为（分2] 所以当=40时，h()有最大值13600. 17.(1)f(x)在区间[一1,1门上单调递增.证明如下： ②当40≤60-t≤60，即0≤1≤20时. 任取.x∈[-1.1，且<，则-x∈[-1,1]. h(t)=f)+g(60-t)=-f+280t+150(60-t)+2000 :f(x)为奇函数， =-t+1301+11000. .f(x)-f(x)=f()+f(-)= 因为h(t)图象的对称轴为直线1=65。 f)+f-).m- 所以当0≤≤20时，h(t)是增函数， n十（一x) 所以当1=20时，h()有最大值13200. 由已知条件得二>0，又：五一<0， x1十(-型) 因为13600>13200，所以阅读量h(1)的最大值为 ∴.f(n)-f(x)<0,即f(n)<f(). 13600,此时对经典名著”的阅读时间为40分钟，对 ∴.f(x)在区间[一1,1门上单调递增. “古诗词”的阅读时间为20分钟， (2),f(1)=1,f(x)在区间[一1,1门上单调递增， 19.())=一(x一罗）-m+年，则最大值一m+ .在区间[-1,1门上f(.x)≤1. 0,即r2一4m=0,解得m=0或m=4. :f(x)≤m-2am+1对所有的a∈[-1,1恒成立， ∴.m2-2am+1≥1. (2)函数f代.x)图象的对称轴是x=受，要使f(x)在 即m2一2am≥0对所有的a∈[一1,1]恒成立. [一1,0]上单调递减，应满足受≤-1，解得m≤-2. 设g(a)=-2ma十m2, ①若m=0.则g(a)=0>0,对a∈[-1,1]恒成立. (3)①当号≤2，即n4时，在[2,3]上单调递减 ②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对 若存在实数m,使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，则 a∈[-1,1门恒成立，必须有g(-1)≥0，且g(1)>≥0. f（2)=3, -4十2n-m=3, ,∴，1≤一2或m≥2 此时m无解。 f(3)=2, -9十3m-m=2. 综上所述，实数m的取值范围是{mm=0或m≥2或 n≤-2. ②当号≥3，即m≥6时，x)在[2,3)上单调递增，则 18.(1)因为f(0)=0,所以可设f()=a+bt. 1f(2)=2, -4+2m-m=2, 即 解得m=6, 代人(10,2700)与(30,7500)，解得a=-1,6=280. f(3)=3. -9+3m-m=3, 所以f(t)=-2+2801. ③当2<g<3,即4<m<6时，f(x)在[2,3]上先单 又令g1)=k(01<40),代入(40,8000)，解得k=200. 令g()=1+n(40≤t≤60)，代入(40,8000)，(60， 调递增，再单调递减，所以(x)在一受处取得最大 11000),解得m=150,n=2000, 2001.0≤1<40， 值，则/（受）=-（受）广+m·受-m=3,解得m 所以g(t)= 11501+2000,40≤1≤60. -2或6，名去. (2)设每天阅读量为h(1),小明对“经典名著”的阅读时 综上可得，存在实数m=6,使得f(x)在[2,3]上的值 间为t(0≤≤60)，则对“古诗词”的阅读时间为60一1. 域恰好是[2,3]. -42