第1章 集合与常用逻辑用语 单元学能测评-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

单元学能测评 满分：150分时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 6.设a,b∈R且ab≠0，则“ab>1”是“a>方 ”的 分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是 ( 符合题目要求的， ）. 1命圈“3x∈R,r+≥2”的香定形式是 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 A.VrER.r+1>2 D.既不充分也不必要条件 7.(2024·河南南阳一中月考)设函数y=一 B 3ER+1<2 x一1，若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}， C.3.x∈R,x+1>2 y一m十4恒成立，则实数m的取值范围为 (). D.Hx∈R,x+1<2 Am<号 2.若A={1,4,.x},B={1,x2}且B三A,则x= &0Sm<号 (. C.m<0或0m<号 D.m≤0 A.士2 B.±2或0 8.记实数t1,x4,…,xn中的最大数为max{x1, C.士2或1或0 D.士2或士1或0 x2,…,xw},最小数为min{,x2,…,x.}.已 3.设集合A={0,1,2},B={mm=x+y,x∈ 知△ABC的三边边长分别为a,b,c(a≤≤c),定 A,y∈A},则集合A与B的关系为( A.A∈B B.A=B 义它的领斜度为1=mx会，名}： C.BCA D.ACB mn台，名，台，则1=1r是△ABC为等边 4.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B= 三角形”的( {2,3,5},则图中阴影部分表示的集合的真子 A.必要不充分条件 集有( ). B.充分不必要条件 B C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A.3个 B.4个 C.7个 D.8个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 5.(2020·山东聊城高一期末)若x,y∈R,则 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 x>2,x+y>4, 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 是 成立的( y>2xy>4 分，有选错的得0分. A.充分不必要条件 9.已知集合A={yy=x2+1},集合B={(x, B.必要不充分条件 y)y=x2+1),下列关系正确的是(). C.充要条件 A.(1,2)∈B B.A=B D.既不充分也不必要条件 C.OA D.(0,0)EB 14 10.(2023·山东济南外国语学校高一段考)一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 元二次方程x2一1.x十2n一3=0有两正数根 文字说明，证明过程或演算步骤 的充分不必要条件是() 15.(13分)已知命题p:“Vx∈{x1≤x≤2}， A.1=2 B.n=5 x2-a≥>0”，命题q:“3x∈R,.x2+2a.x+4 C.n=8 D.n=12 0”,若命题p和命题q都是真命题，求实数 11.由无理数引发的数学危机一直延续到19世 a的取值范围. 纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续 性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无 理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立 在严格的科学基础上，才结束了无理数被认 为“无理”的时代，也结束了持续2000多年 的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分 割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子 集M与N,且满足MUN=Q,M∩N=☑，M 中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则 称(M,N)为戴德金分割.试判断，对于任一戴 德金分割(M,N),下列选项中可能成立的是 (). A.M没有最大元素，N有一个最小元素 B.M没有最大元素，N没有最小元素 16.(15分)设集合A={xa-1<x<2a,a∈ C.M有一个最大元素，N有一个最小元素 R},不等式x-2x-8<0的解集为B D.M有一个最大元素，N没有最小元素 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (1)当a=0时，求集合A,B. 12.集合A={a2,a十1，-3}，B={a-3,2a-1, (2)当AUB=B时，求实数a的取值范围. a2+1},若A∩B={一3}，则a的值是 13.已知p:x<-1或x>3;q:r<3m十1或x> 十2.若p是q的充分不必要条件，则实数 m的取值范围是 14.在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数 组成一个“类”，记为[k],即[k]={4十kn∈ Z,k=0,1,2,3.给出下列四个结论 ①2021∈[1]：②-1∈[1]：③Z=[0]U[1] U[2]U[3]:①“整数a,b属于同一·类”的 充要条件是“a一b∈[0]”. 其中正确的结论是 (填所有正确的 结论的序号). 15 17.(15分)已知命题：“x∈{x一1≤x≤1}， 19.(17分)给定数集A,若对于任意a,b∈A,有 都有不等式x一x一m<0成立”是真命题. a十b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合. (1)求实数m的取值集合B. (1)判断集合A=(一4，-2,0,2,4}，B={x (2)设不等式(x一3a)(x一a一2)<0的解集 x=3k,k∈Z)是否为闭集合，并给出证明. 为A,若x∈A是x∈B(注：(1)中的集合 (2)若集合A,B为闭集合，则AUB是否一 B)的充分不必要条件，求实数：的取值 定为闭集合？请说明理由。 范围. (3)若集合A,B为闭集合，且A至R,B军R, 求证：(AUB)R. 18.(17分)已知两个关于x的一元二次方程 m.x24.x+4=0和x2-4m.x+4m2-4m-5 一0，求使得两个方程的根都是整数的充要 条件. 16定为“任意”，“不等于”否定为“都等于”.命题“存在一 整除”，是假命题 个三角形，内角和不等于180”的否定为“任意三角形， (3)命题的否定是“任何一个梯形的对角线都不互相平 内角和都等于180°”，故选B. 分”，是真命题 4.C提示：方法一由题意知，3x∈R,.x+(a一1)x十 (4)命题的否定是“存在一个数能被8整除，但不能被4整 1<0.则4=(a-1)2-4>0, 除”，是假命题 ∴.(a-1)>4.解得a>3或a<-1. 9由3r一10得≤号，设集合A={x≤写 方法二由题意知.“3.x∈R,x2+(a-1)x+1<0”的 否定“Vx∈R,x2+(a一1)x十1≥0"为假命题. 由不等式x2+(a+1D.x十a0得(x十1)(x十a)0. 当Hx∈R,xr2+(a-1)x+1≥0为真命题时，△=(a 设集合B={zx(x+1)(x十a)≤0}， 1)2-40, 且由题意知B二A ,.(a-1)2≤4，解得-1≤a3, ①当a=1时，B={xx=-1},满足二A ∴.Vx∈R,x十(a一1)x十1>0为假命题时，a的取值范围 ②当a>1时，B={x一a≤xr≤-1，满足B二A 为a<-1或a>3. ③当a<1时，B={x-1≤x≤-a},要使B二A, 5.AB提示：：3.x∈M,.>3为假命题， ,Hx∈M,3为真命题， ∴.MCx≤3. 综上可得。>-子 又：lx>x,即x0 10.假设存在整数m,使得命题“Vx∈R,m一m<z2+ 且Vx∈M.z>x为真命题， x十1”是真命题 '.MG{xl<0. 对于VrER.r++1=(+)厂+≥， 综上可得M二{xx<O. 6.{aa≤-5).提示：，“3.x∈R,使得不等式x2一4r一a 所以m-m<是，解得一号<m<受 1<0”不成立，则不等式x2-4x-a一1≥0对Hx∈R恒 故存在整数m=0或1，使得命题“Vx∈R,m2一m< 成立 x十x十1"是真命题. 分离参数得a≤x2一4r一l,对Vx∈R恒成立. C拓展拔高练 .a≤(.2-4x-1)mn 1.(1)该命题是全称量词命题. 又，x2-4x-1=(x-2)-52-5. 当a=0,b≠0时方程无解，故该命题为假命题. .(x2-4x-10=-5,∴-5. (2)该命题是存在量词命题. 7.a>只。提示：原命题的香定为VxE1<<32 :x2-2x+3=(.x-1)2+2≥2， ax十1<0”，此命题为真命题 令y=r2-a.r+1, 故该命题是假命题。 当x=1时，y=1-a+1≤0，解得a≥2. 当=3时=9-十1<0，解得a≥号 单元学能测评 综上可得。>号 1.D 2.B 3D提示：集合A={0,1,2,B={mm=x十y,x∈ 8(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m,方程x2十 Ay∈A={0,1,2,3,4,∴ACB x十m=0都有实数根”，其否定为“存在实数m,使得.x2十x 4.C提示：，集合U={1,2,3,4,5},A=1,3,5},B= 十m=0没有实数根”，注意到当4=1-6<0，即m>} 2.3,51. 时、一元二次方程没有实数根，因此其否定是真命题 A∩B={3,5),图中阴影部分表示的集合为 (2)命题的否定是“存在末位数字是0或5的整数不能被5 C(A∩B)=(1,2,4}. 10 图中阴影部分表示的集合的真子集有2一1=8 △=m2-4(2n-3)≥0， 1=7个. 两个正数根，则有x十=>0， x1x=2n一3>0， (n-2)(n-6)≥0， n>0. 是<r2或n≥6 3 D立 x>2, x+y>4, 5.A提示：当 时可以推出 y>2 xy>4. 设A={a是<r≤2或n>6, 取 x+y>4, |x>2, 满足 但是不满足 2∈A,5年A,8∈A,12∈A,故选ACD y=5, xy>4, >2. 11.ABD |x>2,x+y>4, 12.-1.提示：A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a 所以 是 的充分不必要条件。 y>2ry>4 1,a2+1}.A∩B={-3},∴a-3=-3或2a-1= 6.D提示：若“ab>1”,当a=一2，b=一1时，不能得到 -3或a2+1=一3，解得a=0或a=一1. a>方”：若0>名”，当a=1,6=-1时，不能得到 将a=0代入，得A={0,1,一31，B={-3,-1,1},此 时A∩B={1,-31,不符合题意： 6>1几故ab>是。>的概不充分也不必要条件。 将a=-1代入，得A={1,0,-3,B={-4,-3,2}, 此时A∩B={一3}，符合题意.故a=一1. 7.A提示：由题设知y<一m十4在x∈{x1≤x≤3}上 恒成立等价于mx一x十n一50在x∈(x1≤x≤3} 1-号<m<分 提示：因为p是g的充分不必要条 上恒成立。 件，所以集合{xx<-1或x>3}是集合{xx<3m+ 由mx2-x十m一5<0分离参数得m(.2一x+1)<5, 3n+1>-1, 1或x>m十2}的真子集，故 5 m十23， 六m<r+在re{xl长r≤3上恒成立. 解得号<m<1. 又：x-+1=(x-)'+,13. 又因为3m+1长m+2,所以m≤号 ∴.(.2-x+1)m=32-3+1=7, ()=号，m<号 综上可知，号<m分 14.①③④. 提示：对于①，，2021=4×505十1，则 8.A提示：当△ABC是等边三角形时，a==c, 2021∈[1]，故①正确. =m8后}m号名}=1x1= 对于②，：一1=4×(-1)十3，则一1∈[3，故②不正确 .“1=1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件 对于③，：任意整数除以4，余数可以且只可以是 0,1,2,3四类，则Z=[0]U[1]U[2U[3],故③正确. a<e,mxg,后}=台又：1=1. 对于④，若整数a,b属于同一“类”， 则整数a,b被4除的余数相同，可设a=4m1十k,b 4n+k,h,e∈Zk∈{0,1,2,3}， c或b=a,由此可知△ABC为等腰三角形，而不能推出 则a一b=4(m一m),故a-b∈[0]. △ABC为等边三角形， 若a一b长[0]，不妨令a=4m十k1,b=4h十(，m∈ .“=1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件 Z,k,∈{0,1,2,3)，则a一b=4(h一)十(k一2)， 9.ACD提示：集合A中的元素是数，集合B中的元素 显然一∈Z,k1一|∈(0,1,2,3，于是得 是点的坐标，显然A≠B. k21=0, 10.ACD提示：设，是方程°一.x+2n-3=0的 k=,即整数a,b属于同一“类”.故④正确. -11 15.若Vx∈{x1≤x≤2}，x-a0,则a≤x2,所以a≤1. 又：-子<m≤1，m=-1或1或-之或2 若3x∈R,x2+2ax+4=0,则△=(2a)2-160, 当m=一1时，第一个方程可化为x十4x一4=0，其 解得a≤一2或a2 根不是整数： 因为命题p和命题q都是真命题， 当m=1时，两方程的根均为整数： a>1, 所以 a>1, 或 所以a≥2. a≤-21a≥2， 同理，经检验m=士号时，均并不满足方程的根为整数 16.(1)当a=0时，A={x-1<x<0), ,.两方程的根均为整数的充要条件是m=1 x2-2r-8<0=→B=(x-2<xr<4. 19.(1)因为4∈A,但是4十4=8任A,所以A不为闭集合. 任取a,b∈B,设a=3m,b=3n,m,n∈Z. (2)当AUB=B时，A二B,则有： 则a+b=3m+3n=3(m+n)且m十n∈Z, 当A=心，即2a≤a一1，即a≤-1时，符合题意： 所以a十b∈B. 当A≠必，即2a>a-1,即a>-1时， 同理，a一b∈B,故B为闭集合， 有/0-1公-2 解得-1<a≤2. (2)结论：不一定. 2a≤4， 令A=(xx=2k,k∈Z,B=(xx=3k,k∈Z1, 综上所述，a≤2. 则由(1)可知，A,B为闭集合，但2,3∈AUB,2+3= 17.(1)由命题"Vx∈{x一1≤x≤1}，都有不等式x2一x 5AUB, 一m<0成立”是真命题，得x2一x-m<0在-1≤ 因此AUB不为闭集合. ≤1时恒成立， (3)证明：（反证法）若AUB=R, .n>(x2-x)s,得m>2,即B={mm>2. 则因为AR,存在a∈R且a任A,故a∈B. 同理，因为BR,存在b∈R且b廷B,故b∈A, (2)不等式(.x-3a)(x-a-2)0. 因为a+b∈R=AUB,所以a十b∈A或a+b∈B. ①当3a>2十a,即a>1时，解集A={x2十a<x< 若a十b∈A,则A为闭集合，a=(a十b)一b∈A,与 3a),若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B aEA矛盾： 的真子集， 若a十b∈B,则B为闭集合，b=(a+)一a∈B,与bEB ∴.2+a≥2，此时a>1: 矛盾. ②当3a=2+a,即a=1时，解集A=0,满足题设条件： 综上，存在c∈R,使得CEAUB. ③当3a<a十2，即a<1时，解集A=(x3a<x<2+ ..AUBR. a},若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则有3a≥2， 第二章一元二次函数、方程和不等式 此时子<a<1. 2.1等式性质与不等式性质 综上可得a>号 变式训练答案 18.:mx2一4x十4=0是一元二次方程，∴m≠0. [变式】比提示：由日<名<0可得6a<0,显然 又另一方程为x2一4m.x十4m2一4m-5=0,且两方程 选项A不正确： 都要有实根， 因为b<a<0,所以ab>0,a十b<0所以ab>a十b,故 141=(-4)2-16m0, 选项B正确： 因为a<0,所以b>a,故选项C正确： △：=16r-4(4m-4m-5)≥0 解得一<m<1 因为a<0,所以0，a一>0，可得ab-?=b(a一b) ,两方程的根都是整数，∴其根的和与积也为整数， <0,即ab,故选项D不正确. 品ez. [变式2]方法一（作差法），x>0,.1十x>1, 母4m∈Z 六1+艺-+7=+中起 4m2-4m-5∈Z, =1+x-2++1 m为4的约数. 2 -12