5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

5.5三角恒等变换 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 基础过关练 测试时间：20分钟 (2)求f(x)在区间[0，受]上的最大值和最 1[题型号os。+号n。可化为( 小值. A.sin(g-a】 B.sin(-a) C.sin(a) D.sin(+a) 5元 2.[题型3] 1-tanam主=( 十tan在 tan 12 4③ 3 B号 C.-3 D.3 3.[题型4函数y=sin(2x+年)十sin2x-牙》 乃综合提能练 测试时间：20分钟 的最小值为(. 1.[题型4]函数f(x)=cos2.x+2sinx的最小值 A.2 B.-2 C.-√2 D.3 和最大值分别为( 4.[题型4]函数f(x)=sinx十3 sin xcos r在 A.-3,1 B.-2,2 区间[于，受]上的最大值是( ). C-3,2 D-2号 A.1 & 2.[知识，点1门在△ABC中，已知sin(A一B)cosB+ cos(A-B)sinB>1,则△ABC是(. c多 D.1+3 A.锐角三角形 B.钝角三角形 5.[题型1若a∈(o,)sin(牙-a)=名，则 C.直角三角形 cos 2a= D.等腰非直角三角形 3.[重难，点2]若tana>0,则(）. 6.[题型3]若cos(e十B)=号，os(a-)=号，则 A.sin a0 B.cos a0 tan atan B= C.sin 2a0 D.cos 2a0 7.[重难点2](2019·北京卷)函数f(x)= 4.[题型3]已知tana和tan(空-a)是方程ax sin22.x的最小正周期是 十bx十c=0的两个根，则a,b,c的关系是 8.[重难点2]已知f(x)=cosx-2 sin .roos (). sin'x. A.b=a+c B.2b=a+c (1)求(x)的最小正周期. C.c=b+a D.c=ab 26 5.[题型1]4cos50°-tan40°=(). 1.[重难点1]已知函数f(x)=sin(3x+): A.2 B2+③ 2 (1)求f(x)的单调递增区间. C.3 D.22-1 (2)若a是第二象限角，f(号）=专cos(a+ 6.[题型1已知在△C中，mA=号mB= ）os2a,求cosa一sina的值 品则osC的值有 个. 7.[题型4已知a为第二象限角，a十csa- 3 则cos2a= 8.[题型1]已知cos(a+)=-子，c0s2a= 一是e,9均为锐角，则5ma-) 9.[重难点1门已知函数f(x)=2sim(于+x） C拓展拔高练 测试时间：20分钟 1.(清华大学自主招生)求sim10°+sin50°+ 3cos2.x-1,x∈R,若函数h(.x)=f(x十a)的 sin70°的值. 图象关于点(-吾，0）对称，且a∈(0，x),则a = 10.[题型4]已知函数f(x)=(a十2cos2x)· cos(2x+)为奇函数，且f(于)=0，其中a∈ R,0∈(0，π). (1)求a,0的值. (2)若f)=号∈（受求m(+》 2.(华约联盟自主招生)已知函数f(x)= 的值。 号(eosr-mr)sm(停+）-2 Dasin+b (a>0)有最大值1和最小值一4，求a,b的值. 27吾解得。一是 因为平≤r≤受，所以晋<2：-吾≤音 5.5三角恒等变换 从面可得f)=1+名-是 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 336 真题演练答案 5.626 提示：因为ae(0.平），所以平-ae(0,于) 1.D2.D 所以@（停-a)=√-m(语-a)-碧 3.A提示：，3cos2a-8cosa=5, .3(2cos2a-1)-8cosa=5, 又因为m(年+a)=sim[登-（任-a)] .6cos'a-8cos a-8=0, .3c0sa-4c0sa-4=0, =cos(年-a小， 解得oa=2X含去减s。=一导 os(臣+a）=os[吾-（径-a)]=m(任-a), “aE0,,a=厂o0-写 所以os2a=cos[(子+a）-(年-a)] 4子提示：im(+a)=号 =os(年+a)s(开-a)+sn(年+a)sm(年-a) 1m（登）名，止-号得如么专 =2sin(年-a)os(年-a） 3 2 5.受（符合2kx+受，k∈乙都可以，答案不唯一. 提示：as(a+》=asas-sin asin产方，① 提示：易知当y=sin(.x十9)，y=cosx同时取得最大 值1时，函数f(x)=sin(x+)十cosx取得最大值2， cos(a-=s计sin asin=是 放sin(x十g)=cosx,则9=受十2kx,k∈乙，故常数9 由①②得cos acos 8= sin asin-, 2 的一个取值为受。 故tan atan- sin asin B 1 cos acos B2· 6.-4提示：fx）=sin(2x+）-3cosx 7.变.提示：fx)=sim2x-4。 2 =-cos 2.r-3cos x ∴x)的最小正周期T-华-受 =1-2cos'r-3cos x 8.f(x)=cos'x-2sin xcos r-sin'x =-2(osx+是)广+ =cos2x-sim2x=√2cos(2x+至)： ,cosx∈[-1,1]， .当cosx=1时，J(x)取得最小值，f(.x)n=一4， (1)fx)的最小正周期T=经=元 练习册答案 (2由xe[0,受]可得2x+∈[，]， A基础过关练 1.C2.A3.C 所以-1<ms(2x+)<号. 4c提示：)-受2+号2红 2 即f()∈[一瓦，1]，所以f)在区间0，受]上的最 大值为1，最小值为一②. B综合提能练 =sim(2r-晋)+号 1.C2.C3.C -26 4C提示：由根与系数的关系知，tama十tm(不-a)= 9.交.提示：因为f)=1-0s（号+2x)一3c0s2x-1 且an atan(开-a）=&, =sin2x-√3cos2x=2sin(2x-5） 融m景[（子-小1子 b 所以h(x)=fr+a)=2sim(2x+2a-受) 则2×(-吾)+2a-号=kmk∈D, 所以一合=1一台，即(=a+6 因为a∈(0，x).所以a=受， 5.C提示：原式=4sin40°-sin40 10.(1)因为f(x)=(a+2cosx)cos(2.x十0)是奇函数，而 c0840 =4sin40cos40°-sin40°_2sin80°-sin40 h=a+2cosx为偶函数，所以为=cos(2x十0)为奇 c0s40 c0s409 函数.又e(0,x,所以0=交，所以f)=一sm2r· _2cos10°-sin40°_2cos(40°-30°)-sin40° c0840 c0s40 (a+2sx.由f（于)-0得-(a+1)=0,即a=-1 2(cos 40'cos 30"+sin 40'sin 30)-sin 40 cos 40" (2由D得x)=-之sn4r -8cos40=5. C0540 因为f(骨)）=号n。=一号所以m。=告 62提示：如A=号→0sA=士号，osA十 又aE(受)小.从面s。=-子， cosB=士号十是>0均成立.放c0sC有两个解. 所以有sin(a+苓）=sin acs吾十cosasin琴 提示：由血a十。一号两边平方。 得1叶血2a-分m2么-号 1山.(D因为函数y=mx的单调递增区间为一受十 因为a是第二象限角，所以sina>0,cosa<0. 2kx,受+2kx,k∈Z由-号+2kx≤3xc+开≤受+ 所以cosa-sina=-√(cosa-sina)= -v√1-sm2a=- 压，所以cos2a=cosa-sina= 2.得-受+<K叠+警，2 3 (s十如om。如0-号x(-零）=号 所以函数)的单调递增区间为[-平+，音+ 8102-12 Z 39 提示：因为a,g均为锐角，所以a十长(0，)， (2由已知有f(号)=sin(a+年)=号cos(a+ 2a∈(0，.由c0s(a+=-3cos2a=-3: 于）(cos2a-sina, 易知sma+》-√-（言）-. 所以sin s吾十0 s asin普=专(吾 如2a-√-()-晨 sin asin开）(cos&-sima, 所以sin(a-)=sin[2a-(a+3)]=sin2as(a十3 ms2ama+0=指×(-号)(-音)×22- 即sina+cosa=言(cosa-sina产(sina+cosa. 当sina十cosa=0时， 102-12 39 由a是第二象限角，知a=+2km,k∈乙 -27 此时，cosa-sina=一√2. 解得a=√5-1（舍去）或a=一5-1（舍去）. 当sima十cosa≠0时，有(cosa一sina)=三 4 综上可得a=冬一1 由a是第二象限角，知cosa一sina<0, 5.5.2简单的三角恒等变换 此时cs。一血。=一气 变式训练答案 提示：x∈(0，x), 综上所述，。一sm。=一E或-号， [变式山（竖》 C拓展拔高练 “e(o.受) 1.sin10°+sin50°+sin70 y=-co 1十cosE √2sin2 =cos280°+c0s40°+cos20 2 2 2 -(+160)'+(+0)'+(+受0) 2 2 =3+2ms160+2ms80+2ms40+m160+ cos80°+c0s40) ∴y=sm（受-)，此时号-平∈(-平，牙)， -号+号(-as2w+as80+os409十 y=如（告）(-号号)， (+g0+1±160+1+80) 2 2 :函数y=,s工-，s正的值域为 2 2 (os 80+cos 40cos 20) (9》. =号+g[cas(60+20)+eas(60-20)-6ms20] [变式2]C提示：sin20°+sin40°+sin60°-sin80°= =号+号(2as60cs20°-cos20 2sim30c0s10+sim60-sim80°=2X号×sim80+ sn80-号 2)-号cw血pa(停+）-2asn+h [变式3】A提示：na十0m(am=-之ms2a (o-sin:)-2usinh cos23)=- [(2cosa-1)-(2cos B-1)]-co5 8- =号1-2simx)-2 asin+b --(sinx+a)'++d+h [变式4)头.提示：由血a十血g子msa十s 当a≥1时，f(x)的最小值等于f(受)，最大值等于 号得，m字号w学 2C05 2 3 (-受) 两式相除得m空-是则面a十印 2 1-taratp 2a+62=-4, 依题意得 解得 2a+6=1 b=-1. 1-() -2a+6=-4 真题演练答案 当0<a<1时，依题意可得 1-是 -28