4.3 对数-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

4.3对数 A基础过关练 测试时间：20分钟 B综合提能练 测试时间：30分钟 1.[知识点1,2(2024·江西南昌三中高一期中)已 1[装1.2☒化简g8e 的结果是(). 知3=2.1og是 =y,则2x十y的值为 A司 B.1 C.2 D.4 2.[题型4]若x,y∈R,且2=18'=6”，则x+y A.1 B.2 C.3 D.9 为( 2[知识点1,2已知a=(侵)6=（得）。 A.0 B.1 c=lcg多，则a6c的大小关系为( C.1或2 D.0或2 -lg x0, A.c<a<b B.c<<a 3.[题型1门已知fx)= 且f(0)=2, d+b,.≤0， C.a<K<c D.b<a<c f(-1)=4,则f(f(-2)=(). 3.[题型1]计算：lg5×1g20+(lg2)2=( A.-1 B.2 C.3 D.-3 A.2 B.2+21g3 4.[题型1]已知函数f(x)=ln(√1+9.x-3x)+ C.2+2lg2 D.1 4.[题型3]已知函数f(x)=log2(x+1),若 1,则fg2)+f(g）=( f(a)=1,则a=( A.-1 B.0 C.1 D.2 A.0 B.1 C.2 D.3 5.[题型1]已知f(logr)=x+270,那么f(0)+ 5.[题型3]若log[log4(1og2.x)]=0,则x= f(1)+…十f(6)= 6.[题型3]如果方程lgx+(lg7+lg5)lgx+ 6.[题型3]若xlog3=1,则3+3= lg7×1g5=0的两个根是a,3,则a3的值为 7.[题型3]方程9-6·3一7=0的解是 7.[题型1]定义a②b=a+b青，a*b=lga2- g,若M=号®N=巨*云，则M+N 8.[题型1、2]计算： (1)(2022·天津卷)(2lo%3+log3)(1og2十 ,M·N= 1og2). 8.[题型2,41)i计算：lg云×1og号×1g (2)lg4+2lg5+log8+8. (2)已知logs9=m,log5=,试用m,n表示 (3)5×5e5-1log7×log9+log126+log122. 1og12. 6 9.[题型3]解下列方程： 11.[题型4]设.x.y,之均为正数，且3=4=6. (1)og(x+4)十log(x-1)=1+og(x+1). (1)试求x,y,z之间的关系 (2)1g(2+2.x-16)=x(1-lg5). (2)求使2x=y成立，且与p最近的正整数 (即求与p的差的绝对值最小的整数). (3)比较3x,4y,6的大小. C 拓展拔高练 测试时间：20分钟 10.[题型3、4](2024·南昌二中期中测试)已知 1.(2016·全国高中数学联合竞赛一试(A卷)) 二次函数f(x)=(lga)x2十2.x十4lga的最 正实数u,u,w均不等于1，若log0+log 小值为3，求(1og5)2+log2·1og50的值. =5,1og十logv=3,则1og.w的值为 2.方程x血3十x血4=x5的正实数解的个数为 多少？ 7,.(x-1)2=x+5,即x2-3.x一4=0. ln2≈0.69，l-14≈1.8. 解得x=一1或x=4 5.A提示：依题意可设天狼星的星等为m,天狼星的亮 经检验，x=一1不合题意，故含去： 度为E,太阳的星等为2，太阳的亮度为E, x=4是原方程的解. 则由-m=受e得-267+1.45=号是 .原方程的解是x=4 [变式4]当a=1时，左边=右边=0. =-10.1,lgE :.g E =10.1E =10. 当a≠1时，lag+a+lbg.-a=ig.（c+b十lg(一) 1 练习册答案 lg一+gc士h=lg[c-bc+]-10ga· A基础过关练 lg.(c+b)·lg.(c—b) 1 1 g中a'0g-nd 1.B2B3D4B5E.6早 7.log 7. log+6a·loge-a=2og-a·log-a,即等式 成立， 8.(1D原式-(2×号1og3+号1og3)(log2+号1og2) 综上，logu+a十log-ba=2loge+a·loge-na 号g3x号g2=2 真题演练答案 (2)1g4+21g5+1log8+8=1g100+1og2+2=9. 1.D提示：因为a=31,6=(号)“=，所以b> (3)原式=X5后-10g7X1og3+1log212 a>1.又因为0c=log0.8<log0.7=1,所以b> >c. =1×/5-21og7×1og3+1 5 2.B提示：a+b=log:0.3+1og0.3=g3 + =1-2+1=0, g31=(0g3-1)×g2-1)1g2 lg4一1 B综合提能练 lg 2 2g(100ga)_2[lg100+lg(lga] 因为lg2-1<0,g2>0,lg3-1<0,lg4-1<0, 1.C 提示：原式= 2+lg (lg a) 2+lg (lg a) 所以g3-DX0g整兰g20.则a+6a =2. 2.D提示：令2=18=6=k, 因为a>0.b<0,所以ah<0.a中=1+1 aba方-log03 =logk,y=logisk,y=log, Tog:0.3-kog30.2+log2-loga0.4<og30.3=1, 1 ..ry=log klogu=log. 根据换底公式得 即士步<1.因为ah<0,所以ab<a+bK0. g专.g5g冬gk=0或gg218 Ig 2 Ig 18 Ig 6 1g 6 3.2.提示：依题意1og(91-5)=1og(4·31-8). 当gk=0时，k=1,x=0且y=0,故x十y=0: 所以91-5=4·31一8， 令3=(10)，所以一4+3=0，解得1=1或=3 当g-g2g18时. lg 6 当=1时，31=1，所以x=1,而9-1-5<0， 所以x=1不合题意，舍去： log.og 当t=3时，31=3，所以.x=2.92-1-5=4>0. =gk.g2牛g18_lg2lg18×g(2X18》=2 lg 2lg 18 Ig 6 lg 2lg 18 31一2=1>0，所以x=2满足条件， g r,x>>0. 经检验x=2是原方程的解。 3.A提示：fx) 且f0)=2.f-1)=4, 十b,ar≤0， 4.B提示：R=1+rT,.3.28=1+6r, 1f(0)=a°+b=2, ..r=0.38. f-1)=a1+b=4 解得=1a=子 (I()=, -lg x,r>0, 若1()=e0,则e与)=2,0.38(tg一4） ..f()= 1(tg)=21(). (3广+1≤0. -6 六-2)=（分）厂+1=10. x+4>0, x-1>0, f(f(-2)=f(10)=-g10=-1. 故有 解得x=2. x+1>0, 4D提示：g2,g之互为相反数，由已知得（一） (.x+4)(x-1)=2x+2, =ln(√/1+9.x+3x)+1, 所以原方程的解为x=2, (2)因为g(2+2x-16)=x(1-g5)=xg2=g2, ∴f)+f-x)=2.f(g2)+f(g2)=2. 所以原方程可化为2+2x一16=2，则2x=16,x=8. 5.2017.提示：：f(ogx)=x+270=2+270, 10.f(.x)=(lga)x+2x+4lga的最小值为3. ∴.fx)=2+270.由此得f(0)+f(1)+…+f(6)= lg>0,um=f(-a)=lga‘0ga+2, 1 2°+2+…+2+270×7=2017. 提示：将gx看成是一个整体，所以方程gx十 （一ga)+gu=ga。=3 (lg7+lg5)gx+g7g5=0可以看成是关于gx的 即4(lga)2-3ga-1=0, 二次方程。 ∴.(4ga+1)(lga-1)=0,则ga=1,∴.a=10. 因为a,是原方程的根，所以ga,g3可以看成是关 .log.5 )2+log.2log.,50=(Ig 5)2 +Ig 2lg 50= 于gx的二次方程的根， (lg5)2+g2(1g5+1)=lg5(1g5+lg2)+lg2=1. 由根与系数的关系得lga十gB一(g7+g5)= 11.设3=4=6=t,由x,y,均为正数知1>1. 一g35=g高，即lg(a0=g高 故取以t为底的对数，可得g3=3g4=g,6=1 1 1 1 所以时高 log 3log4log6 提示：M=®品=（得）+（品）=哥 (1)log 6-log 3=log2 log4 7.54. +号=4，N=2*言=gw2r-s(宗)产=g2 之间的关系为一士一=动 g言=lg2+g5=1,所以M+N=5,M·N=4. 2p-g-忌。·e4=2g=g16 由91627得og9og16<k0g27,从而2<p3. 1 8.0原式g2×g3×g5 log 16-log:log.log,27- =（-2g5)(-3g2)(-21g3) g16=e器 lg 2lg 31g 5 =-12. 5÷器-第>1知5>器。 2m0-号6e8-号×02 p2=g9>g器-8-A g2=品g3 从而所求正整数为3. 又n=log5=lg5. ∴.lg5=nlg3. (3)3x一4y-3og1-4og,1=3g_4g lg 3 Ig 4 g3' 4 、则g2g2g3叶g4g3+3中 -(e0- Ig 5 Ig 5 ng 3 而g>0,lg3>0,g4>0,g4'<lg3,.3<4 37+4 37 又：46y-6=2(2g1-3kg0=2(2g13) （lg4lg67 9.(1)化简方程kg(x十4)+og(x一1)=1+g(x+1), 2lg(2lg6-3g4)2g1(g6-g4) 得log2(r+4)(x-1)=log(2.x+2). lg 4lg 6 Ig 4lg 6 而lg>0,lg4>0,lg6>0,lg6<lg4,4y<6 又y=lOg+p是关于p的减函数， 故有3x<4y<6x 因此，函数log+(8xy十4y2+1)的最大值是1og41=0, C拓展拔高练 最小值是g+青 L青提示：令1ogu=a,og-b.则bg4- [变式】A提示。6一g2-号-言×e2一-2》 logu=方，logu=o+lbg.g=a十ab,条件 =lg8<0a< 化为a+a6+6一-5，+古-3，由此可得ab-亭因此 又kg3-号-号×(3g3-2》=吉e爱>0， g=gbg以-。青 ∴bca<ch 2.先证明aw=c%“,设a=m,c”=n.两个等式的 [变式4]C提示：函数f(:x)=log(3x-a.x+5)在 两边同时都取以b为底数的对数，得logm=loge· [一1，十∞)上是诚函数，由复合函数的单调性判断可 log,a,logn=log.c·log4,则logm=logn, 知，对数部分为单调递减，所以g(x)=3x2一a.x十5在 n=n,即a%=cw, [一1，十o)上单调递增，且g(x)>0, ∴.由xn3+x4=ni,得3十4mr=5,x>0. 2-1 等式两边同时除以5，得（号）广“+（告）”=1. 则 解得-8<u≤-6，即a∈（一8，-一6]. g(-1D>0, :函数y=(号）广“和函数y=(告)广在(0，+∞)上 [变式5]A提示：：fz)=kg.x,正实数m,n(m) 满足f(m)=f(),结合图象可得0<m<1<,且 均单调递减， logm=logsnl. ∴函数y=(号)“+（告）在0，+∞)上单调递 ∴.log3=一logn,∴.log3m十logn=0.解得n=1. 减，且当nx=2,即当x=心时，有（三）广+（号）广=1， 又(x)在区间[m,]上的最大值为2，易知f(m)= 原方程的解只有一个 一l6gm=2,此时m=子n=3m-m=号 4.4对数函数 变式训练答案 [变式1]（一√3w3).提示：：函数f(x)=log(x一 y=log.x刘 2ax十3)的定义域为R, ∴.x2-2a.x十3>0在R上恒成立， .4=(-2a)-12<0,整理得ad2<3,解得-√3<a<3. [变式6](1)设P(x,y)为函数g(x)的图象上任意一 .实数a的取值范围是（一√33）. 点，点P关于原点的对称点为P'(一x,一y. [变式2】“x+2y=，y=}- 已知点P(一x,一y)在函数f(x)=og(x+1)的图象 上，则-y=log(-x十1)，即g(x)=一log(-x+1). 设p=8y+4y+1=4x(号-x)+(号-x)+1 (2)函数f(x)一g(x)为偶函数，理由：f(x)一g(x) =-+r+=-3(-)广+ og(x十1)+log(-x十1)=log(1-x), -x+1>0. 又≥0，y20r+2y=号 其中 x+1>0, ∴号-=20.即≤号 所以函数fx)一g(x)的定义域为（一1,1）， 因为定义域关于原点对称，且f一x)一g(一x)=log(1一 x)=f(x)一g(x),故函数f(x)一g(x)为偶函数. -8