4.2 指数函数-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

4.2指数函数 A基础过关练 测试时间：20分钟 (3)求证：f(x)>0. 1.[题型2]函数f(x)=4+a1(a>0,且a≠1)的 图象过定点P,则点P的坐标为( A.(1,5) B.(1,4) C.(0,5) D.(0,4) 2.[题型1]函数f(x)= /32-1 27的定义域是 (). A.(-2,+o∞) B.[-1,十oo) C.(-o∞，-1) D.(-o∞，-2) 3.[题型2]在同一坐标系中，函数y=ax十a与 y=a的图象大致是(. 乃综合提能练 测试时间：30分钟 1[题型4函数y=(号) 的值域为( A[2+∞） B(-,] C.(-∞，2] D.(0,2] 2.[重难点1]若函数y=a十m-1(a>0)的图 象在第一、三、四象限内，则( A.a>1 B.a>1,且m<0 4.[题型3]设=4=8，为=（）“， C.0<a<1,且m>0D.0<a<1 3.[题型1、2](2023·山东滨州高一期末)已知 则(). A.y>y2>ys B.ye>y>ys 函数f(x)= (日）广其中a>0且a≠1 C.为>y1>y2 D.1>y>% 则下列结论不正确的是(). 5.[知识点1]下列函数中是指数函数的是 A.函数f(x)是奇函数 B.函数f(x)在其定义域上有零点 ①=(3广 ②y=2X3.③y=3-1 C.函数f(x)的图象过定点(0,1) D.当a>1时，函数f(x)在其定义域上为单调 ④y=4.⑤y=3+1. 3-1 ⑥y=3+1 递增函数 4.[题型4](2024·河南新乡县高中模拟)（多选） 6.[题型5]已知fx)=x(21十2） 在人工智能领域的神经网铬中，常用到在定义 (1)求f(x)的定义域. 域I内单调递增且有界的函数f(x),即]M (2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由。 >0,Hx∈I,f(x)≤M则下列函数中，所 3 有符合上述条件的函数有(). 满足（台）=8 A.f(r)= B.fx)=1十x (1)求常数c的值 C.far)-e-e 1 e十ea D.f(r)-lFe (②解关于r的不等武了>号+1 5.[题型3]设函数f(x)定义在实数集上，它的图 象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f(x)= 3一1，则有( A(得)（受）f() Bf(号)f()f(3) c(号)()<) D.f)f(号)f(号】 6.[题型2]已知A,B是函数y=2的图象上相 异的两点，若点A,B到直线y=一的距离相 等，则点A,B的横坐标之和的取值范围是 12.[题型3]设函数f(x)= “,a是不为0 (）. 的常数 A.(-∞，-1) B.(-c∞，-2) 1)若f(3)=号，求使fx)>≥4的x的取值 C.(-1,+∞) D.(-2,+∞) 7.[题型4]若关于x的不等式41<3x-4 范围。 (a>0,且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a (2)当x∈[一1,2]时，f(x)的最大值是16， 的取值范围为 求a的值. 8.[题型4](2023·福建高一联考)已知函数 f(.x)=2一1(x∈R)满足∫(2十x)= f(2-x),且在区间[0，m]上的值域为[0,3]，则 实数m的取值范围为 9.[题型2]（经典·湖南卷）若关于x的方程 |2一2|一b=0有两个不同的实数解，则实数 b的取值范围是 10.[题型5](2024·四川西昌高一期末)已知函 数f(x)=x+2|x|一8，则不等式 f(31-5)≤16的解集是 cx十1,0xc 11.[题型3、5]已知函数f(x) 2+1≤x 4 13.[题型5]已知指数函数y=g(x)满足：g(3) 14.[题型4、5]定义在D上的函数f(.x),若满 =8定义城为R的两数)=干驱品是 足：对于任意x∈D,存在常数M>0,都有 f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界 奇函数. 函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知函 (1)确定y=g(.x),y=f(.x)的解析式. (2)若对任意的t∈[1,4]，不等式f(2t-3)十 数x)=1+a(侵)广+（广 f(1一k)>0恒成立，求实数k的取值 (1)当a=1时，求函数f(x)在（一∞，0）上的 范围。 值域，并判断函数f(x)在（一∞，0）上是 否为有界函数。 (2)若函数f(x)在[0，十o)上是以3为上界 的有界函数，求实数a的取值范围. (3)试定义函数的下界，举一个下界为3的函 数模型，并进行证明。 C拓展拔高练 测试时间：10分钟 1.(2020·浙江数学竞赛)已知a为正实数，且 f(x)=1-1 a一+是奇函数，则fx)的值域为 2.(复旦大学自主招生)y=2号的值域是 5品品 当x>0时，2-1>0，则f(x)>0: 当x<0时，2-1<0，则f(x)>0. “y=1-名在x[-1门上为增函数， 综上可知，f(x)>0. ∴(-名)=(1-品)=是.m≤爱 B综合提能练 L.D提示：由二次函数的性质可知x2-2.x=(x-1)2 真题演练答案 L.B提示：当r<0时.因为e一e<0,所以此时f(x)= 1[一1.+o.因此（合）广 ∈(0,2]，即函数y= 二e<0,故排除AD又f1)=e一1>2，故排除C ()了的值玻为(0,2， 2.C提示：由指数函数y=0.6在(0，十∞)上单调递 2.B提示：y=a的图象在第一、二象限内，欲使其图象 减，可知00.65<0.6<1又1.56>1，所以a<c. 在第一、三、四象限内，必须将y=口向下移动.而当 3B提示：由-)=（号） 一3=一fx),可知函数 0<a<1时，图象向下移动，只能经过第一，二，四象限 或第二、三、四象限，只有当a>1时，图象向下移动才 x)为奇函数因为y=(号）广在R上是减函数y 可能经过第一、三、四象限，故a>1.又图象向下移动不 3在R上是增函数，所以函数fx)=3一（号)）广在 超过一个单位时，图象经过第一、二，三象限，向下移动 一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限.欲使 R上是增函数 图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个 4.一1：(-∞，0].提示：f（x)为奇函数， 单位，故m一1<一1，m<0. ∴.f(-x)=-fx),即e+ae'=-e'-ae‘, ∴.(1+a)eJ+(1+a)e=0,∴a=-1. C提示：f=a-(日广-w-a 由f(x)单调递增，设<x, f（x)的定义域为R,且f(-x)=a一d=一fx), ∴.f代x)为奇函数，且f(0)=0,故选项AB正确，C错误： 则fn)-f)=(e-)(1-e）<0, 当a>1时，0<1<1， e<,1>0.即ue,而e西>0， a≤0. “y=口和y=-(日广在R上均为增函数， 练习册答案 ∴f(x)在其定义域上为单调递增函数，故D正确. A基础过关练 4.CD提示：对于A,f(x)=√无界，不符合题意： 1.A2.B3.B 对于B)=千存=占不单调，不符合题意： 4.D提示：=403=2“，为=8"=2“，为= ()=2 对肝C--品-片21- e2+1 e2+1 :y=2是增函数，且1.8>1.5>1.44， 单调递增，且)(-11D.则1<1，符 218>215>24,即m>y>边： 合题意： 5.①④. 6.(1)函数f(x)的定义域为{xx≠0. 对于Dfx)=1+e单调递增，且fx)∈(0.1)，则 2)=(十号）萱· 1(x)<1,符合题意 5B提示：依对称性有（号）=(1-号）=(1+号) f（-x)=- ∴(x)为偶函数. =(号)（号）=(-3)=(+3)=（待）》 ,2+1 3)f)=·2 又fx)在r>1时为增函数，冬<号<号， -3 ∴（待）()<() 增函数，31-5≤4，.一4≤31-5≤4， 1≤31≤9..0≤x-1≤2，∴.1≤x≤3， 即（号）<f(号)<f(号) .不等式的解集为[1,3]. 6B提示：设Aa,2).2).则2-号=2 1油f(受)=号，得c·专+1=号解得c=号 因为a≠b,所以2+2=1，由基本不等式有2+2 合+10 2√②+开，故2×V2<1,所以a+-2. (2)由(1)得f(x)= 2+1,2<<1 7.(0,2] 提示：不等式4a一1<3.x一4等价于a1< 由/>+1得，当0<K时，1>+1， 是x-1.令f)=w,8)=是x-1h当u>1时 在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图1 解得<< 所示，由图知此时不满足条件：当0<<1时，在同一 平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示， 当号<1时2+1>号+1，解得 8 则f2)≤g2,即a-1≤子×2-1，即a≤号，所以a 综上可知，不等式∫(x)>+1的解集为 的取值范围是(0] 12,(D由3)=之，得10-3a=1,解得a=8 fx)=4 则不等式f代x)≥4可化为2-≥2， f(z)=a ∴.3x一10≥2.解得x≥4. 故x的取值范围是[4，十∞) (- (2)当a>0时，f(x)=2-°是增函数. 又xe[-1,2], 图1 图2 .22-m=16,.2a-10=4,解得a=7. 8.[2,41,提示：因为f(x)满足f(2十x)=f(2-x),所 当a<0时，f（x)=2-"是减函数。 以f(.x)关于x=2对称，所以a=2.函数f(x)=2 又x∈[-1,2]， 一1的对称轴为直线x=2,且在（一o0,2]上单调递减， .2-0=16,.一a-10=4,解得a=-14. 在(2，十∞)上单调递增.由于函数f(x)=21一1在 综上，a=一14或a=7. 区间[0，m]上的值域为[0,3]且函数关于直线x=2对 13.(1)设g(x)=a(a>0,且a≠1)，则a2=8,.a=2. 称，f(0)=f八4)=3，f(2)=0,所以结合图象可知m∈ [2,4. gx)=25，∴fx)=-2 m+2+ 9.(0,2),提示：令2一2一b=0,得2一2引=b,由题 f(x)是奇函数， 意可知函数y=2一2|与y=b的图象有两个交点，结 “f(0)=0,即=0，解得=1. 合函数图象（图略）可知，0<h<2. 2m 10.1,3].提示：函数f(x)=x十2x一8的定义城为 .fx)= 1-2 2+1十m R,关于原点对称，且f(一x)=(一x)+2一x一8= 1 x2+2.x一8=f(x),.该函数为偶函数. 又f-1)=-f1), 1一 _1二之，解得m=2 又f4)=16. 经检验知f(一x)=一(x)恒成立， ∴.原不等式可化为f(3-1一5)≤f(4), 1-2 ∴.f(31-5)≤f(4).又当x≥0时，易得(x)为 ∴fx)=2+2 ②由0咖)-盖-号+中 C拓展拔高练 易知f(x)在R上为减函数. 1(-3. 提示：由f(x)为奇函数可知f(0)=0, 又f(x)是奇函数，f(21-3)十f(t一)>0， .f(21-3)>-f(1-k)=fk-1). 即日0，解得a=2.则x)=一中故 .21-3<k-t,即对一切t∈[1,4,31-3<k恒成立. f)的值域为(-是，受)》 令m(1)=31-3,t∈[1,4]， 易知m(t)在[1,4门上单调递增， 2{>0且呼号}提示：因为一号 .(2)=3X4-3=9,.k>9. 故实数k的取值范围是(9，十∞). （1-是）-名一1≠-1，所以y=2≠2 14.(1)当a=1时， 合，所以值城为>0且≠名}。 )=1+(3广+（骨广-[(2）广+]+是 4.3对数 :f代x)在(-o,0)上单调递减，fx)>f0)=3, 变式训练答案 即f(.x)在(-∞，0)上的值域为(3，十∞)， [变式】（原式-gX0+2+2安=kg号-1-2 故不存在常数M>0,使f(x)≤M成立， (2)原式=(g2+g5)(g2-g2g5+g5)+3g2g5- ∴.函数f(x)在（一∞.0）上不是有界函数. lg2+lg5+2lg2lg5=(1g2+1g5)=1. (2)由题意知f(x)≤3在[0，十∞)上恒成立， .-3≤f(x)≤3. (3)原式=lg√2(21g√2+1g5)+√(1g2-1) .-4-(4扩<a(分)广<2-()， =lg/2(lg 2+lg 5)+1-lg/2 =lgv2+1-g√2=1. .-4…2-(3)广<a<2·2-(3）广在[0，+∞) [变式2](1)B 上恒成立， 1 1 1 提示：P=iog十iog五十og五十og [-42-(3)门<a≤22-()门 =logu 2+logn 3++logn 4+logn 5 设2=h0=-4-子，p0)=2-, =log1(2X3×4×5) =log1120. 由x∈[0，十∞)得≥1，设1≤t<, .logm11-1<log1120<logm121=2,即1<P2. 则h4)-,)=-)4h-D>0, (2)D提示：x,y,x为正数， p)-p)==)2+D<0. ,.2=3=5=k>1(1gk>0). 所以h(t)在[1，十∞)上单调递减，p(t)在[1，十oo)上 单调递增，h(t)在[1，十∞)上的最大值为h(1)=-5, ..3y=Igk lg/5 (t)在[1，十∞)上的最小值为(1)=1， 所以实数a的取值范围为[-5,1. (3)定义在D上的函数f(x),若满足：对任意x∈D, 存在常数M>0,都有f(x)|≥M成立，则称f(x)是 D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的下界. 例如，f(x)=3是下界为3的函数. lg行<g2<1g5,∴g>g>gk lg 5 lg 2 lg 3 证明：：对任意x∈R,|f(x)=3≥3， 即5>2x>3y. 命题成立 [变式3]由题意得log(x-1)=log(.x十5)， -5