3.4 函数的应用(一)-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

3.4函数的应用（一） A基础过关练 测试时间：20分钟 1000e 0.7+0.3r+d其中d为安全距离，v为 1.[题型1]某厂印刷某图书总成本y(单位：元) 车速（单位：m/s).当安全距离d取30m时，该 与图书日印量x(单位：本)的函数解析式为y 道路一小时“道路容量”的最大值约为 =5x+3000,而图书出厂价格为每本10元， (结果保留整数). 则该厂为了不亏本，日印图书至少应为 乃综合提能练 测试时间：30分钟 (). A.200本 B.400本 1.[题型3]某工厂一年中十二月份的产量是一月 C.600本 D.800本 份产量的m倍，那么该工厂这一年中的月平均 2.[重难点1]某种商品进货价为每件200元，售 增长率是( 价为进货价的125%，因库存积压，若按9折 A器 B登 出售，每件还可获利( C.m-1 D.m-1 A.45元 B.35元 C.25元 D.15元 2.[题型5]某工厂拟建一个平面图形为矩形.且 3.[题型5](2023·浙江高一练习)面积为S的 总面积为400平方米的三级污水处理池，如图 长方形的某边长为x,则该长方形的周长L与 所示.已知池外墙造价为每米200元，中间两条 x的函数关系为( 隔墙造价为每米250元，池底造价为每平方米 A.L-x+S(x>0) 80元（池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无 x 盖).若要使污水处理池的总造价最低，那么污水 B.L=x+S(0<x<S) 处理池的长和宽分别为( C.L=2x+2s(x>0) D.L=2x+2s(0<r<S) A.40米、10米 B.20米、20米 4.[题型2]用一段长为8cm的铁丝围成一个矩 C30米.号米 D.50米、8米 形模型，则这个模型的最大面积为( 3.[重难点1门(2023·山东菏泽一中练习)一水 A.9 cm2 B.16 cm2 池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的 C.4 em2 D.5 cm2 进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图 5.[题型4]已知A,B两地相距150千米，某人开 乙所示.某天0时到6时，该水池的蓄水量如 汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地， 图丙所示. 在B地停留1小时后再以50千米/小时的速 进水量 出水量 爸水量 度返回A地，把汽车距A地的距离y表示为 时间t的函数，表达式为 6.[重难，点1]单位时间内通过道路上指定断面的 】时间 时间O123456时间 车辆数被称为“道路容量”，其值与道路设施、交 通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条 给出以下结论：①0点到3点只进水不出水：②3 道路一小时通过的车辆数N满足关系N= 点到4点不进水只出水：③4点到6点不进水也 42 不出水，其中一定正确的是( 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为 A.① B.①@ 200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦 C.①③ D.①②③ 时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电 4.[题型4]某市出租车起步价为5元（起步价内 费为 元（用数字作答） 行驶里程为3km),以后每1km价格为1.8元 7.[题型2](2023·河南模拟预测)美国对中国 (不足1km按1km计价)，则乘坐出租车的 芯片进行技术封锁，这激发了中国“芯”的研究 费用y(单位：元)与行驶的里程x(单位：km) 热潮，中国华为公司研发的A,B两种芯片都 之间的函数图象大致为( 已获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金 2千万元，现在准备投人资金进行生产，经市 场调查与预测，生产A芯片的毛收人与投入 的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获 B 得毛收入0.25千万元：生产B芯片的毛收入 y(单位：千万元)与投入的资金x(单位：千万 元)的函数关系为y=kx(x>0)(k与a都为 常数)，其图象如图所示. y千万元 D 5.[题型2]如图，在半径为4cm的半圆形(O为圆 心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其顶点 千万元 A,B在直径上，顶点C,D在圆周上，则矩形 (1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入 ABD面积的最大值为 cm2. y(单位：千万元)与投入资金x(单位：千万 元)的函数关系式. (2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产 O A,B两种芯片，设投入x千万元生产B芯 6.[重难点1]某地区居民生活用电分为高峰和 片，用(x)表示公司所获利润，当x为多 低谷两个时间段分时计价，该地区的电网销售 少时，可以获得最大利润？并求最大利润 电价表如下， (利润=A芯片毛收入十B芯片毛收入 高峰时间段用电价格表 研发耗费资金). 高峰月用电量/（千瓦时） 高峰电价/（元/千瓦时） 50及以下的部分 0.568 超过50至200的部分 0.598 超过200的部分 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量/（千瓦时） 低谷电价/（元/千瓦时） 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分 0.388 43 8.[题型4、5]首届中国国际进口博览会于2018年 C拓展拔高练测试时间：10分钟 11月5日至10日在上海的国家会展中心举 1,(清华大学等七校联考)已知圆柱形水杯的质 办.某跨国公司带来了高端智能家居产品参 量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚 展，供采购商洽谈采购，并决定大量投放中国 度及重量忽略不计，且水杯直立放置).质量为 市场.已知该产品的年固定研发成本为30万 b克的水恰好装满水杯，装满水后，水杯的重心 美元，每生产一台需另投人90美元.设该公司 还在圆柱轴的中点处. 一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台 (1)若b=3a,求装人半杯水后的水杯的重心到 的销售收入为G(x)万美元，G(x)= 水杯底面的距离与水杯高的比值， 240-3.x,0<x≤20， (2)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯 80+30006000 x+1x(x+D>20. 的重心最低？为什么？ (1)写出年利润S(单位：万美元)关于年产量 x(单位：万台)的函数解析式（利润=销售 收入一成本) (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利 润最大？并求出最大利润。 44即y=80+20(x+1)x>0). 所以当a不超过6时可击中目标. 练习册答案 方法-因为函数8x)=十兰在区间(0,2]上单调 A基础过关练 递减，在区间[2，十o)上单调递增，所以g(x)m 1.C2.C3.C g(2)=4,所以ym=80+20×4=160(元). 4.C提示：设矩形模型的长为xm,宽为ycm,则x>0, 方法=80+20(x+)≥80+20×2√…1 y>0,由题意可得2(x十y)=8,所以x十y=4,所以矩 160,当且仅当x=4,即x=2时取等号，所以最低总造 形的面积5=y<牛P一号-4，当且仅当一， 4 价为160元. 2时取等号，所以当矩形的长和宽都为2m时，面积最 真题演练答案 大，为4m2 1(1)D(2)B提示：(1)对于A.从题图中可以看出当 60t,0r2.5. 乙车的行驶速度大于40km/小时的燃油效率大于 5.y 150,2.5<3.5, 提示：从A到B用时 5km/L,故乙车消耗1L汽油的行驶路程可大于 -50t+325,3.5r6.5. 5km,所以A错误. 150 60 =2.5h,在B地停留的1h内距离不变，返回A地时 对于B,由题图可知甲车消耗汽油最少，所以B错误. 对于C,甲车以80km/h的速度行驶时的燃油效率为 60t,01≤2.5. 10km/L,故行驶1h的路程为80km,消耗8L汽油， 距离减少，因此y= 150,2.53.5, 所以C错误。 -50t+325.3.5<t≤6.5. 对于D,当最高限速为80km/h且速度相同时，丙车的 6.149. 提示：由题意可得N= 1000 0.7w+0.30+d= 燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更 1000 1000 省油，所以D正确。 0.7+0.3w+30 ≈149，当且仅当 0.7+2√0.3×30 (2)因为第一次（即5月1日）把油加满，而第二次把油 加满加了48L,即汽车行驶35600-35000=600(km) Q.3=30,即=10时取等号，所以该道路一小时“道 耗油8L,所以每100km的平均耗油量为8L,故 路容量”的最大值约为149. 选B B综合提能练 2.(1)令y=0.得kr 200+)x2=0, I.D 2.C 由实际意义和题设条件知x>0,k>0, 3.A提示：由题图甲、乙可知进水速度为1，出水速度为 2,结合题图丙中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量 · k十 增加速度是2，故①正确：不进水只出水时，蓄水量减少 速度是2，故②不正确：两个进水一个出水时，蓄水量减 由+右>2，当且仅当太=1时等号成立可知≤10. 少速度也是0，故③不正确 所以炮的最大射程为10千米 4.B提示：，出租车起步价为5元（起步价内行驶的里 (2)因为a>0,所以若炮弹可击中目标， 程是3km), 则存在>0，使元2=a一易1+6)心成立， .(0,3]对应的值都是5. ,以后每1m价格为1,8元，不足1km按1km计价， 即关于k的方程a一20ak十a2+64=0有正根. .3<xr≤4时，y=5+1.8=6.8:4<x≤5时，y=5+ 设f(k)=ak-20ak+a2+64, 1.8十1.8=8.6，故选B 则此函数图象的对称轴为直线=一，204=10， 2a a 5.16.提示：设BC=x,连接(OC,得OB=√16-x, 因为4>0，所以=10>0， 所以AB=2√/16一x, a 故只需判别式△=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0， 所以矩形ABCD的面积S=2x√16-x,x∈(0,4)， 结合a>0得0<a≤6. S=2x/16-x=2√(16-x)≤x2+16-x2=16. 38 即x2=16-x2,即x=2√2时取等号，此时S*=16. 因为2380>1770，所以当x=29时，S(x)的最大值为 2380万美元. 答：当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的 利洞最大，最大利润为2380万美元. C拓展拔高练 6.148.4.提示：高峰时间段的电费为50×0.568十 150×0.598=118.1(元)， 1方法一不妨设水杯的高为1个单位。 (1)装人半杯水后，杯子的质量：水的质量=2：3，杯 低谷时间段的电费为50×0.288+50×0.318-30.3（元）. 子的重心位置（这里的重心位置指重心到水杯底面的 所以该家庭本月应付的电费为118.1+30.3=148.4（元）. 7.(1)由题意可知，生产A种芯片的毛收人y(千万元)与 距离)为号，水的重心位置为子，所以装入半杯水后的 投入资金（千万元）的函数关系式为)y一十(>0. 2x+3×1 7 水杯的重心位置为 将点(1,1).(4,2)的坐标代人函数y=kr(.x>0)的解 2+3 20 (k=1, (2)当装人水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水 k=1. 析式，得 解得1 面上，设装人x克水，这时杯子的质量：水的质量 k·4=2, =2 a:x,杯子的重心位置为2，水的重心位置为苏，水面 因此，生产B种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金 x(千万元)的函数关系式为y=√(x>0). 的位置为云，于是 2由题意可得x)=0+匠-2=-兰++ 壶云解得 1 a十.x √a+ab-a 8=-1际-2)9+9. 方法二不妨设水杯的高为1个单位， (1)由题意可知，当装了半杯水后，杯子的质量：水的 :0<x<40,当/=2时，即当x=4时，函数y=f(x) 取得最大值，即f(x)x=f(4)=9. 质量=a:台.因为6=3a,所以杯子的质量：水的质 因此，当x=4时利润最大，且最大利润为9千万元. 量=2：3，即杯子占总质量的号，水占总质量的号又 8.(1)当0<x20时，S(x)=zG(x)一(90x+30)= -3.x2+150.x-30. 因为杯子的重心位置（这里的重心位置指重心到水杯 当x>20时，S(x)=xG(x)-(90x+30)=-10x+ 底面的面离)为立，水的重心位登为子，所以装入半杯 1 3000x-2-30. x+1 水后的水杯的重心位置为号×号+×号易：故 -3z2+150x-30.0<20. 装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯 数解析式为S(x)一 -10x+3000(x-2) -30,x>20 高度的比值为品：1=易 7 x+1 (2)当0<x≤20时，因为S(x)=-3(x-25)2+1845, (2)设装人x克水后的水杯的重心位置为y,将问题转 S(x)在(0,20]上单调递增， 化为：求当x为何值时，y最小， 所以当x=20时，S(:x)m*=S(20)=1770. 当装入x克水后，杯子的质量：水的质量=a:x,即杯 当>20时.5(r=-10r+3000r-2-30 r+1 子古总质量的。千水占总质量的千杯子的重心 =-10x-90+2970 +1 位置为2因为装入b克水，水的高度为1，所以装入x克 =-10x+1D-999+2980 水，水的高度为云，故x克水的重心位置为云，所以装 /9000 ≤-2V+,10x+1)+2980=2380, 人x克水后水杯的重心位置为y=)=合×升 当且仅当9000 x+1 10(x+1),即x=29时等号成立. *a+x2hx+2aba>0,b>0,>0). -39 当n>>√a+ab-a时，nn>(√a+ab-a)'= .2h+1-b=0,,.b=-1. 2a2+ab-2a√a+ab,n+x>2v√a+ab-2a, :f(x)在[2h,0]上为增函数. ∴.函数f(x)在[一2,0们上为增函数 .x-ab+a(n+x)>(√a+ab-a)-ab十 故函数f(x)在[0,2]上为减函数. a(2v√a+ab-2a)=0: 则由f(x-1)≤f(2x)可得x-1≥2x, xi+ab xi十ab ∴.f（x)-fx)=2hn+2ab2hr+2ab 即（一1）≥4r,解得-1长≤分 _i+a(n十a)-(+ab(n+a :定义域为[-2,2]， 2K+a)(+a) -2≤x-1≤2， -1≤x≤3， _(=)2-ab十a(十x] 解得 2b(x1+a)(.x+a) -2≤2.x≤2， |-1≤x≤1. >0. 综上，-1长≤分放选B ∴.f(x)在（√a+ab-a,十oo)上单调递增. 5.D提示：当4≤一2时，fa)=a+2≤0，∴f(fa)= 同理，f(x)在(0，√云+ab一d)上单调递减. f(a+2)=a十4=2，.a=-2. 当-2<a≤0时.a+2>0,∴.f(a)=a+2>0. 故当x=a+ab一a时，即装人（√a+ab-a)克水 后使装入水后的水杯的重心最低 a》=fa+2)=a+2+a2=2,a=-1. 单元学能测评 当a>0时a+2>2.÷y=r十上在>2时单调递增， 1A提示：幂函数)=r的图象过点(2.号)， +立>之，显然满足ff(a)=2的a的值不 存在 9=%,a=-,=+ 综上可得，a=-1或a=-2. 6.C提示：f(x)的图象如图所示.由图可知， 8)=8十=厚放选入 2.B提示：函数f(x)图象的对称轴为x=a一4， 若/-4>2-3.则-0. x-4<2x-3, 又，函数在（一©，3上为减函数， 解得一1<x<4,故实数x的取值范围是（一1,4）. a-4>3,即a≥7. 3.D提示：(x)在R上是奇函数，且f(x)在(0， 十∞)上是增函数， 0工无 .f(x)在（一oo,0)上也是增函数。 7.B提示：令f)=3(t为常数).则有f(f(x)一2x) 由f(-3)=0得f(-3)=-f(3)=0,即f3)=0, f(t.:f(x)是R上的单调函数，∴.f（x)-2x 作出f(x)的草图，如图所示. t,∴.f(x)=2x十t,.f(t0=21+1=3,∴t=1, y ∴f(.x)=2x+1,∴f（3)=2×3+1=7. 8.B 提示：由(-)「f]<0得(n 23-2-10】23 n)「f）-f)]<0, TI 因为n一>0，n>0, 所以f)一rf(r)<0,即f）<xf). |x>0, 1r0, 设g(x)=xf(x),则g(x)在(0，十oo)上单调递减， 由图象得xf(x)<0曰 或 f(x)0tf(x)>0, 而g(.x+1)=(x+1)f(.x+1)>4=2f(2)=g(2), 解得0<x<3或-3<r<0, 则0x十1<2，解得一1<x1. xf(x)<0的解集为(-3,0)U(0,3),故选D 因为f(x)为R上的奇函数， 4B提示：，f(x)是定义在[2h,1一b们上的偶函数， 所以g(-x)=一xf(一x)=xf(x)=g(x), 40