3.3 幂函数-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

3.3幂函数 A基础过关练 测试时间：15分钟 y=x-与y=ar+a(a+号)x+1都是减函 1.[题型3]有如下5个幂函数：①y=x2;②y= 数，试求a的取值范围. x;③y=x:④y=xi;⑤y=x.其中定义 域为R的是( A.只有①② B.只有②③ C.只有②④ D.只有④⑤ 2.[知识，点2](2023·北京人大附中高一模拟) 设a∈{-1,1.2,3，则“f)=r的图象 经过（一1，一1）”是“f(x)=为奇函数”的 (). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 乃综合提能练 测试时间：20分钟 D,既不充分也不必要条件 1.[重难，点1门已知幂函数y=x(p,9∈N,9>1 3.[题型2](2023·北京西城区高一期中)已知 且p9互质)的图象如图所示，则(). f(x)=xt,若0<a<b<1,则下列各式中正确 的是( Afa)<fb)<f)f(6)】 Bf(a）f(6)Kfb<a) Cfa)<f6<(合)f(》 A.p,g均为奇数，且卫>1 D.f2）<fa)<f(h)<f B.q为偶数，p为奇数，且卫>1 4.[题型2、3]下列函数是偶函数，且在（一∞，0] C,g为奇数，中为偶数，且卫>1 上是增函数的是( A.y=.rt B.y=x2 D.g为奇数，p为偶数，且0<卫<1 -x,x≥≥0 2.[知识点1]已知函数y=-a.x十b-1是幂函 C.y=r D.y= x,x<0 数，直线x一ny十2=0(1>0，n>0)过点(a, 5.[知识点2]若x3<x,则x的取值范周是 ).则的取值范围是( (). A.(-o∞，-1) B.(1,+o∞) A(-∞，3)U(号3) B.(1,3) C.(-o∞，-1)U(0,1)D.(-o∞，0) 6.[题型3]已知在区间(0，一a)(a<0)上函数 c[片3] D.(33) 40 3.[题型3]函数y=(m.x2+4x十m十2)寸的定 9.[题型3]点(2,2)在幂函数f(x)的图象上，点 义域是全体实数，则实数m的取值范围是 （一2，子)在幂函数g)的图象上，问当x为 (). A.(5-1,2) B.(W5-1,+oo) 何值时，有： (1)f(.x)>g(x). C.(-2,2) D.(-1-√5，-1+5) (2)f(x)=g(x) 4.[知识点2](2023·黄冈期未)如图，函数y (3)f(x)g(x). 子=y=1的图象和直线x=1将平面直 角坐标系的第一象限分成①②③④⑤⑥⑦⑧ 八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分 是④⑧，则f(x)可计 能是(）. A.y=x2 B.y=1 4 y- C拓展拔高练 测试时间：15分钟 1.定义函数f(.x)=max{x2,x),x∈(-oo,0)U C.y=xt (0,十∞)，则f(x)的最小值为 D.y=x- 2.已知幂函数f(.x)=xp+p+(p∈N)在 5.[题型1]若点P(2,4),Q(3,)均在幂函数y (0,十∞)上是增函数，且在定义域上是偶 =f(x)的图象上，则实数 函数. 6.[知识点1、2]已知x2>x,则x的取值范围 (1)求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析 是 式 7.[题型3]给出封闭函数的定义：若对于定义域 (2)对于(1)中求得的函数f(x),设函数 D内的任意一个自变量x。,都有函数值 g(x)=-qf(f(x))+(2g-1)f(x)+1, f(x)∈D,则称函数y=f(x)在D上封闭.若 问：是否存在实数g(q<0),使得g(x)在 定义域D=(0,1),则函数①f1(x)=3.x一1： 区间（一∞，一4]上是减函数，且在区间 ②5)=-r-2+1:③)=1-x (一4,0)上是增函数？若存在，请求出9 ④f,(x)=xt,其中在D上封闭的是 的值：若不存在，请说明理由. (填序号). 8.[题型1]已知函数y=xm(n∈Z)的图象与 两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对 称，求n的值，并画出相应的函数图象 412.A提示：因为0=0，且0<号<号，由每函数y= 为(0,1). 8.:幂函数的图象不过原点， x在[0，十eo)上单调递增可知b<c<a. n2-2n-3≤0，即-1≤m≤3. 练习册答案 又n∈Z,∴n=-1,0,1,2,3. A基础过关练 当n=一1或3时，函数为y=x(x≠0)，符合题意. 1.C2.C3.C4.D5.C 又其图象关于y轴对称，。㎡一2n一3为负偶数. 当n=0时，-2-3=一3，不合题意，舍去： a<0, 当n=1时，n一2一3=一4，符合题意： a2-1<0, 6.依题意有 解得-<a<0, 当n=2时，n-21一3=一3，不合题意，舍去 -a(a+) ∴n的值为-1.1,3 2a ≤0， 它们的图象分别如下所示： B综合提能练 1,D提示：因为图象关于y轴对称，所以函数为偶函数， y=,x(x≠0) 所以p为偶数，9为奇数.由图象在第一象限内缓慢递 增知0<上<1. 图1 图2 2.D提示：由y=一a.十b-1是幂函数知a=-1,b=1. 9.设f(x)=x°，则由题意得2=(2)“， 又点(a,b)在mx一y十2=0上，∴.十n=2,即n a=2,即f八x)=x2. 2-m心0，则-骨-高-1且0<m<2 又设6)=x,则由圈意得=（一2 e(号 =-2,即g(x）=x 在同平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象如 3B提示：函数y=(mx2十4x十m十2)+有意义的条 图所示 件是m.x十4x十m十2>0，因此，要使函数y=(mx2+ 4r十m十2)+的定义域为全体实数，需满足mx2十 4x十m十2>0对一切实数都成立，即 1m>0, 解得m>√5-1. 4-4m(m+2)<0, 4B提示：，函数y=r的图象过④⑧部分， 由图象可知： 函数y=x在第一象限内单调递减，a<0. (1)当x>1或x-1时，f(x)>g(x): 又易知x=2时>子，“只有B选项符合题意 (2)当x=土1时，f(x)=g(x): (3)当-1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x. 5.9.提示：设幂函数为f(x)=x,将点P(2,4)代入得 2=4,a=2,所以f(x)=x,令x=3,求得%=3=9. C拓展拔高练 L.L.提示：在同一平面直角坐标系中作出函数y= 6.x<0或x>L.提示：注意到y=x与y=x亨均为幂 与y=x2的图象，如图所示. 函数，所以在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如 图所示.由图象不难看出，x的取值范围是x<0或 x>1. -2-1o12 x,x-1, x-3,-1<x0. 则f(x)= x2,0<x≤1， 7.②③④.提示：①的值城为（一1,2），②③④的值域均 x,x>1. -36 .f(x)在x=一1与x=1处均取得最小值1，即 所以鱼群年增长量的最大值为学 f(x)n=1. 2.(1):f(x)在(0，十o∞)上是增函数，由幂函数的图象和 [变式3](1)设两类产品的收益与投资额x的函数关系 性质知一之r十p叶受>0，解得一1<p3. 式分别为f八x)=k1x(x≥0)，g(x)=x(x≥0)， p∈N,p=2.,1,0. 结合已知得1)=3=g1)=2=: 当p=0或2时，f(x)=x子，不是偶函数： 所以/)=g≥0，g)=(≥0. 当p=1时，f(x)=x2,是偶函数 故p=1,f(x)=x (2)设投资稳健型产品为x万元，则投资风险型产品 (2)g(x)=-4.x+(2g1).x2+1, 为(20一x)万元，依题意知获得收益为y=f(x)十g(20一x) 令1=x,则h(t)=一g4+(2q-1)1十1（≥0）. =首+号v920-70<≤20. :t=x2在（一∞，0）上是减函数， 令1=√20一x(0≤≤25)，则x=20-, .当x∈(-∞，一4们时，1∈[16，+∞)： 当x∈(-4.0)时，1∈(0,16). 所以y0。+=-4-2+3 当h(1)在[16，+o)上是增函数，在(0,16)上是减函数 所以当1=2，即x=16时，y取得最大值，a=3. 时，g(x)在（一oo,-4幻上是诚函数，在(-4,0）上是增 故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时， 函数，此时二次函数h(t)的对称轴方程是1=16，即1= 可使投资获得最大收益，最大收益是3万元 一(2二12=1-。=16，解得g=一30° 1 [变式]由已知单价 2(-9) 故存在实数=一动·使得g)在（一©，门上是减函 L+22(0≤1<40,1∈N), f(t) 数，且在（一4,0）上是增函数. ÷+52(40≤≤100.1∈N, 3.4函数的应用（一） 变式训练答案 日销售量g0=-方1+号(0<≤10,1EN. 3 [变式]5.提示：设仓库与车站的距离为x千米， ∴.日销售额为S()=f()g(), 由题意可设n=生为=k 即当0≤<40时，50)=（仔+2）(-3+号）= 把x=10,边=2与x=10,必=8分别代入上式，得 +2+26此时函数的对称轴为工=12. 3 6=20.6:=0.8,放n=22y=0.8. 最大值为S12)=2500 这两项费用之和y=n十为=0.8x+2≥ 3 当40≤≤100时，5)-(-7+52)×(-号 2V0.8rxD-8, )=言-361+52，此时函数的对称轴为 当且仅当0.8x=29,即x=5时等号成立， 3 r 1=108>100,最大值为S(40)=768. 故要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站 5千米处. 由768<20可得这种商品日销售额S)的最大值为 3 [变式2】()根据题意知空闲率是”m2,故y关于r的 2500 3 函数关系式是y=k·m,0≤r<m [变式5]160.提示：由题意知，长方体的底面积为4， 设该长方体容器的长为xm,则宽为m (2D蜘c…"=点r+r=品（e一罗） 设该容器的总造价为y元， 十喷0长rm…则当x一受时取得最大值儿=映 4 则y=20×4+2(x+4)×10, 37