3.2.2 奇偶性-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

3.2.2奇偶性 A基础过关练 测试时间：20分钟 7.[题型1]判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=√x-I+√1-x. 1.[重难点1]函数f(x)= x 一x的图象关于 (2)f(x)=|x|(x-1-|x+1). (). x2+x,x<0, A.y轴对称 (3)f(x) -x2+x,x>0. B.直线y=一x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 2.[题型2]若函数y=(x十1)(x一a)为偶函数， 则a=(). A.-2B.-1C.1 D.2 3.[题型2](2023·山东青岛高一期中)已知函 数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和 奇函数，且f(x)一g(x)=x2十x2+2,则f(1) 十g(1)=(). A.-2B.0 C.2 D.1 4.[题型3](2023·江西新余分宜中学高一段 乃综合提能练 测试时间：40分钟 1,x为有理数， 考)（多选）函数f(x) 则下 0,x为无理数. 1.[题型2]已知f(x)=x+1-1,f(a)=2,则 列结论正确的是( f(-a)=( A.f(x)是偶函数 A.-4 B.-2 B.f(x)的值域是{0,1} C.-1 D.-3 C.方程f(f(x)=f(x)的解只有x=1 2.[题型3]已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增 D.方程f(f(x)=x的解只有x=1 函数，且最小值为5，则f(x)在区间[-7，一3] 5.[题型3]已知函数y=f(x)是定义域为R的 上为( 偶函数，且f(x)在[0，+∞)上单调递增，则不 A.增函数，且最小值为一5 等式f(2x-1)>f(.x一2)的解集为( B.增函数，且最大值为-5 A.(-1,1) C.减函数，且最小值为一5 B.(-o∞，-1)U(1,+e∞) D.减函数，且最大值为一5 C.(1,十o∞) 3.[题型3](2024·山东师大附中高一月考)函 D.(0,1) 数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2∈[1， 6.[题型2]函数f(x)在(-∞，十∞)上为奇函 数，且当x≤0时，f(x)=x(x+1),则当x>0 +oo)(x,≠，有)二f)<0,且函数 时，f(.x)= f(x+1)为偶函数，则(). 37 A.f(1)<f(-2)<f(3) 十o∞)上是减函数，且f(x)<0.求证：F(x)= B.f(-2)<f(3)<f(1) 在区间（一∞，0）上是增函数 C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f3)<f1)<f(-2) 4.[题型3](2022·山东省实验中学高一期中) 若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在 (0,十∞)上为减函数，若f(2)=0,则不等式 (x-1)f(x一1)>0的解集为(). A.(-3,-1) B.(-1,1)U(1,3) C.(-3,0)U(1,3) D.(-3,-1)U(2,+o∞) 5.[题型3](2024·南宁三中高一月考)已知函 数f(x)=x2+3.x(x∈R),若不等式f(2n+ mt)十f(4)<0对任意的实数t≥1恒成立， 则实数n的取值范围是( A.(-o∞，-√2)U(w2,十o∞) 10.[题型2、3](2022·湖北重点高中联考)已知 f(x)是偶函数，且当x≥0时，∫(x)= x(3-x),0≤x≤3， C.(-2,-√2) 其中a>3. (x-3)(a-x),x>3, D.(-o∞，-2) (1)求f(-2)的值. 6.[题型2](2024·河北石家庄第二中学高一月 (2)当x<一3时，求f(x)的解析式. 考)已知函数f(x)=4十xg(x),g(x)为奇函 (3)设函数f(x)在区间[-5,5]上的最大值 数且x)在区间[一司，]上的最大值与最 为g(a),试求g(a)的表达式. 小值分别为M和m,则M十m= 7.[题型2](2023·山西芮城中学期中)设f(x) 是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若函 数f(x)+g(x)的值域为(1,3)，则f(x)- g(.x)的值域为 x(x-1),x0, 8.[题型3]设函数f(x)= 则 -f(-x),x<0, 满足f(x)十f(x一1)<2的x的取值范围是 9.[题型3]已知函数f(x)是奇函数，在区间(0， 38 1[题型2.3函数/)-岁是定义在(-1.D 12.[题型1、3]已知定义在(-∞，0)U(0, 十∞)上的函数f(x)满足：①对任意x,y∈ 上的奇函数，且()-景 (-∞，0)U(0,+∞)，f(x·y)=f(.x)+ (1)确定函数f(.x)的解析式. f(y):②当x>1时，f(x)>0,且f(2)=1. (2)用定义证明：f(x)在（一1,1）上是增函数. (1)试判断函数f(x)的奇偶性 (3)解不等式：f(-1)十f(t)<0. (2)试判断函数f(x)在(0，十∞)上的单 调性。 (3)求函数f(x)在区间[一4,0)U(0,4]上的 最大值， (4)求不等式f(3.x-2)十f(x)≥4的解集. C拓展拔高练 测试时间：10分钟 1.(2017·广东竞赛)设f(x)是定义在R上的奇 函数，f(1)=2,当x>0时，f(.x)是增函数，且 对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+十 f(y),则函数f(x)在[一3，一2]上的最大值是 2.(全国高中数学联赛)设f(x)是定义在R上的 奇函数，且当x≥0时，f(x)=x.若对任意的 x∈[a,a+2],不等式f(x十a)≥2f(x)恒成 立，则实数a的取值范围是 39.f0)=0=m,当x≤0时，f(x)=3.x2-2x .f(-x)=(-x)(-x+1),即-f(x)=-x(1-x), 设x>0,则-x<0,则f(-x)=3.x2+2x,则f(x)= 故当x>0时，f(x)=x(1一x). -f(-x)=-3x2-2x,即当x>0时，f（x)=-3.x2 1x-1≥0， 得x=1, 2x,,.f(x)在[1,2]上单调递减， 1.1)由1-20 .fx)在[1,2]上的最大值为f)=-5。 ∴函数f(x)的定义域为1，其定义域不关于原点对称 真题演练答案 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数， 1.当a=0时，)=士显然是奇函数： (2):f-x)=|-x(-x-1-|-x+1|) =x1(x+1-lx-11) 当a≠0时，f(1)=a+1,f(-1)=a-1,f(1)≠ =-fx). f(-1).且f1)+f(-1)≠0， f(x)为奇函数. 所以此时f(x)是非奇非偶函数. (3)x0时，一x>0,则 (2)设V<x,且，x2∈[1,2]， f(-x)=-(-x)2-x=-(x2十x)=-f(x), 则fn)-f)=a(n一)(n十n)+ 当x>0时，-x<0,则 TIT2 f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x) =(a-[am+)-】 综上所述，对Vx∈(-∞，0)U(0,+∞)，都有f(一x) -fx). 因为<x2,且∈[1,2]，且1<a<3, f(.x)为奇函数. 所以-<0,2<x十x<4,1<<4, 所aat)>0, B综合提能练 1.A 提示：由题可得f(一)=一工一-1，则f(一)十 所以f(1)-f()<0,即f(x1)<f(xe), 故函数f(x)在[1,2]上单调递增. f(x)=-2,所以f-a)+fa)=-2,则f-a)=-4. 2.B提示：因为奇函数的图象关于原点对称且在两个关 2.A提示：，fx+y)+f(x-y)=f(x)f(y), 于原点对称的区间上有相同的单调性，所以(x)在 令x=1.y=0得2f(1)=f1)f(0),.f(0)=2. [一7，-3]上是增函数，最大值为一5. 再令x=0得fy+f一)=2fy,fy)=f-y). f(x)为偶函数 3.B提示：n∈[，十oo)(m≠)，有)-） 2一 再令y=1得f(x+1)+f(x-1)=f(x), 0,,.f(x)在[1，十oo)上单周递减. .f(x+2)+f(x)=f(x+1),从而得f(x+2)= ,f(x十1)为R上的偶函数， -fx-1),fx-1)=-fx4),故fx+2)=fx-4), .f(-x+1)=fx+1). ∴f(x)=f(十6)，f(x)的周期为6. ∴f(x)的图象关于x=1对称（或f(x)的图象可由 又，f2)=f1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2) (x十1)的图象向右移1个单位长度得到，所以「(x) f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1, 的图象关于x=1对称).作出f(x)的大致图象如下： f5)=f-1)=f1)=1,f(6)=f(0)=2, ∴f1)+f(2)十f(3)+…+f(6)=0.由于22除以6 余4，)=+2+3+40 1-2-1=-3. 由图象知f(一2)<f3)<f1). 3.D提示：函数fx)在R上单调递减，且f1)=一1 4.B提示：，f(x)是定义在R上的奇函数且f(2)=0, .f-1)=-f1)=1. f(0)=0,f(-2)=-f(2)=0. 由-1≤f(x-2)≤1得-1≤x-2≤1， 又：f(x)在(0，十∞)上为减函数， 1≤x≤3. ∴可以画出f(x)的大致图象如图所示. 练习册答案 A基础过关练 1.C 2.C 3.C 4.ABD 5.B 6.x(1-x).提示：令x>0,则一x<0, -33 当x-10时.fx-10>0,∴0<x-12,∴1<x<3. 是a))点点会 1 当x-1<0时，f(x-1)<0,.-2<x-1<0, .一1<<1..不等式的解集为（一1,1）U(1,3). fm)=f)<0, f(1)f(r) 5.D提示：由题意得f(一x)=一f(x),则f(x)为奇函 数且f(x)在R上单调递增，不等式f(2m十m)十 所以函数F(x)= 高在区间（一，0）上是增函数 f(4)<0对任意实数1≥1恒成立，则2m十m<一4t 10.(1)因为y=f(x)是偶函数， 在1≥1时恒成立，分离参数得加<十2 4 4 所以f(-2)=f(2)=2×(3-2)=2. (2)当x<-3时，-x>3,则fz)=f-x)=(一x-3)· (a十x)=-(x十3)(a十x). 又因为1十是≥22（当且仅当1=②时取等号），则 所以当一3时，(x)的解析式为/(x)=一(x十3)· m<-√2，故选D. (a十x. 6.8.提示：：g(x)为奇函数，∴g(-x)=一g(x), (3)因为f(x)是偶函数，所以它在区间[-5,5]上的 ∴.f(一x)=4+(-x)g(一x)=4-x2g(x), 最大值即为它在区间[0,5]上的最大值. ∴.f(x)+f(-x)=8, ①当3<u<7时e在[0，号]和[3.3生]上单调 ∴f(x)的图象关于点(0,4)对称 “)在区间一之，]上的最高点和最低点也关 递增，在[多3]和[3生，5]上单调递诚。 于点(0,4)对称，故M十m=8. 所以此时只需比较f(受）=号与f(3） 7.(-3,一1).提示：：f(x是定义域为R的奇函数， g(x)是定义域为R的偶函数， a一3》的大小即可. 4 ∴.-[fx)-g(x)]=-fx)十g(x)=f-x)+g(-x. （1)冷a3》<号解得0u≤6 ,函数f(x)十g(x)的值域为(1.3)， 又因为3<≤7，所以3a≤6. .1<f-x)十g(-x3,即1<-[fx)-g(x)3, 则-3<f(x)-g(x)<-1. 所以当3<a≤6时，ga)=(号）=是 即函数f(x)一g(x)的值域为（一3，一1）. 8.(-oo,2).提示：当x<0时，f(x)=-f(-x)= （)冷a3>号解得a<0或a>6. 4 -[-x(-x-1)]=-x(.x+1). 又因为3<a≤7，所以6<a≤7. 当x≥1时，x-1≥0，f(.x)+f(x-1)=x(x-1)+ 所以当6<a<1时，ga)=(3生）-u3 (x-1)(x-2)<2,解得0<x<2,即1x<2: 当0≤x<1时，则x-1<0,/(x)十f(x-1)=x(x-1)- ②当。>7时)在[0,2]和3,5上单调递增，在 x(x一1)=0<2，满足题意： [号.3]上单调递减，且/（号）=号<5)=2a-5。 当x0时，则x-1<0,f(x)十f(x-1)=一x(x十1) (x-1)x=-2x2<2恒成立. 所以g(a)=f(5)=2(a-5). 综上所述，x的取值范围是（一∞，2）. 3<a<6. 9.设任意的x1,∈（一0,0），且x<,则-x> 综上可得，g(a)= 一>0， a-3,6<a≤7 4 而f(.x)在(0，十o)上为减函数，从而f(一)<f(一)， 2(a-5),a>7. 又函数f(x)为奇函数， b 1+0=0, 则f(-x)=-f(.x),f(-x)=-f(x), f(0)=0, a=1, 11.(1)由题意得 即一f(x1)<-f(),于是f(x)-f)>0. 1b=0. 由已知f(x)在区间(0，十∞)上有f(x)<0, 得f(-x1)<0,f(-x)<0, 所以f(x)f()=[-f(x)][-f(一x)]>0. 小f代)=1十立经检验，符合题意 -34 (2)任取，x∈(-1,1)且x<x,则 x,x≥0， 2.[2,十o∞).提示：由题意知f(x) --=)(1-) )-)泽中2 -x2r<0. 则2f(x)=f(W2x), -1<<n<1.->0.1十>0,1+.>0， 又-1<m<1,.1z2>0 因此原不等式等价于f(xr十a)≥f(W2x). .fx)-f()>0,即f(.x)>fx). 因为(x)在R上是增函数， ,f(x)在（一1,1）上是增函数 所以x十a≥√2.x,即a⊙(W2-1)x (3)原不等式可化为f(1-1)<-f(t)=f(-t). 又因为x∈[a,a+2],所以当x=a十2时，(w2-1)x取 f(x)在（一1,1）上是增函数， 得最大值(2-1)(a+2),因此a≥(w2-1)(a+2),解 -1<1-1<-<1,解得0<1<2 得a≥√2.故a的取值范围是[V2,+o©). 故原不等式的解集为0<1<号 3.3幂函数 变式训练答案 12.(1)令x=y=1,则f1×1)=f)+f1),得f1D=0: [变式1](1)y=x0,+o∞)上为增函数，且2324， 再令x=y=-1.则f(-1)×(-1D)=f(-1)+ ∴2.3<2.4. f-1),得f(-1)=0. (2):y=x寺在(0，+o∞)上为减函数，且2<3， 对于条件fx·y)=fx)+fy),令y=一1，则/（一x)= f(x)+f(-1),即f(一x)=f（x). ∴(2)>(3)-± 又函数f)的定义域关于原点对称， (3)y=x在R上为偶函数，.(-0.31)=0.31. ∴.函数f(x)为偶函数. 又，函数y=x在[0，十o○)上为增函数，且0.31<0.35. ∴.0.31<0.35，即(-0.31)<0.35 (2)任取∈(0，+∞)，且1<，则有>1. [变式2](1)由f(.x)为幂函数知一2m+m+2=1,解 又，当x>1时，f(x)>0,。 (贵)>0 得m=1或m=一分·当m=1时，f)=,符合题 而)=a·)=+(货)》>f 意：当m=一2时，)=，不符合题意，舍去 .函数f(x)在(0，十∞)上是增函数. ∴.函数f(x)的解析式为f(x)=x2 (3)f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),且f(2)=1, (2)由(1)得fx)=x2, ∴.f4)=2又由(1)(2)知函数fx)在区间[一4.0)U(0.4] ∴y=x2-2(a-10x+1, 上是偶函数且在(0,4]上是增函数，函数f(x)在 即函数图象的对称轴为直线x=a一1. 区间[一4,0)U(0,4上的最大值为f(4)=f(一4)=2 ,y=x-2(a-1)r+1在(2.3)上为单调函数， (4)f(3.x-2)+f(.x）=f(x(3.x-2)),4=2+2 .∴a-1≤2或a-1≥3，解得a≤3或a≥4. f(4)+f4)=f(16), ∴.实数a的取值范围是(-o,3]U[4,十o∞). ∴.原不等式等价于f(x(3r-2)≥f(16).又函数 真题演练答案 f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，十∞)上是增函数， 1.D提示：y=x十1为一次函数，是增函数，但不是奇函 ∴.原不等式又等价于x(3x-2)|≥16，即.x(3x-2)≥ 数，选项A不符合。 16或x(3x-2)≤-16，，.不等式f(3x一2)+f(x)≥4 y=x是奇函数且是增函数，所以y=一x是减函数， 的解集为{✉≤-2或>号： 选项B不符合。 C拓展拔高练 1 y- =x是奇函数，但在定义域内不是增函数，选 1一4.提示：因为f(x)是奇函数，且在(0，十∞)上是 项C不符合。 增函数，所以f(x)在（一∞，0）上也是增函数. x,x20, y=xr= 为奇函数且是增函数，选项D 又因为f2)=f1)+f1)=4,所以f-2)=一f2)=-4 x2,xr0 故函数f(x)在[-3，一2]上的最大值为一4 符合 -35