3.2.1 单调性与最大(小)值-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 A基础过关练 测试时间：20分钟 (2)分别指出f(x)在区间[-5,0]及[-5,8] 上的最大值和最小值， 1.[题型2](2024·广西梧州高一阶段练习)（多 选)下列说法中不正确的是( A.若对任意，∈1，当<2时，( x2)[f(x1)一f(x2)]>0,则y=f(x)在I 上是增函数 B.函数y=x2在R上是增函数 C,函数y=一上在定义域上是增函数 2 D函数y=马的单调减区间是（一©，1U (1,十0∞) 2.[题型3]已知函数y=x2+2(a一2)x十5在区 间(4，十∞)上是增函数，则实数a的取值范围 是(）. A.(-o∞，-2] B.[-2,+oo) C.(-∞，-6] D.[-6,+∞) 6.[题型1、4]已知函数f(x)=√x2十1一x. (1)用定义证明f(.x)在定义域内为减函数. 3.[题型4幻函数f八x)=1-z1-刀的最大值是 (2)求该函数在[一1,2]上的最大值和最小值. (. A青 c n号 4.[题型3]已知函数f(x)是R上的增函数，且 f(x2+x)>f(x一a)对一切实数x都成立，则 实数a的取值范围是 5.[题型2、4]已知f(x)在[-5,8]上的图象如图 所示. (1)指出f(x)的单调区间. 33 、乃综合提能练 测试时间：40分钟 A[-o]Ua,+) 1.[题型3](2023·湖南益阳高一联考)若函数 B.[0,+o∞) f(.x)的定义域为R,且在(0，十∞)上是减函 数，则下列不等式成立的是( c[是+) A.f(i)>f(a-a+1) D[-是.0]U2,+o) Bf(是)≥fa2-a+) 5.[题型2]在实数R中定义一种运算“”，使其 具有下列性质： C.f(3)<f(a-a+D) ①对任意a,b∈R,a*b=b*a. ②对任意a∈R,a￥0=a. D.f(是)≤fa2-a+D ③对任意a,b,c∈R,(a￥b)c=c*(ab)+ 2.[重难点1门(2024·安徽舒城中学高一测试) (a￥c)+(b￥c)-2c. 设f(x),g(.x)都是D上的单调函数，有如下 则函数f()=x*受的单调递减区间是 四个命题，其中正确的是(). ①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则 f(x)一g(x)单调递增： A(,2] B[-+) ②若∫(x)单调递增，g(x)单调递减，则 f(x)一g(x)单调递增： c(,] n(e,-] ③若∫(x)单调递减，g(x)单调递增，则 6.[题型4已知函数f代)=上-1（a>0,x>0), f(x)一g(x)单调递减： ①若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则 若f(x)在[22]上的值域为[2,2]，则 f(.x)一g(x)单调递减. A.①③B.①④C.②③ D.②④ 7.[题型4幻(2022·福建福州高级中学高一阶段 3.[题型2、4幻(2024·全国高一课时练习)（多选）下 练习)已知函数f(x)=x十a.x一b,且 列关于函数f(x)=√一x2十2.x+3的结论正 a+b=3,若存在x∈[0,1]，使得f(.x)≤0成 确的是( 立，则实数a的取值范围为 A.单调递增区间是[一1,1] 8.[题型4]将边长为1m的正三角形薄片沿一 B.单调递减区间是[1，十∞) 条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯 C.最大值为2 形，记S=(梯形的周长) 梯形的面积，则S的最小值是 D.没有最小值 4.[题型3、4]设函数g(x)=x2-2(x∈R), 9.[题型3](2023·重庆十八中高一期中)已知 g(x)十x十4，x<g(x), f(x)= 则f(x)的值 g(x)-x,x≥g(x) 函数fx)满足1+)=是-1， 域是(). (1)求f(x)的解析式. 34 (2)若gx)=t在区间(2，十∞)上单调 f(x) 1.[题型4们已知函数f(x)=2+2+1+,若 递增，求实数a的取值范围. 对任意x1·x2∈[1,2].都有f(x)一f(x)≤ m-子m十号求实数m的取值范围 10.[题型3、4](2024·辽宁省实验中学月考)设 12.[题型1、3]定义在(0，+∞)上的函数f(x)满 /x2-ax+5a,x≥2， 足f(m)=f(m)十f(n)(m,n>0),且当x>1 函数f(x)= 其中a为 a.x十5，xr<2, 时，f(x)>0. 常数 (1)求f(1)的值. (1)若对任意x1,x2∈R,当x1≠x时， (2)求证：/(）=fm)-f. x)-fx2>0,求实数a的取值 x1一x2 (3)求证：f(x)在(0，+∞)上是增函数. 范围。 (4)若f(2)=1,解不等式f(x+2) (2)在(1)的条件下，求g(.x)=x2-4a.x十3 f(2.x)>2. 在区间[1,3]上的最小值h(a). (5)此较/(”)与m士m的大小 2 35 C拓展拔高练 测试时间：15分钟 2.(浙江大学自主招生)设M=《x|f(x)=x},N 1.(卓越联盟自主招生节选)已知函数f(x)= =(xlf(f(x))=x). (1)求证：MCN. ar+中，其中a是非零实数，b>0.求f(x)的 (2)当f(x)单调递增时，是否有M=N?请 单调区间. 证明. 361x2+2x十a-2,x≤0， 3.[日2]提示：由)=-2+2x-2a,>0 对 综上所述，M一m与a有关，但与b无关 练习册答案 任意x∈[一3，十∞)，f(x)≤x恒成立， A基础过关练 ①当-3≤x≤0时，x2+2r+a-2≤-x,即a≤-x2 1.BCD 2.B 3.D 3x+2.故a≤(-x2-3x十2)m.又y=-x2-3r+2= 4.(0,十o©).提示：由于f(x)是R上的增函数，且f(x2十x》 -(+受)广+号在[-3，-受]上单调递增，在 >f(x-a),所以x2十x>x-a,即x2>-a对一切x [一20]上单调递减当=-3时y=2:当x=0时， 都成立，则a>0. 5.(1)[-3,0]和[2,5]为单调递增区间：[-5，-3]， y=2.从而ym=2,故a≤2. [0,2]和[5,8]为单调递减区间. ②当x>0时.-x+2x-2a≤x,所以2a≥-x+r, (2).x∈[-5,0]时，fm(x)=f(-3)=-2.5,fm(x)= 2a>≥(-2+x).又y=-2+x=-(x-号）+ f(0)=2: 在0，十o)止的最大值为}故>司 x∈[-5,8]时，fm(x)=f(-3)=-2.5,f(.x)= f(5)=3. 综上所述a的取值范围是[名2] 6.(1)函数f(x)的定义城为（一o∞，十∞）. 4各. 提示：函数f(x)=a.x2一x 任取1∈（一o∞，十o∞），且x<2,则 f()-f)=√+1-√+I-(2-1) ∴.ft+2)-f(t)=[a(1+2)3-(t+2]-(a-t) 6a+12a1+8a-2.存在1∈R,使得|f(1+2)-f(1)川 - -(x-x1) √+1++I =(-).+）-+-+曰 即存在1eR,使得号<6af+12al+u<号成立. √干1+V√x+1 又3r+61十4=3(1+1)+1>0， =(m-).二V++(-V5+D +1+√+I 2 4 六3(3r+6+D<a≤3(3+61+雪有解 :对任意x∈R,都有+I>√x=x≥x, 要求实数a的最大值，即求3(3十6十D的最大值。 ∴-√+I<0,-√+I<0, 故(x-√+1)+(x-V√+1)<0. 令g(0=3(3E+6t+4D) 9[++】 又，>x,.-x>0,+1+√+I>0, 由复合函数的单调性知g)一g(一1)=4 4 ∴f(x2)-f(x)<0,即f（)<f(). 31 ∴.f(x)=√+I一x在其定义域R内单调递减 (2)由(1)知f(x)在R上为减函数， ∴·(x)在[一1,2]上也为减函数， 5B提示：函数可转化为代)=(+号）一号+b ∴f(.x)的最小值为f(2)=5-2,最大值为(-1)= ①当0K-号≤1时，m=m=(-号）=-牙+b, √2+1 B综合提能练 f(z)m=M=max(f(0).f(1))=max(6,1+a+6), 1.B 放M-m=mx气，l十a+写}与a有关，与b无关 2.C提示：对于命题@，设x>x4,则f()>f(), ②当-号<0时，f)在[0,1门上单调递增， g()<(x1),-g()>-g(m),∴f(r) g(,)>f()一g(n),放f（.x)一g(x)单调递增，命题 故M-m=f1)-f0)=1十a,与a有关，与b无关 ②正确： ③当-号>1时，f(x)在[0,1门上单调递减， 对于命题③，设>，则f()<f(),g(x)> 故M-m=f(0)一f(1)=-1一a,与a有关，与b无关 g(x),.-g(x)<一g(),f(x)一g()< -30 f()一g(x1),故f(x)一g(x)单调递减，命题③正确. 832a 提示：设剪成的小正三角形的边长为x, 而命题①④均错误，故正确的命题是②③. 3 3.AC提示：令1=-x2+2.x十3，则原函数由y=与 则5 (3-x)1 清·g 1=一2+2x十3复合而成.又由-x2+2x+3≥0得 号c+0…91-0 -1≤x≤3..1=-x2+2.x+3在[-1.1门上为增函 x<1). 数，在[1,3]上为减函数，而y=为增函数，·f(x) 令3-x=1,则1(2,3)，∈（号2）， 的单调递增区间为[一1,1]，单调递减区间为[1,3]，故 4 A选项对.由单调性知f(x)的最大值为(1)=2，最小 则s=4 值为0，故C选项也对. 4D提示：解x<g(x)=x2一2，得x一一2>0，则x< 令y=-8+9-1=-8()广+6()-1=-8m 一1或x>2.因此x≥g(x)=x2-2的解为-1≤x≤2 xr2+x+2,x<-1或x>2, 十6m一1（令m=),此二次函数的图象开口向下， 于是f(x)= x2-x-2,-1≤x≤2， 图象在对称轴m= }=受的左侧是增函数，故当 1 当x<-1或x>2时，f(x)>2. 当-1<≤2时)=r产-一2=(x-2）广-是， 一兰+一1有最大值时5有最小值，当}-景即 则≥-是， 号时，5的最小值是32 又当x=一1或x=2时，f(x)=x2-x-2=0, 9.D令1+士=1D,则=1一 所以-号<0， ∴f()=(1-1)2-1=-24, f（.x)=x2-2x(.x≠1). 综上可得，)>2或-是<)0， 2由奥x-g告喜-岂-+告号在区 因此fx)的值线是[-号.0]U2,+∞) 间(2，十)上单调递增， 5.D提示：在③中，令c=0,则4b=ab+a十b 2a+1<0,即aK-之 )=*音-+-(+)广-，易知函 10.(1)由题意知，函数在定义域上为增函数，则实数a应 数)的单调递减区间为（一©，一号] <2, &.提示：由反比例函数的性质知函数f)=} 满足4>0， 解得1≤a≤4. 22-2a+5a≥2a+5. 上a>0,>0在[号，2]上单调递增， (2)g(x)=x2-4a.r十3=(x-2a)2+3-4a2,其图象 的对称轴为直线x=2a, 1 由(1)得2≤2a≤8. 解得a= f(2)=2. 11 a2=2 ①当2≤2a≤3.即1长a≤号时，ha)=g2a)=3-4: 7.a≤3.提示：由题意可知，存在x∈[0,1]，使得a≤ ②当3<2<8.即号<u≤4时.ha)=g3)=12-12u 成立只蛋a<(告)令y=带 3-4d,1a< (x∈[0,1])，令t=x+1,则t∈[1,2]，且x=t-1,则 综上可得，h(a) g0)=二《士3=-4+2+2因为g0=-什 12-12a,号<a< 兰+2在：1,2]止单调递减，则g0-1)=3, 1.肥知得f=22+1兰-2x+2+片十 所以a≤3. r=(x+)》'+2(x+2)-2, -31 令=+子因为x[1.2],所以1∈[2，号]，所以 又：f(x)在(0，+o∞)上是增函数， 令y=+21-2 ∴(m）)≥fmm. 所以，当=2时，=2+2X2-2=6,当1=号时， (m安)≥m+m 2 =(号）广+2x号-2= 4 C拓展拔高练 即fc=6e加-头 L当a>0时，fx)=装+是为对勾函数f)在 所以对任意，∈[1,2]，f八n)一f)≤f(x) (一©，一]上单测递增，在[-侣0)上单调递减， 所以对任意x,∈[1,2]，都有f(x)一f(x)≤ 在(o,]上单调递减，在[白，+)上单调递始。 当a<0时，f(x)=一 +x)在(-，0. 即4m-7m-1≥0，解得m≤-1或m≥， (0,十∞)上单调递减. 2.(1)若M=②，则显然有M二N: 所以实数m的取值范固是(-0，-1U[,十∞)。 若M≠，则对任意∈M,满足f()=, 12.(1)令m=n=1,由条件得f(1)=f(1)+f(1). 所以f((x)=fx)=x. 故∈N,所以M仁N. 所以f(1)=0. (2)M=N. (2fm)=f(·n)=f(四)+f 用反证法证明： 即f(g）=fm)-f. 假设M≠N,由(I)知二N,则必存在x∈N,但∈ M,因此f()≠x (3)任取x2∈(0，十oo),且x<,则>1. ①若f()>,由于f(x)为单调递增函数， 所以f(f(x)>f(x),即>f(),矛盾： 由(2)得f)-f)=f(货）>0. ②若f(x)<,由于f八x)为单调递增函数， 即f(x)>f). 所以f八f(x)<f(),即x<f八x),矛盾. f(x)在(0，十∞)上是增函数. 综合①②可知f(知)=1，因此∈M与假设矛盾， (4):f(2)=1,.2=f(2)+f(2)=f(4). 所以假设不成立，故M一N :fx十2)-f2x)>2,.fx+2)>f(2x)+f4), 3.2.2奇偶性 ∴.fx+2)>f(8.x). 变式训练答案 又，f(x)在(0，十∞)上为增函数， [变式1]ACD提示：A选项，令F(x)=f(|x)g(x, /x+2>&, F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=F(r). x>0, 解得0r号. A正确. 故不等式/+2》-2>2的解集为0<号} B选项，令F(x)=f(x)g(|x|),F(-x)= 5由题意得m十@-支/m. f(-x)g(-x)=-f(x)g(lx)=-F(x). 2 ∴F(x)为奇函数，故B错误. C选项，令F(x)=fg(x),.F(-x)=f(g(-x)= f(生)=[r(安)+f(生] f(g(x)=F(x),故C正确. =("）). D选项，令F(x)=g(f(x),F(-x)=g(f(-x) g(一f(x)=g(f(x)=F(x),故D正确. :(安Ψ)-mm=(2)≥0. [变式2]C提示：：f(x)是定义在R上的奇函数， f0)=0. ∴(")≥m(当且仅当m=n时取等号). 又：当x0时，fx)=3x2-2x十m, -32