3.1.1 函数的概念-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

第三章i 函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 基础过关练 测试时间：20分钟 C.[-7,+o∞) D.[-5,+o∞) 7.[题型3、4](2024·江苏杨州高邮调研)已知 1[题型3]函数y=3的定义域为 g(x)=f(2x-1)+1,且g(x)的定义域为 (1,4幻，值域为[3，+∞).设函数f(x)的定义 A.[-4,] B.[-4,0) 域为A,值域为B,则A∩B C.(0,1] D.[-4,0)U(0,1] 8.[题型3]求下列函数的定义域： 2.[题型3]函数f(x)=√4一x+√x2一4的定 (1)f(x)=√3.x-I+1-2.x+4. 义域是(). (2)f(x)=(x+3)0 Va-t A.[-2,2] B.{-2,2 C.(-∞，-2)U(2.+∞) D.(-2,2) 3.[题型1]以下四组函数中，表示同一函数的是 (. A.f(x)=|xl,g(t)=√ B.f(x)=√P,g(x)=(x) C)-号g=+ D.f(x)=Vr+1.Vr-1,g(x)=V-1 4.[题型2](2023·海南模拟预测)已知函数 f2x+1)=文，则f(5)的值为( 乃综合提能练 测试时间：30分钟 A司 1.[题型2](2024·郑州外国语学校月考)若函数 B.2 c D.3 1-2x)=二产(x≠0)，则f(侵) 1 5.[题型4]函数fx)=1十云(xER)的值域是 ( ) (). A.1 B.3 C.15 D.30 A.[0,1] B.[0,1) 2.[题型3](2024·西安长安区质量检测)已知 C.(0,1] D.(0,1) 函数f(x)=一x2十4x,x∈[m,5]的值域是 6.[题型4]若√x为实数，则函数y=x2十3x一5 [一5,4门，则实数m的取值范围是( 的值域为( A.(-o∞，-1) B.(-1,2] A.(-oo,十∞) B.[0,+oo) C.[-1.2] D.[2,5] 27 3.[题型2]某学校召开学生代表大会，规定各班 9.[题型3]已知函数f(x)=√a.x2-x十a的定 每10人推选一名代表，当各班人数除以10的 义域是R,则实数a的取值范围是 余数大于6时再增选一名代表.那么各班可推 10.[知识点1](2024·成都联考)已知集合A= 选代表人数y与该班人数x之间的函数关系 {x0≤x≤2}，B={y0≤y≤4}，则下列对应 用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大 关系能够构成以A为定义域、B为值域的函 整数)可以表示为( 数的是 (填序号). Ay-[制 B-[] ①y=2x:②y=x2:③y=|4-2.x:④y= x+5:⑤y=(x-2)2. c-[] -[] 1[题型幻若函数f(x)=背的值域为 4.[题型3]设函数f(x)的定义域是[0,1]，则函 [-1,4],求实数a,b的值 数f(x+a)+f(2xr+a)(0<a<1)的定义域 为() A[-受2] B[-受l-a」 C.[-a,l-a] n[-a,22] 5.[题型2]已知f(x)=x2一2018x,若f(m)= f(n),m≠n,则f(m十n)等于(). A.2018 B.-2018 C.0 D.10020 6.[题型2]下列函数中不满足f(2x)=2f(x)的 是(). A.f(r)=z B.f(r)=x-al C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x 7.[题型1、2](2024·江西赣州第三中学模拟预 测)如果函数f(x)对任意a,b满足f(a十b)= fa)·f(b),且f1)=2,则f2+f4)+ f1)f(3) 需+…+侣器 f2021的值为( A.2022B.2024 C.2020 D.2021 8.[题型1]若一系列函数的解析式相同，值域相 同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函 数”.函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同 族函数”共有( A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 28 12.[题型4]求下列函数的值域： 13.[题型2、3]如图，从边长为2a的正方形铁片 1)y=3a+2 的四个角各裁去一个边长为x的正方形，然 x-2 (2)y=√5+4.x-x. 后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体 (3)y=+x+1 x2+1· (4)y=3-x x2+1 的高度x与底面正方形的边长之比不超过正 常数1.试将铁盒的容积V表示为关于x的 函数，并求出其定义域 C拓展拔高练 测试时间：10分钟 1.(复旦大学自主招生)已知函数(x)的定义域 为(0,1)，则g(x)=f(x十c)+f(x-c)在0 c<时的定义城为 ). A.(-c,1+c) B.(1-c,c) C.(1+c,-c) D.(c,1-c) 2.(2018·全国高中数学联赛浙江赛区预赛)设 f(x)=x+1|+|x-x一2|，则f(f(x)+ 1=0有 个不同的解。 29(分)=1.故[2+/号)门+[3+/3)门+ 真题演练答案 1.B提示：易知函数f(x)的定义域为（一o∞，1]，即M= [0+(合)门=3面/=2，所以+2+ (-o∞，1]，故CRM=(1,+∞). (侵)+3+（号）++()号 10≤2≤2. 2.B提示：要使g(x)有意义，则 .x-1≠0， [变式3](1)使式子√②x+6有意义的实数x的集合是 解得0x<1,故所求的定义域为0,1). (xx≥一3}，所以函数的定义域为{xx≥一3}. 3.3.提示：由f(2)=1+2-a=1可得a=4, (2)使式子√一x有意义的实数x的集合是{x≤)， 所以f(1)=11一11+11-4=3. 4.-2:1.提示：因为f(x)-f(a)=x2+3x-a2- 使式子写十有意义的实数x的集合是xx+-5, 3a2,(x-b)(x-a)2=(x-b)(x2-2ax十a2)=x23- 所以函数)=V+写十的定义城是x≤I (2a+b).x2+(a2+2ab)x-a2b. 3=-2a-b. 且x≠-5， a=-2, 所以3a2+2ab=0, 解得 [变式4](1)因为函数f(,x2+1)中的x2+1相当于函 b=1. -a2-3a2=-a2b. 数f(x)中的x,所以0≤x2+1≤1. 练习册答案 所以一1≤x≤0，所以x=0, A基础过关练 所以f(x十1)的定义域为0. (2)因为f(2x一1)的定义域为[0,1)， 1.D2.B3.A4.A5.C6.D 即0r<1,所以-1≤2x-1<1, 7.[2,7.提示：g(x)=f2x-1)+1的定义域为(1,4]，值 城为[3，十∞)，则f(2x一1)的定义域为(1,4幻，值域为 所以f(x)的定义域为[一1,1)， [2,十o).由1<x≤4得1<2x-1≤7， 所以-1<1-3<1，所以0<r≤号 ∴fx)的定义域为{x1<≤7=A.值域仍为[2，十o), 所以1-3)的定义域为(0，号] .A∩B=[2,7]. 3r-1≥0. [变式5]由题意知a.x十1>≥0，a<0, 8.(1)要使函数式有意义，必须满足 1-2x≥0， 六<-日，即函数的定义域为（一0，一] ,函数在区间（一©，1门上有意义， 即 所以≤≤即函数的定义域为[片，] ≥1 x十3≠0， (2)要使函数式有意义，必须满足 又，a<0,∴.-1a<0 1|x-x>0, 即a的取值范围是[一1,0). x≠一3， x≠一3， 即 解得 [变式6]已知函数式可变形为yx2+2x+3y=2.x2+ lr>z. 0. 4x-7,即(y-2).x2+2(y-2)x+3y+7=0, 所以函数的定义城为（一6©，一3）U(-3,0). 当y≠2时，将上式视为关于x的一元二次方程. B综合提能练 ,x∈R,∴.4≥0，即[2(y-2)于-4(y-2)(3y+7)≥0， 1.C2.C3.B 整理得2+5y一18<0，解得-号<<2（也可以依据 0≤x+a≤1， -a≤x1-d, 二次函数y=2x2+5x一18在x轴下方的图象求解). 4.A提示：由0≤2x十a≤1，→ <号 当y=2时，3×2+7≠0，不符合题意，应舍去. 0<a1 0a<1, 故函数的值域为[-号，2)。 解得一<<2 24 5.C提示：由f(m)=f八n)知m,n关于抛物线y=x .4y一4by-a≤0的解集为[-1,4] 2018x的对称轴对称，故m+=2018,f(2018)=0. 即4y2一4by-a2=0的解为y=一1或y=4, 6.C提示：对于选项A.f(2x)=2x=2x=2f(x. (b=-1+4=3, 0(x≥0)， 对于选项B,f(x)=x一|x= 当x≥0时， 2x(x0). =-1×4=-4, f(2x)=0=2f(x):当xr<0时，f（2x)=4x=2·2x= a=4,a=一4， 2f(x),恒有f(2x)=2f(x). 或 b=3 b=3, 对于选项C,f(2.x)=2.x十1=2f(x)-1. 对于选项D,f(2.x)=-2.x=2(一x)=2fx. a=∫a=-4, ∴.实数a,b的值为 或 7.A提示：f.x)对任意a,b满足fa十b)=f(a)f(b)且 6=36=3. f0)=2,f@出=f0)=2,f2+f+fg fa) 13)f 120y号2+8-3+2且20， x-2 十+X2022) =1011×2-2022. y≠3，∴函数的值域是{yy≠3. f(2021) (2):y=√5+4x-2=√-(x-2)+9,-(x-2)2+ 8.C提示：由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个 数.函数解析式为y=亡，值域为1,4，当x=士1时，y=1 99,y3. 当x=±2时y=4,则定义域可以为1,2，{1，一2卧，{-1,2， 又，√5+4x-x≥0，.函数的值城是[0,3] {-1,-2,{1,-1,23,{1.-1,-2},{-1,2,-2},1,-2,2, (3)原函数可化为关于x的方程(y一1)x一x十y一1=0 1,一1,2，一2，因此同族函数”共有9个 当y=1时，x=0,满足题意： g[合十o∞).提示：)=√ar-+a的定义域为 当y≠1时，4=(-1)2-4(y-1)(y-1)≥0， R.即a.x2-x十a≥0的解集为R. 解得2<<受。 ①当a=0时，一x≥0，x≤0，不合题意. ②当a>0时，有4=1-4a≤0，÷a≥2或a≤ 综上所述，函数的值城为[之，受] -安，> （④方法-由y一弄得-号 ③当a<0时，由y=ar一x十a的图象知不合题意. 又x≥0， 0 棕上可知a心 .一1<y3,∴.函数的值城为(-1,3]. 10.①②③⑤.提示：判断能否构成以A为定义域，B为 值域的函数，就是看是否符合函数的定义，对于①y= 方法二y=3 x+1 -2+1D+4=-1+中 2+1 2x,当定义域为A={x0≤x≤2)时，显然其值域为 ”x>≥0，x2+1≥1， B=(y0≤y≤4，故①满足条件：显然②③⑤同样也 满足条件：对于①y=x十5，若其定义域为A=(x0≤ 0有<4， x≤2，则其值域为y5≤≤71，因此④不满足条件. -1K-1++有≤3， I山，设y=十 x”+1 ∴.函数的值域为（一1,3]. 去分母得关于x的方程yx2一a.x+y一b=0, ⊙ 13.依题意知，长方体铁盒的高为x,底面正方形的边长 当y=0时，方程①有解，y可以取0 为2a-2x,则V=(2a-2x)产x=4r(a-x) [0x<a, 当≠0时，方程①要有解，则需△=a2一4y(y一b)≥0， 0<ra, 2at ∴.4y2-4hy-a2≤0. 2a-2x≤1， 0<x≤1干2 :)的值蚊为-1，们， 2at 2at u1甲21f2>0.0Cr≤十2i -25 .铁盒的容积V=4x(a一x)2,定义域为{x0<x≤ 2=0.当≤0时，f()=+21, ∴.+21=1一2，则十t十2=0，此方程无解 2at 1+2 当>0时，f)=-f,∴.-r=1-2. C拓展拔高练 ∴产+1-2=0，∴1=1或1=-2（舍去） ∴.f(a)=1,可得a≤0且a2+2a=1, 0x十c1, L.D提示：要使函数式有意义，需 0<x-c<1, 解得a=一√2-1. -<x<1-c, 真题演练答案 即 c<x<1+c. 1.-号.提示：由题意可得f(-多)=f(-之) 因为0<<号，所以c<<1-c,即定义域为c,1一 -x-3,x≤-1， -是+（号）=（号）=号--0 x-1,-1<x≤0， 2.3.提示：由题意可得f(x)= 则一名十a=0= 3.x-1.0<xr2, x+3.x>2. 故50)=/3)=-1D=-1+号=-是 因为f(f(x)+1=0,所以若f(x)≤-1，则一f(x) 2.C提示：由小明的运动规律知，小明距学校的距离应 3+1=0,得f(x)=-2: 逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段， 若-1<f(x)≤0，则f(x)-1+1=0,得fx)=0: 若0<f(x)≤2，则3f(x)-1+1=0,得f(x)=0,此情 途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降得 况不符合题意，舍去： 快故选C 若f(x)>2,则f(x)+3+1=0,得f(x)=-4,此情况 (x,m, 3.(3,十o∞).提示：f(x) 不符合题意，舍去 x2-2m.x+4m,x>m. 所以fx)=-2或f(x)=0. 当x>m时，f代x)=2-2r十4m=(一m)2+4n一i, 因为当x≤-1时，f(.x)≥-2： 其顶点为(m,4m一m2). 当-1<x≤0时，-2<f(.x)≤-1： 当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x=m的交点为 当0<x2时，-1<f(x)≤5： (m,m）. 当x>2时，f(x)>5, m>0, 所以由f(x)=-2得一x-3=-2,解得.x=-1: ①当 即0<m3时，函数f(x)的图象 ,4一≥m, 由f(r)-0得-x-3-0或3x-1=0,解得x=-3或 =3 如图1所示，易得直线y=b与函数f(x)的图象有一个 或两个不同的交点，不符合题意： 所以f(f(x))十1=0共有3个不同的解. (m0, 3.1,2函数的表示法 ②当 即m>3时，函数f(x)的图象如图2 4n一㎡<m, 变式训练答案 所示，则存在实数b满足4n一≤n,使得直线y=b [变式（什，） 提示：∈A,即0<<2， 与函数f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意.综上 )=+7<+<1 所述，m的取值范围为(3，十∞). 即≤)<1，即f)∈B, ∴.ff（x)=21-f八.x)]=1-2m∈A, 即0<1-2红<号解得}<<号 又0<<分，“<<号 1 1 [变式2]一√2-1，提示：令f(a)=1,则f()一1十 图 图2 -26