2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 A基础过关练 测试时间：15分钟 x>2. 1.[题型1]若不等式a.x2十bx+c>0(a≠0)的解 (1)求a,b的值. 集是空集，那么下列条件中正确的是( (2)解不等式a.x2-(ac十2)x十2c<0. ). A.a<0且b2-4ac>0 B.a<0且b2-4ac<0 C.a<0且b-4ac≤0 D.a<0且b-4ac≥0 2[题型3]不等式<0的解集为( A{-2<<1 B{-2<<1 C{女r<-2或> D.{x≤2或l 3.[知识，点2]设ac>0,二次函数y=a.x”十bx十c 乃综合提能练 测试时间：40分钟 的图象可能是( 1.[题型2、4]在R上定义运算②：.x②y=x(1 y),若不等式(x-a)⑧(x十a)<1对任意实数 x恒成立，则( A.-1<a<1 B.0<a<2 c-<a<号 n-是<a<号 2.[题型2、4]Hx∈R,不等式(m2-4).x2+(m 2)x+1 干2>0恒成立，则实数m的取值范围 4.[题型4]当x∈{x1<x<2}时，不等式x+ mx十4<0恒成立，则n的取值范围是 是() A.{m2≤m≤6】 B.{mm=一2或2≤m<6 5.[题型2,3]已知关于x的不等式a7一1 x+1 <0的 C.{mm<-2或2≤m<6) 解集是{xx<-1或x>-2},则a D.{m2≤m<6 3.[知识点2](2024·江苏高一专题练习)（多选）已 6.[题型2](2024·全国高一课时练习)已知不 知关于x的不等式a<-3x十4<b,下列 等式a.x2-3x十b>4的解集为{xx<1或 结论正确的是(). 21 A当a1时，不等式a≤-3x十45的 8.[题型2]已知关于x的不等式a.x十hx十c<0 解集为☑ 的解集是{女<-2或>}，求ar- B当a=2时，不等式a≤子x-3x+4长b的 b.x十c>0的解集. 解集可以为{xc≤x≤d}的形式 C不等式a≤r2-3x+4<b的解集恰好为 (xu≤r<bi,那么b=号 D.不等式a<子-3x+4<b的解集恰好为 (xa≤x≤b},那么b-a=4 4.[题型2](2024·重庆测评)若不等式ax-3z +2>0的解集为{xx<1或x>b},则a十b 9.[题型23]解关于x的不等式：ax>0. 5.[题型3](2023·广东中山一中统测)不等式 马<x+1的解集是 6.[题型2,3已知关于r的不等式中<0 x-x+1 的解集为心，则实数k的取值范围是 7.[题型4](2023·全国高一单元测试)关于x 的不等式a.x2-x+2a≥0的解集是R,求实 数a的取值范围. 10.(2024·华东师大一附中高一月考)解不等 式：≥引 22 11.[题型1门某企业生产一种机器的周定成本（即 12.已知一元二次函数y=a.x2+bx+c(a>0, 固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又 c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点，其 需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市 中一个公共点的坐标为(c,0),且当0<x<c 场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单 时，恒有y>0. 位：万元)的函数为R=5x之2(0<1≤5)， )当u=1,c=时，求出不等式ar2+bx+ 其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）. c<0的解. (1)将利润表示为年产量的函数 (2)求出不等式ax2+bx十c<0的解（用a,c (2)年产量为多少时，企业所得利润最大？ 表示). (3)年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？ (3)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交 点为顶点的三角形的面积为8，求a的取 值范围. (4)若不等式m-2kn+1十b十ac≥0对所有 一1≤k≤1恒成立，求实数m的取值范围. C拓展拔高练 测试时间：10分钟 1.若不等式a2+8好≥b(a十b)对于任意的a,b∈R 恒成立，则实数入的取值范围为 2.若关于x的不等式(a.x-1)2<x2恰有2个整 数解，则实数a的取值范围是 23时，y=一4：当x=4时，y=-1,故y=x2一4x一1在 5.-名提示：骨09x+1D(a-1<0,其解集 x∈{x1≤r≤4}时的最大值为-1，故a≤一1. 真题演练答案 是{xx<-1或x>-},当且仅当x=一号是方 L.A提示：P={xx≤-1或x≥3}，故P∩Q={x3≤ 程ax一1=0的解.故a=一2. x<4}. 6.(1)因为不等式ax2-3x+b>4的解集为{xx<1或 2.(x-41.提示：-x2-3x+4>0→(x+4)(x x>2}, 1)<0→-4<r<1. 所以x=1,x=2是方程ax2一3x十b-4=0的根， {a要<a<}. 提示：不等式可化为(4一a)x2 3=1+2 根据韦达定理得 4x+1<0, 0 b-4=1×2 由原不等式的解集中的整数恰有3个， 解得a=1,b=6. 4-a>0, 得 即0<a<4. (2)由(1)可将不等式化为x2-(c+2)x+2c<0, 16-4(4-a)>0 即(x-c)(x-2)<0. 由①得1 11 2+a 当c>2时，不等式的解集为{x2<x<c: 所以解集中的3个整数必为1,2,3， 当c=2时，不等式的解集为0： 当c<2时.不等式的解集为{xc<x2. 所烈36解得的号 B综合提能练 4.C提示：若a,b,2a+b互不相等， L.C提示：(x一a)☒(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]= a0, (x-a)(1-x-a）, 则当≤0，时，原不等式在x≥0时恒成立， 则(x-a)@(.x十a)<1→(x-a)(1-x一a)<1. 2a十b≤0 又(x一a)(1一x一a)<1对x∈R恒成立， 又因为ub≠0，所以b<0: 即x2一x一a2+a+1>0对r∈R恒成立， a≤0， 所以△=1-4(1+a-a2)<0, 若a=b,则当a=, 时，原不等式在x≥0时恒 即4a2-4a一3<0，解得- 2a+b≤0 成立， 2.D提示：当m=2时，原不等式化为>0恒成立。 又因为ab≠0，所以b<0: 当m≠2且m≠-2时，要使对Hx∈R,不等式(m2 a≥0， 若a=2a十b,则当a=2a十b,时，原不等式在x≥0时 4r+(m一2r+m十2>0恒成立，则 ≤0 m2一4>0. 恒成立，又因为ab≠0，所以b<0: 4=(m-2)2-4(㎡2-4)，1 +2<0. 若b=2a十b,则a=0,与已知矛盾： (m十2)(m-2)>0, 若a=b=2a十b,则a=b=0,与已知矛盾. 即 解得2m<6. (m-2)(m-6)<0, 综上，b<0. 综上所述，m的取值范围是{m2≤m<6, 练习册答案 3AD提示：设y子广-3十4，r∈R.则y=是( A基础过关练 2)十1.对于A,y21,.当a<<1时.不等式 1.C2.A3.D 4.m≤一5.提示：因为y=x2+mx+4的图象开口向 a<是2-3x十4b的解集为3.所以A正确 上，依题设知，当x=1时，y≤0：当x=2时y≤0. 对于B,在同一平面直角坐标系中作出函数y一子 1十m+4≤0， 即 解得m≤-5. 4+2m+4≤0. 3+1=是红一2y+1的图象及直线y=a和y=b的 -19 图象，如图所示 8依题意知x=一2和x=一号为a㎡+hx十c=0的两 个根，且a<0,由根与系数的关系有 3y=6 /8 y=4 D o-g0. 2 1--- 2-3x+4 =(-2)×(-2)=1,=a 4 -5-4-3-2-1可12345云 -1f 从而ad-+c>0可化为ar-号ar+a>0,又a<0. 由图可知，当a=2时，不等式a≤子2-3十4<b的 ∴2-+1<0，即2r-5x+2<0,解得2<x<2 解集为{xxA≤x≤neU{x≤x≤x}的形式，故B a-a+c>0的解集为安<r<2到. 错误。 对于CD.由y=圣(x-2)+1的图象知，若不等式的 9当a=0时，不等式化为-子>0，解得<0： 解集为连续不间断的，则a≤1，且b>1.若解集为xa≤ 若u>0,则原不等式可化为r一。 x≤b,则f(a)=f(b)=b,且b>2.当x=b时，y= 子-22+1-6解得6=4或6=子因为>2.所以 当0<a<1时a<日解得r<a或>d a b=4,所以a=0,所以b-a=4.故C错误，D正确. 当a=1时，不等式化为号0，解得x∈R且1， 4.3.提示：由题意得1，b为方程a.x2-3x十2=0的两 个根，则a一3十2=0，得a=1.又1×b=2,则b=2,从 当a>1时o>解得<或x>a: 而a十b=3. 1 5u政-<<1.提示：“<+1 若a<0.则不等式可化为，日<0， +1>0,即>0， :2h20. 当a<一1时，a<，解得a< x-1 x>2或-V2<x<1. 当a=-1时，不等式可化为<0，其解集为0， 6.k0<4.提示：“-x+1=(x-号）广+子>0 当-1<a<0时a>,解得<<a 恒成立， 综上，当a<一1时，不等式的解集为女a<<日}： 不等式等价于kx2一kx十1≤0的解集是d, 当a=一1时，不等式的解集为0： 当k=0时.1≤0不成立，解集是财： k>0, 当-1<a<0时，不等式的解集为女日<<a: 当≠0时，{ 解得0《k<4. △=k2-4k<0, 当a=0时，不等式的解集为{xx<0: 综上，0≤k<4. 当0<a<1时，不等式的解集为<a或>： 7.不等式ax2-x+2a>0的解集是R. 即对于x∈R.ax2一|x|+2a≥0恒成立，即a≥ 当a=1时，不等式的解集为{xx∈R且x≠1}： IrL 2+2 当a>1时，不等式的解集为{<或x>a小 当x=0时，a≥0： 1原不等式可化为若二串<0，即2-10+9… la 1 当x≠0时a2+2x+名 (3.x2-13x十4)<0或x2-10.x十9=0，即(.x-1)(x 9)(3.x-1)(x-4)<0或(x-1)(x-9)=0. 因为1 1 x+2x·2 2 4 -20 由图可知，原不等式的解集为<x≤或4< 当m>0时，m≥(2k)mx=2: 当<0时，m≤(2k)=一2： 当m=0时，0≥2k·0,对所有一1≤k≤1恒成立. ≤9 从而实数m的取值范围为m≤一2或m=0或≥2. 11.(1)设利润为y万元， C拓展拔高练 5r-r-0.5-025r0≤≤. 1.a一8≤≤4.提示：以a为主元，即a2一加十 得y= (8一入)≥0，要使不等式对任意的实数a恒成立，只需 5×5-号×-0.5-0.25rr>5. (b)-4(8一)6≤0，即(a2+4λ-32)≤0，从而只需 即y= 2r+4,75x-0.5(0≤r≤5. 2+4以一32≤0，解得-8≤1≤4. 12-0.25x(x>5). 2{a-昌<a<-音或分<a≤受引 提示：不等式 (2)显然当0≤≤5时，企业会获得最大利润， (a.x-1)'<x可化为[(a+1).x-1[(a-1)x-1]<0. ①当a=1时，原不等式等价于2x一1>0，其解集为 此时y=-号一475)产+10.78125 {>2},不满足题意： ∴x=4.75,即年产量为475台时，企业所得利润最大 ②当a=一1时，原不等式等价于2x十1<0，其解集为 (3)要使企业不亏本，则y≥0. 0≤r≤5， x>5, {xx<一号}不满足题意： 即 或〈 -2r+475x-0.5≥0112-0.25x≥0. ③当>1时原不等式等价于()()<0， 得0.11≤xr≤5或5<x≤48，即0.11≤x≤48. 即年产量在1】台到4800台之间时，企业不亏本。 其解集为十<<马}： 1 12.(1)当a=1.c=2时y=广++号，二次函数图象 :其解集中恰有2个整数，∴2<。≤3， 与x轴有两个不同交点，其中一点为（号，0）。 解得子<a<受 设另一个交点为，0，则宁。=号即=1， ④当-1<a<1时，原不等式等价于-)： 故产+bx十号<0的解集为：}<<1。 (x)>0,其解巢为<或>}。 (2)已知二次函数的图象与x轴有两个交点，故一元二 不满足题意： 次方程有两个根，其中一个根=，设另一个根为， 则=台即=日 ⑤当a<-1时，原不等式等价于(x)(x 又当0<x<c时，恒有ar+bx+c>0.则>c, 。点)<0其解集为女a十<<。} ,其解集中恰有2个整数， 故ar2+b+c<0的解集为c<x<合}： -3<<-2解得-<a<-青 (3)由(2)可知，二次函数的图象与坐标轴的交点分 别为c,0.(日，0），(0，，以这三个交点为顶点的 综上可得ae{a-是<a≤-号或号<a<号}： 三角形的面积为S=是（合-加=8， 单元学能测评 1.C2.B3.B4.A /a-2<0, 5.A提示：由已知得 (4),当x=c时，y=0,.a2+x+c=0. △=[2(a-2)F-4(a-2)×(-4)<0. 又c>0,,.a+b+1=0. a<2, 即 解得-2<a<2. 要使m2一2km≥0对所有一1≤k≤1恒成立，则 -2<a<2. -21