2.2 基本不等式-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

2.2基本不等式 A基础过关练测试时间：5分钟 B综合提能练 测试时间：25分钟 1.[题型1](2024·湖北鄂州高中高一月考)设 1.[题型2]若实数a,6满足+号-ad.则ab 0<a<b,则下列不等式中正确的是( 的最小值为(). A.a<b</ab<atb 2 A.8 B.4 C.2√2D.2 B.a<abat中<b 2.[题型4]若正实数a,b满足a十b=1,则 2 (). C.a<Vab<b<atb A日+号有最大值4 D.va而<a<atb<b B.√a十b有最大值√② 2 9 2.[题型2]已知函数y=x一4+x十（x>-1), Cab有最小值} 当x=a时，y取得最小值b,则a十b等于 D+粉有最小值号 (). 3.[题型5]设正实数x,y,x满足x2一3xy+4y A.-3B.2 C.3 D.8 =0,则当子取得最小值时，x+2y一：的 3.[题型2](2023·重庆检测)√(3一a)(a+6) 最大值为( (一6≤a≤3)的最大值为( A.0 B号 C.2 n.} A.9 B号 C.3 ny2 4.[题型4]若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x 4.[题型3]已知x,y为正实数，且x十4y=1,则 +4y的最小值是( xy的最大值为( A号 R警 C.5 D.6 A B日 D克 5.[题型2]某地为了加快推进垃圾分类工作，新 5.[题型2](2022·云南建水实验中学高一阶段 建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨 垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本 练习)若存在x∈{女2<x<2,使得2 y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函 Ax十1<0成立是假命题，则实数入可能的取 数关系可近似地表示为y=号r-30r十 值范围是 80000,为使每吨的平均处理成本最低，该厂 6.[题型1已知a,6xy都是正实数，且。十方 每月的处理量应为( A.300吨 B.400吨 =1,x2+y2=8,则ab与xy的大小关系是 C.500吨 D.600吨 6.[题型4]已知a>0,b>0,c>1,a十2b=2,则 7.[题型3](2023·河南洛阳高三模拟)已知0x <2,则x(5一2x)的最大值为 (日+号)+名的最小值为 19 7.[题型4幻(2022·江苏江浦高级中学高一阶段 (1)试用x,y表示S. 练习)已知正数x,y满足x十4y一xy=0,则 (2)若要使S最大，则xy的值各为多少？ 的最大值为 a米 8.[题型5]已知正实数a,b,c满足a2+4b= y米 32,则后+元的最小值为 米 9.[题型2]已知m>1,n>0,且m2十2n=3m.求 x米 吕+的最小值 C 拓展拔高练 测试时间：10分钟 1.若a>0,b>0,且(a+b)√ab=1. （求品+是的最小值 (2②是否存在0,6.使名+品的值为气？请说 明理由. 10.[题型2]桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种 独具地方特色的农业生产形式.某研究单位 打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购 置一块1800平方米的矩形地块，中间挖出 三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四 2.记max{a,b}为a,b两数的最大值，当正数x, 周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，鱼塘 周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占 >y度化时4=mxr,的最 面积为S平方米，其中a:b=1:2. 小值为 20题日转化为：巴知十号1，求号(3：+》号的最 3.4.提示：因为山b>0,所以+h+12@万+1 ab 小值 又+y=(+(+号)=4++≥4+2， 中la6+品≥2Va6~品=4，当且仅当 ab y =2 当组仅当x3一厅+1时等号成立 时取等号，故十6+山的最小值是4. ab-2 则号(3x+y)- 34+253=1+2圆 2 2 2 2 4{<<以 提示：由已知可得y=1一x,则x2十 [变式六 提示：：a十4h>2/4ab=4Vab(当且仅 y=2+1-x)2=2r-2x+1=2(x-号）》'+号 当a=4b时等号成立)， (0≤≤1).当x=0或x=1时，x+y取得最大值1， ∴.(a十4b)2≥16ab(当且仅当a=4h时等号成立)， 当x=之时，+了取得最小值号，所以2+y的取 a·4h≥l16ab+4 …(a+by+4 值范调是<r+y<1. 8(当且仅当。=4b时等号成立)， 练习册答案 (2a)P+=8,解得a=1,故=子 A基础过关练 真题演练答案 1.B2.C3.B4.C 1合提示：方法-由5y+y=1得r=动 5.≤22. 提示：由题意得，任意的2≤<2,2x-寸 苦则+=京+号>2每·号-青当且 1≥0成立是真命题，故2x+上≥A在2≤<2上恒 仅当动号，即了-古时取等号.则子+少的最小 成立.由基本不等式得y=2x+}≥2√2· 值是专 方法三4=(6+yr)·4y<[5r士+址] 时，等号成立，故≤22. .ab4. 空+y,则2+y>清当且仅当5d+y=4w=2, 6强示+古 而x2+y2≥2xy,∴ry≤4.ab≥xy. 即2=品y=时取等号，则+少的最小值是号 1空提示：0<r<2,0<2r<4,5-2r>0.则 2.43.提示：+1)(y+)=2zy+2y+x+1 Vry Vry 5-20-号2x6-23[2+g20]- 2 2=2+6.由x+2y=5得5≥2√2 zy 号×华-装当且仅当2-5-2，即一号时，等号 即v<平，即0<得当且仅当-2y一号时等 成立，故x6一2)的最大值为气。 号成立 B综合提能练 2四+>2√2·店=4，当且仅当 √y 1.B提示：因为2十青=瓜.所以>0.b>0 a 2=即-3时取等号，结合≤曾可知， +2画 √ab xy可以取到3，故+D3+D的最小值为4v3. 所以alb≥4. 当且仅当a=1,b=4时，ab的最小值为4. -15 2.B提示：，正实数a,b满足a十b=1, 7.手提示：因为>0，y>0,x+4y-y=0,所以1十 “+片-+-2++g b 放日十石有最小值，故A错误： }-1,放x+y-(任+号)x+)=5++号≥ ,(wa+vb)=a+b+2√ab=1+2√ab≤1+a+b=2, 5计2√空·号=9当且仅当=号且生+=1， x y ∴a+√b≤2，故a+V石有最大值2，故B正确： 即1=6=3时，等号成立.所以x十29，放 由基本不等式可得a十b=1>≥2ab, ∴a心ab有最大值子，故C错误： 音，则的最大值为号 :d+6=a+b-2a6=1-2ab>1-号-， 836 3 提示：因为3C=ad2+4h≥4ah,即c>号ab, 故a+?有最小值受，故D错误。 3.C提示：2=x2+4y2-3xy≥2(x·2y)-3xy=xy,当 上述两个不等式均是当且仅当a=2b时取等号， 且仅当x=2y时等号成立，此时子取得最小值.于是 所以后十云的最小值为 +2-=2+3-2=22-≤2（号）=2. 9.因为m2+2n=3m,所以2n=3m-m,因为n>0,m> 当且仅当y=1时等号成立.综上可得，当x=2,y=1, x=2时，x十2y一z取得最大值2. 1,所以2a=3m-m>0,得1<m<3.所以2十 4C提示：由+3y=iy得经+号-6 0n号+2”m马+zx =2 5a+4-(2+号)水a+0-++18>5 记a=m-1,b=3-m,则a十b=m-1十3一m=2, y xr 3x十5，当-1.即x=1w号时，等号成立. 所以=1，且4>0,6>0， 2 1 5.B提示：300≤r≤600，y2t-300r+80000, +0-0≥2√0 义=1 -300 出号+女+品≥号+2√品×吾-号，当且仅 10,当且仅当分=800，即=40时取等号。 当品台即号。=青时等号成立，此时m子 为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应 为400吨. 6學提示：日+君-号（日+号）a+2) 10.(1)由题可得，xy=1800,b=2a, 合(5+验+器)≥号×6+=号，当且仅当a== 则y=a十b+6=3a+6, 号时等号成立（应用基本不等式时注意等号成立的条 S=(x-40a+(x-6)b=(3x-16)a=(3r-16)6 件.所以（日+号）+号>号-D+名+号≥ 1832-6x96>6>6wy=180y. 2√·高+号-号当且仅当2 (2)s=1832-6x-9<1832-2√6r·9y 16 马即(=号且a=6=号时，等号成立放最小值 1832-480=1352. 为号 当且仅当6x=9y且w=180,即x=40y=45 -16 时，S取得最大值1352. 集为{x1<x<6}. C拓展拔高练 (3)原不等式可化为82-8x+>4x-x2, 即9x2-12x+4>0. 1.I)a+b)va而-1，a+h= ab 解方程9r-12十4=0.得=6=号 ,"a>0,b>0,,.a+b≥2ab, 结合二次函数y=9x一12x十4的图象知，原不等式的 高2画，0 解集为{x≠号 当且仅当。=6-号时等号成立。 [变式2] {<<a小. 提示：原不等式可化成 (x-a)(x-a)<0,因为-1<a<0,所以a>合故 当且仅当a=号时取等号。 原不等式的解集为{日<<小： 故。+是的最小值为4v厄 [变式3]当a<2时，(a-2)x+(2a-1)x+6>0→ [(2-a)x-3](x+2)<0,故解集为x-2<x< @>00,法+动2√会高高 11 11 2 当且仅当名品时取等号。 当a=2时，3r十6>0，解得x>-2,故解集为{.x 又a长号，当且仅当a=b时取等号， x>-2: 站+动9 当a>号时.a-2)r2+(2a-1)x+6>0→[a-2)z <2不存在使和十的值为 +3(x十2)>0，由于22。>-2.放解集为 25 {>22。或r<-2: 2.10.提示：由题意知t≥x>0, (-m>0, 当2<a<号时，由于22。<-2，故解集为 .xr· 25 y(r-y)' 25 25 100 {>-2或x<22a: y+(下 当a=号时，(a-2).r+(2a-1Dx+6>0→r2+4r+ =100. 4>0,故解集为{xx≠一2. ≥100.即≥10，则当正数x,y(x>y)变化时，t= 25 综上所述，当<2时，解集为-2<<2： max,y户}的最小值为10， 当a=2时，解集为{xr>一2}： 2.3二次函数与一元二次方程，不等式 变式训练答案 当>时，解集为{>22或x<-2: [变式](1)解方程x2一5x一6=0，得=一1，=6. 当2<a<号时，解集为{>-2或r<22a: 结合二次函数y=x一5.x-6的图象知，原不等式的解 集为{xx<-1或x>6}. 当a=7时，解集为xx≠-2. (2)原不等式可化为x2-7x十6<0. [变式)方程2x+a.x+2=0的判别式△=a2-16= 解方程x2-7x十6=0，得x=1,2=6. (a+4)(a-4). 结合二次函数y=x一7x十6的图象知，原不等式的解 ①当a>4或a<-4时，△>0，方程2x+a.x+2=0的 17