2.1 等式性质与不等式性质-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 A基础过关练 测试时间：20分钟 是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个 1.[知识点1门(2022·福建龙岩期中)为安全燃放 矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小 某种烟花，现收集到以下信息： 关系，并将这种关系用含字母a,b的不等式表 ①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米： 示出来： ②人跑开的速度为每秒4米：③距离此烟花燃 放点50米以外（含50米）为安全区， 为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索 的长度x(厘米)应满足的不等式为( 图1 图2 0.650 A.4X 0.6550 B.4X s 7.[题型1]若x<y<0,试比较，，x,y的 T'V C4×6>50 D4X 大小 0.6≥50 2.[题型1](2023·江苏北大附属宿迁实验学校高 一阶段练习)下列命题为真命题的是( A.若a>b,则ac2>b B.若-2<a<3,1<b<2,则-4<a-b<2 C.若<a<0,则">” D.若a>b,c>d,则ac>bd 乃综合提能练 测试时间：30分钟 3.[题型1]设a=√2，b=7-3,c=√6-√2，则 1.[题型1]若上< <0,则下列结论中不正确的 a,b,c的大小关系为( ). 是( A.a>bc B.a>cb A.a<h B.ab<b C.b>a>c D.b>c>a 4.[题型1门有外表一样，重量不同的四个小球， c+>2 D.lal+>a+b 它们的重量分别是a,b,c,d,已知a十b=c+ 2.[题型1](2022·湖北部分重，点中学期末)设 d,a十d>b十c,a十c<b,则这四个小球由重到 a,b∈R,定义运算“A”和“V”如下： 轻的排列顺序是( ). a,asb, b,asb, anb= avb= A.d>bac B.b>oda b,a>b. aa-b. C.d-bc>a D.c>a>d>b 若正数a,b,c,d满足ah≥4，c十d≤4，则 5.[题型1]已知a<b,x=a3-b,y=a2b-a,则x (). 与y的大小关系为( ). A.aAb>2,c∧d≤2 A.r>y B.r<y B.a∧b2,cVd≥2 C.x=y D.无法确定 C.aVb≥2，cAd≤2 6.[知识点1门在如图所示的两种广告牌中，图1 D.aVb>2,cVd>2 17 3.[知识点1]设a,bc是实数x=d2-2b+号y 9.[题型1]若x,y都是正实数，且x十y>2,求 证：+1<2和十y<2中至少有一个成立. =B-2+吾2=2-2a+受，则x,y2中至 少有一个值( A.大于0 B.等于0 C.不大于0 D.小于0 4[题型1]已知三个不等式：①ab>0:②-名< 一号：Bk>ad以其中两个作为条件，余下- 10.[题型1]已知a>b>c,求证：ab+c+c2a> 个作为结论，则可组成 个正确的命题. ab2+be2+ca?. 5.[题型2](202·江苏镇江期中)已知0<a<受， 受<<，则2。一号的取值范用是 6.[题型1]设a,b,c∈R,且满足b十c=6 4a+3a2,c-b=4一4a+a2,则a,b,c的大小关 系为 7.[题型1](2022·浙江金华期末)某次全程马 拉松比赛中，选手甲前半程以速度α匀速跑， 拓展拔高练 测试时间：10分钟 后半程以速度b匀速跑：选手乙前一半时间以 1.设x,y为实数，且满足3≤cy≤8,4≤<9. 速度α匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑 (速度单位：m/s),若a≠b,试判断哪位选手先 则千的最大值是 到达终点 2.某地规定民用住宅的窗户面积必须小于地板 面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的 比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的 采光条件就越好.同时增加相等的窗户面积和 地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变 坏了？请说明理由。 8.[题型2](1)已知1≤a十b≤4，一1≤a-b≤2， 求4a一2b的取值范围. (2)已知4<a<10,2<<4,求%的取值范围. 18(1+=D>0, 2 ab,显然S>S,即2(c+)>ab ∴+x<1+ 7.x<y<0,∴.-x>-y>0,∴x>y2>0. r<y<0,1>0 方法二（平方法） “>0,+>1,1+号>1， 1<0,即0心1>1 (1-(1+受)广-千<0 x y 什x<1+ r>>> B综合提能练 方法三（几何法）如图，在R△ABC中，AD,AE分别 是斜边BC上的高和中线。 1.D2.C 3A提示：”x十y+=d2-2b+吾+-2+吾+ 2-2a+受=(a-1)+(6-1)2+(c-102+x-3>0, 1x ED 假设x,y,都不大于0，即x≤0，y≤0，≤0， 设CD=1,BD=1+x(x>0), 根据同向不等式的可加性可得x十y+0. ① 则AD=F,AE=1+中1-1+受， 又，x十y十>0与①式矛盾，所以假设不成立，即原命 2 题的结论x,y,:中至少有一个大于0. 由AD<AE可知，+<1+ 43.提示：对命题②作等价变形有二>4加一40. ab 真题演练答案 ,∴.ab与bc-ad同号，故①③→②，①②>③，②3③→①. 1.2a3-形-(2ab-a2b)=2a(a2-)+b(a2-)= (a2-)(2a+b)=(a-b)(a十b)(2a+b). 5.(-吾，）.提示：0<a<受，0<2a<x, 因为a≥b>0,所以a-≥0，a十>0,2a十b>0. 从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0，即2a-≥2al-a6 “登<K,六晋<-号<-吾 2.1,一1（答案不唯一，满足a>0,<0即可）. 晋<号< 3.D 6.c≥b>a. 提示：因为c-b=4-4a十a2=(a-2)2≥0， 4.(1)6.(2)12.提示：设男学生、女学生，教师人数分 别为xy,,则x>y> 所以≥A又因为6=[6+c)-(c-b]=[6 (1)若教师人数为4，则4<y<r<8,当x=7时，y取 4a+3a2)-(4-4a+a2)]=a2+1.所以b-a=a2 得最大值6. a+1=(a-号）广+2>0，所以6>u (2)当=1时，1=<y<x<2,不满足条件：当2=2 时，2=x<y<x<4,不满足条件：当：=3时，3=g< 综上可得，c≥b>a. y<x<6,y=4,x=5,满足条件.所以该小组人数的最 7.根据题意，设全程的距离为2 小值为3+4+5=12. 对于甲，前半程的时间为。，后半程的时间为方，则甲 练习册答案 A基础过关练 的时间一言+方- a ab 1.D2.B3.B4.A 对于乙，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速 5.B提示：x-y=a-b-ab+a=a(a-b)十(a-b)= 度b匀速跑，则有a×号+bX号=2，变形可得 (a一b)(a2+1),a<b.则a-b0,又a2+1>0,则 4s x-y=(a-b)(a+1)<0,故x<y. a十b 6(公2+)>a山提示：由题图可知，第-个广告牌 则有4-6-法-书。-a而【a+wP 的面积S=号（公+公），第二个广告牌的面积S= 4ub]-aba+n（a-b, 13 又a≠b,则一ta>0,故乙先到达终点. 又号≥10%，8册8≥10%， 8.(1)令4a-2b=x(a+b)+y(a-b). 所以4a-2b=(x十y)a十(.x-y)b. ,,同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采 所以 x十y一4·解得 x=1, 光条件变好了. x-y=-2,y=3. 2.2基本不等式 因为1≤a十≤4，-3≤3(a一b)≤6，两式相加， 变式训练答案 得-2≤4a-2b≤10. [变式刊由生√要得v牛≥号a+ 2:4a<10.2<K4,6<分 同理得v干≥号b+e.vF+石≥号e+o 1<a…<5,1<号<5 所以v5+V7+v+≥号a+)+ 9.假设+1<2和+y<2都不成立. y (b+c)+(c+a)]=√2(a+b+c). 即1+≥2,1+>2则1+≥21+y≥2x, y 故a+F+√+e+√+a≥√2(a+b+c),当 .1+x+1+y≥2y+2x,即2+x+y≥2(x+y) 且仅当a=b=c时，等号成立. ∴.2≥x十y,即x十y≤2 [变式2]由a2+≥2ab.+2≥2bc,2+a≥2a, 与已知条件x十y>2相矛盾，假设错误， 得a+6+c2≥ab+c+ca, “1中上<2和+<2中至少有一个成立 当且仅当a=b=c时，等号成立. y x 由题意得(a十b十c)2=1, 10.a2b+bc+ca-(ab +b+ca')=(a'b-b2)+ a+2ab+2bc+2ac=1: (c-al)+(c2a-ca)=b(a-c2)+(c-a)+ “3(ab叶k+ca)≤1，即adb叶c+ca≤分 a(c-a)=(c-a)(+a-a-x)=(-a)(c-b)· [变式3)C提示：原不等式可转化为a(x+1)十 (a-b). 1 2 因为a>b>c,所以c一a<0,c一b0,a一>0. >号.又a>0:期a2+10+≥ 则(c一a)(c-b)(a-b)>0, 1 即a2b+c+c2a-(a6+b2+ca2)>0. 2√ar+D·中市=2va,当且仅当a(r+1)= 所以a2b+序c+c'a>a+bm2+ca2. 1 ，即十=a时，等号成立.则根据恒成立的 C拓展拔高练 意义可知2≥号，解得。> 127.提示：4号≤9,16≤号<81 ① y [变式4](1)因为x>0,y>0,且x+8y-xy=0, 3≤xy≤8， ② 所以xy=x+8y≥2√8xy,故xy≥32， 当且仅当x=8y,即x=16,y=2时取等号，因此xy的 由0@可得2号·女≤27，即2号 27 最小值为32. 号的最大值为27 (2)由已知得8+士=1，所以x十y=(x+y)· 2.采光条件变好了.理由如下： 设住宅的窗户，地板面积分别为a,b,同时增加的面积 (登+)-9++号9+2W· 8y.x=9+42, 当且仅当8=二，即r=8+2②，y=2区+1时取等 为m依题意得a<b.且号≥10%。 号-需>0， 号，因此x十y的最小值为9十4√2. [变式5]D提示：设a+1=x,a十2b=y, 则a=-1,6=中，2a+b=3+0-是