1.4 充分条件与必要条件-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

1.4充分条件与必要条件 一A基础过关练 测试时间：15分钟 存在，请说明理由 1.[题型1]“x<2”是“x2<4”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.[题型1]设a∈R,则“a>4”的一个必要不充分 条件是(). A.a>1 B.a<1 C.a>5 D.a<5 3.[题型1](2024·河北衡水一中第一次调研) “x≠1”是“x2-3.x十2≠0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 乃综合提能练 测试时间：35分钟 C.充要条件 1.[题型1]“x>a”是“x>a|"的( D.既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 4.[题型1]已知a>0,b>0,则“ab>1”是“a+ B.必要不充分条件 b>2”的(). C.充要条件 A.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 2.[题型1门(2023·山东济宁实验中学高二检测) C.充要条件 如果A是B的必要不充分条件，B是C的充 D.既不充分也不必要条件 分必要条件，D是C的充分不必要条件，那么 5.[题型3]若集合A={xx>2,B={xb.x> A是D的( ). 1},其中b为实数 A.必要不充分条件 (1)若A是B的充要条件，则b= B.充分不必要条件 (2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范 C.充要条件 围是 (答案不唯一，写出一个即可). D.既不充分也不必要条件 6.[题型3]已知P={xx2-3x+2≤0}，S={x 3.[题型3]“不等式x2-x+m>0在R上恒成 1-1≤x≤1十m}. 立”的充要条件是( (1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要 条件？若存在，求出m的取值范围：若不 A.n Bm<号 存在，请说明理由. C.m<1 D.m>1 (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要 4.[题型1门(2023·山东济南外国语学校高一期 条件？若存在，求出m的取值范围：若不 中)（多选）对任意实数a,b,c,给出下列命题， 其中为真命题的是() B.必要不充分条件 A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 C.充要条件 B.“a>b”是“a2>”的充分条件 D.既不充分也不必要条件 C.“1<a<2”是“(a一2)2<1”的充分不必要 10.[题型1](2023·河南开封高一期中)“a> 条件 b>0”是“a2+a>b+b”的( D.“a十5是无理数”是“a是无理数”的充要 A.充分不必要条件 条件 B.必要不充分条件 5.[题型1门下列三个结论中正确的是( C.充要条件 ①“x>4”是“x<一8”的必要不充分条件： D.既不充分也不必要条件 ②“在△ABC中，AB十AC2=BC”是 1.[题型3]设m>0,p:0<<m,9:z号<0，若 “△ABC为直角三角形”的充要条件： ③若a,b∈R,则“a2十b2≠0”是“a,b不全为0” p是g的充分不必要条件，则m的值可以是 (只需填写一个满足条件的m即可). 的充要条件。 12.[题型3]若(.x一a)<4成立的一个充分不必 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 要条件是1十2 -≤0，则实数a的取值范围 6.[题型1]已知a,b∈R,则“0≤a≤1且0≤b≤ 为 1”是“0≤ab≤1”的( ）. 13.[题型3]已知p:号>0，g:r+2ar+2a+b A.充分不必要条件 x-3 B.必要不充分条件 -1>0. C.充要条件 (1)若b=4时，x2+2a.x+2a+b-1>0在R D,既不充分也不必要条件 上恒成立，求实数a的取值范围. 7.[题型1]设四边形ABCD的两条对角线为AC (2)若p是q的充分必要条件，求实数a,b BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的 的值. (). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.[题型3](2022·江西九校联考)已知p:任取 x∈{x3≤x<4},x2一a≥0恒成立，则p成 立的一个充分不必要条件可以是(). A.a<9 B.a>9 C.a<16 D.a>16 9.[题型1]已知a,b∈R,则“a>b”是“aa> bb1”的( A.充分不必要条件 10 14.[题型3]设p:|4x-3≤1,9：z2-(2a+1)x+ 15.[题型2]求证：关于x的方程x2+2a.x十b=0 a(a十1)≤0，若p是q的充分不必要条件，求 有实数根，且两根均小于2的充分条件是a 实数a的取值范围. ≥2且|b≤4. 一C拓展拔高练 测试时间：10分钟 1.(2019·清华大学能力测试)已知非零实数a, b,c,A,B,C,则“ax2十bx+c≥0与Ax十Bx +C>0的解集相同"是“异=合=”的 ( A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11C-COA-COB. 分条件，所以BA AUBUCI=IA+BI+ICI-IANBI-IBOCI- 根据集合中元素的个数对集合B进行分类， 1CnA+lA∩BnC. 讨论：B=⑦，B={1}或B={2. ∴证明原不等式等价于证明号(A十B卧十1C)≥ 当B=⑦时，方程x一x十2=0无实数解，△=2 8<0,解得-22<m<2√2： |A∩B+|BnC+CnA, 当B=〈1}或B={2)时， 而A+B+|C=A'I+|B1+|C+21A∩B+ 21BOCI+2ICOAI. 14=0, 无解 1一m+2=0或4-2m十2=0 (Al+B+ICD-IAnBI-IBNCI-ICNAI- 综上所述，m的取值范围为一22<m<2√2. 合A1+B+C'≥0.即名A+1B+C)≥ 真题演练答案 L.A提示：若a>1,不等式两边同乘以a,则a2>a,故 |A∩B+BnC+CnA,故原不等式得证. “a>1”是“a>a"的充分条件。 (2)当A'=B=C=时取等号.如A=1,21.B 若a=-1,显然有（一1）2>一1，即满足a2>a,但不满 (2,3},C=(1,3}. 足a>1,所以“a>1”不是“a2>a”的必要条件 1.4充分条件与必要条件 2.B提示：x2-5x<0,∴.0<x<5. 变式训练答案 lx-1<1,∴0<<2. [变式1]ACD提示：：ab≠0等价于a≠0且b≠0， ,“x-5x<0“是“x一1<1"的必要不充分条件 .“ab≠0”能推出“a≠0”，故A正确. 3.A提示：若r>1且y>1,则有x十y>2成立，所以 ,(a-b)a2>0等价于a>b且a≠0， =g:由x+y>2不能得到x>1且y>1,即gp.所 .“(a一b)a>0”"能推出“a>b”:反之不成立，故B错误 以p是9的充分不必要条件. ,x-3x十2>0的解集为.xx>2或x<1,而xx> 练习册答案 2}(xx>2或<1}， A基础过关练 ∴.“x>2”能推出“x2-3x+2>0”,故C正确. 1.B2.A :{-1<}-3<<1, 3.B提示：由x≠1，可令x=2,则有x-3x+2=0,故 .“-1<<2”能推出-3<r<1”,故D正确， “x≠1"不是“x-3x十2≠0”的充分条件：反过来，若 x2-3x+2≠0→r≠1且x≠2，有x≠1.故“x≠1”是 [变式2]C提示：，MCCN,NnN=, “x2一3x+2≠0”的必要条件。 .MnN=⑦，.充分性成立.当M门N=时， 4.A提示：已知a>0,b>0: ,M□U,NU,.M仁CN,.必要性成立 充分性：若alb>1,(a-b)2≥0，.a2+F≥2ab, [变式3]充分性：”a<0,∴.A=-4ac>0, ∴.(a十b)≥4ab,∴.(a十b)>4,∴a+b>2. .方程ax2+bx十c=0有两个根，设为x, 必要性：若a十b>2,则当a=3,b=号时，ab=1. “0=后<0， ∴.必要性不成立 ∴.一元二次方程a十b十c=0有一个正根和个负根. 因此“a山>1”是“a十b>2”的充分不必要条件 必要性：：一元二次方程a.x2十r十c=0有一个正根 和一个负根， 5.壹6>.提示：A=x>2,B=xbm>1 na=台<0.iuc<0 :A=B,6=2 综上所述，“一元二次方程ax十bx十c=0有一个正根 (2)若A是B的充分不必要条件，则>0，且方<2， 和一个负根”的充要条件是“a0” [变式4]由已知得A=1,2},因为p是q的必要不充 7 6.(1)P={xx2-3x+2≤0}=(x1≤x≤2}. 条件. 要使x∈P是x∈S的充要条件，则P=S, 7.A提示：若“四边形ABCD为菱形”，那么菱形的对角 1-m=1, 线垂直，即“四边形ABCD为菱形”→“AC⊥BD”,但是 此方程组无解， 1+m=2. “AC⊥BDp“四边形ABCD为菱形”，例如对角线垂 直的等腰梯形，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥ 则不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. BD”的充分不必要条件，故选A (2)要使x∈P是x∈S的必要条件，则S二P 8.A提示：2一a≥0在{x3≤r<4}上恒成立，∴a≤ 当S=⑦时，1一m>1十m,解得m<0: (x)m.又：(.x2)n=9,a≤9，即命题p的等价条 当S≠②时.1一m≤1十m,解得m≥0. 件为a≤9，又{aa9}{aa9},故选A 要使S二P,则有1+m≤2 (1-m1, 解得m≤0，所以m=0. 9.A提示：由题意知若a>b,则a>b≥0，则a>0, 所以aa=a,则aa>bb成立.当a=1,b=一2 综上可得，当实数≤0时，x∈P是x∈S的必要条件. 时，满足aa>bb,但a>lb不成立，所以“a>b” B综合提能练 是“aa>bb”的充分不必要条件，故选A 1.B提示：当x>a时，若x=1,a=一1，则x=a,故不 10.A提示：先考虑充分性：a2+a-6一b=(a2-)+ 能推出x>a:当x>a时，必然有r>a.故“x>a” (a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1). 是“r>a"的必要不充分条件. ,a>b>0,.(a-b)(a+b+1)>0, 2.A提示：因为A是B的必要不充分条件，则B→A,A台 ∴.“a>b>0”是“a+a>心+b”的充分条件. B,B是C的充要条件，则BC,D是C的充分不必要条 再考虑必要性：a2十a一：一b=(a2一6)十(a一b)= 件，则D→C,CD.综上可得A=BC=D, (a十b)(a-b)+(a一b)=(a-b)(a十b十1)>0，不能 ,A是D的必要不充分条件 推出a>b>0,如a=一3，b=一1， 3.A提示：不等式x2一x十m>0在R上恒成立， ,.“a>b>0”是“a十a>:十b”是非必要条件 ∴4=(-1D-4m<0,解得m>子. 综上所述，"a>b>0”是“a2+a>十b"的充分不必要 又：m>→4=1-m<0, 条件.故选A m>}是不等式-x十m>0在R上恒成立” 山.20<m<1内的任意数).提示：由，二气<0得 0r<1,所以g:0r1.又m>0,p:0<x<m,若p 的充要条件，故选A 是g的充分不必要条件，则p→g,g今p,所以0<1 4.(CD提示：对于A,a=b=ae=,又ac=bc→c=0或 满足题意。 a=b,反之不成立，故A错误。 12.{a1<a≤41.提示：由(.x-a)2<4可得a-2<r 对于B,令a=1,b=-2,则a2<,故B错误 a+2由1+2六多冬0得 (x-2)(.x-3)≤0， 对于C,(a-2)<1-1<a<3,又{a1<a<2}年{a1< 2-x≠0… a3},故C正确。 ∴2<x≤3.：(x一a)2<4成立的一个充分不必要 对于D,根据实数运算性质知D正确。 5.C提示：对于结论①，由x<-8→x<-2→x>4, 条件是1+2<0,2<r<3写u-2< 但是x2>4→x>2或x<-2→x2>8或x2<-8,不 /a-2≤2， 一定有x2<一8，故①正确： r<a+2}.∴. ,∴.1<a≤4 a+2>3. 对于结论②，当∠B=90°或∠C=90时，不能推出 13.(1)若z+2a.x+2a十3>0在x∈R上恒成立， AB+AC2=BC,故②错误： 则△=4a°-4(2a+3)<0, 对于结论③，由d十（≠0→a,b不全为0，反之，由a,b 所以有一1<a<3, 不全为0=→a十6≠0，故③正确. 所以实数a的取值范用为一1<a<3. 6.A提示：若“0≤a≤1且0≤≤1”，则“0≤al≤1” 当a=一1，b=一1时，满足0≤ab≤1，但不满足0≤a≤1 (2)2 x-3 >0(x-2)(x-3)>0→x>3或x<2, 且0≤≤1， 根据条件可知x2+2a.x+2a十b-1>0的解集是{x .“0≤a≤1且0≤≤1”是“0≤abh≤1”的充分不必要 x<2或x>3}, 8 即方程x2+2a.x+2a十b-1=0的两个根为2和3， m.r十2m-3<0”的否定为“Vx∈R,使得x2+mx+ 5 1-2a=5, a=-21 2m一30”， 根据韦达定理有 2a+b-1=6, 解得 因为命题了x∈R,使得2十十2m-3<0"为假命题， b=12. 则“Hx∈R,使得x2十m.x十2m一3≥≥0”为真命题， 14.若1-3<1.则2<r≤1： 所以△=2一4(2m一3)0，解得2m≤6. 若x2-(2a+1)x+a(a十1)≤0，则a≤r≤a+1. 则实数m的取值范围是2≤m≤6. 真题演练答案 :p是q的充分不必要条件， L.C提示：命题p是一个存在量词命题，其否定是全称 a+1≥1， 量词命题“Vn∈N,r≤2”. 1 即0<a≤2，故实数a的取值范围是0<a≤2 2.A提示：根据定义可知命题的否定为“存在xo∈R,使 15.先证明条件的充分性： 得<0”. :/0≥2， 练习册答案 ∴.a2≥4b,∴.4=4(d-b)>0, b≤4， A基础过关练 方程有实数根。 L1.B提示：A的否定：所有实数的绝对值都不是正数，假 设方程的两个实数根为，， 命题：B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题： :/a≥2. 1-2a≤-4， C的否定：有些等边三角形不相似，假命题： ① b≤4， -4≤≤4， D的否定：3不是方程x2一9=0的一个根，假命题. .(-2)十(2-2)=（十2）-4=-2a-4≤ 2.D提示：原命题是全称量词命题，其否定是“存在一个 -4一4=-8<0， 能被2整除的整数不是偶数” 而(.x1-2)(2-2)=x1xa-2(x十)十4=b+4a十 3.3x<0,使得(1十x)(1一9x)>0 4≥-4+8十4=8>0， 4.存在量问命题：假：Hx∈R,x+2x十5≥0：真， 1(x1一2)+(x2一2)<0， 0<2, 提示：因为2+2.x+5=(x+1)2+4>0恒成立， ② (.4-2)(.a-2)>0, 2 所以命题p是假命题，一p是真命题. 由①②知“α≥2且b≤4”是“方程有实数根，且两个 5.(1)假命题，因为只有x=2或x=3时才满足- 根均小于2”的充分条件. 5x+6=0. C拓展拔高练 (2)假命题，因为不存在实数x,使x2+1=0成立. 1.D提示：取a,b,c分别为1,1,2，另取A,B,C分别为 (3)真命题，因为存在正整数2和4，使2+4=20. 1,1,3,则ax2+bx+c≥0与Ax2+Bx+C≥0的解集 B综合提能练 相同，都为R而只-合≠气： 1.B提示：对于A,:0<3,0∈Z,∴A为真命题，但 不是全称量词命题. 取a.b.c分别为1,1，一1，另取A,B,C分别为-1，-1， 对于B.:a2+f-2(a十b-1)=(a-1)+(6-1)≥0， 1.则片-合-名，而ar+缸+c≥0与A+B+ ,B为真命题，也是全称量词命题 C≥0的解集不同. 对于C,可知它为真命题，但不是全称量词命题。 1.5全称量词与存在量词 对于D,它是全称量词命题，但为假命题， 2.B提示：x2十2r十3=0的△=一8<0，故方程无实根。 变式训练答案 即3x∈R,x2+2x+3=0错误，故A错误 [变式1]①)p:3x∈Rd-x+}<0.假命题， x>1台.x<-1或x>1,故“x>1”是“x>1"的充分不 (2)一g:至少存在一个正方形不是矩形.假命题， 必要条件，故B正确. (3)r:Va,bER,a2+ab十≥0.真命题. 当x≤1时，≤2，故Hx∈N,x2>x2错误，故C错误. (4)s:Hx∈R,x十1≠0.假命题 若a=1,b=一1，则a>b.但a2=,故D错误 [变式2]2≤m≤6.提示：命题“3x∈R,使得2十3.B提示：该命题是一个存在量词命题，于是“存在”否 -9