1.3 集合的基本运算-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

1.3 集合的基本运算 A基础过关练 测试时间：15分钟 B综合提能练 测试时间：30分钟 1.[题型1已知集合A={女-<<2，B 1.[题型2]设I是全集，集合M,N,P都是其子 集，则图中的阴影部分表示的集合为( {xx2≤1}，则AUB=( A.MO(PO CN) A.{x-1≤x<2} B{-2<< B.MO(NO CP) C.M∩(CN∩CM) C.rlr<2) D.{xl1≤x<2 D.(MAN)U(MAP) 2.[题型1]已知集合M={0,1,2},N=(xx 2a-1,a∈N*},则MnN=(). 2.[重难，点2]调查了100名携带药品出国的旅游 者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那 A.{0 B.(1,2 么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下 C.1} D.{2} 列说法正确的是(). 3.[题型1门全集U=R,且A={xlx-1|>2},B= A.最多人数是55B.最少人数是55 {x.x2-6x+8<0},则(CA)∩B=( ). A.{x|-1≤x<4}B.{x2<x<3 C.最少人数是75D.最多人数是80 3.[题型4]对于集合A,B,定义A一B={xx∈ C.{x2x≤3 D.x-1<x<4 A且xEB},A④B=(A一B)U(B-A).设M 4.[题型1门设全集I={0,1,2,3,4},集合A =(1,2,3,4,5,6},N=《4,5,6,7.8,9,10},则 {0,1,2,3},集合B={2,3,4},则(CA)U (CB)=( M④N中元素的个数为(). ). A.5 B.6 C.7 D.8 A.{0 B.{0,1} C.{0,1,4 D.{0,1,2,3,4 4.[题型1,2]已知全集U-AUB中有m个元 5.[题型1]若全集U=R,A={xx<-3或x≥ 素，(CuA)U(CuB)中有n个元素，若A∩B 2,B={x-1<x<5},则集合C={x-1< 非空，则A∩B的元素个数为(). A.m B.n x<2}= (用A,B或其补集表示). 6.[题型1]已知集合A={xx2+x=0,B=(x| C.m十n D.m-n 5.[题型1、2]已知全集U={小于10的正整数}， x≥0}，则A∩B ACU,BCU,且(CA)∩B={1,8},A∩B= 7.[题型1]已知A={x2a≤x≤a十3}，B={x x<-1或x>5},若A∩B=⑦，求a的取值 (2,3},(CuA)∩(CB)={4,6,9},则A= ,B= 范围 6.[题型1,2](2023·杭州四中高一检测)已知 集合A={x(.x2十a.x十b)(:x-1)=0},集合B 满足条件A∩B=1,2},且A∩(CB)=(3}, U=R,则a+b= 7.[题型4]定义集合A和B的运算为AB= {xx∈A且xB),试写出含有集合运算符 号“米”“U”“∩”，并对任意集合A和B都成 6 立的一个式子： 10.[题型1](2023·浙江杭州五校高一联考)设 8.[题型1、2]若集合A1,A2满足AUA=A,则 全集为R,集合M={x(x十a)(x-1)≤0} 称(A,,A2)为集合A的一种分拆，并规定：当 (a>0),集合N={x4.x2-4.x-3<0}. 且仅当A=A2时，(A1,A2)与(A2,A)为集 ()若MUN={-2<r<},求实数a 合A的同一种分拆，则集合A={a1,a2,a}的 的值. 不同分拆种数是 (2)若NU(CRM)=R,求实数a的取值范围. 9.[题型3]若三个关于x的方程x2十4x一4a十3 -0,2+a-1Dx+c5=0,2+2ax+1 0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值 范围。 7 11.[题型1]设集合A={xx2-3.x十2=0}，B C拓展拔高练 测试时间：10分钟 {xx2+2(a+1).x+(a2-5)=0. 1,(经典·浙江高中数学竞赛)集合P={x∈R (1)若A∩B=(2},求实数a的值， |x-1|<1,Q={x∈Rlx-a≤1}，且PnQ (2)若AUB=A,求实数a的取值范围. =⑦，则实数a的取值范围为(. (3)若U-R,A∩(CB)=A,求实数a的取 A.a≥3 B.a≤-1 值范围。 C.a≤-1或a>≥3D.-1≤a≤3 2.(2019·上海数学竟赛)已知三个有限集合A, B,C满足A∩B∩C=⑦，且X表示有限集合 X的元素个数 D求证：AUBUCI>≥A+|B+C), (2)举例说明(1)中的等号可能成立 62-1<21+1, 故有x十2=60，x十y十=96，y+=82, 当N≠时，由图可得 21+1≤5. 解得g<<2 解得x=46. 2-t≥-2， 练习册答案 A基础过关练 22- 2+15e 1.A2.C3.C4.C 综上可知，所求实数1的取值范围是≤2 [变式4]对于A,由△=4-4(9-a)<0,解得a<8: 5.Bn(CA).提示：由图可知C=Bn(CA). 对于B,由△=16一4a<0,解得a>4. 3气 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集， 6.{0}. 提示：：A={xx2十x=0}={0,-1}, 所以a的取值范围是{aa≥8或a≤4，且a≠0. .A∩B=0,-1}∩{xx≥0}=01 [变式5]C提示：由题意可知，集合M,N都是由数轴 7.由A∩B=必可知： 上0一1这一段上的点所对应的实数组成的集合（如图 (1)若A=0,有2a>a+3,即a>3. 所示).且集合M.N的长度”分别为子，了因此要使 (2)若A≠⑦，如图所示. M门N的“长度”最小，需使它们重叠部分最少.由图可 38「 知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最 2a≥-1， 少，所以所求最小值为十号-1= ∴a+35,解得-名<a<2 2a≤a十3， 综上所述，a的取值范围是-号<a≤2或u>3, B综合提能练 真题演练答案 1.B 1D提示：M=(x0≤r<16.N={x≥号}故 2.B提示：设100名携带药品出国的旅游者组成全集1， 其中带感冒药的人组成集合A,带胃药的人组成集合 MN-(16) B.设既携带感冒药又携带胃药的人数为x,则仅携带 感冒的人数为75一x,仅携带胃药的人数为80一x 2C提示：集合S是由奇数组成的集合，集合T是由被 由图可知75一x+x十80一2≤100 4除余1的整数组成的集合，所以T二S,则S∩T=工 所以x≥55，故最少人数是55. 3.B提示：：B={xx-1≤1}={x-1≤x-1≤1}= {x0x2).A={-1,1,2,4},.A∩B=1,2}. 75- 80- B 4C提示：，A∩B=1,∴.1∈B,即1-4十m=0, 解得m=3,∴.方程为x2-4x+3=0,解得x=1或 3.C提示：M-N=(1,2,3.N-M=(7,8.9.10, x=3,.B=(1,3} ∴.M©N=(M-N)U(N-M0=1,2,3,7,8,9,10. 5.1.提示：A∩B=1,1∈B, ,∴.M©N中元素的个数为7. .a=1或a2+3=1. 4.D提示：U=AUB中有m个元素，(CA)U(CB) 又a为实数，a=1. C(A∩B)中有n个元素， 6.C提示：设只喜欢足球的百分比为x%,只喜欢游泳 A∩B中有m一n个元素. 的百分比为y%,两个项目都喜欢的百分比为%，如 5.{2,3,5,7}:{1,2,3,8}. 图所示 提示：由(CA)∩B=(1,8)知1∈B,8∈B: 由(CA)∩(CB)=C(AUB)=4,6.9知4.6,9EA,且 足球 游泳 4.6,9任B 由A∩B=2,3知2,3是集合A与B的公共元素。 因为U={1,2,3,4,5,6,7,8,91,所以5,7∈A ()若MUN={-2≤r<},则结合数轴分析 画出Venn图，如图所示. 可知一a=-2,解得a=2. 所以A={2,3,5,7},B={1,2,3,8). (2)CRM={xx<-a或x>1 若NU(CxM)=R, 6 则结合数轴分析可知一。>一是，解得a<之 6.1.提示：由题意知，1∈A,2∈A,3∈A,因此有一a= 则实数a的取值范围是a0<4<号}： 2+3.b=2×3.即u=-5,b=6,,.a+h=1. 11.由x-3x十2=0得x=1或x=2,故集合A=1,2. 7.A*(A∩B)=(AUB)￥B(答案不唯一.提示：理解 (1):A∩B={2},.2∈B,将x=2代入B中的方 {xlr∈A且r任B),并利用Venn图求解 程，得a2十4a十3=0，解得a=-1或a=-3. 8.27.提示：当A=时，A2={a1,a2,aa,1种： 当a=一1时，B={xx2一4=0={-2,2，满足条件： 当A1=(a1)时，A2={a2,a:},{a1,a1,aa},2种： 当a=-3时.B={x.x一4x十4=0)=(21，满足条件. 当A1=(ag)时，A=(a,a,a1,aza,2种： 综上，a的值为-1或-3. 当A=(aa时，A={aag,aaea,2种： (2)对于集合B,△=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3). 当A1=(a1,ar}时，A={aa},{a,aa},{a2,a,{a1, AUB=A,B二A a2,a,4种： 当△<0，即a<一3时，B=0,满足条件： 当A:=(a,a}时，A={a}.a,ag},{a2,a},{a, 当△=0，即a=一3时，B=2}.满足条件： a2,a,4种： 当△>0，即a>一3时，B=A={1,2才能满足条件， 当A=(aa,a:}时，A={a,a1,ag},{a,aa,{a1, 11十2=-2(a+10. a--g. ag,4a},4种： 由根与系数的关系得 即 1×2=42-5. =7 当A1=(a1,,a}时，A2=,{a},{az},{a,{a1, 矛盾. a2},{a1a},{ag,aa},{a,ag,a},8种. 综上，a的取值范围是a≤一3. ∴.集合A={a1a2,aa)的不同分拆种数为1十3×2十 (3):A∩(CB)=A,ACCB,.A∩B=②. 4×3+8=27种. ①若B=⑦，则△<0=→a<-3,符合题意. 9.若方程x2+4x一4a十3=0有实根， ②若B≠0，当a=-3时，B={2},A∩B=(2),不符 则4=16-4(3-4a)≥0，解得a≥-子 合题意.当a>一3时，需1任B且2￠B. 故第一个方程有实根时a的取值集合A={a。>》 将x=2代入B中的方程，得a=一1或a=-3: 将x=1代人B中的方程，得a2+2a-2=0,解得a 若r+(a-1)x+a十5=0有实根， -1±5， 4 则△=(a-1)-(a2+5)≥0，解得a≤-2. ∴a≠-1且a≠-3且a≠-1土3. 故第二个方程有实根时a的取值集合B={aa≤一2. ∴a的取值范围是a≠一1且a≠一3且a≠一1士. 若x2+2a.x十1=0有实根，则4a2-4>0,即a≥1， C拓展拔高练 解得a≥1或a≤一1， 1.C提示：P={x0<r<2,Q={xa-1≤x≤a+1}, 故第三个方程有实根时a的取值集合C={aa≥1或 要使P∩Q=☑，则a+1≤0或a-1>2,解得a≤-1 a≤-l 或a≥3. 综上所述，满足题意的a的取值范围是AUBUC= 2.(1):A∩BnC=必，∴.(AnB)∩(A∩C)=. ala<-1或a>-号} ,,集合A可以分成三部分，即A∩B,A∩C,A一A∩B- 10.集合M-{x(x+a)(x1)≤0=〈x-a≤x≤1(a0). A∩C=A',则1A=|A'+|A∩B+|A∩C. 同理可得B=B1+BnA+B∩C1,1C=C'1+ 集合N=z4r-4r-3<0={x-号<<号}： CnA+|CnB|,其中B=B-BnA-BnC,C= C-COA-COB. 分条件，所以BA AUBUCI=IA+BI+ICI-IANBI-IBOCI- 根据集合中元素的个数对集合B进行分类， 1CnA+lA∩BnC. 讨论：B=⑦，B={1}或B={2. ∴证明原不等式等价于证明号(A十B卧十1C)≥ 当B=⑦时，方程x一x十2=0无实数解，△=2 8<0,解得-22<m<2√2： |A∩B+|BnC+CnA, 当B=〈1}或B={2)时， 而A+B+|C=A'I+|B1+|C+21A∩B+ 21BOCI+2ICOAI. 14=0, 无解 1一m+2=0或4-2m十2=0 (Al+B+ICD-IAnBI-IBNCI-ICNAI- 综上所述，m的取值范围为一22<m<2√2. 合A1+B+C'≥0.即名A+1B+C)≥ 真题演练答案 L.A提示：若a>1,不等式两边同乘以a,则a2>a,故 |A∩B+BnC+CnA,故原不等式得证. “a>1”是“a>a"的充分条件。 (2)当A'=B=C=时取等号.如A=1,21.B 若a=-1,显然有（一1）2>一1，即满足a2>a,但不满 (2,3},C=(1,3}. 足a>1,所以“a>1”不是“a2>a”的必要条件 1.4充分条件与必要条件 2.B提示：x2-5x<0,∴.0<x<5. 变式训练答案 lx-1<1,∴0<<2. [变式1]ACD提示：：ab≠0等价于a≠0且b≠0， ,“x-5x<0“是“x一1<1"的必要不充分条件 .“ab≠0”能推出“a≠0”，故A正确. 3.A提示：若r>1且y>1,则有x十y>2成立，所以 ,(a-b)a2>0等价于a>b且a≠0， =g:由x+y>2不能得到x>1且y>1,即gp.所 .“(a一b)a>0”"能推出“a>b”:反之不成立，故B错误 以p是9的充分不必要条件. ,x-3x十2>0的解集为.xx>2或x<1,而xx> 练习册答案 2}(xx>2或<1}， A基础过关练 ∴.“x>2”能推出“x2-3x+2>0”,故C正确. 1.B2.A :{-1<}-3<<1, 3.B提示：由x≠1，可令x=2,则有x-3x+2=0,故 .“-1<<2”能推出-3<r<1”,故D正确， “x≠1"不是“x-3x十2≠0”的充分条件：反过来，若 x2-3x+2≠0→r≠1且x≠2，有x≠1.故“x≠1”是 [变式2]C提示：，MCCN,NnN=, “x2一3x+2≠0”的必要条件。 .MnN=⑦，.充分性成立.当M门N=时， 4.A提示：已知a>0,b>0: ,M□U,NU,.M仁CN,.必要性成立 充分性：若alb>1,(a-b)2≥0，.a2+F≥2ab, [变式3]充分性：”a<0,∴.A=-4ac>0, ∴.(a十b)≥4ab,∴.(a十b)>4,∴a+b>2. .方程ax2+bx十c=0有两个根，设为x, 必要性：若a十b>2,则当a=3,b=号时，ab=1. “0=后<0， ∴.必要性不成立 ∴.一元二次方程a十b十c=0有一个正根和个负根. 因此“a山>1”是“a十b>2”的充分不必要条件 必要性：：一元二次方程a.x2十r十c=0有一个正根 和一个负根， 5.壹6>.提示：A=x>2,B=xbm>1 na=台<0.iuc<0 :A=B,6=2 综上所述，“一元二次方程ax十bx十c=0有一个正根 (2)若A是B的充分不必要条件，则>0，且方<2， 和一个负根”的充要条件是“a0” [变式4]由已知得A=1,2},因为p是q的必要不充 7