1.1 集合的概念-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 A基础过关练 测试时间：15分钟 界)的点. 1.[知识点1](2024·安庆高一联考)下列四组对 象中能构成集合的是( A.本校学习好的学生 B.在数轴上与原点非常近的点 C,很小的实数 D.倒数等于本身的数 乃综合提能练 测试时间：30分钟 2.[题型3]已知集合A={yly=-x2+5x一4， 1.[题型1]设a,b∈R,集合{1，a+b,a} x∈R},则有(). A.1∈A且4∈A B.1∈A且4￠A 0,2,b则6a=( C.1任A且4∈A D.1EA且4EA A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.[题型1门下列命题中正确的个数为(). 2.[题型5]已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x, y)x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素 ①集合N中最小的数是1： 的个数为(). ②若-a∈N”,则a∈N: A.3 B.6 C.8 D.10 ③若a∈N°，b∈N,则a+b的最小值是2： 3.[题型5]在整数集Z中，被5除所得余数为 ④x2+9=6.x的解集是{3,3. 的所有整数组成一个“类”，记为[k幻，即[幻= A.0 B.1 C.2 D.3 {5n十kn∈Z,k=0,1,2,3,4. 4.[题型2]给出下列说法： 给出如下四个结论： ①集合{x∈N|x=x用列举法表示为{一1， ①2011∈[1]：②-3∈[3]：③若整数a,b属 0,1: 于同一“类”，则a-b∈[0]：④若a-b∈[0]. ②实数集可以表示为{xx为实数}或{R: 则整数a,b属于同一“类” 其中，正确结论的个数是( x+y=3, ③方程组 的解组成的集合为{x= A.1 B.2 C.3 D.4 4.[题型3]（多选）已知x,y,之为非零实数，代数 1.y=2}. 其中不正确的有 (把所有不正确说法 式话十片十音十是的值所组成的集合 的序号都填上) 是M,则下列判断正确的是( 5.[题型2已知集合A={a。∈N,aZ A.0M B.2∈M C.-4∈M D.4∈M 则A可用列举法表示为 5.[题型1](2022·安徽省江淮十校联考)已知 6.[题型2]试用集合表示图中阴影部分（含边 集合A={xx2≤4}，集合B={xx∈N且 x-1∈A},则B= 10.[题型3]已知集合A={xx=m十√2n,m, 6.[题型5]定义集合运算：A⊙B={x=xy(x十 n∈Z. y),x∈A,y∈B,设集合A={0,1},B={2,3},则 (1)设= 集合A⊙B的所有元素之和为 3-42=V9-4V2,4= 7.[题型1已知A={a-1,2a十5a十1，a2+1},且 (1一3V2)2.试判断x1,x2,x与A之间 -2∈A,则a= 的关系 8.[题型2]试说明下列集合各表示什么？ (2)任取x4,x∈A.试判断x4十x,T46与 A-yy=:B=(rly=-2): A之间的关系。 C={wy=}D=xw产3=1： E={x=0,y=1:F={x+y=1,x-y=一1}. 9.[题型4]已知集合A={xa.x2一3.x一4=0， x∈R}. (1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围. (2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值 范围。 2 11.[题型3]集合A={xx=3n十1，n∈Z},B C拓展拔高练湖试时间：15分钟 {xx=3n+2,n∈Z,M={xx=6十3，n∈Z. 1.(2019·全国高中数学联合竞赛一试试题)若 (1)若m∈M,问：是否有a∈A,b∈B,使m=a 实数集合{1,2,3，x)的最大元素与最小元素之 +b成立？ 差等于该集合的所有元素之和，则x的值为 (2)对于任意a∈A,b∈B,是否一定存在m,使 a十b-m且m∈M?请证明你的结论. 2.x1,x2,a,x4,6是正整数，任取四个正整数， 其和组成的集合为{44,45,46,47}，求这五 个数. 3第一章集合与常用逻辑用语 4.①②③.提示：①由x2=x得x(x2-1)=0..x 0或x=1或x=-1.:-1任N.故①错误. 1.1集合的概念 ②R表示实数集，{R}表示集合中含有R(实数集)这个 变式训练答案 元素，故②错误. [变式]一4.提示：：5∈A. r+y=3 ,.a2十2a-3=5,解得a=2或a=-4. ③方程组 的解组成的集合的正确表示为 当a=2时，B={5,2},不符合5∈B,应含去： x=1, 当a=-4时，B=1,21,符合5EB,∴a=一4. (1,2)}或{(x,y) ,故③错误。 v=2 [变式2]B提示：设4=3n,b=3m十1，c=3x一1，m,H, s∈Z,则d=3m-(3m+I)+(3s-1)=3(m-m+s)-2 5.{-1,2,3,4. 提示：由写产。∈N可知0<5-u<6 3(-m十s一1)+1，又1-m十s-1∈Z,所以d∈N. [变式3]B提示：集合A={x(k+2).x2+2kx+1=0} 即-la<i又ae么所以当a=-1时写产。=1eN: 中只有1个元素.若k+2=0,即k=一2，方程等价于 当a=0时，写。号EN:当a=1时写马。是EN, -4女十1=0，解得x=子，满足条件：若k+2≠0，即 当a=2时写。-2EN,当a=3时，写。=3EN, k≠一2，则方程满足△=0，即4k2一4(k十2)=0，解得 k=2或k=一1.综上，k=士2或k=-1. 当a=4时写5。=6∈N综上可得A=-123.4, [变式4]{一4，一2，一1,0,1,2}，提示：对于任意非空 6.由题意可得一1≤x≤3,0≤y≤3，所以题图中阴影部分 集合A,B,定义A+B={a+ba∈A,bEB}, (含边界)的点组成的集合为(x,y)|一1≤x≤3,0≤ 若S=T={一2,0,1}，各取一个元素a∈S,b∈T形成 3y≤3. 有序数对(a,b), B综合提能练 所有可能情况为(-2，一2)，(-2.0).（一2,1），(0，一2)， (0,0),(0,1).(1,-2),(1,0),(1,1),所有情况两个数 1.C提示：显然a≠0，则a十b=0,得a=一b,名=-1. 之和构成的集合为{一4.一2，一1,0.1.23. 又：a≠1，.a=一1，b=1,则b-a=2. 真题演练答案 2.D提示：由x-y∈A及A={1,2,3,4.5}得x>y.当 1.C提示：由题意知，集合A与集合B的公共元素满足 y=1时，x可取2,3,4,5，有4个：当y=2时，x可取3， 2，。且y∈N,由x+y=8≥2x得x≤4 4,5,有3个：当y=3时，x可取4,5，有2个：当y=4 x+y=8, 时，x可取5，有1个，故共有1十2+3十4=10个. 所以满足x+y=8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)， 3.C提示：，2011除以5等于402余1， 故集合A与集合B的公共元素的个数为4 .2011∈[1门，.①正确. 练习册答案 :-3=-5+2,被5除余2，.②错误。 A基础过关练 :a,b是同一类，可设a=5m+k,b=5十k,则a一h 1.D提示：集合中的元素必须是明确的，而学习好、非常 5(m一)，能被5整除，a一bc[0们，.③正确. 近、很小都是模糊的概念 若a-b=[0],则可设a一b=5m,n∈Z,即a=5n十b, 2.B提示：因为1=一x2十5.x一4有实数解，4=一x2十 n∈Z,不妨令b=5m十k,m∈Z,k=0,1,2,3,4,则a= 5.x一4无实数解，所以1∈A,且4任A. 5n+5m+k=5(m+n)十k,m∈Z,n∈Z, 3.C提示：N·是正整数集，最小的数是1，故①正确：当 a,b属于同一类，④正确 a<0时，一a∈N",但a在N,故②错误：若a∈N',则 4.CD提示：根据题意，分4种情况讨论： a的最小值为1.又b∈N,则b的最小值为1.当a和b ①当0时0，则后十尚十后十g=- 都取最小值时，a十b取最小值2，故③正确：由集合中 元素的互异性知④错误， ②当工山：中恰有一个为负数时，xr<0,则十 立+情+器-0： 10.(1)x1 1-_3_42 3-42一-2， ∴mgA @当，中恰有2个为负数时，>0.则尚 :xn=√9-4√2=-1+22，∴m∈A 高+情+架-0， x=(1-3②)2=19-6V2,.∈A. (2)任取x,∈A,设x4=m十m2,x=me十 ④当>0时e>则后十方十同+架- m2(m1,m,m,2∈Z),则十=(m十12)十 综上可得M={一4,0,4，故选CTD. (me十√2)=(m1十e)+(h十龙)w2,其中(m1+ 5.(12,3.提示：A={x-2≤x≤2，B={1,2,3). ),(1十)∈Z,所以x1十∈A.由于xx= 6.18.提示：A⊙B={0,6.12) (m十V2)(十h√2)=(mh十2h)十(mh十 7.-是.提示：-2eA且a2+1l, mm1W②，其中(mm十2n1）,(m1十mm)∈Z,所 ∴.a-1=-2或2a2+5a+1=-2, 以x:xs∈A. a=-1或a=一受 11,(1)m=6k+3=3k+1+3k+2(k∈Z) 当a=-1时，a-1=2a2+5a十1=-2，不符合集合的 令a=3k十1，b=3k十2，则m=a十b. 互异性，舍去： 故若m∈M,有a∈A,b∈B,使m=a十b成立. (2)设a=3k+1,b=3+2,k,1∈Z,则a+b=3(k+0+3. 当a=-多时A={仁号，-2，是}符合题意 所以当k+l=2p(p∈Z)时，a十b=6p十3∈M,此时有 8.A表示y的取值集合，由反比例函数的图象可知A= m∈M,使a+b=m成立：当k十I=2p+1(p∈Z)时， (yy<0或y>0}={yy≠0，y∈R. a十b=6p十6任M,此时不存在m使a十b=m成立. B的代表元素是x,所以B表示x的取值集合，即B C拓展拔高练 (x.z2-2x≥0}={xx≤0或x≥2}，B是由小于等于 0和大于等于2的实数构成的集合 C表示反比例函数y=子的图象上的点集， 2.五个数中任取四个可以得到五个和值，故必有两个和 值相等.而这五个和值之和为4（十2十十十）， D的代表元素是点(x,y),表示直线y=x一3上除去点 是4的倍数，又44十45+46+47=182，所以这个相等 (3,0)外所有的点. 的和值只可能是46，从而x十十十+= E表示以方程“x=0”和“y=1”为元素的一个二元集， F表示以方程“x十y=1”和“x一y=一1”为元素的一个 44十45+46+47+46=57，则这五个数分别为57- 二元集. 44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57- 9.(1):A中有两个元素， 46=11.即10,11,11.12,13 '.关于x的方程a2一3x一4=0有两个不相等的实数根， 1.2集合间的基本关系 d-9+16o>0,即o>-是且a≠0 变式训练答案 (2)当a=0时.A={-号} [变式)B提示：集合M={-1,0号，52,3}的所 当a≠0时，若关于x的方程a.x2-3x一4=0有两个相 有非空子集中具有伙伴关系的集合为一1，（号2}。 等的实数根，则△=9十16a=0,即a=-号：若关于x 9 33{-1,2{133分23 的方程无实数根，则△=9+16a<0,即a<一6 9 -1,23 9 故a的取值范围是a≤一或a=0, [变式2]由A=B知两集合的元素相同. 2