5.7 三角函数的应用-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

重避点手圆高中数学必修第一册（下）尺A(浙江专用) 5.7三角函数的应用 重点和难点 课标要求 1.了解生活中的周期现象与三角函效的联系。 重难点：用三角函数模型解决一些县有周期变化 2.理解三角函数模型在实际问题中的应用。 规律的实际问题。 3.能利用基本函数的图象研究其他函数. 01必备知识梳理一。 基础梳理 知识点1y=Asin(ax十p)中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都 与y一Asin(x十o)有关.其中，A为振幅，它表示做简谐运动的 物体离开平衡位置的最大距离：而T=红为周期，它表示做简谐 运动的物体往复运动一次所需的时间：简谐运动的频率则为∫一 一会它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次 数：x十g称为相位，当x=0时的相位为p,称为初相. 1.若A<0或w<0,9就不是初相，此时应先利用诱导公式将 x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相， 如函数y=一sim(2x一)的初相不是g=一受 :A=-1<0,y=-sim(2x-5）=sim[x+(2x-5)] sm(2x+》,∴初相p=经 2.简记图象变换步骤 (I)函数y=sinx到y=sin(x十e)的图象变换称为相位 变换。 (2)函数y=sinx到y=sin or的图象变换称为周期变换. (3)函数y=sinx到y=Asin z的图象变换称为振幅变换， 因此，函数y=sinx到y=Asin(x十p)的图象的变换途径 为相位变换→周期变换→振幅变换（或周期变换→相位变换→振 幅变换). 140 第五章三角函教么 知识点2运用三角函数模型解决实际问题 1.求解三角函数应用题的一般步骤 刀记方法 (1)审题：理解题意，认真领悟文字语言和图形语言中的数学 1.一般常用函数y 本质，分清已知与未知，画出示意图。 Asin(ox十p)十b来刻画实际 问题 (2)建模：根据审题所得到的信息，把实际问题抽象成数学问 2.解决三角函数的实际 题，根据已知条件与求解目标，建立一个数学模型，如三角函数 问题时，要注意： 式，三角不等式或三角方程等， (1)自变量的取值范固. (3)求解：利用所学三角函数的知识，求得数学模型的解 (2)数形结合思想的运用. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实 (3)认真审题，进行联想， 际问题的解 选择适当的三角函数模型， (5)还原：将所得结论返回，转译成实际问题的答案 (4)涉及较复杂的数据 解题思路如下： 时，计算要精确 现实中的数据收集、分析。三角函数 3.实际问题的背景往往 实际问题 简化、抽象 祺型 比较复杂，需要综合多门学科 回 数 的知识才能完成.因此，建立 葬 三角函数模型时，一定要结合 相关学科的知识，从复杂的背 实标问题 检验 角函数 的解 模型的解 景中将基本的数学关系抽取 2.三角函数的常见应用类型 出来 (1)三角函数在物理简谐运动问题中的应用. 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始， 因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. (2)三角函数在实际生活中的圆周运动问题中的应用， 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟 这种运动状态 (3)三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用， 如大海中的潮汐现象、日常生活中气温的变化、季节的更替 等都具有周期性，因此也常常用三角函数来模拟这种运动状态」 重难拓展 重难点1函数拟合获得模型的方法 1.拟合模型的构建 拟合模型的构建是通过对有关变量的观测数据的观察、分析 和选择恰当的数学表达式而得到的.它的实质是数据拟合的精度 和数学表达式简化程度之间的一种折中，折中方案的选择取决于 实际问题的需要。 141 国避手细高中数学必修第一册（下）A(浙江专用) 2.拟合模型的主要类型 (1)经验模型：模型主要讨论变量间的内在规律，允许出现一 定的误差.经验模型侧重于选择规律简单的数学表达式，在简单 的数学表达式中选择拟合效果较好的模型， (2)插值模型：模型以拟合效果为主，要求精确地拟合观测数 据，即在观测点之间插入适当的数值 3.拟合步骤 (1)根据原始数据和表格，绘出散点图 (2)通过观察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直 线或拟合曲线. (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关 系式 (4)利用函数关系式，根据题意对所给问题进行预测和控制， 以便为决策和管理提供依据，最终解决问题。 例①某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市 初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出 现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f(x)一 pq:②fx)=pr2+qr+1:③f(x)=Asim(至x-平）+B(以上 三式中，q,A,B均为常数.) (1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为 什么？ (2)若f(3)=8,f(7)=4,求出所选函数f(x)的解析式（注： 函数的定义域是[0,10们，其中x=0表示1月份，x=1表示2月 份，…，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下 期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外 销策略？ 点拨(1)根据每个函数的特点以及市场中价格的走势可知 应选择③f(x)=Asin(Tx-开）十B,(2)根据f(3)=8,f(7)=4, 求出A,B的值，再根据f(x)<5,解出x的值即可 解糊()应选f(x)=Asim(于x-开)十B.理由如下： ①f(x)=p·￠是单调函数且不具有先升后降再升的特点， ②f(x)=px2十gx十1同样不具有先升后降再升的特点， ③f()=Asin(于-平)+B有多个单调递增区间和减区 间，具有先升后降再升的特点. 142 第五章三角函散收 (2)由f3)=Asin(-F）+B=Asin+B=A+B-8. )=Asim(F-）+B=Asim妥+B=-A+B=4, 所以解得A=2,B=6, 所以fx)=2sim(年x-4)+6(x∈[0,10]). 所以平一吾∈[- 当()<5时，需采用外销策略，则此时2sim(Tx一平）)十 6<5, 即sm(肾--2又-∈[-]， 由y=mx函教得在[-平，]内snx<一 得-开<r<-吾我看十<<+ 即一开<平-开<-看看十x<平红一开<彩+x, 即0长<号减号<. 又x=0表示1月份 故应在1月份、7月份、8月份、9月份采用外销策略. 口02关建能力提升。 题型方法 (π，2π)上的函数符号以及奇偶性，可得出合适 题型1函数解析式与图象的对应问题 的选项 例②与图5.7-1中曲线对应的函数可能 解析]对于A选项，当0x<π时，y= 是(). sinx>0,不满足条件； 对于B选项，当0<x<π时，0<|x<π， -2π 3 2 y=sinx|>0,不满足条件； 对于C选项，当r<2x时，y=一sinx< 图5.7-1 0,不满足条件； A.y=sin B.y=sin 对于D选项，令f(x)=一sin l,该函数 C.y=-sin .xl D.y=-sin l 的定义域为R,f(一x)=一sin一x=一sinx= 点拨判断各选项中函数在区间(O,π)或f(x),故函数y=一sinx为偶函数，当0< 143 国雕手园高中数学必修第一册（下）尺A(浙江专用) x<π时，f(x)=一sinx<0,满足条件. m<1时，四个实根之和为元，当m= 之时，四个 答案D 例③（多选）已知函数f(x) 实根之和为2：当0<m<号时，回个实根之和 (sin x(sinx≥cosx), 则下列结论正确的是 为3π，所以D错误. cos r (cos >sin x), 答案BC ( 题型2已知函数模型解决实际问题 A.f(x)是偶函数 例④如图5.7-3，摩天轮上一点P距离地 B.f(x)的最小正周期为2π 面的高度y关于时间t的函数表达式为y C.fx)在区间(x,平)上单调递增 Asin(at十9)十b,p∈[一π，π]，已知摩天轮的 半径为50m,其中心点O距地面60m,摩天轮 D若方程f)=m在[一受·受]上有四个 以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P 不同的实根，则这四个实根之和为π或3π 的起始位置在摩天轮的最低点处， 点拨]由题意，结合函数的图象以及函数 的单调性和奇偶性分别判断即可得出答案 sin (sin xcos x), 60 50 解析]函数f(x)= cos x (cos a>sin x). 图5.7-3 mx2kx十开≤<x+开k∈Z 所以f(x) (1)根据条件具体写出y(m)关于t(min) lsx(2xt2kxTkc2 的函数表达式 (2)在摩天轮转动一圈内，点P有多长时 由f(一)≠f()可知A错误： 间距离地面超过85m? 画出函数f()在[-吾，]的因象，如图 点拨](1)由中心点到地面距离得b值，由 摩天轮半径得A值，由周期求得w,再由初始 5.7-2所示. 值求得9得出表达式； 显然有f(x十2π)=f(x),结合图象f(x) (2)解不等式y>85后可得. 的最小正周期为2π，所以B正确； 解析(1)中心，点O距地面60m,则b= y 60,摩天轮的半径为50m,得A=50,T=30, 。票-后最低点到地面距高为10m 元5π3 12 所以50sin9+60=10,sinp=-1. 图5.7-2 又g[-],得p=-受， 在区间(，平）上sinx>os,f(x) 所以所求表达式为y一50in需一)+60： 1sn=-snx为增函数，C正痛当号< (2)令y=50sin(需1-)+60>85，则 144 第五章三角函数收 sim(需-）>2， 显然h(t)m=2,h(t)mx=18,则A h)-h0m=8.B=h)mh0)血=10. 取-个周期肉，有音<-登<语，10< 2 2 t<20,20-10=10. 函教fx)的周期T=12,则ow-牙-吾， 所以在摩天轮转动一圈内，点P有10分 因为当t=0时，h(t)mm=2,即有sin9=一1， 钟的时间距离地面超过85m, 题型3三角函数模型的建立 则9=2kx-受，k∈乙， 例5如图5.7-4所示，一个大风车的半径 于是得h()=8sin(晋+2kx-）)+10- 为8m,匀速旋转的速度是每12min旋转 周.它的最低点P。离地面2m,风车翼片的一 -8cos81+10,k∈Z, 个端点P从P。开始按逆时针方向旋转，点P 所以，点P离地面距离h(m)与时间t(min) 离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关 之间的函数关系式是h()=-8cos+10. 系式是( [答案C A,h()=-8sim吾1+10 题型4利用图表或数据建立拟合函数 BhD=8sin吾+2 例⑥某港口的水深y(单位：m)是时间 C.h0)=-8cos吾4+10 1(0≤1≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的 水深数据： D.hD=8cos吾1+10 t/h 036 91215 182124 10 3y4 y/m10139.9710139.97 般情况下，船舶航行时船底与海底的距 离不小于4.5m时就是安全的. 2 m (1)若有以下几个函数模型：y=at十b,y= Asin(wt十p)十K,你认为哪个模型可以更好地 图5.7-4 图5.7-5 刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并 点拨建立平面直角坐标系，设出函数解 求出该拟合模型的函数解析式： 析式，再根据给定的条件求解其待定系数 (2)如果船的吃水深度（船底与水面的距 作答 离)为7m,那么该船在什么时间段能够安全进 解析以过风车中心垂直于地面的竖直向 港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的 上的直线为y轴，该直线与地面的交点为原 时间最多不能超过多长时间？ 点，建立坐标系，如图5.7-5所示 点拨幻(1)通过题目数据拟合函数图象，可 依题意，设函数解析式为h(t)=Asin(十 判断函数模型y=Asin(wf十o)十K更好，再由 9)+B,(A>0,w>0), 图象点坐标代入函数，求出函数解析式为y 145 国避手细高中数学必修第一册（下）A(浙江专用) 3sin0+10(0<1≤24). (0≤1≤24). (2)由于船的吃水深度为7m,船底与海底 (2)根据题意已知可求出水深y的范国， 的距离不少于4.5m,故在船舶航行时，水深y 解三角函数不等式可得答案，若船舶要在一天 应大于或等于7+4.5=11.5(m), 之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进 港，在下午的17时离港 令=3m1十10≥1.5，可得m吾≥号 解析(1)y=Asin(at十p)十K函数模型 “2kx+晋<晋1≤2kx+(k∈Z, 可以更好地刻画y与1之间的对应关系， ∴.12k+1≤≤12k+5(k∈Z). 13 取k=0,则1≤5：取k=1,则13≤≤17： 10 取k=2时，25≤129（不符合题意，舍去）. ∴.当1≤1≤5与13≤1≤17时，船能够安 O3 9 15 t/h 全进港，若船舶要在一天之内在港口停留时间 图5.7-6 最长，就应从凌晨1时进港，在下午的17时离 根据上述数据描出的曲线如图5.7-6所 港，在港内停留的时间最长为16h 示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y= 易错警示 Asin(awt十o)+K的图象， 从拟合曲线可知，函数y=Asin(wt十)十 ◆易错题28（错误率45%）如图表示相 K在一个周期内由最大变到最小需9一3= 对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单 6(h),此为半个周期， 位：m)在某天0~24时的变化情况，则水面 .函数的最小正周期为12， 高度h关于时间t(单位：时)的函数解析式 因此红=12，w=吾 为 ↑h/m 又，当1=0时，y=10;当t=3时yx=13, 6 当t=9时，ymm=7, 91215 h82124±i时 ∴.K=10,A=13-10=3,9=0. “所求函数的表达式为y=3sin吾1+10 参考答案见《全书易错题集》第8页 口03-核心泰养聚焦-。 考向分类 考向1函数解析式与图象的对应问题 例⑦(2016·浙江卷)函数y=sinx2的 图象是(). 146 第五章 三角函散收组 A.5 B.6 C.8 D.10 解析由题图可知一3十k=2,k=5,y= 3sin石x+9+5,所以ym=3+5=8. 解析由于函数y=sinx2是一个偶函数， 答案C 选项A与选项C的图象都关于原点对称，所以 命题意图：运用三角函数的知识解决实际 不正确；选项B与选项D的图象都关于y轴对 命题规律 应用问题 称，当=士登时，函数y=s咖<1，选项B 真题探源：教材P245的例2 常考题型 选填题难度系数0,6高考热度 ★★ 显然不正确，故选D. 核心素养 数学建模，数据分析 素养水平水平三 答案D 食团演练 命题规律 命题意图：考查与三角函数有关的识图问题 真题探源：材P250中的阅读与思考 1.(经典·山东卷，考向1)函数y=rcos x 常考题型 选填题难度系数0.8高考热度 ★★ 十sin,x的图象大致为( 核心素养 直观想象 素养水平水平二 考向2函数模型的应用问题 例8(2015·陕西卷)如图5.7-7所示，某 港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满 足函数)y=3sm(看十)十k.据此函数可知，这 2.(2014·湖北卷改编，考向2)某实验室 一天的温度（单位：℃）随时间t(单位：h)的变化 段时间水深（单位：m)的最大值为( 并水深m 近似满足函数关系：f0=10一2sm(受+)， 1∈[0.24). 18时间时 (1)求实验室这一天上午8时的温度. 图5.7-7 (2)求实验室这一天的最大温差。 147小于第10个零点的横坐标即可， 故这一天实验室的最高温度为12℃，最低温度为8℃， 即6的最小值为4红+步-器 最大温差为4℃. 练习册答案 C拓展拔高练 A基础过关练 1.B提示：由题意可知，乏是函数f(x)的半个周期，则 1.B2.D 周期T=红=2X号=w一2易知sm[2X(一晋)十9 3.A提示：对题表中数据作近似处理，得下表 0 36 9 12151821 24 =0,则一等十9，k∈么，又0<<受，所以9=等， 1215 129 1215 129 12 所以八)=m(2十牙)，由此可得变换过程为选项B. 可见k=12,A=3,且T=12,所以w=.将1=3y 2.点P(1,V3)是曲线f(x)=Asin(mx+g)(A>0,w> 15代入选项检验即可 0,<x)上的一个最高点， 4.1.09×10":9.15×10. 提示：T-=0x A=√3，且直线x=1是曲线的一条对称轴。 f(9-r)=f(9+r).rER, 1.09×10(秒)，f=7=9.15×10, .直线x=9也是曲线的一条对称轴. 5.y=0.2sim吾1+3.8或y=0.2sim(51+p）+3.8] 又曲线在(1,9)内与x轴有唯一一个交点， .直线x=1和x=9是曲线的两条相邻的对称轴 提示：设所求函数为y=Asin(t+g)十b,由题意得 7=9-1=8,T=16,2=16,得w受 T=10,即w=若，A=0.2,b=3.8,放y=0.2sin若+ ∴fx)=3sin(gx+p) 3.8或y=0.2sim（1+9）+3.8. 6.(1)种群数量关于时间变化的图象如图所示. ,点P(1,3)是曲线上的一个最高点， 语×1+g—2m十受k∈D,g-2x+(k∈D 900 800 “1p<,六取=0，得g餐 700 放函数解析式为)=3im(答r+）rER (2)设表示该曲线的三角函数为y=Asin(od十g)十a 5.7三角函数的应用 已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为 200,数量变化周期为12个月， 真题演练答案 1.D A-20=10-2-吾6=80 2.)由题意可知，8)=10-2m(等+子）=10-2×0 又7月1日种群数量达到最高 =10(℃)，即这一天上午8时实验室的温度为10℃， 晋×6+9=受+2kmk∈D. (2)因为01<24 取9=一 受，则种群数量关于时间1的函数解析式为 所以号<+骨<号.-1长im(+)K1 y=800+100sim1-32 6 当1=2时，sin(是+苓）=l, B综合提能练 当1=14时，sim（+答）=-1. 1.D2.C 所以f()在[0,24)上取得最大值12和最小值8. 3.C提示：由题意知，函数的周期为T=60, -342sim号 =1二csa,从上述公式可知，an号与 故有A=2再由函数的周期性可得之T-合×红 2sin号os号 sin a 登-(-吾)=受，解得w=2,y=2sin(2x+g以 sina的符号是一致的. 把点（一吾2）代入函数的解析式，可得2sin2× 误区26没有抓住变换的对象 ()+]-2 易错题26（错误率42%）把函数y=sim(5x-受)的图 ∴2×(-晋）+9=2km+受，k∈乙 象向右平移开个单位长度，再把所得图象上所有点的 解得华一2x+要，k∈乙又一<<，放g一经 横坐标缩短为原来的子（纵坐标不变），所得到的图象 故函数的解析式为y=2sin(2x+写)），k∈乙 对应的函数解析式为( ). 答案 A Ay=sin(10r-3年) B.y=sin(10) 易错探因不会由周期求仙而出错，或者不清楚函数图 Cy=sin(1ox-）) D.y=sin(10-) 象中的几个关键点，因此计算中出现错误图中受对应 正解将原函数的图象向右平移工个单位长度，得到函 的点应该在y=如x中相当于（受，一1）这个点。 数y=im[5(x-平)-受]=in(5x-乐)的图象。 误区28对零点处的相位判断错误 再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的？（纵 易错题28（错误率45%）如图表示相对于平均海平面 坐标不变)，得到函数y=sin(10x一至)的图象。 的某海湾的水面高度h(单位：m)在某天0~24时的变 化情况，则水面高度h(单位：m)关于时间t(单位：时) 答案D 的函数解析式为 易错探因错解的原因是没有抓住变换的对象.图象横 向平移变换的对象是自变量x,而非5.x 误区27对函数图象的关键点理解不清 易错题27（错误率48%）函数y=Asin(ax十p)(A>0, w>0,一≤g≤π)在一个周期内的图象如图所示，则 正解 h=Asin(our+g).A0,0>0, 此函数的解析式为(. 根据图象可知A=6,T=12=红，∴m一吾 图象过点(0.0)，·吾×0叶9=，9= ∴h=6sim(g+元)=-6sim答1e[0,241 答案h=-6sin吾.1e[0,241. Ay=2sim(2r+F） By=2sin(2x+5） 易错探因确定的值的方法是选一个特殊点，找出对 应相位，一般选最高点或最低点，若选零点，需注意是 Cy=2sin(号-吾) D.y=2sim(2x-吾） 上升零点还是下降零点，注意对应的相位.本题中，1= 正解由函数的图象可得函数的最大值为2，最小值为一2， 0是下降零点，对应的相位是2kπ十π，k∈Z 8