5.6 函数y=Asin(ωx+φ)-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

所以tana=加g=2. cos a 8受. 1-tan 2r-cos 4r, 提示：因为y一十am2a ①式两边分别平方得sinx+simy+2 esin rsin y= 1 所以最小正周期为经-受 ②式两边分别平方得cosx十c0sy一2c0sxc0sy=25 9.cos a. 提示：原式 上述两式相加得1十1+2 sin xsin y-2 cos reos y= (2os号+2sin号os号)(sim号-co号】 日+ √2·2cos号 cos (x+y)cos xcos y-sin xsin y= 2cos号(cos号+sim号)(sin号-cos号) (酷+号)器 2ow号 由sinx+siny= cos号(-cosa) 及和差化积公式得 os号 2 ② 又因为180<a<360.则90<号<180°， 由s上一0sy一号及和差化积公式得 所以cos号<0，所以原式= cos(-cos a) ④ =c08a. -cos号 ④÷③得m分=一寻 10.(1)由已知有 由万能公式得sin(xr一y)= 2tan 15 +am 2.(1)f(x)=√2sin(2x+a)-√2cos(2x+a)+cosa 2sin(2x+a-）+cos. 4 4 =2- cos 2r 因为[o] -sn(2x-吾). 所以2xe[o,].2+。吾∈[。晋a+] 所以八x)的最小正周期T=经=元 又e[子，受]所以受e[a-+晋] 因此f(x)的最大值为2+cosa (2)因为f)在区间[一于，一亚]上是减函数，在区 (2)f(r)=2sin (2r+a-)+cosa=3. 间[一音，牙]上是增函数。 则cosa=1且sin(2x+a-开）=1， (-平)=-}(-恶)=-（开）= 所以a=2nm,m∈乙.从而2x-开=2m+受，n∈Z. 所以函数f(x)在闭区间[一开，平]上的最大值为 即x=m十警，n∈Z 子最小值为一之 5.6函数y=Asin(x十g) C拓展拔高练 变式训练答案 1.sin r+sin y=3 ① [变式1]C提示：f(x)=3sim2r+co%2x=2sim（2x+ -30 否）向右平移答个单位长度后可得y=2sm2(x +).C正确： 晋）+音]=2sm(2x一吾)，再把所有点的横坐标伸 当x=音时，sm（晋+号）=1≠0，A错误： 长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g(x)的图象， 所以)=2sin(r-吾)， 章（停-8》- 当x= 2 由三角函数的性质知，g(x)的最大值为2，故A错误： D错误. 最小正周期为2π，故B错误： 2.C提示：由fx)为奇函数可得一kk∈D,又g<x 1 对称轴方程为1一吾=受十x, 所以9=0，所以g(.x)=Asin2x,由g(x)的最小正 牙+红∈乙给k赋值x取不到受，故D错误： 周期为2，可得2红=2x,故u=2,g(x)=Asin,因 2” 又-受+2kx≤x-若≤号+2kr,k∈Z, 为g(于)=Asim年=瓦，所以A=2,所以f)= 即-吾+2m≤1<+2x,k∈么 2sn2x,故r(管）=2sin-厄. ∴单调增区间为[-受+2kx,经+2kx],k∈乙。 3A提示：受<T<,经<<，解得2<< 当k=0时，单调增区间为[-吾，等]，[吾，等] “y=x)的图象关于点（经，2）中心对称，∴b=2。 [-吾，等]放C正确， 且sim(经w+T）+b=2,即in(经u+平)=0， [变式2]ABD提示：由函数图象可知f(x)=0, 2+吾=keD.又2K3,<要o十 f(x)x=4. 所以A=2=2,B=告=2 <学=解得。) 由周期T-台=4（登一吾）知w一2。 m(号x+年）+2，f(受）=m(号×受+平）+2= 由f(答）=4得2sin(2×石+9）+2=4， sm竖+2-1 4.(1)因为f(x+0)=sin(x十0)是偶函数， 即sin(号+p）=1,又g<受，故p- 所以对任意实数x都有sin(x十)=sin(一x+), 真题演练答案 sin xcos 0+cos rsin 0=-sin xcos 0+cos xsin 0. 1C提示：由题图可知，函数的最小正周期T=2( 2 sin xcos0=0,所以cos0=0. 吾）=，六高=w广士2当w2时y一血(2十p小 又9c[0,2x,所以0=吾或受 将点（吾，0）代入，得sin(2×吾十9)=0， 2w=[(+)]+[f(+)] “2X吾+g=2kx十x,k∈Z.即g=2kx+要k∈乙，故 =sim(x+)+im(x+于) ym(2z+等）)，由于y=sim(2x+）=m[x- 1-oos(2r+晋）1-os(2r+受) (2x+等)门]=m(肾-2)，B正确： =1-号（停s2x-是sin2z) y=sim(5-2x）=cos[号-(5-2x)]=os(2x =1-s(2r+号）】 31 因此，函数的值域是 1+ 2 吾频率广云 练习册答案 (2)将函数y=mx的图象先向左平移若个单位长度， A基础过关练 再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标 .B提示：令1=号x,则可以化为y=sn,当长 不变)，最后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的号倍 [2k红一受，2kx十受](k∈D时，函数y=sin1单调递 (横坐标不变》，即得函数y一号如（告+香)的图象。 增，即2x∈[2kx一受，2kx+受](k∈D,解得r6 B综合提能练 [4k,4k十2](k∈Z),故原函数的单调递增区间为[4k, LD提示：将函数x)=cos2x的图象向左平移号个 4k+2](k∈Z). 2.B提示：由图象可知，m十开-w=乞，T-受， T 单位长度得到的是函数gx)=cos[2(x十于)门的图 “受-新，= 象，则g(答)=os[2(吾+受)]=0sx=-1. 2.B提示：对于A,先将函数f(x)图象上点的横坐标变 3.B提示：周期变为原来的2倍，即横坐标变为原来的 2倍，则由平移和伸缩变换规则知，f(x)=2sin（2x 为原来的2倍，得到y=m之，故A错误， 吾）的图象所有点的情生标变为原来的2位厂(） 对于B,先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 之，得到y=2n2,再向右平移答个单位长度得到 向右平移个单位长度 2sim(x一晋)的图象 f(x)□ y=2sm2(x晋).即为y=2sin(2a-音)，故B正确： 2sin(x-音)的图象. 对于C,先将函数f(x)的图象向右平移晋个单位长度， 4x-登（答案不唯一 提示：图象平移后对应的函数 得到)y一2加(。一吾)，再将点的横坐标变为原来的号 解析式为y=2sn2(x一吾)，其对称轴方程为 得到y=2sim(2x-否)故C错误： 2(x一吾）=受+如∈D,解得x-登+经∈ 对于D,先将函数f(.)的图象向右平移哥个单位长 刀.当=0时.-（答案不难一， 度，得到y=2sin(x一吾)，再将点的横坐标变为原来 5.f代x)=sin(2a+受)（或f(x)=cos2x). 提示：由 的2倍，得到y=2sm(分x一哥），故D错误。 题中表格给出的信息可知，函数(x)的周期为T= 3.C提示：对于A,f(一π十x)=f(x),正确： 2(野-于）=，所以w-石=2注意到sm[2× 对于B/(危)=动多x=-1,正确： (-于)十g=0,即p=受+x(k∈Z).又0<9<x, 对于C“r(0,晋）2rx+吾∈(3） 所以9=受，所以函数的解析式为f(x) smx在（等，）上不单调，错误： sin ())-cos 2x). 对于D,y=sin2x向左平移产个单位长度得到y= 61)振幅A=多，最小正周期T=红=4初相 2 sin2(x+石)=sim(2ax+号），正确 32第五章三角函教么组 5.6函数y=Asin(wx十o) 重点和难点 课标要求 重点：用函数模型y=Asin(ar十p)来刻画一般的匀速圆周运 1.了解刻画事物周期性变化的数学模型， 动：参数A,m,9对函数y=Asin(x十p)图象的影响，以 2.掌握p,w,A对函数y=Asin(ux十9) 及函数y=Asin(ax十p)图象的变换过程. 的图象的影响 难点：数学建模的过程与方法：函数y=Asin(t十g)的图象 3.掌握函数y=Asin(mx+g)的图象与 变换与其解析式变换之间的内在关系， 应用 01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1A,w,9对函数图象的影响 1.对y=sin(x十g),x∈R的图象的影响 国敲黑板 l.y=sin(x+g)与y= 函数y=sin(x十9)（其中p≠0）的图象，可以看作是把正弦 sinx的图象形状是完全一样 曲线y=sinx上所有的点向左（当>0时）或向右（当<0时） 的，y=sin(x十p)的图象可以 平行移动个单位长度而得到（可简记为“左加右减”），即y一 由y=sinr的图象向左或向 sinx的图象向左(>0)或向右(g<0) 右平移得到. 平移1g个单位长度y=sin(x十g)的图象 2.左右平移是对x本身 而言的，如果x前面的系数不 2.u(w0)对y=sin(ux十p)的图象的影响 是1，应先提取系敏，然后再进 函数y=sin(x十g)的图象，可以看作是把y=sin(x十)的 行左右平移 图象上所有点的横坐标缩短（当m>1时）或伸长（当0<w<1时） 3.推广到一般有：将函数 fx)的图象沿x轴向左或向 到原来的上倍（纵坐标不变）得到的，即y=sin(x十p)的图象 右平移|a个单位长度后，得 所有纵坐标不变，横坐标缩短(>1) 到函数f(x十a)(a≠0)的图 y=sin(ax十o)的图象. 或伸长(0<<I)到原来的。倍 象.当4>0时，向左平移：当 a<0时，向右平移，可简记为 3.A(A>0)对y=Asin(aur+)的图象的影响 “左加右减” 函数y=Asin(ax十o)的图象，可以看作是把y=sin(ax十p) 上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到 原来的A倍（横坐标不变）而得到，即y=sin(x十)的图象 所有横坐标不变，纵坐标伸长(A>1) 或缩短0<A<1D到原来的A倍y=Asin(ax十gp)的图象。 127 重避点手圆高中数学必修第一册（下）尺A(浙江专用) 雨难拓展 重难点1函数y=Asin(ox十)，x∈R的图象作法 L.用“五点法”作函数y=Asin(ax十g)(m>0)的图象 卫提个醒 用“五点法”作函数y=Asin(ax十9)(w>0)图象的一般 1.若A>0,则函数y= 步骤： Asin(ax十o)的值域是[一A, A],最大值是A,最小值是 ①列表.先由a十9=0，受x,经，2红分别求出x的值再由 -A:若A<0,则函数y x十o的值求出y的值，列出下表： Asin(r十g)的值域是[A, 一A],最大值是一A,最小值 π一 3r9 2x_9 2w w t 2w w 仙四 是A 2.A的大小反映了曲线 hx十P 0 受 π 多r 2x y=Asin(mr十g)波动幅度的 y 0 A 0 -A 大小 ②在同一坐标系中描出各点. 3.y=Asin(x十g)与y= ③用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象 sin(mr十p)的图象形状不同，此 变换称为纵向仲缩变换。 ④利用函数的周期性，通过左右平移得到整个图象， 4.推广到一般有：函数 2.由函数y=sinx的图象得到函数y=Asin(ax十g)(A>0, y=Af(.x)(A>0,且A≠1)的 m>0)的图象 图象，可以看作是把函数y= 方法一(1)作出y=sinx的图象， f(x)的图象上所有点的纵坐 (2)把正弦曲线向左（右）平移©个单位长度，得到函数y= 标仲长(A>1)或缩短(0< A1)到原来的A倍（横坐标 sin(x十g)的图象 不变)得到的。 (3)将函数y=sin(x十o)图象上各点的横坐标变为原来的 号倍，纵坐标不变，得到函数y=-sin(十g)的图象 (4)将函数y=sin(x十)图象上各点的纵坐标变为原来的 A倍，横坐标不变，得到函数y=Asin(ux十p)的图象. 方法二(1)作出y=sinx的图象 (2)把正弦曲线上各点的横坐标变为原来的一倍，纵坐标不 变，得到函数y=sin ox的图象。 (3)将函数y=sin图象上各点向左（右）平移9个单位长 度，得到函数y=sin(ax十e)的图象. (4)将函数y一sin(mx十)图象上各点的纵坐标变为原来的 A倍，横坐标不变，得到函数y=Asin(ax十)的图象。 128 第五章三角函教收组 上述两种方法的步骤如下： 作y=sinx的图象 横坐标仲长或缩短 沿轴平移个单位长度 为原米的结倍 得y一n.x+P的图象 得y=snw的图象 横坐标仲长或缩短 为原来的品倍 沿.x轴平移 个单位长度 得y=sin(wx+p)的图象 得y=sina(+吕)的图象 纵坐标伟长或缩短 为原来的A倍 得=Asin(wx+p)的图象 例1(2023·北京四中测试)已知f(x)=1+2im(2x-）: 画出在[一受·引上的图象。 解析 re[-], 2x-∈[-， 列表： 一受 一8 8π 受 2- 一π 0 2 f(r) 2 1 1-2 1 1+√2 (2)描点连线，如图5.6-1所示. 82 图5.6-1 例2将函数y=sinx的图象上所有点向左平移个单位 长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，则最 终所得图象的解析式为( Ay=sin(受-) B.y-sin() C.y-sin(+) D.y-sin(2r+) 解折由图象变换知y一simx先平移变换为y一im十》 129 国避食手细高中数学必修第一册（下）尺UA(渐江专用) 再伸缩支换为y=sim(受+）】 答案C 例图(2023·北京海淀区二模)将函数y=sim(x一)的图 象上所有点的横坐标缩短为原来的与（纵坐标不变），再将所得 函数的图象向左平移号个单位长度，则最终所得函数图象对应 的解析式为( A.y=cos B.y=sin 2.x C.y=sin D.y=cos 2x 解机将函数y=sm(红一晋)的图象上所有点的横坐标缩 短为原来的2（纵坐标不变），得到y=sim(2x一否)的图象，再将 所得函数的图象向左平移个单位长度，得到y=sim2(x十西 若]=sim(2x+）=c0s2x的图泉. 答案D 点评函数图象向左平移开个单位长度指的是自变量x增 3 加于，而不是2x增加牙 3 -02关健能力提升。 题型方法 受，2红来求出对应的x值，列表如下： 题型1函数y=Asin(aux十e)的图象与性质 X=ax十g 0 2 2 1.函数y=Asin(ax十o)的图象作法 3x 用“五点法”作图需要找出五个关键点，这 r一乎 2m—9 创 五个点应分别为使y能取得最小值、最大值以 y=Asin(ax十) 0 A 0 -A 0 及曲线与x轴相交的点.其步骤为： (3)描点画图，再利用函数的周期性，可把 (1)先确定周期T=2红 所得简图向左和向右分别扩展，从而得到函数 y=Asin(x十p)的简图（但一般这步只作叙 (2)令X=ar十p,将X分别取0，受， 述，图象上不体现出来也可以). 130 第五章三角函散么 例④已知函数y=2sin(受+否)】 续表 (1)用“五点法”画出函数的图象。 令-受+2x<r十9≤登+2kx(k∈Z)可 (2)求该函数的振幅、周期及初相. 求单调递增区间 单调性 醒折（山）令X-登十吾，列表如下，描，点连 令受+2kx<mr十g<经+2km(k∈ZD可求 线，如图5.6-2所示. 单调递减区间 X 0 2 π 3π 2x 例5已知函数y=3sin 弩 11x 3 (1)用“五点法”画出函数的图象. 3 0 2 0 -2 (2)求此函数的周期、振幅及初相. 0 (3)求此函数的对称轴、对称中心及单调 递增区间. 8x11x 3 3/ 解析(1)列表： 2π 一开 0 x 2x 图5.6-2 x 55 7x 9x 2 (2由因象知A-2,T--()-切 0 3 0 -3 令x=0得9=吾 描点：在直角坐标系中描出五点（受，0小 所以它的振幅为2，周期为4，初相为否 3,0,(-3,(.0 2.函数y=Asin(ax十o)(w>0)的性质 连线：将所得五，点用光滑的曲线连接起 来，得到所求函数的图象，如图5.6-3所示. 定义域 (-00,十00) 值域 [-1A,A1] 周期 7T-2x 当=kr,k∈Z时为奇函数 奇偶性 当华=kx十受，k∈Z时为偶函数 图5.6-3 当子经，4CZ时为非奇非偶函数 这样就得到了函数y=3sin (侵—)在 直线x=红+开-里(k∈D 一个周期内的图象，再将这部分图象向左和向 对称轴 w 2w w 右扩展，得到整个函数y=3sin 求法：令ur十g=kx十受可求 (分-到的 图象 对称 对称中心：悟号.0∈☑ (2)周期T=2红-2红=4π，振幅A=3,初 中心 求法：令mx十g=kx可求 131 国避食手细高中数学必修第一册（下）尺UA(渐江专用) 相是一平 画出正弦曲线在长度为2x的某 步骤1 闭区间上的简图 (3)令x-至-5+km,k∈五. 紧 沿x轴，平移 得到sin(r+e),x∈R在长度为 步骤2 解得x=3r+2kx,k∈Z. 2π的某闭区间上的简图 2 周期 变换 横坐标，伸长或省知 即函数的对称轴是直线x=3m+2元，k∈Z 得到sin(r+gp),x∈R在长度 2 步骤3 为一个周期的某闭区间上的简图 令2-吾=kx,k∈乙，解得x=号+2x, 擾 纵坐标】神长或缩短 得到Asin(wx十o),x∈R在长度 步骤4→ k∈Z, 为一个周期的某闭区间上的简图 扩展 沿x轴扩展 即函数的对称中心为（受+2kx,0,k∈乙 步骤5→得到Asin(x十e),x∈R的简图 令-受+2kx≤2<登+2kx,k 其中，相位变换中平移量为©个单位，当 >0时向左平移，当0时向右平移：周期变 解得-受十4kx≤<+4m,k∈Z乙。 换中，纵坐标不变，而横坐标变为原来的上倍： 即函数的单调递增区间为[一乏十4k元， 振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来 的A倍 +4],k∈Z (2)对函数y=Asin(x+g)+k(A>0, w>0,≠0，k≠0)，其图象的基本变换有： ◆变式1(2023·大庆铁人中学高一月考) ①振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变 将函数f(x)=3sin2x十cos2x的图象向右 化引起的.当A>1时伸长：当0<A<1时 平移秀个单位长度，再把所有点的横坐标伸长 缩短， ②周期变换（横向伸缩变换）：是由ω的变 到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的 化引起的.当w>1时缩短：当0<w<1时 图象，则下列说法正确的是(). 伸长 A.函数g(x)的最大值是V3+1 ③相位变换（横向平移变换）：是由的变 B.函数g(x)的最小正周期为元 化引起的.当>0时左移：当0时右移， C函数g✉)在区间[吾，]上单调递增 ④上下平移（纵向平移变换）：是由k的变 化引起的.当>0时上移：当k<0时下移. D.函数g()的图象关于直线x=对称 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸 缩”两种方法来进行图象变换 题型2函数图象的变换问题 例⑥(2023·无锡锡山高级中学测试)函 1.y=sin x-y=Asin(aux+o)(A 0,w>0)的变换 数y=5sim(2x+)+1的图象可由y=sinx (1)由y=sinx→y=Asin(ut十)的变换： 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 132 第五章三角函数么出0 解析方法一将函数y=sinx的图象依 2.由y=Asin(ax十g)→y=sinx的变换 次进行如下变换： 逆用y=sinx→y=Asin(ax十o)的变换 ①把函数y=sinx的图象向左平移5个 步骤即可，也就是反向操作. 例7把函数y=sin(ux十p)(w>0,p< 单位长度，得到函数y=sin(十5)的图象； π)的图象向左平移否个单位长度，再将图象上 ②把得到的图象上各，点的横坐标缩短为原 所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不 来的（纵坐标不支）.得到函数y=m2十)的 变)，所得图象的函数解析式为y=sinx,则 图象； ( ③把得到的图象上各，点的纵坐标变为原来 Aa=2,g-8 Bw=2g=-等 的5倍（横坐标不变），得到画教y一5m2x+引 Cw=29- 的图象； ④把得到的图象向上平移1个单位长度， 解析将y=sinx的图象上所有点的横坐 得到函数y=5sim(2x+)十1的图象。 标缩短为原来的（纵坐标不变），所得图象的 经过上述变换，可得到函数y=5sim2十) 函数解析式为y=sin2x,再将此函数图象向右 十1的图象 平移个单位长度，可得y=sin2(x一)的图 方法二 将函数y=sinx的图象依次进 象，即y=sin(2x-5)所以w=2,g=-吾 行如下变换： ①把函数y=sinx的图象上各，点的横坐 答案B 标缩短为原来的2（纵坐标不变），得到函数 3.由y=sinx或y=osxy=Acos(r+o) 的变换 y=sin2.x的图象； 函数y=Acos(x十)的图象可由函数 ②把得到的图象向左平移晋个单位长度， y=cosx的图象通过变换得到.又由诱导公式 得到函数y=sin(2x十)的图象： 得y=Acos(ar十p)=Asin(ot十p十乏)，而函 ③把得到的图象上各，点的纵坐标变为原来 数y=sinx的图象通过变换也可得到函数y 的5倍（横坐标不变），得到函数y=5in2+】 Asin(r十p十)的图象，即为函数y 的图象： Acos(ux十p)的图象. ④把得到的图象向上平移1个单位长度， 例8(2024·武汉二中周练)由函数y 得到函数y=5sin(2x+)十1的图象. mx或)y一csx的图象怎样得到y=3o2十 经过上迷变换，可得到函数y一5sm2十》 的图象？ 十1的图象. 解析由诱导公式可得y=3c0s2x十) 133 国避点手册高中数学必修第一册（下）尺A(浙江专用) 3sim2x+5+）=3sin(2x+）,故由函教 4.函数y=A:sin(a1x十9)与函数y A2sin(2x十g)或y=A:cos(x+g)间的 y=sinx的图象通过变换得到函数y 变换 3sim2x+）的图象的步聚如下： (1)通过分析A,与A2,与，9与 间的关系，利用相位变换、周期变换、振幅变换 ①把函教y=snx的图象向左平移爱个 等有关变换，由函数y=Asin(ax十9)的图 象得到函数y=A2sin(hx十g2)的图象， 单位长度，得到函数y=sim十)的图象： (2)若变换前后函数的名称不同，则需要 ②把得到的图象上各，点的横坐标变为原 先统一函数名称.一般情况下，利用诱导公式 来的号（纵坐标不变），得到画数y=sm(2x十】 即可完成，而判断平移方向则需结合“左加右 减”的原则. 的图象； 例9(2024·正定中学期末测试)要得 ③把得到的图象上各，点的纵坐标变为原来 到函数y=√2cosx的图象，只需将函数y= 的3倍（横坐标不变）.得到函数)一3n2+） √2sin2x十牙)的图象上的所有点的(). 的图象，则所得图象即为函数y=3cos(2z+) A横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变） 的图象 再向左平移零个单位长度 直接由函数y=cOsx的图象通过变换得 B横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 到函数y=3Cos2x+)的图象的步聚如下： 再向右平移开个单位长度 ①把函数y=c0sx的图象向左平移弩个 C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不 单位长度，得到函数y=0s(x十罗)的图象： 变)，再向左平移于个单位长度 ②把得到的图象上各，点的横坐标变为原来 D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不 的（纵坐标不支），得到函数y=c0(2x十)的 变)，再向右平移个单位长度 图象： 解析根据诱导公式化简函数y一2sin2x十 ③把得到的图象上各，点的纵坐标变为原 )=2cos(2r+开-)=2cos(2x-)把 来的3倍（横坐标不变），得到函数y=3cos2. 此函数的图象上点的横坐标仲长到原来的 +)的图象 2倍（纵坐标不变），变为y=V2cos(红-开)再 点评一是利用诱导公式0sx=mx十》 向左平移开个单位长度，得到函数y=√2cosx 将余弦函数化为正弦函数来研究：二是直接由余 的图象 弦函数的图象通过变换得到函数的图象 答案C 134 第五章三角函教么 题型3求函数的解析式问题 有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得到 L.求由y=sinx经过变换得到的函数解 析式 y=了im(2x-)的图象，所以函教y=f(x) 按变换的顺序写出每一步变换后的函数 解析式即可 的解析式为)=子im(合一}】 例1D(2023·东北三校联考)把函数y= 金离3m(分r一吾） sinx的图象上所有的点向左平移个单位长 3.由图象变换和函数性质求解析式 度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原 求解时，综合图象变换和函数性质确定ω 来的2倍（纵坐标不变），得到的图象的函数解 9的值，进而得到解析式 析式为 例12(2024·杭州学军中学二模)把函 解析把函数y=sinx的图象上所有的点 数f(x)-2cos(ar+g)(w>0,0<g<π)的图 象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐 向左平移个单位长度，得到y=sin(x十晋)的 图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来 标不变，然后再向左平移否个单位长度后得到 的2倍（纵坐标不变），得到画数y=m2十看) 一个最小正周期为2π的奇函数g(x).则w和 的值分别为( 的图象. 离y=sin(x+） A2君 B2号 2.求经过变换后得到y=sinx的函数解 C3,吾 D3,号 析式 解析把函数f八x)=2cos(ux十9)(w>0: 根据变换的可逆性，采用逆向思维的方法 O<<π)的图象上每一点的横坐标仲长到原 求解 来的2倍，纵坐标不变，得到函数h(x) 例11把函数y=f(x)的图象上每一点 的纵坐标变为原来的3倍，再将横坐标变为原 20s(受+)的图象，然后再向左平移晋个单 来的)，最后将整个图象向左平移否个单位长 位长度后得到g()=2os[(x+晋)十9] 度，可得y=sinx的图象，则函数f(x)的函数 2c0s(受+管十9)的图象.而已知gx)的最小 解析式为f(x)= 解析根据题意，将函数y=sinx的图象 正周期为2元，所以T=2红=2元，得0=2，即 2 向右平移唇个单位长度，得到函数y一sm。一】 g(x)=2cosx十否十9.又g(x)为奇函数，所 的图象，再把所得函数图象上所有点的横坐标 变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y 以十晋-受，所以 sin(受t一)的图象，再把所得函数图象上所 答案B 135 国避手册高中数学必修第一（下）？u/A(浙江专用) 4.由函数的图象特征求函数的解析式 则w=多. 由图象或部分图象确定三角函数y ,点（π，0）在递减的那段图象上， Asin(ax十p)的解析式，在观察图象的基础上 可按以下规律来确定A,w,四 ÷+ge[+2x,+2k]∈ (1)A:一般可由图象上的最高点或最低点 的纵坐标来确定A的值 则由sm+)-0. (2)m:因为T=2红，所以往往通过周期T 得+g=(2k+1Dxk∈D. 来确定ω的值，而周期T可根据已知曲线与 一r<<π， x轴的相邻交点之间的距离来确定，即曲线与 又A=2, x轴的两个相邻交点之间的距离为5，也可根 此通数的解新式为y=2sin(号x+》: 据相邻的一对最高点与最低点之间的水平距 方法二（最值点法】 离为来确定，还可根据相邻的两个最高点（或 由图象可得T=3π，w= 3,A=2, 最低点)之间的水平距离为T来求周期： (3)9:可由最值点来确定，也可由图象变 将最高的点坐标（任，2）代入y=2sm(号 换、单调性法来确定，还可由“五点法”中的第 +o). 一个点（一号，0（也叫初始点）作为突破口，并 得2sin否十g)=2,·吾+g=2kx+5, 从图象的升降情况找准第一个点的位置.若用 其他点，就要注意函数的单调性，还要注意条 “g=2km十晋(k∈ZD. 件中©的取值范围. 又一π<π， g= 例13(2024·石家庄一中月考)如图 3 5.6-4所示是函数y=Asin(ax+p)(A>0, “此画：的解析式为y=2sin(导x十5)】 w>0,一π<<π)的图象，由图中条件求得该 方法三（图象平移法】 函数的解析式为y 由图象可知，将函数y=2sin 号的图象 沿x轴向左平移受个单位长度，就能得到本题 7π 5 32π 的因，故所求函数的解析式为y=2sn[号（ +)],即y=2sm导+} 图5.6-4 案2sm(x+ 解析方法一（单调性法】 ◆变式2（多选）已知函数f(x) 由图象可知T-变-（一)=3-2红， Asin(aux十0)十B的一部分图象如图5.6-5所 1362sim号 =1二csa,从上述公式可知，an号与 故有A=2再由函数的周期性可得之T-合×红 2sin号os号 sin a 登-(-吾)=受，解得w=2,y=2sin(2x+g以 sina的符号是一致的. 把点（一吾2）代入函数的解析式，可得2sin2× 误区26没有抓住变换的对象 ()+]-2 易错题26（错误率42%）把函数y=sim(5x-受)的图 ∴2×(-晋）+9=2km+受，k∈乙 象向右平移开个单位长度，再把所得图象上所有点的 解得华一2x+要，k∈乙又一<<，放g一经 横坐标缩短为原来的子（纵坐标不变），所得到的图象 故函数的解析式为y=2sin(2x+写)），k∈乙 对应的函数解析式为( ). 答案 A Ay=sin(10r-3年) B.y=sin(10) 易错探因不会由周期求仙而出错，或者不清楚函数图 Cy=sin(1ox-）) D.y=sin(10-) 象中的几个关键点，因此计算中出现错误图中受对应 正解将原函数的图象向右平移工个单位长度，得到函 的点应该在y=如x中相当于（受，一1）这个点。 数y=im[5(x-平)-受]=in(5x-乐)的图象。 误区28对零点处的相位判断错误 再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的？（纵 易错题28（错误率45%）如图表示相对于平均海平面 坐标不变)，得到函数y=sin(10x一至)的图象。 的某海湾的水面高度h(单位：m)在某天0~24时的变 化情况，则水面高度h(单位：m)关于时间t(单位：时) 答案D 的函数解析式为 易错探因错解的原因是没有抓住变换的对象.图象横 向平移变换的对象是自变量x,而非5.x 误区27对函数图象的关键点理解不清 易错题27（错误率48%）函数y=Asin(ax十p)(A>0, w>0,一≤g≤π)在一个周期内的图象如图所示，则 正解 h=Asin(our+g).A0,0>0, 此函数的解析式为(. 根据图象可知A=6,T=12=红，∴m一吾 图象过点(0.0)，·吾×0叶9=，9= ∴h=6sim(g+元)=-6sim答1e[0,241 答案h=-6sin吾.1e[0,241. Ay=2sim(2r+F） By=2sin(2x+5） 易错探因确定的值的方法是选一个特殊点，找出对 应相位，一般选最高点或最低点，若选零点，需注意是 Cy=2sin(号-吾) D.y=2sim(2x-吾） 上升零点还是下降零点，注意对应的相位.本题中，1= 正解由函数的图象可得函数的最大值为2，最小值为一2， 0是下降零点，对应的相位是2kπ十π，k∈Z 8