5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

重避点手圆高中数学必修第一册（下）尺A(浙江专用) 5.5三角恒等变换 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 重点和难点 课标要求 重点：利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式：两 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能 角和与差的三角函数的其他公式及其内在联系， 灵活运用。 难点：发现两角和（差）的三角函数与圆的旋转对称性间 2.掌握二倍角的正孩，余弦、正切公式。 的联系 3.掌握公式的变形，并能运用. 真口01备知识梳理 基础梳理 知识点1两角差的余弦公式 国敲黑板 1.两角差的余弦公式 1.公式中的a,B都是任 意角，既可以是一个角，也可 对于任意角α，3，有 以是几个角的组合。 cos(a-B)=cos acos B+sin asin B. (CaD） 2.若。或B是经(k∈ 的形式，则可以直接利用三角 此公式给出了任意角a,3的正弦、余弦值与其差角α一3的余 品数的诱导公式进行计算. 弦值之间的关系，称为差角的余弦公式.简记作C。: 3.一般情况下，os(a)≠ cos a-cos B. 2.公式记忆要点 4.要掌握公式的逆用，如 右端为α，3的同名三角函数积的和，左端为两角差的余弦. cos(a十3)cos3+sin(a+3)· sin B-cos [(a+)-B]-cos a. 知识点2两角和的余弦公式 1.公式推导 冒敲黑板 在公式C。m中，用一3替换公式中的B,则有 1.公式不但要会正用，还 要会递用，例如cos(a十B)· cos(a+B)=cos[a-(-B)] cos(a-B)-sin(a+3)sin(a- =cos acos(-B)+sin asin(-B) 3)=cos[(a十B)+(a-3)]= cos 2a. =cos acos B-sin asin B. 2.两角和与差的余弦公 于是，得到了两角和的余弦公式 式可以记忆为“余余正正，符 号相反” cos(a+B)=cos acos B-sin asin B. (Ca+m】 (1)“余余正正”表示展开 2.公式记忆要点 后的两项分别为两角的余弦 乘余弦、正弦乘正弦. 右端为α，3的同名三角函数积的差，左端为两角和的余弦。 (2)“特号相反”表示展开 106 第五章三角函数么0 知识点3两角和与差的正弦公式 后两项之间的连接符号与展开 前两角之间的符号相反，即两角 1.公式推导 和时用”一”，两角差时用“十” 由诱导公式及两角和与差的余弦公式可得 (3)两角和与两角差的余 弦公式只有中间的连接符号 sin(a十B)=cos5-(a十BD】 不同. 3.要热记一些特殊角的 =cos[(5-a)-月 三角函数值，以便在运用公式 计算时使用。 =cos(s-a)cos sin(5-a)s小in月 4.一般情况下，os(a十)≠ cos a+cos B. =sin acos B+cos asin B. sin(a-8)-cos[2-(a-B)] 目敲黑板夕 1公式S。的推导，也 =cosl(臣-a)+月 可用一B替换公式S+D中的 B得到. =cos(5-a)cos月-sin(5-ajs小in月 2.公式中的a,3均为任 =sin acos B-cos asin B. 意角 3.公式C。士3)和S。t中 即 sin(a+B)=sin acos B+cos asin B. (Sa+m） 的a,3是任意角，若a,3中有 sin(a-B)=sin acos B-cos asin B. (S。-m) 一个是受的整数倍，则利用诱 2.公式的记忆要点 导公式较为简便 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同” 4.一般情况下，sin(a士)≠ ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、 sin asin 余弦乘正弦； ②“符号相同”是指展开后两项之间的连接符号与展开前两 角之间的符号相同，即两角和时用“+”，两角差时用“一”： ③两角和与两角差的正弦公式只有中间的连接符号不同. 知识点4两角和与差的正切公式 1.两角和与差的正切公式及其条件 国敲黑板 由sin(a士3)=sin acos3士cos asin3及cos(a士3)=cos acos3干 1.两角和与差的正切公 sin asin3,即得 式中，a,3,a十B,a一B均不等 tan(a十3)= sin(aB) cos(a+B) 于kx十(k∈)，这是由正 sin a cos B+cos a sin B 切函效的定义域决定的。 cos a cos B-sin asin B (Ta+n） 2.当tana,tan3,tan(a+ tana十tanf 3)[或tan(a-3)]中任一个的 tan atan 值不存在时，不能使用两角和 107 国避食手细高中数学必修第一册（下）尺UA(渐江专用) 其中，a,3及a十B均不为kπ十罗，k∈Z (或差)的正切公式解决问题， 应改用诱导公式或其他方法 tan(a-3)= sin(a-B) cos(a-B) 解题.例如化简tan(一) sin acos B-cos asin B (Ta-2) 因为1an受的值不存在，所以 cos acos Bsin asin B 不能利用公式T4》进行化 tan a-tan B 1+tan atan B' 简，应改用诱导公式来化简， (或将一B代入T+m式中的) tan(-)= m(受-) 其中a,3及a一月均不为kx十受∈乙 o(受-刊 cos 2.tan(a十)的变式及其特殊形式 sin B' 跟其他公式一样，正切的和角公式tan(a十3)= ana十an卫可以正用，也可以逆用，而且它的几种变形形式也 1-tan atan B 经常用到： tan a+tan B=tan(a+B)(1-tan atan B); 1-tan a tan B= tan&十tan3 tan(a十3) 1十tanA 1-tan A =an(子+A: i+tan A-tan(年-A. 1-tan A 3.和角公式、差角公式 公式S。+m,Ca士，T时m给出了任意角a,B的三角函数值与 其和角α十B的三角函数值之间的关系.为方便起见，我们把这三 个公式都叫作和角公式。 类似地，S。m,C。m,T。m都叫作差角公式。 知识点5二倍角的正弦、余弦、正切公式 国敲黑板 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 1,这里的“倍角”专指“二 令Stm,Ca+和Ta+m中的=a,得到 倍角”，遇到“三倍角”等名词 二倍角的正弦公式： 时，“三”字等不可省略 sin 2a=2sin acos a, (S.)】 2.对于S.和C2。a∈R, 二倍角的余弦公式： 但是在使用T。时，要保证分 母1一tana≠0且tana有意 cos 2a=cos'a-sin'a, (C2) 二倍角的正切公式： 义，即a≠kx十于且a≠kx tan 2a- 2tan a I-tana (T) 晋且≠kx+受∈zD, 108 第五章 三角函教收组 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导 3.一般情况下，sin2a≠ sin(a+3)=sin acos3+cos asin3,当3=a时，有sin2a= 2sin a,cos 2a2cos a,tan 2a 2sin acos a. ≠2tana. cos(a+B)=cos acos3-sin asin3,当B=a时，有cos2a= 4.倍角公式的递用能开 cos2a-sin'a=2cos'a-1(sin'a=1-cos2a),cos 2a=1-2sin'a 括思路，我们要熟悉这组公式 的逆用.例如，sin3acos3a= (cos a=1-sina). tan(a+B)=- 当时，有m2a 2tan a 2sin 6g. 1-tan'a 重难拓展 重难点1三角恒等变换思想 1.角的代换 同敲黑板 代换法是一种常见的思想方法，也是数学中一种重要的解题 辅助角公式的理解及应用 方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出.例如，在推导 asin.r+os.x=√a+形. 出C。m,S+m,T+m后，可以将B代换成一B,即可推导出Ca+D· S。,Ta: s如r+eanp=2). 常用的角的代换形式： (1)辅助角公式的推导 ①a=(a十3)-： asin+bosx=√a+B. ②a=3-(3-a): b √a+ ③a=[(a+D+(a-BD],2a=(a+)+a-B: cos ④a=2(a+-(g-a],2a=(g+a)-(ga: 令c0sg= √a+W ⑤-=(a-》-(-: sin b a+序 ⑥a-y=(a-3)+(3-y. 则asin x十beos x= 2.常值代换 √十f·(sin .roos+oosx· 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的 sin )=a+b sin(x+), 公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的 其中角中所在象限由a,b的 代换，如1=sin2a十cos2&,1=tan45°，1=sin90°，1=cos0°等.再 符号确定，角中的值由sinp= 如、，受，，号，号等常数均可视为某个特珠角的三角函数值， Va于和c0sg= b Va+ 共同确定 从而将常数代换为三角函数值使用.例如 1+tan 15 1-tan 15 (2)辅助角公式的应用 tan45°+tan15 1-lam451an15=tan(45+15)=tan60°=/3. 这种恒等变换实质上是 将同角的正弦和余弦函数值 3.辅助角公式（收缩代换】 与其他常数积的和变形为一 通过应用公式asin a+bcos a=√a+sin(a+g)[或 个三角函数，这样做有利于西 109 重避点手圆高中数学必修第一册（下）尺A(浙江专用) asin a+十bcos a=√a2+cos(a一)]将形如asin a十bcos a(a,b 数式的化简，更是以后研究三 角函数性质的常用工具 都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数√a+si(a十g) [说明]辅助角公式能将 [或√a+?cos(a一g)].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和 异名三角函数式转化为同名 余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变 三角函数式，它本身就是一个 换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式 化简的过程.化简后，可轻松 例①(2024·佛山市高一下期中)已知a,3为锐角，且cosa= 求出函数的周期、最值、单调 告，os(a+B)=一品，则cos月的值为 4 区间等 (3)常见辑助角结论 折0<a<登，0<p受 ∴.0<a十B<π. ①sinx士cosx= v2sin(r±)月 由osa+D=-5, 651 ②cosx士sinx 得sna+=voa+√-(-器 v2cos(干)月 又cosa=5, 4 '.sin a=5 .'cos B=cos [(a+B)-a]=cos(a+B)cos a+sin(a+B)sin a =()×号+需×是- 逸 点评本题对角进行了拆分，即B-(a十)一a,这种拆分技巧 要灵活掌握 例Bsim及一√3cos卺的值为( A.0 B.-2 C.2 D.√2 折血音5ms是-2位如吾-2如（倍 =2sin(-F）=-√2. [答泰B 例B化简下列各式： (1)sinx-√3cosx. (2m(骨-+（赁-小 点拨]对公式的理解是解决本题的关键，实质上是创设条件 来应用和（差）角公式。 110 第五章三角函散么组 解析(1)sinx-√3cosx =1+(3)(sinx·号-cosr 2 -2(sin ros号-cos sin号 π -2sin(). 2m肾-+o- [sm任-x+3co(任-x月 -×m(-小十骨-小· -引nl(条-小os+o任-小n】 号任-r+引 号倍小 重难点2二倍角公式的变形及其应用 1.倍角公式的逆用 巴拓视野 (1)S:2sin acos a-sin 2a,sin a-in 2a .cos a=sin 2a 2sin a 1.三倍角公式（不要求 2cos a 记忆) (2)C2:cosa-sina=2cos2a-1=1-2sina=cos 2a. (1)sin 3a=3sin a-4sin'a. 2tan g-=tan 2a,2tan a=tan 2a(1-tan'a). (3)T:]-tan'a (2)cos 3a=4cos'a-3cos a. 2.配方变形 (3)tan 3= 3tan a-tan'a 1-3tana 1士sin2a=sina+cos2a士2 sin acos a=(sina士cosa). 2.万能公式 用正切来表示正弦、余弦 3.因式分解变形 及正切的倍角公式，也叫“万 cos 2a=cos a-sin'a=(cos a-sin a)(cos a+sin a). 能公式”，公式如下： 4.升幂公式 (1)sin 2a=2sin acos a= 1+cos 2a=2cos'a,1-cos 2a=2sin'a. 2sin acos a- sin a+cos a 2tana,即 1十tana 5.降幂公式 2tan a cosa-1+cos 2a,sina-1-cos 2a sin 2a-1tan a 2 2 (2)cos 2a=cos'a-sin'a 1-cos 2a sin acos a-sin 2a,tan'a-1cos 2a =cosa-sine=1-tane,即 sin'a +cos'a 1+tan a 111 国避手细高中数学必修第一册（下）尺UA(渐江专用】 例4化简：√1+sin20°+√1-sin20- cos 2a= 1-tan'a 1+tan'a 解析√1+sin20°+√1-sin20 (3)tan 2a= 2tan a 1-tana =√(sin10+cos10)2+√(sin10°-cos10) 即正弦、余弦、正切的三 =|sin10°+cos10°|+|sin10°-cos10°1 角函数都可以用正切来表示， =sin10°+cos10°+cos10°-sin10 2am号 sin a= 05.a =2cos10°. 1+am号 答案2cos10°. 1-ar号 2am号 例B化简0s20°-cos40 tan a c0s50° 的值为( 1+ar受 1-tar号 A号 B号 C.2 D.2 点拨由正、余弦的二倍角公式，结合诱导公式化简. v② 折原式=20心D-区血20w20_号如40 c0s50 0s50° c0s50° 竖no 2 答案B 02关健能动提升。 题型方法 题型】配角求值 刷日已知a为镜角，且cos(a+)= 3 43-3 10 则sina=( [答案B A.48+3 B43-3 10 10 例B已知sna十cosa=号a∈(0，R,则 C.33+4 D.33-4 sin(a+亚)的值为( 10 10 熙起“cosa+）=号a为锐角). A.B+22 BB-22 6 6 ∴a十否为锐角， sima+看）= C.1+26 D.1-26 6 6 ∴如a=[(a+看}-晋]=nla+）· 解析sina十cosa=号。 112 第五章三角函教么 2tan a=- tan 2a=1-tan'a 4 = 整理得3tan2a-8tana-3=0, 3 解得ama=3或1an。=一君 mla+）=寻 所以sin2a+cosg_2 sin acos十cosa 1+2sin'a 3sin a+cos a aco..mla+）-g号 2tan a+1 3tan'a+1' 当amna=3时，原式-交中 2×3+1_1 ose+7）=2g2, 3 当tana=一 sin(a+)=sim(a+牙-) 2×()+1 原式= =sim(a+f）os吾-cos(a+4)sin君 6 综上所选，9-子 41 答案A 蜜室 题型2倍角公式求值 题型3两角和与差的正切公式及其变式的 例8已知tan(T+0)=3,则sin20 应用 2cos20=( ). 例10(1)tan70°+tan50°-√3tan50°× A.-1 B一 c D- tan7o° 面am肾+-="结3. (2)设tan211°=a,则sin17+cos17 sin17°-cos17° ( ). am0-之明 A岛 sin 20-2cos'g=sin 20-2cos0 1 ca” D.a-1 Aa -2sin Ocos 0-2cos20 2tan 0-2 sin20+cos20 tan20+1 解析(1)，tan70°+tan50°=tan120°(1一 tan50°tan70°)=-√3+√3tan50°tan70°， ∴.原式=-√5+√3tan50°tan70°- 答泰B 3tan50°tan70°=-√3. 例日若m2a=一子则出结2 (2)sin178+cos17°_1am17°+1 sin17°-cos17°tan17°-1 =tan17°+tan45 解析由二倍角的正切公式得 tan17tan45°-1 =-tan(17°+45) 113 国避食手细高中数学必修第一册（下）尺UA(渐江专用) =-tan62°. 题型5证明恒等式 .tan211=tan31°=a, 1.三角恒等式的证明 .tan62°= 2tan31° 2a 证明三角恒等式常用以下方法： 1-tan231°-1-a' 故sin17°+cos17 (1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与 2a sin17°-cos17a2-1 另一边相等.在证明的过程中，应时刻“盯”住 答案(1)-V3. (2)A 目标，分析其特征，向着目标“奔”去。 题型4三角函数式的化简 (2)从两边入手，证得等式两边都等于同 一个式子 例回已知a∈（受，2x)化简： (3)作差法，证明左边一右边=0. 22+os2a 例13(2024·成都四中单元测试)求证： V2 sin(2a+B) -2cos(a十g)= sin B sin a sin a 111 解物2-2\√2+2os2a 证明因为sina≠0， sin(2a+B)-2cos(aB)sin a =√22vosa√2 =sin [(a+B)+a]-2cos(a+B)sin a √si号-sin =sin(a+B)cos a+cos (a+B)sin a- 2cos(a十3)sina =m(受∈（小smg>0 =sin(a+B)cos a-cos(a+B)sin a =sin[(a十B)-a] 答泰sim受， =sin B. 例12化简： 所以sin(2a十B 1-sin 0+cos 0 1-sin 0-cos 0 sin a -2cos(a+月》=sn2 sin a 1-sin 0-cos 0'1-sin 0+cos 0' 例14求证： 解析原式 1十sin40-cos40_1十sin40+cos40 (1+cos 0)-sin 0(1-cos 0)-sin 0 2tan 0 1-tan20 (1-cos 0)-sin 0'(1+cos 0)-sin 0 证明要证原式，可以证明 0 2r号-2n号 0 1++sin 40-cos 402tan 0 0 1+sin 40++cos 40 1-tan20" 2m号-2如号m号 .0 2s号-2n号os2 左边=sin40+(1-cos40 sin40+(1+cos40) 0/ 0/ 2cos cos sin 2in2m2cs2 2sin 20cos 20+2sin220 2如如号 c0s2】 0 2sin 20cos 20+2cos220 2sin 20(cos 20++sin 20) =tan 20, cos 2 8 sin 2 2cos 20(sin 20cos 20) 2 0 2tan 0 sin 2 cos 2 sin cos 2 右边=1一an0 =tan 20. 2 ,左边=右边， sin 原式得证 114 第五章三角函教收组 2.条件恒等式的证明 ∴.两式相加，得1=cos Bcos a十sin Bsin a, 证明条件恒等式要充分关注已知条件与 即cos(B一a)=1. 待证恒等式的关系，正确运用条件并合理切 ∴.B-a=2kπ(k∈Z), 入，然后用证明恒等式的一般方法处理。 即B=2kπ十a(k∈Z). 例15(2024·福州一中单元检测)已知 .'cos a=cos B,sin a=sin B. tan(a+B》=2iana(a,a十≠kx+受，∈，求 .'cos2 A=cos Bcos a=cos2B, sin2A=sin Bsin a=sin2B. i证：3sin3=sin(2a十3) 证明由已知得sim(a+=2sing co Bsin Bcos Bsin Bco B cosA sinA cos B sin'B cos(a+B)cos a sin2B=1. ∴.sin(a十3)cosa=2cos(a十B)sina. 易错警示 又sin(2a+3) =sin[(a+3)+a] ◆易错题22（错误率42%）已知π<a =sin(a十3)cosa十cos(a十3)sina a十B2π，且满足cosa= 12 13cos(a+)= -3cos(a+B)sin a. 3sin B=3sin [(a+8)-a] 172 26 ,则= =3sin(a+B)cos a-3cos(a+B)sin a ◆易错题23（错误率43%）已知在 =3cos(a十B)sina .3sin3=sin(2a+β). △ABC中，sinA-号，cosB=8则casC 田(23·深别中季测试已知二治 ◆易错题24（错误率46%）已知tan(a一3) BL,求证：osB+sinB sin'A cosA sinA-1. 2,tan B=- 7,且a,B∈(0，x),则2a-9 证明 令C0s2A sin2A cos B =cos a. sin B =sin a. 的值为 '.'cos2A=cos Bcos a,sin2A=sin Bsin a. 参考答案见《全书易错题集》第6页 03核心素养聚焦一。 考向分类 cos asin月=3·因为cos asin月=合，所以 考向1求值化简问题 例17(2023·新高考全国I卷)已知sin(a s血ms君+号=所以n(a十= -)=名6 os asin=月日，则cos(2a十29) ). cos(2a+23)=cos2(a+3)=1-2sin(a+3)= A.日 C.-g D.- 1-2X号故选B 架折因为sin(a一8)=了，所以sin acos 答案B 115-1-m 令x=吾，得=受-ez 在利用诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”判 断三角函数的符号时，不论角为何值，都应将它看作锐 又-受<0<受，所以当=1时，0-晋： 角进行处理。 当=2时，0=子所以0=一晋或号 误区20忽略复合函数的定义域 答案 一吾或 易错题20（错误率45%）函数y=logsin(x十号)的单 易错探因正切函数图象的对称中心除正切曲线与x轴 的交点外，还有渐近线与x轴的交点，故正切函数图象 调递增区间为」 正解由题意得sin(x十苓)>0， 的对称中心为点（经，0），∈乙，而非点(kx,0),k∈乙 这是同学们普遍存在的一个误区，由于渐近线与x轴 所以2kx<1+号<x+2kxk∈D, 的交点的横坐标不在正切函数的定义域里，因此容易 解得-音+2kx<<经+2k∈D. 将其遗忘 又因为“=m(十琴)的单调递增区间为一晋 误区22不会灵活选择三角函数 6 2km,晋+2xk∈Z, 易错题22（错误率42%）已知π<a<a+2π，且满足 cos a=- cos(a十)=l72 12 所以函数y=logssin(x十于)的单调递增区间为 26则日 正解 12 （-吾+2k,吾+2kxk∈D. cos a=- 3os(a+》=172 26 且x<a<a十B<2π 答案（一号+2km,晋+2km](k∈ZD. ∴.sina= 3sin(a+m=-72 易错探因解决与三角函数有关的复合函数问题时，定 261 义域是首先要考虑的问题，必须要在定义域内思考 .cs=cos[(a十D-a]=s(a十cosa十in(a十B)· 问题.求解本题时易忽略对数函数的定义域要求，即 sin a= 2 sin(x+晋)>0，从面得出错误答案。 :π<a<a十2r, 0<K,g- 任何时候研究函数的性质，一定要在其定义域内进行， 即“定义城优先”，本题由于是复合型对数函数，其真数 答案 必须大于0，从而可以确定x的取值范围（定义域）. 易错探因由于π<a十B<2π→∈(0，x),而正弦函数 在此区间内不单调，如果改求s3就不同了，若cs3> 误区21对正切函数的图象认识不足 0,则3为锐角，若c0s3<0,则B为纯角. 易错题21（错误率48%）已知函数y=tan(2x+0)图象 解决由已知函数求角的问题时，应先求出所求角的范 的一个对称中心为点（行，0），若-受<<受，则0的 围，再由角的范围选择相关函数，尽量使该函数在其角 所在范围内单调，这样既避免了烦琐的计算，又杜绝了 值为 错误的发生。 正解因为函数y=tanx的图象的对称中心为点 (经，0），k∈z 误区23扩大角的取值范围 所以2r+0=受∈乙 易错题23（错误率43%）已知在△ABC中，inA= 51 6 os乃-最则osC ·-<a-月<登 正解”mB音<号 ∴.2a-3=a+(a-3)∈(-π，0)， Be(停，受)且血B=是 又tan(2a-9》=tanl(a-g)+a]=ana-》+ana I一tan(a一3)tang nA=是<号，ae(o,u(停 =1 2 若A∈()， 2a-月=-3m :B∈（牙，受），则A+Bc(,要)， 答案一平 这与A十B十C=π矛盾， 易错探因讨论2a一B的取值范围，不仅要考虑a,3∈ ∴AE(年)，故A∈(0，年）则sA=号 （0,x,还要依据tama-0=之an=一号对a,B缩 ..cos C=cos[x-(A+B)]=-cos (A+B)= 小范围，同时，根据中间计算出的ma=号对。的范 围再缩小 答案品 误区25忽略对角的范围的进一步讨论 易错探因求三角函数值时，不仅要注意已经明确给出 的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可 易错题25（错误奉50%)已知sma=一号·则tam号 能缩小角的范围.三角形中的三个内角和A十B十C ,当mA=号>0时，必须讨论清楚A∈(0，吾)还 正解已知sn。=一号，所以os。=士是. 是A∈（红，x),因为它涉及cosA的值. 若sa=则am号=1 sin a 4 误区24角的限制条件不全 5 易错题24（错误率46%）已知tan(a一)=2，tanB 若csa=一 名则m号-1e-（-亏 =-2 司，且a,e(0,,则2a-月的值为 答案或一2 正解lana=ian[(a一》+]=一ana-tang tan(a-B)tang 易错探因半角公式前面的符号由号所在的象限确定， 1-2×(-7) 了，而a(0,x 但sn。=一青<0，a是第一或第四象限角，不进一步 细分，号就无法讨论，因此这时这个公式就无法继续运 ∴ae(o,受) “an8=-7ge(0,. 用.我们不妨进一步变换公式，tan号= s号 “c(变，m),.-元<a-8<0. 2sin号cos号 而tana-0=>0, 2os号 ng。或者an受= os号 7吾解得。一是 因为平≤r≤受，所以晋<2：-吾≤音 5.5三角恒等变换 从面可得f)=1+名-是 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 336 真题演练答案 5.626 提示：因为ae(0.平），所以平-ae(0,于) 1.D2.D 所以@（停-a)=√-m(语-a)-碧 3.A提示：，3cos2a-8cosa=5, .3(2cos2a-1)-8cosa=5, 又因为m(年+a)=sim[登-（任-a)] .6cos'a-8cos a-8=0, .3c0sa-4c0sa-4=0, =cos(年-a小， 解得oa=2X含去减s。=一导 os(臣+a）=os[吾-（径-a)]=m(任-a), “aE0,,a=厂o0-写 所以os2a=cos[(子+a）-(年-a)] 4子提示：im(+a)=号 =os(年+a)s(开-a)+sn(年+a)sm(年-a) 1m（登）名，止-号得如么专 =2sin(年-a)os(年-a） 3 2 5.受（符合2kx+受，k∈乙都可以，答案不唯一. 提示：as(a+》=asas-sin asin产方，① 提示：易知当y=sin(.x十9)，y=cosx同时取得最大 值1时，函数f(x)=sin(x+)十cosx取得最大值2， cos(a-=s计sin asin=是 放sin(x十g)=cosx,则9=受十2kx,k∈乙，故常数9 由①②得cos acos 8= sin asin-, 2 的一个取值为受。 故tan atan- sin asin B 1 cos acos B2· 6.-4提示：fx）=sin(2x+）-3cosx 7.变.提示：fx)=sim2x-4。 2 =-cos 2.r-3cos x ∴x)的最小正周期T-华-受 =1-2cos'r-3cos x 8.f(x)=cos'x-2sin xcos r-sin'x =-2(osx+是)广+ =cos2x-sim2x=√2cos(2x+至)： ,cosx∈[-1,1]， .当cosx=1时，J(x)取得最小值，f(.x)n=一4， (1)fx)的最小正周期T=经=元 练习册答案 (2由xe[0,受]可得2x+∈[，]， A基础过关练 1.C2.A3.C 所以-1<ms(2x+)<号. 4c提示：)-受2+号2红 2 即f()∈[一瓦，1]，所以f)在区间0，受]上的最 大值为1，最小值为一②. B综合提能练 =sim(2r-晋)+号 1.C2.C3.C -26