4.2 指数函数-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

重避点手圆高中数学必修第一册（下）尺A(浙江专用) 4.2指数函数 重点和难点 课标要求 1.理解指数函数的概念 重点：指数函数的概念、图象和性质 2.学握指数函数的图象与性质。 难点：指数函数概念及性质的理解 3.会求复合型指数函数的定义域，值域 4,了解指数函数图象的基本变换 门01-必备知识梳理◆一 母础梳理 知识点1指数函数的概念 1.指数函数的定义 同敲黑板 一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫作指数函数，其中指数 1.规定底数a>0,且a≠ 1的原因 x是自变量，定义域是R (1)若a=0,则当x0时， 2.指数函数的结构特征 a=0:当x≤0时，a无意义. (1)形如y=a'.(2)底数a满足a>0,且a≠1.(3)指数是x. (2)若a<0,则对于x的 因此，指数函数只是一个形式定义，判断一个函数是不是指 某些数值，可使无意义.如 数函数关键看三点：①系数.②底数.③指数. y(-2对子=… 如y=2r(x∈N),y=2十1，y=2·3,y=3+等都不是指 品数值不存在. (3)若a=1,则对任意的 数函数.函数y=ka(k≠0，a>0,且a≠1)称为指数型函数，y= x∈R,a=1是一个常量，没 a(x∈N)称为正整数指数函数 有研究的必要性 [说明]由于ya=(日厂，周此y=a也是指数画数 为了避免上述各种情况 的发生，所以规定a>0,且 知识点2指数函数的图象与性质 a≠1.有此规定后，对任意的 1.函数y=(a>0,且a≠1)的图象和性质 x∈R,a'都有意义，且a>0. 2.函数y=a(a>0,且 a>1 0a1 a≠1)的定义域为什么是R? 因为指数的概念已经扩 充到了实数，所以当a>0,且 图象 (0,L (0.1)y=1 a≠1，x是一个实数时，a表 示一个确定的实数，即a(a> 定义域 R 0,且a≠1)对任意实数x都 性 值域 有意义，因此指数函数y=: (0,+00) 的定义域是R 定点 图象过定点(0,1) 8 第四章指散函敬与对教函散么9 续表 同敲黑板 4>1 0a<1 如何准确把握指数函数的 图象与性质？ 单调性在（一∞，十∞）上是增函数 在（一∞，十∞）上是减函数 1.当底数a大小不定时， 分“a>1"和“0<a<1”两种情 形讨论 质函数值 当x>0时，>1： 当x>0时，0<a<1: 当0a<1时，x→十o∞， 的变化 当x=0时，a=1； 当x=0时，d=1； y0,函数y=a的图象是下 情况 当x<0时，0a<1 当，x<0时，d>1 降的，即函数单调递减.a的 值越小，通减的速度越快.当 对称性 函数y=a 与y=() 的图象关于y轴对称 a>]时，r→十∞，y→十o∞， 函数y=a的图象是上升的， 2.函数y=a与y=(日广(a>0,且a≠1)的图象间的关系 即函数单调递增.a的值越 大，递增的速度越快 在同一平面直角坐标系中画出函数y=2和y=(侵厂的图 2.底数变化决定指数函 数图象的变化。 象，如图4.2-1所示，经过仔细研究发现，它们的图象关于y轴 指数函数y=a的图象 对称 如图4.22所示，由指数函数 y=a的图象与x=1相交于 点(1，a)可知： (1)在y轴右侧，图象从 上到下相应的底数由大变小 图4.2-1 (2)在y轴左侧，图象从 下到上相应的底数由大变小. 般地，函数y=d与y=(月广(a>0,且a≠1)的图象关于 如图中的底数的大小关 系为0a1<a1<1<a<a1. y轴对称. 事实上，在函数y=的图象上任取一点P(x,y),点P(x,y) 关于y轴的对称点为P(一x,y),显然点P在函数y= a的图象上 由于点P是任意取的，所以函数y=的图象上任意一点关 图4.2-2 于y轴的对称点都在函数y=(口 的图象上，反之也成立。 [注意]根据函数y=a与y= (日)广(a>0,且a≠1)的图象 间的关系，可得“底数互为倒数，两指数函数图象关于y轴对称” 的结论 9 重随点手细高中数学必修第一册（下）尺A(浙江专用) 雨难拓展 重难点1指数函数图象的变换 1.指数函数图象的平移变换 卫提个醒7 遵循“左加右减，上加下减”的规律，即 作好草图对解决数学问 向左平移>0个节位长度 y=a的图象 题有时起到非常关键的作用， 向右平移h>0个单位长度 y=产*的图象 从草图中能找到解题的思路， y=a的图象→ 向上平移h(h>0个单位长度 y=a+h的图象 从而得出正确的答案，作草图 向下平移(>0个单位长度 +y=a-h的图象 既要快，又要保证关键的地方 2.指数函数图象的对称变换（或翻折变换） 不能出错 关干y轴对称 例1(1)是由f(x)=2→ y=a的图象 关于x轴对称 f(x-1)=21,则f(x-1) y=a的图象三 3y=-a的图象 关于煤点对称 y=-a"的图象 过定点1,1)和(0，），图象 此外，函数y=a口的图象本身关于y轴对称：函数y=|a一b 始终在x轴上方，左边无限接 的图象是由函数y=a一b的图象保留x轴及x轴上方的图象不 近x的负半轴. 动，把x轴下方的部分翻折到x轴上方得到的，即关于x轴作对 例1(2)中，首先确定为偶 称变换 函数，然后画出x≥0，f(x) 3.与指数函数有关的函数的作图问题 2的图象，再关于y轴对称， 对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般采用变换作图 得出整个函数的图象（有点像 法作图，作图过程中要注意如下问题： 抛物线). (1)选择适当的指数函数作为起始函数： 例1(3)中，将f(x)=2 的图象向下平移1个单位，则 (2)要注意平移的方向及距离。 f(x)一1过定点(0,0)，且图 如要作y=32+的图象，则应选取函数y=9作为起始函 象始终在直线y=一1的上方 数，然后保留y轴上及y轴右边的图象，并把y轴右边的图象对 (需画出虚线y=一1)， 称翻折到y轴左边，得到y=9,即y=32的图象，再把它向左 例1(4)中，先画出函数 平移2个单位长度，得到y=3x+川，即y=3+的图象。 f(x)的图象，再关于x轴对 称，得到西数y=一f()的图象. 例口利用函数f(x)=2的图象，作出下列各函数的图象： 例1(5)中，首先画出函数 (1)f(x-1). (2)f(lxl). (3)f(x)-1. fx)一1的图象，即图423(3)， (4)-f(x). (5)川f(x)-1. 再将x轴下方的图象翻折到 解析利用指数函数y=2的图象及变换作图法可作出所要 x轴上方，注意必须有虚线y 作的函数图象.其图象如图4.2-3所示. 1,当x≤0时，|f(x)一1的 y=.x) 图象始终在y=1的下方，向 y=(.x-1) ly=f(lxl) 左且无限接近直线y一1. fr》 (1) (2) 10 第四章指教函教与对教函敬么 y 4 y=f() y=fx y=|fr)-川 y=.x-1 .x)-1 y=-f) (3) (4) (5) 图4.23 口02关建能力提升。 题型方法 义域，当指数函数为外层函数（即y=a型函 题型1指数型函数的定义域 数)时，其定义域等于内层函数f(x)的定义域； 我们把含有指数函数的复合函数称为指 当指数函数为内层函数时，则转化为指数不等 数型函数， 式求解 例☑求下列函数的定义域： 题型2指数型函数的图象及其应用 (1)y=3-2 (2)y=2-. 1.函数图象的判断 (3)y=√2r-1. (4)y=x-x-2 例图)函数y=受(a>1D的大致图象 4r-16 为( 点拨]根据负数不能开偶次方，分母不能 为零限制x的取值」 解折(1)y=32,x2-2r>≥0. .x≤0或x≥2 B 定义城为{xx≤0或x2}. (2)(2024·清华大学附中朝阳学校高 (2)y=2,x-1≠0x≠1. 期中)函数y=ar+(0<a<1,一1<b<0)的 定义域为{xx≠1}. 大致图象为( (3),y=W2-1, .2-1≥0,2≥1=2°，∴.x≥0， 定义域为[0，十∞). (4):y=2-x-2 4x-16 x2-x-2≥0， x≤-1或x≥2， 解得 4-16≠0. x≠2. x≤-1或x>2 定义域为（一∞，一1]U(2,十∞）. [折)y=贸=，0又 又根据 点评一般地，对于指数型复合函数的定a>1,可知选C 11 国避手册高中数学必修第一册（下）A(浙江专用) (2)方法一因为0<a<1,所以y=a的 点评(1)解答此题时，要注意底数的不确 图象过第一、二象限，且是单调减函数，经过点 定性，因此作图时要注意讨论。 (0,1).y=a的图象可看成是删去y=a函 (2)根据条件确定直线y=2与函数图象 数y轴左侧的图象，并将y轴右侧的图象作关 的位置关系，然后由位置关系建立不等式，进 于y轴对称的图象得到的.y=a+M的图象可 而求得结果，其处理的过程体现了数形结合的 看成是把y=a的图象向右平移一b(0<一b 思想。 <1)个单位长度得到的.故选C 例5(2024·沈阳重点高中高三联考)已 方法二y=ar的图象关于直线x十 知a>0,且a≠1，f(x)=x2-m.当x∈(-1,1) b=0对称，因为一1<b<0,所以对称轴x=一b 时，均有f(x)<,则实数a的取值范围是 在y轴右侧，排除BD. 当x十b≥0时，即x≥-b,得y=a+在 ( [一b,十∞)上单调递减.故选C Ao,21U[2,+) 答案(1)C(2)C ●变式1(2024·湖北荆州中学高一期末) B[U1, 函数f(x)=a一1+3的图象一定过定点P,则 c[2u1.2a 点P的坐标是 2.函数图象的应用 n.[o}]U[4,+oo) 例④(2024·河南中原名校联考)若直线 y=2a与函数y=|a-1+1(a>0,且a≠1) 解析折利用数形结合求解.题中f(x)<2, 的图象有两个公共点，则a的取值范围是 即r-2<ux(-1.1)时恒成立.在同- 解析当a>1时，通过平移变换和翩折变 平面直角坐标系中作出函数g()=-司 换可得如图4.2-4()所示的图象，则由图可知 9(x)=的图象，如图4.2-5所示.当a>1 1<2a<2,即2<a<1,与a>1矛盾 时，g(-1)=司像题意，9(-1)=u1> g(-1)=2,所以1<a≤2：当0<a<1时， 1)>gD,即a>2所以2<a<1 (a】 (b) 9(x)=a(0<a<1)4y9(x)=a(a>1) 图4.2-4 /g(a)=士-方 当0<a<1时，同样通过平移变换和翻折 变换可得如图4.2-4(b)所示的图象，则由图可 知1<2a<2即2<a<1,即为所求. -1H 图4.2-5 答案C 12 第四章指教函教与对教函敬么组 ◆变式2设f(.x)=|3-1,c<b<a,且 一6一7，原函数的单调性就是上述两个函数 f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成立 复合的单调性， 的是(). 解析]设t仁（ ,因为x∈R,所以>0. A.3≤3 B.3>3 C.3+34>2 D.3+3<2 且=（得厂为R上的减函数， 题型了指数型函数的单调性及其应用 又y=t一61一7的图象开口向上，对称轴 1.函数的单调性 为1=3. 例6(2024·浏阳一中高一月考)(1)已 其单调递增区间为(3，十○)，单调递减区 十2十 知函数y(得 ,求其单调区间。 间为(0,3)（注意>0）， x2-r+2 (2)求函数f(x)= 由>3=（）>3<-1 3 的定义域 和单调区间 由0<<30<(3广<3=>-1 解析(1)设t(x)=x2+2x十5=(x十1)月 故原函数的单调递增区间为（一1，十∞）， +4>≥4， 单调递减区间为（一∞，一1）. 则t(x)的单调递减区间为（一∞，一1]，单 乱果板 调递增区间为[一1，十©). 与指数函数有关的复合函数的单调性问 函数y= 为减函数， 题分两类： (1)形如y=a(a>0且a≠1)的函数 画数=（》 +2x十5 的单调递增区间为 单调性： (一∞，一1]，单调递减区间为[一1，十∞). 令t=f(x),则y=a的单调性由y (2)要使函数有意义，只需x2一3x+2>0, a和t=f(x)两函数在相应区间上的单调性 解得x≤1或x≥2， 来确定。 2-3r+2 (2)形如y一f(a)型的函数单调性： 函教f(x)=( 的定义域为 令u=a,则y=f()的单调性由内层 (-o∞，1]U[2,十∞). 函数u=a与外层函数y=f(u)的单调性来 令=2-3x+2,由y=(3】 为减函数， 确定.这两种复合函数的单调性都要遵循“同增 异减”的规律，还要注意“定义域优先”的原则。 又t=√2一3x十2的单调递减区间是 (一0∞，1]，单调递增区间是[2，十oo), 2.函数单调性的应用 例8(1)(2024·长治二中月考)设a= ∴.原函数的单调递增区间为（一∞，1]，单 调递减区间为[2，十∞). 2,6=25,c=(》 ,则( ). 例日求函数y=()广-6传厂-7的单 A.a>c>b B.c>a>b 调区间 C.abc D.ba>c (2)(2023·蚌埠二中高一检测)已知a 点利用换元法，设1=（侵）广，则有y 0.8,7,b=0.88.9,c=1.28,则a,b,c的大小关 13 国避食手细高中数学必修第一册（下）尺UA(渐江专用) 系是( x的取值范周是女> A.b>a>c B.c>a>b 十m十 C.ca D.a>b>c ◆变式3已知不等式2>（》 (3)(2024·衡水冀州中学高一月考)已知 对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是 a=(）b=()c=()则a.bc的 大小关系是( ). a,x>1, B.a<b<c ◆变式4若f(x) A.c<a<b (4-号+2,<1 C.K<a<c D.c<K<a 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围 第折1)6=25°=1,6=（侵）=228， 25 是 则225<1<225，即c<b<a. 题型4换元法求指数型函数的值域和最值 (2),指数函数y=0.8在R上单调递减， 例0(2024·湖北沙市中学高一检测) .1>0.807>0.80.9. 求下列函数的值域。 指数函数y=1.2在R上单调递增， 2y多 ∴1.20.8>1.综上可得c>a>b 3)”y=(停)是减函数， 面冷1将1+ ∴.t的取值范围为（一∞，1）U(1,十o∞). a=(停)>6=（得）. 由y=(2) 的函数图象可知y的取值范 而6=（）>c=(得)，故c<a 国为(o.2U(2+∞月 答案(1)C (2)B (3)D 例回1)解不等式：（侵） ≤2 “该函数的值城为(0,2U(号，十∞月 2-多1-2 2 (2)已知(a2+a十+2)r>(a2+a十2)1-，求 x的取值范围。 令t=2+1.t>1, 新4：（合） =(21)2=22, y=1-在1，十∞)上为增画数， ∴.原不等式等价于22-≤2 .该函数的值域为（一1,1）. y=2r在R上是增函数，.2-x2≤1 例1①(2023·安庆高三二模)如果函数 x2≥1，即x≥1或x≤-1. y=a+2a-1(a>0,且a≠1)在[-1,1]上 原不等式的解集是{xx≥1或≤一1 的最大值是14，则a的值为 (2a2+a+2=(a+2+子>1. 点拨考虑换元法，通过换元将函数化成 简单形式来求最值 ∴y=(a2十a十2)在R上是增函数. 解析设t=a>0,则y=t2十21一1，对称 “>1-,解得x>2 轴方程为1=一1. 14 第四童指散函教与对教函散收0 若a>1,x∈[-1,1，则1=r∈[2a], (2)由f(1)>0求出a的取值范围后，运 用指数函数的单调性进行判断。 .当1=a时，ymx=a2+2a-1=14, 解析(1)方法一：f(x)是定义域为R 解得a=3或a=一5（舍去）. 的奇函数， 若0<a<1,x∈[-1,1]. .f(0)=0,.k-1=0,.k=1, 对=a∈[o .f(x)=a-a,f(-x)=a-a= 当=时xm=(日+2x-1=14, -(a-ar)=-f(x), .k=1符合题意. 解得a=或a=一（含去）. 方法二.∵f(一x)=ka一a,一f(x)= -ka十ar, 所求a的值为3或号 又f(x)是奇函数， 金离3或好 .f(-x)=-f(x)恒成立， k=1, 解得k=1. 点评(1)求形如y=a的值域，应先求 1-1=-k, 出f(x)的值域，再由指数函数的单调性求出 (2)f01)=4-1>0. y=ar的值域.若a的范图不确定时，需对a 分情况讨论 又a>0,且a≠1，∴a>1. (2)求形如y=f(a)的值域，应先求t=a y=a,y=一ar都是R上的增函数， 的值域，再结合y=f(t)的性质确定y=f(a) .f(x)是R上的增函数. 的值域 由f(x2+2x)+f(4-x2)>0台f(x2十 ●变式5关于x的不等式a·9+2·3 2x)>-f(4-x2)=f(x2-4)台.x2+2.x>x2- 4台.x>-2. 一1<0对任意x>0恒成立，则实数a的取值 范围是( ∴.f(x)在R上单调递增，且不等式的解集 ). A.a<-2 B.a≤-1 为{xx>-2}. C.a≤-2 D.a<-1 例13(1)已知x,y∈R,3+3>3+ 题型5指数函数的综合应用 3,判断x十y的符号. 例12(2023·南京高三模拟考试)设函 (2)解方程：10+11F+12=√365. 数f(x)=ka一ar(a>0,且a≠1)是定义域 解析)(1)构造函数f(1)=3一3‘=3 为R的奇函数 ,则它在R上为增函数， (1)求k的值 而3-3r>3y-3,即f(x)>f(-y). (2)若f(1)>0,试判断函数的单调性（不 .x>一y,即x十y>0. 需证明)，并求不等式f(x2十2x)+f(4一x2)>0 的解集 2◆(+ 点拨(1)由f(.x)是R上的奇函数知f(0) =0,可得k的值，再验证即可. 15 国避白手细高中数学必修第一册（下）F UA(浙江专用) 12 在R上均为减函数， f(x),f(x2),f(x)为某一个三角形的边长， √/365 则实数m的取值范围是( .f(x)在R上为减函数 又f2)=10+1+14-=1. A[21] B.[0,1] 365365365 .方程f(x)=1有唯一解为x=2. C.[1,2] n[2] 故原方程的解为x=2 ●易错题3（错误率40%）(2023·湖南 ◆变式6已知g(x)为偶函数，h(x)为奇 长沙一中高一月考)设函数f(x)=ka一a 函数，且满足g(x)一h(x)=2,若存在x∈ (a>0,且a≠1，k∈R),f(x)是定义在R上 [-1,1],使得不等式mg(x)十h(.x)≤0有解， 的奇函数， 求实数m的取值范围. (1)求k的值 易错毯示 (2)已知f1)=是，函数g()=a产+ 易错题2（错误率25%）已知函数 a4-4f(x),x∈[1,2]，求g(x)的值域 )-牛若对任意∈R,总有 参考答案见《全书易错题集》第1页 03核心素养墨焦。 考向分类 命题意图：考查指数型函数的图象及其奇 考向1指数函数的图象及其应用 偶性 命题规律 例14(2019·全国Ⅲ卷)函数y 真题探源：教材P116探究中讨论y 2千2一在[-6,6]上的图象大致为( 2.x3 (位)广与y=2因象之间的关系 常考题型 选填题难度系数0,8高考热度★★★ 核心素养 直观想象、数据分析 素养水平水平二 者向2指数函数的性质及其应用 例15(2023·全国甲卷)已知函数f(x) 解析设y=f(.x)= 2.x3 2+2,则f(-x) =e,记a=f(号)，b=f()c= 2(-x)3 2x 2+2 2千2=一f八.x),所以fx)是奇 则( 函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C A.bc>a B.b>a>c 又f(4)= 2×43 2十2一>0，排除选项D. C.cb>a D.c>a>b 解析令g(x)=e 2×6 又f(6)=2中2≈1，排除选项A 由g(一x)=g(x),可知g(x)为偶函数. [答案B 又国为g)=e-(日)令1=， 16 第四章指教函教与对教函散么9 所以当x>0时，函数t=x2单调递增，则 答案C 函数g(x)在(0，十o○)上单调递减；当x<0时 命题意图：函数的单调性，奇偶性的应用 函数t=x2单调递减，则函数g(x)在（一oo,0) 命题规律 真题探源：教材P120第10题的拓展及应用 上单调递增 常考题型 选填题难度系数0.8高考热度 ★★ 因为f(x)=eD的图象可以由g(x) 核心素养 直观想象，逻辑推理 素养水平水平二 =e的图象向右平移1个单位长度得到， 所以f(.x)在（一∞，1）上单调递增，在(1， 且题演练 十o∞)上单调递减，且f(x)的图象关于直线x 1.(2018·全国Ⅱ卷，考向1)函数f(x)= =1对称。 e-e 2 (e=2.71828…)的图象大致为 所以)=2-) 国为1八音>2->9。 所以受》<2-<》 所以》<<)即>>a 2.(经典·山东卷，考向2)设a=0.66, b=0.65,c=1.5,则a,b,c的大小关系是 答案A 例16(2022·北京卷)已知函数f(x) A.a<<c B.a<c<b 1 1十2，则对任意函数x,有( C.B<a<c D.b<c<a A.f(-x)+f(.x)=0 3.(经典·北京卷，考向2)已知函数f(x)= B.f(一x)-f(x)=0 3-(号广则( C.f(-x)+f(x)=1 A.是偶函数，且在R上是增函数 Df-)-)=号 B.是奇函数，且在R上是增函数 解析f-x)+f(x)=1+2十1+2 1 C,是偶函数，且在R上是减函数 D.是奇函数，且在R上是减函数 1十2十1十2=1，故A错误，C正确.f(一） 2 4.(2019·北京卷，考向2)设函数f(x) 1 2 f)=1+2-1十2=1+2一1+2 e十aer(a为常数).若f(x)为奇函数，则a :若f(x)是R上的增函数，则a的取 2多号1一2异不是奢数，故D错说 2 值范围是 17有20=10+(90-10)·21，解得1=90，故降温到 2(A+B)=2(a5+b)=8. 20℃需要90分钟 2.a=70,a=70≠1. 7.2-六.提示： 同理可得b位=70，c÷=70 ∴*.6·2=70时.70时.70. 原武-(1+是)(1+品)(1+2)(1+安)(1+受) 即(abr)之=70++片 (1+2)(1-号)×2 又1+1+1=1 x y s w' ,∴.a=70=2×5×7. 又a,b,c为正整数，且70≠1，，.a,b,c均不为1， =(+是）)(1+2是）)(1+2)(1+2)(1+安)入 .1<a≤c,.a=2,h=5,c=7. (（1-是)×2 4.2指数函数 变式训练答案 [变式1](1,4).提示：f(x)=+3的图象是由 =(（1-)×2 y=:的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移 =20 3个单位长度得到的.y=d的图象过定点(0,1)，则f(.x) =a1+3的图象过定点(1,4). 8田原式=1+子×（告）-() [变式2]D提示：，c<a且f(c)>f(a)>f(b), =1+合0-0 ∴c<0,a>0,b的正负不能确定，∴.A和B排除. 又c<0a且f(c)>f(a), ②原式-（停）+十+()于-3+器 .1-3>3-1→3+3<2，故选D. =号+100+品-3+ +8-10. [变式3)（一3,5）.提示：根据指数函数的单调性得 x2一(m十1).x十m十4>0对任意x∈R恒成立， (3)原式=0.41-1+(-2)4+23+0.1 所以△=(m十1)2-4(m十4)<0，解得-3<m<5. -9-1+++品-器 a>1. 9.(1)将a十at=3两边平方，得a十a1十2=9， [变式4[4,8). 提示：由题意知 4-受>0， 即a十at=7. a>4-号+2 (2)将上式两边平方，有a2十a2十2=49， d2+a2=47. 解得4≤a<8. (3)a+a+=(a+)3+(a寸)=(a+a+)(a [变式5]B提示：，a·9十2·3-1<0对任意x>0 a+a寸+a1)=3(a+a1-1)=3X(7-1)=18, 恒成立， 面心十a=7、∴原式=得号得-8 <+-高2冷-0 (3) ∴a·9+2·3r一1<0对任意x>0恒成立等价于a< C拓展拔高练 F-2对任意t∈(0,1)恒成立， 1.(1)由x=a1+b2,得x一a3=b2, :F-21=(1-1)2-1>-1,.a≤-1. “-a+a=a=w= [变式6们，g(.x)为偶函数，h(x)为奇函数， (2)令a=A,b-B,则 且g(x)-h(x)=2, ① x=A+3AB,y=B+3A'B, ∴g(-x-h(-x)=g(x)十h(x)=2 ② +y=A+3AB+3AB+B=(A+B), 2,h(x)=2-2 由①②，得g()=2+2 2 -y=A+3AB-3A'B-B=(A-B). ∴(x十y)于+(x-y)F=(A+B)2+(A-B) 由g)+A)<0,g)>0,得m≤多- 2 品品 当x>0时，2-1>0，则f(x)>0: 当x<0时，2-1<0，则f(x)>0. “y=1-名在x[-1门上为增函数， 综上可知，f(x)>0. ∴(-名)=(1-品)=是.m≤爱 B综合提能练 L.D提示：由二次函数的性质可知x2-2.x=(x-1)2 真题演练答案 L.B提示：当r<0时.因为e一e<0,所以此时f(x)= 1[一1.+o.因此（合）广 ∈(0,2]，即函数y= 二e<0,故排除AD又f1)=e一1>2，故排除C ()了的值玻为(0,2， 2.C提示：由指数函数y=0.6在(0，十∞)上单调递 2.B提示：y=a的图象在第一、二象限内，欲使其图象 减，可知00.65<0.6<1又1.56>1，所以a<c. 在第一、三、四象限内，必须将y=口向下移动.而当 3B提示：由-)=（号） 一3=一fx),可知函数 0<a<1时，图象向下移动，只能经过第一，二，四象限 或第二、三、四象限，只有当a>1时，图象向下移动才 x)为奇函数因为y=(号）广在R上是减函数y 可能经过第一、三、四象限，故a>1.又图象向下移动不 3在R上是增函数，所以函数fx)=3一（号)）广在 超过一个单位时，图象经过第一、二，三象限，向下移动 一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限.欲使 R上是增函数 图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个 4.一1：(-∞，0].提示：f（x)为奇函数， 单位，故m一1<一1，m<0. ∴.f(-x)=-fx),即e+ae'=-e'-ae‘, ∴.(1+a)eJ+(1+a)e=0,∴a=-1. C提示：f=a-(日广-w-a 由f(x)单调递增，设<x, f（x)的定义域为R,且f(-x)=a一d=一fx), ∴.f代x)为奇函数，且f(0)=0,故选项AB正确，C错误： 则fn)-f)=(e-)(1-e）<0, 当a>1时，0<1<1， e<,1>0.即ue,而e西>0， a≤0. “y=口和y=-(日广在R上均为增函数， 练习册答案 ∴f(x)在其定义域上为单调递增函数，故D正确. A基础过关练 4.CD提示：对于A,f(x)=√无界，不符合题意： 1.A2.B3.B 对于B)=千存=占不单调，不符合题意： 4.D提示：=403=2“，为=8"=2“，为= ()=2 对肝C--品-片21- e2+1 e2+1 :y=2是增函数，且1.8>1.5>1.44， 单调递增，且)(-11D.则1<1，符 218>215>24,即m>y>边： 合题意： 5.①④. 6.(1)函数f(x)的定义域为{xx≠0. 对于Dfx)=1+e单调递增，且fx)∈(0.1)，则 2)=(十号）萱· 1(x)<1,符合题意 5B提示：依对称性有（号）=(1-号）=(1+号) f（-x)=- ∴(x)为偶函数. =(号)（号）=(-3)=(+3)=（待）》 ,2+1 3)f)=·2 又fx)在r>1时为增函数，冬<号<号， -3∴f()+f(x)>2,f(x)<m, 误区1忽略根式有意义的条件 ∴m≤2，此时1<m≤2： 易错题1（错误率35%）(1)若√4r-4a+百=（①一2a于， 当m=1时，f(x)=1,则f(x)十f()>f(x)对任 则实数a的取值范围是( 意的，∈R恒成立； [合+) B(-o.] 当m<1时，函数y=f(x)是R上的增函数，该函数的 值域为(m,1), c[-] D.R ,∴.f(.x1)+f(x)>2m,f(x)1, (2)已知a<b<0,n>1,n∈N,化简(a-b)r+ ÷2m≥1，则m≥名，此时<m<1 (a+b)". 综上所述，实数m的取值范围是[2,2] 正解(1)∴：√/4a-4a+I=(1-2a), 答案D ∴.12a-1=1-2a, 易错探因动不了笔，读不懂题，缺乏逻辑推理能力.对 则2a-1<0,解得a<分 H12,xa∈R,总有f(),f(x),f(x)为某一个 (2)a<b<0,.a-b<0,a+b<0. 三角形的三边长，其实就是2f(.x)m>f(x)mx,问题就 n>1.nEN'. 转化为求f(x)的值域. .当n是奇数时，原式=(a一b)十(a十b)=2a: 误区3未能熟练掌握换元法 当n是偶数时，原式=a-+|a+b=(b-a)十 (-a-b)=-2a. 易错题3（错误率40%）(2023·湖南长沙一中高一月考) 2a,n为奇数， 设函数fx)=a一a(a>0且a≠1，k∈R),f(x)是 ∴./(a-b)"+/(a+b)r 一2a,n为偶数. 定义在R上的奇函数. 答案(1DB(2)见正解. (1)求k的值. 易错探因根式有意义的条件：根指数为奇数，被开方数 (2已知/)=多，函数g(r)=4产+a-4/. 为正负均可，结果的符号与被开方数的符号相同：根指 x∈[1,2]，求g(.x)的值域. 数为偶数，被开方数非负，结果非负. 正解(1)，f(x)=ka一a·是定义在R上的奇函数， 误区2对题意理解不透彻 ∴.f(0)=0,得k=1. 此时f(x)=a-a',f(一x)=a3-a=-f(r). 易错题2《错送率25%)已知函数)=号骨若对 即f(x)是R上的奇函数 任意，∈R,总有f(x),f(),f()为某一 20=毫4-日-2p2a--2=0, 个三角形的边长，则实数m的取值范围是( a=2或a=名（舍去）， A[] B.[0.1J .g(x)=2+24-4f(x)=(2-2)-4(2 C[1.2] n[2,2] 2)+2. 令t=2-2(1≤x≤2)，易知1=2一2‘在[1,2]上 正解由题意可得，f()十fx)>f()对任意的， 为增函数， ,n∈R恒成立. :fx)=g十m=e+1+m-D=1+m=二 e[多] e+1 e+1 e+1 ∴·g(x)=g()=f-4十2=(1-2)3-2. .当m>1时，函数y=f(x)是R上的减函数，该函数 的值域为(1，m), 当=时，gx)有最大值号： 当=2时，g(x)有最小值-2. 根，认为得到二=1或二=4便已求出结果.在求解含 g的值城是[-2，] 有对数式的问题时，一定要注意真数的取值范围，保证真 易错探因1.不知道换元1=2一2. 数大于Q.求解过程不等价时，在求出答案后须进行检验， 2.新元1=2-2，x∈[1,2的范围求解错误。 误区6忽视内层函数有意义的条件 误区4忽略对数底数的取值范围 易错题6（错误率47%）函数y=√1Og(4r一1万的定 易错题4（错误率45%）若og一z(x-7x十13)=0， 义域为 求x的值. 4x-1>0, 正解因为lkog-(x2-7x+13)=0, 正解要使函数有意义，必须 logs(4.x-1)≥0， (x2-7x十13=1， 所以 4x-10, x-2>0且x-2≠1， 即 4.x-1≤1. 解得<≤ x2-7x+12=0. 解得x=4. x>2且x≠3， “函数的定义城是{}<<} 故所求x的值为4 答案{<≤} 易错探因本题易忽略对数的底数4>0且a≠1，得到如 易错探因本题易错的地方是只考虑外层函数有意义， 下错解： 即只考虑log:(4x一1)≥0，从而得到错误答案 因为1og(x2-7x+13)=0, 所以x2-7.x+13=1,即x2-7x+12=0, 解得x=3或r=4 误区7对复合函数的理解不到位 故所求x的值为3或4. 易错题7（错误率45%）已知函数f(x)=g(2+a.x十1)的 误区5忽略对数真数的限制条件 值域为R,则实数a的取值范围是 易错题5（错误率50%）已知lgx十lgy=2lg(x一2y), 正解，函数f(.x)=lg(.zx+a.x十1)的值域为R, 求号的值 令g(x)=x2+ar+1, ,∴，g(x)=x十ax+1可以取遍所有的正实数， 正解因为lgx十lgy=2g(x一2y), ∴△>0，可得a2-4>0,解得a>≥2或a≤-2. 所以xy=(x-2y)”, 即x2-5.xy+4y=0,即(x-y)(x-4y)=0, ∴.实数a的取值范围是a∈（一∞，一2]U[2,十oo). 答案(-∞，-2]U[2,十∞). 解得x=y或x=4y, 易错探因仅考虑对数的真数须大于0，从而得出△= 所以号-1或号= a2-4<0→-2<a<2. 由已知等式知x>0,y>0,x-2y>0. 误区8忽略对二次项系数的讨论 当5=1时x-2<0, 易错题8（错误率45%）已知函数f(.x)=g[(a2一1)x 此时g(x一2y无意义，所以正=1不符合题意，应舍去： (1一a)x+1]的定义域为R,则实数a的取值范围是 当王=4时，将x=4y代入已知条件，符合题意，所以 正解函数f(.x)=lg[(a2-1).x2-(1-a)x+1门的定 - 义域为R, 易错探因本题若忽略了真数的限制条件，就会产生增 ∴.(a2-1)x2-(1-a)x十1>0在R上恒成立. 2