4.1 指数-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第四章 指数函数与对数函数 4.1指数 重点和难点 课标要求 1.理解根式与指数幂的意义， 重点：实数指数篆的运算及其性质。 2.掌握根式的化简. 难点：用有理数指数幂逼近无理数指数暴 3.掌握有理数指数暴的运算 口-01必备知识梳理 基础梳理 知识点1根式的概念及性质 1.n次方根的概念 国敲黑板 般地，如果x=a,那么x叫作a的n次方根，其中n>1, 对于根式石，要注意以 下几点： 且n∈N. 1.n>1,且n∈N. 2.1次方根的性质 2.当n为大于1的奇数 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次 时，a对任意的实数a都有意 义，它表示a在实数范围内唯 方根是一个负数.这时，a(a∈R)的n次方根用符号Wa表示. 一的一个n次方根，从而有 (2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，且是两个绝对值 (a)"=a. 相等，符号相反的数（即互为相反数）.这时，正数a的正的n次方 3.当n为大于1的偶数 根用式子a表示，负的n次方根用式子一va表示.正数a的正 时，a只有当a≥0时才有意 义，当a<0时无意义.a(a≥0) 的n次方根与负的n次方根可以合并写成±a(a>0). 表示a在实数范围内的一个 (3)0的任何次方根都是0，记作0=0. n次方根，另一个是一a,从 3.根式的概念 而有（土a)”=a. 式子a叫作根式，这里n(>1,且n∈N·)叫作根指数，a叫 [P作比铰 作被开方数！ V与(a)”的区别 l.a"是实数a"的n次 4.根式的性质 方根，是一个恒有意义的式 (1)(a)"=a(n>1,且n∈N). 子，不受n的奇偶限制，但这 个式子的值受n的奇偶限制. (2)n为奇数时，Va"=a. 其算法是对a先乘方，后开方 a,a≥0， (3)n为偶数时，a"=a= (都是n次)，结果不一定等于 -a,a0. a,当n为奇数时，Va=a:当 1 国避食手细高中数学必修第一册（下）尺UA(渐江专用) 知识点2分数指数幂 n为偶效时，a=a|= L.正数的正分数指数幂的意义：a=am(a>0,m,n∈N', a,a≥0， -d,a0. 且n>1) 2.(a)”是实数a的n次 2.正数的负分数指数幂的意义 >0,m,n∈N', 方根的n次暴，其中实数a的 取值由n的奇偶决定.其算法 且n>1). 是对a先开方，后乘方（都是 3.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. n次)，结果恒等于a. 于是可知在a>0,m,n∈N,且n>1的条件下，有am=a兰， 即任何根式都可以写成分数指数幂的形式. 国敲黑板 里难拓展 对分数指数幂概念的理解 L.分数指数暴是指数概 重难点1实数指数幂的运算性质 念的又一推广，分数指数署 1.有理数指数幂 a不能理解为皿个“相乘，它 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推 广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也 是根式的一种新的写法.在这 同样适用，即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质： 样的规定下，根式与分致指数 幂是表示相同意义的量，只是 (1)aa=a(a>0r,s∈Q) 形式不同而已。 (2)(a)=a2(a>0,r,s∈Q) 2.正数的负分数指数暴 (3)(ab)"=a'b(a>0,6-0.rEQ). 在有意义的情况下，总表示正 2.无理数指数幂 数而不是负数.把根式a"化 对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于 成分数指数幂的形式时，不要 无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过 轻易对皿进行约分。 剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂a(a> 0,a是无理数)是一个确定的实数 3.在保证相应的根式有 可以证明有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指 意义的前提下，负数也存在分 数幂 数指数暴，如（一5）于= [说明]对于任意实数，都有1=1,0的正无理数指数暴为 (一5)7有意义，但(-5)= 0,0的负无理数指数暴没有意义. √/（一5）严就没有意义. 3.幂指数的扩充 幂指数 定义 底数的取值范围 正整数 a=aa·…·a(n∈N) a∈R 指数 个 数 零指数 a°=1 a≠0且a∈R 数 负整数 a=1 (nEN) a≠0且a∈R 指数 第四章指教函教与对教函敬么 续表 幂指数 定义 底数的取值范围 正分数a”=am(m,n∈N,n>1, n为奇数 a∈R 指数 且m,n互质) n为偶数 a≥0 数指数 负分数e=(m,n∈N,>1, n为奇数 a≠0且a∈R a" 指数 且m,n互质) n为偶数 a>0 当a>0且x是无理数时，a 无理数指数 般规定a>0 是一个确定的实数 例①用分数指数幂的形式表示下列各式 (1ava vava. a (a-0.6-0). (2)bab 解析(l)Va va vava=V√aWa√a·a =√va vat=√ava·a-√aa =a」 (2)方法一（从里向外化】 a b a 层侣罰 ·( ·》- =a+.i=ab. 方法二（从外向里化】 层店 =[灯 3 国避手细高中数学必修第一册（下）尺UA(渐江专用】 =[灯月 =()·)() 点评先将根式转化为分数指数幂，再利用分数指数幂的运 算性质进行化简。 例2(2024·佛山联合测试)化简（式中各字母均为正数）： (1)(xy5) (2)4x·3x方(-y)·y4】 解析](1)原式=xxyx=x2y (2)原式=-12x方-方y-9=-124. 02关建能的提升。 题型方法 (2)W5-26+W7-4√3+W7-26 题型1幂和根式的化简与求值 W8-43. 1.幂和根式化简求值的基本方法 (1)在进行幂和根式的化简时，一般是先 +10(3-2)1 将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数 指数幂，尽可能地统一成分数指数幂的形式， +( +16. 再利用幂的运算性质进行化简、求值和计算， 解析](1)原式=(23)×(10)±× 以达到化繁为简的目的。 (2)对于根式的计算结果，并不要求统一 2)×[(3)门=g×10×2×(号)3 的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表 示.若有特殊要求，则按要求给出结果，但结果 中不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既 (2)原式=√(2)2+(3)2-2√3X√2+ 含有分母又含有负分数指数幂，即结果必须化 V2+(3)2-2×2×3+√66)+1-2X√6×1 为最简形式 (3)指数幂四则运算的顺序是先算乘方， W(w6)2+(W2)2-2Xw6X√2=3-√2+2 再算乘除，最后算加减，有括号时要先算括号 5+√6-1-(w6-√2)=2-√2-1+2=1. 里面的 3)原式=()×（侵）×（图）+10× 例B(2023·银川一中高一检测)计算： a)8×100×)×() 0w+(2=青×× -10× 3-2 第四章指教函敬与对敬函教蓝出 3+2)+10w3+2=号×号-10w8-20+ (a2)3-(a")3 1(a-a1)2 (a十a4+1)(a-a-1) a-a-1 10W3+2=-16. +→+a4 2.乘法公式的灵活运用 =(a十a1)+a-a- 某些问题中，要注意立方和、立方差公式 =2a. 在分数指数幂中的应用.因为二项和、差公式 ●变式1(2024·江西新余分宜中学月考) 与平方差公式一般一目了然，而立方和、立方 差公式却不易发现.如： )计算：0.081+-[3×（层]'× at=(a)3; 81+3)]-10x0.027. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b): a3-b=(a-b)(a2+ab+): ②已知一士1其中>0.求子 a+b=(a+b)(a-ab+b); a-b=(a-b)(atab+b). 千的值 例④化简下列各式： 题型2幂运算的综合应用 (1)1-a1_1+a L,含附加条件的求值问题 a-a Ita 例⑤(2024·临沂市河东区高一下期中) (2),I1+x+1_x-x x+x+1x+1-1 1已知x=2(5时-5)，n∈N,则(x+ (3)+a)ea")+c1+a)-2 √1+x)的值为( (a+a1+1)(a-a) a-ai A.3 B.4 c号 D.5 点拨(1)进行1的代换：l=a'a,l=aa. (2)(3)可利用立方差、立方和、平方差公式进 (2②已知==10则2+》=(。 行化简。 A.-22 B.2√2 解析(1)原式=aaa_aat十a过 a-a士 1+a c-9 n号 =a(a-1)_a(at+1) a寸(a-1)1十a 第折1”x=6-5), -a--a-=0. “2=6-2+5), (2原式=（-1)x+x+D x3+x+1 1+2=(5+2+5)=}(5+ (+1Dx-x+1D_x(x+1)x-1) 5)2. x+1 x-1 x-1+.xi-x+1-xi-x=-x. (x+v1+2)=[2(6时-5)+26 as-a-6 (3)原式=a+a4+0(a-a5 +5)”=(5)=5. a2+a8-2 (2)由题意可得2=10÷，5=10*， a-a-1 ∴.4=10,25=10，两式相乘得100= 重避点手圆高中数学必修第一册（下）尺A(浙江专用) 10+,2+2=2. a'b =(++）=. (层+=2=8=22 .(ax2+by2+c2)=+b+c. 点评设辅助未知数是针对数学问题“层 答案(1)D(2)B 次性”的深刻认识的体现，是把复杂问题转化 ◆变式2若3=5,3=6则值为需的是 为两个或多个基本问题的重要分析方法. ◆变式4设a,b,c都是正数，且3=2= A(侵 B.3-9 求证日+ 3.与函数知识的综合应用 C.3- D.325a一9 例7(2024·南昌高三模拟测试)已知函 ●变式3若a>1,b>0,且a+ab=22, 5g(x)=+.x 数f(x)=- 则d一a的值为( ). 5· A.√ B.2或-2 (1)求证：f(x)在(0，十∞)上是增函数（已 C.-2 D.2 知y=x在R上是增函数) 2.幂的证明问题 (2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9) 5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和 例6已知ax3=by3=c3,且！+1+ y g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个 =1,求证：(ax2+by2+cg”)t=a+b时+c. 等式，并加以证明。 点拨根据已知条件ax=by=cz,设一 [证明(1)设x1>x2>0, 个参数t,用含t的式子表示Qx十by十c2与 y=x在R上是增函数，x>x a寸+b十c寸，从而找到(a.x2十by2十c22)与 又(x012)>0, a+b十c寸之间的关系. .f(x1)-f(x2) 证明令a:x3=by2=cz3=t, =君d-x-+x) 则ur==号ce=or=by =-[1+()门>0. =t, ∴f(x)在(0，十∞)上是增虽数. aar++c2)t=(任+号+) (2)经计算知f(4)一5f(2)g(2)=0, =++月 f(9)-5f(3)g(3)=0, 由此猜想f(x2)-5f(x)g(x)=0. 又1+1+1=1. x y z 证明如下：fr)-5f()g(x)=号（xi ∴.(a.x2+by2+cz2)t=t产. 由ax=by=cix=d, x)-号+x+)(x-x)=号( 得=6-- x)-号(x-xi)=0, ∴a+b6+c=++ xy ◆变式5已知函数f(x)=2十20 22r 6 第四章 指教函教与对敬函教么出9 (1)求))的值， 值范围是( . (2)求(00)+f(0)+f(8)+…十 A[2+) B（,2 f器)+f(器)的值。 c[2 D.R 易错壁示 (2)已知a<b<0,n>1,n∈N*,化简： ◆易错题1（错误率35%）(1)若 9(a-b)m+(a+b)" √4a一4a+1=(1-2a),则实数a的取 参考答案见《全书易错题集》第1页 口03-核心泰养墨焦， 考向分类 令x=0,得f1)=一f1),所以f1)=0. 考向1指数幂的运算 f()=f(-8+2)=f(-) 例8（经典·重庆卷）若x>0,则(2x十 3)(2x-3)-4xt(x-x) -f2)=-2, 解析(2x+3)(2.x一3)-4x±(.x 所以(-》+1)=-2. x)=4x-33-4.xt+4=-23. 答案-2. 答案-23. 命题意图：将指数暴的运算与函数的性质 综合起来考查学生的运算能力 命题意图：考查暴的化简、乘法公式的运用 命题规律 命题规律 真题探源：教材P107练习第3题与函数 真题探源：教材P106例4 性质相结合 常考题型 选填题 难度系数0.8高考热度 ★★ 常考题型选填题难度系数0.8高考热度 ★★ 核心素养 数学运算 素养水平水平二 核心素养 数学运算 素养水平水平二 考向2指数幂与其他知识的综合问题 真题浅练 1.(经典·湖北卷，考向1)设x∈R,[x]表 例g(016·四川卷玫编)已知函数f(x) 示不超过x的最大整数.若存在实数，使得 是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R,都 []=1,[2]=2,,["]=n同时成立，则正整 有f(x)=f八x十2).当0<x<1时，f(x)=4', 数n的最大值是( 则(-)+1)= A.3 B.4 C.5 D.6 2.(经典·山东卷，考向2)设函数f(x) 解析因为(x)是定义在R上的奇函数， 3.x-b,x<1 所以f(0)=0. 2,x≥1. 若（倍）)=4，则6=() 又f(x)=-f(-x),f(x+2)=f(x), 所以f(x十1)=-f(1-x). A.1 c D.2 >真题演练答案 第四章 指数函数与对数函数 1.B提示：由[]=1.得1≤1<2. 4.1指数 由[]=2.得2≤<3. 变式训练答案 由[t]=4,得4≤<5，所以2≤r<5. [变式】)0.081+-[3x()°]丁'×[81+ 由[]=3，得3≤r<4,所以6≤<45 由[r]=5,得5≤<6与6≤<45矛盾. (3景）]-10×0.027*=0.31-3×1)1× 故正整数n的最大值是4 (81+号)-1o0xa,3=9-3-3=-0 2.D提示：f(()=f(3×-b)=f(号-b) (2)由-=1可知x=x十1 当号-6<1，即6>是时，3×（受-0）-6=4解得 原武边--南=+) =子（含去）.当号-≥1，即K是时，26=4，解得 r-xt 练习册答案 [变式2]B提示：，3=5,39=6， 六35=125.9==6等-3票 A基础过关练 36 1.A2.BD3.A [变式3]D提示：：(+十a*)=8→a%+uw=6, 4.100. 提示：原式=(2寸×3)+（√2京）片-4× ∴.(d-ab)2=a十a-2=4 又a>1,b0,d>at,∴.d-a=2. [(号)）门-2文×2x+-1=2×3+2×+-4× [变式4]令3=2=6=t(t>0), (号）-2-1=108+2-7-3=10. 则3=产，2=，6=十， 显然有产=+方- .提示：10宁=(10)(10)+=2×3+ [德式司a得）是- 1 v8×1=26 33 得) 2=2-瓦. 6.x+x十1.提示：原式=[(.x十+1)-x](x-x+1) =(x+x++1)(x-x++1)=(x+1)-(.x)2= (2)由(1)可以猜测结论：f(x)十f(1一x)=1, x2十x十1. 22 22- 根据函数式f(x)+f1一x)=22+2+2元 7原式=a十b…at6:a=6=21×1=2 24 25 2+2十20+21. B综合提能练 1.B 2.C 3.ABC 4.A 设s=()+f(品)+（总）+f()+…+ 5.V6-√2.提示：V11-230+√7-2/10 f(器)+f(盟)· =√(W6-5)+√(W5-√2) 将倒序排列，得=（器）+（器）+（品）十 =w6-51+5-√21=6-5+5-2=√6-√2. 6.90.提示：由于“从发电厂出来的90℃的热水，在 (8)+…+(忌)+f()】 10℃室温下，温度降到50℃需要30分钟”，所以50= 根据结论将上面两式相加得2=9，故=婴 10+(90-10)·2,解得=动则降温到20℃时∴f()+f(x)>2,f(x)<m, 误区1忽略根式有意义的条件 ∴m≤2，此时1<m≤2： 易错题1（错误率35%）(1)若√4r-4a+百=（①一2a于， 当m=1时，f(x)=1,则f(x)十f()>f(x)对任 则实数a的取值范围是( 意的，∈R恒成立； [合+) B(-o.] 当m<1时，函数y=f(x)是R上的增函数，该函数的 值域为(m,1), c[-] D.R ,∴.f(.x1)+f(x)>2m,f(x)1, (2)已知a<b<0,n>1,n∈N,化简(a-b)r+ ÷2m≥1，则m≥名，此时<m<1 (a+b)". 综上所述，实数m的取值范围是[2,2] 正解(1)∴：√/4a-4a+I=(1-2a), 答案D ∴.12a-1=1-2a, 易错探因动不了笔，读不懂题，缺乏逻辑推理能力.对 则2a-1<0,解得a<分 H12,xa∈R,总有f(),f(x),f(x)为某一个 (2)a<b<0,.a-b<0,a+b<0. 三角形的三边长，其实就是2f(.x)m>f(x)mx,问题就 n>1.nEN'. 转化为求f(x)的值域. .当n是奇数时，原式=(a一b)十(a十b)=2a: 误区3未能熟练掌握换元法 当n是偶数时，原式=a-+|a+b=(b-a)十 (-a-b)=-2a. 易错题3（错误率40%）(2023·湖南长沙一中高一月考) 2a,n为奇数， 设函数fx)=a一a(a>0且a≠1，k∈R),f(x)是 ∴./(a-b)"+/(a+b)r 一2a,n为偶数. 定义在R上的奇函数. 答案(1DB(2)见正解. (1)求k的值. 易错探因根式有意义的条件：根指数为奇数，被开方数 (2已知/)=多，函数g(r)=4产+a-4/. 为正负均可，结果的符号与被开方数的符号相同：根指 x∈[1,2]，求g(.x)的值域. 数为偶数，被开方数非负，结果非负. 正解(1)，f(x)=ka一a·是定义在R上的奇函数， 误区2对题意理解不透彻 ∴.f(0)=0,得k=1. 此时f(x)=a-a',f(一x)=a3-a=-f(r). 易错题2《错送率25%)已知函数)=号骨若对 即f(x)是R上的奇函数 任意，∈R,总有f(x),f(),f()为某一 20=毫4-日-2p2a--2=0, 个三角形的边长，则实数m的取值范围是( a=2或a=名（舍去）， A[] B.[0.1J .g(x)=2+24-4f(x)=(2-2)-4(2 C[1.2] n[2,2] 2)+2. 令t=2-2(1≤x≤2)，易知1=2一2‘在[1,2]上 正解由题意可得，f()十fx)>f()对任意的， 为增函数， ,n∈R恒成立. :fx)=g十m=e+1+m-D=1+m=二 e[多] e+1 e+1 e+1 ∴·g(x)=g()=f-4十2=(1-2)3-2. .当m>1时，函数y=f(x)是R上的减函数，该函数 的值域为(1，m), 当=时，gx)有最大值号：