3.4 函数的应用(一)-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第三章 函教的概念与性质收 3.4函数的应用（一） 重点和难点 课标要求 L.掌握常见的几种函数模型。 重难点：将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找 2.用函数模型解决实际问题。 到变量之间的关系 3.能依据条件选择合适的函数模型， 门-01必备知识梳理。一 爸础梳理 知识点1常见的函数模型 般来说，常见的函数模型有以下几种： 刀记方法 (1)一次函数模型：f(x)=kx十b(k,b为常数，k≠0) 建模时确定函数解析式的 [注意]正比例函数模型：f(x)=kx(k为常数，k≠0)是一次 基本方法 函数的特殊情况 方法一（待定系数法）：已 (2)反比例函数模型：f代x=(k为常数，k≠0). 知条件中给出了含参数的西 数解析式或根据已知条件可 (3)二次函数模型：f(x)=ax2十bx十c(a,b,c为常数，a≠0). 确定函数模型，此种情形下应 (4)幂函数模型：f(x)=a.x十b(a,b,n为常数，a≠0，n≠1). 用待定系数法求出函数解析式 (5)分段函数模型：这个模型实质是以上两种或多种模型的 中的相关参数（未知系数）的 综合，因此应用也十分广泛 值就可以确定函数的解析式 重难拓展 方法二（归纳法）：先让自 重难点1解答函数应用题的基本思想 变量x取一些特殊值，计算出 从熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、 对应的函数值，从中发现规 比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和 律，再推广到一般情形，从而 规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化， 得到函敏的解析式 找到有效的解题途径—构建数学模型，将实际生活问题抽象为 数学问题（如图3.4-1所示）. 明确题意找出题设与钻论的数学关 实小应 系—致量关系或空间位置关系 分析、联想 用问题 转化、抽象 在分析联想的基础 再转译成其体应 上转化为数学问题， 用问题的结论 抽家构建一个或几 个效学模型来求解 解答数 给出数学问题的解答 学问 建数学模型 图3.4-1 123 国避手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 例①(2023·山东济南检测)某工厂生产某种产品，每件产 品的出厂价为50元，成本价为25元，在生产过程中平均每生产 件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两 套方案对污水进行处理，并准备实施. 方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米 污水所用原料费为2元，每月排污设备损耗费为30000元. 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立 方米污水需付14元的排污费. 假设生产出的产品能全部销售出厂，问： (1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环 境又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明。 (2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决 策呢？ 解析设工厂每月生产x件产品时，方案一的利润为门元， 方案二的利涧为y2元 由题意知1=(50-25)x-2×0.5xr-30000=24x-30000, y2=(50-25)x-14×0.5.x=18x. (1)当x=3000时，y1=42000,2=54000, :<,应选择方案二处理污水。 (2)当x=6000时，y=114000,2=108000, ,y>y2,应选择方案一处理污水 02关健能)提升。 题型方法 解析因为火车匀速行驶的总时间为 题型1一次函数模型 (277-13)÷120-号h,所以0≤<号 例2某列火车从北京西站开往石家庄， 因为火车匀速行驶th所行驶的路程为 全程277km.火车出发10min开出13km,之 1201km,所以火车行驶的总路程s与匀速行驶 后以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车 的时间t之间的函数关系式为s=13十120t 行驶的总路程x(单位：km)与匀速行驶的时间 (≤<》 t(单位：h)之间的函数关系式，并求离开北京 离开北京2h时火车匀速行驶的时间为 2h时火车行驶的路程. ?一日-吕，此时火车行酸的路程s=13十 点拨求出火车匀速行驶的总时间，可得 定义域，再建立总路程关于时间的函数模型， 120×1=233km. 6 124 第三童函教的概念与性质组 例3(2022·安微部分学校联考)为了发 ◆变式1某公司租地建仓库，每月土地占 展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话 用费y(单位：元)与仓库到车站的距离成反 采取不同的收费方式，其中所使用的“如意卡” 比，而每月库存货物的运费2（单位：元）与仓 与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话 库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千 时间x(单位：分钟)与通话费用y(单位：元)的 米处建仓库，这两项费用y和y2分别为2万 关系如图3.4-2所示 元和8万元.那么，要使这两项费用之和最小， ↑y元 仓库应建在距离车站 千米处 40P B(30,35) 40 题型2二次函数模型 30 20 A(0,29) 20 例④已知甲、乙两个旅游景点之间有一 10 10 C(30.15) O10203040x/分钟 O10203040x分钟 条5km的直线型水路，一艘游轮以xkm/h的 如意卡 便民卡 速度航行时（考虑到航线安全要求，20≤x≤ 图3.4-2 50),每小时使用的燃料费用为看一k万元 (1)分别求出通话费用y,与通话时间 x之间的函数解析式。 便为帝数，且<<》)其他费用为每小时 (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种 卡便宜 1万元 点拨由题图可获取以下信息：①通过图 (1)若游轮以30km/h的速度航行时，每 象得出函数关系；②函数模型为一次函数模 小时使用的燃料费用为万元，要使每小时的 型；③可比较两个函数的增长差异.解答本题 可先用待定系数法求出函数解析式，然后进行 所有费用不超过品万元，求x的取值范围。 函数值大小的比较。 (2)求该游轮单程航行所需总费用的最 解析(1)由图象可设yM=k1x十29,2 小值 k2x,把，点B(30,35),C(30,15)分别代入y= 解析(1)由题意知，x一30时，每小时使 kx十29y=x,得=号6=2 用的燃料费为沿-k一8，解得k=g ∴.y= 5x+29(x≥0=2x(x≥0). 此时每小时的所有费用为后日+1品 (2)令M=,即 x+29= 2, 化简得x2一41x十40≤0，解得1≤x≤40. 又.20≤x≤50，∴.20≤x≤40， 则x=962 .x的取值范围是[20,40]. (2)设该游轮单程航行所需总费用为 当=96号时=，两种卡收豪一样， 万元则y=(偏+=日融+ 当96时M>,使用“便民卡”便宜： (20≤x≤50)， 当>96号时，1<，使用“知意卡”便宜。 3 令1=则[0 125 重避点手细高中数学必修第一册（上）RA(渐江专用) 即y=5t-5+3 题型3幂函数模型 例5某工厂8年来某种产品的总产量C与 由站<<吉得对琳轴1一∈[动引 时间（单位：年）的函数关系如图3.4-3所示. ①若←即< 则画数y=5-51+日8在[品，]上单调 81年 递减，在[登]上单调递增。 图3.4-3 以下四种说法： 故当1=台，即=时y取得最小值，即 ①前三年产量增长的速度越来越快： 3=L-10k ②前三年产量增长的速度越来越慢： 8 ③第三年后这种产品停止生产： ②若号>动即<k ④第三年后产量保持不变 其中说法正确的序号是 则函教y=50-51+日在[品0]上单调 解析由t∈[0,3]的图象联想到暴函数y= 递减， z(0<a<1),反映了C随时间的变化而逐渐 故当1= 20,即x=20时，y取得最小值， 增长，但速度越来越慢.由t∈[3,8]的图象可 知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以 即ym=11-20k 80 ②③正确. 综上所建，当<<品时，该游轮单程航 答案②③. ◆变式3(2023·鄂州二中期末)某家庭 行所需总费用的最小值为1一日0万元， 进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投 8 资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比， 当品<<号时，该辩轮单程航行所需总费 投资股票等风险型产品的收益与投资额的算 用的最小值为”。20心万元 术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品 的收益分别为0.125万元和0.5万元. ●变式2渔场中鱼群的最大养殖量为m (1)分别写出两类产品的收益与投资额x (>0),为了保证鱼群的生长空间，实际养殖 (单位：万元)的函数关系式 量x小于m,以便留出适当的空闲量.已知鱼 (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理 群的年增长量y和实际养殖量与空闲率（空闲 财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大 率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正 收益，最大收益是多少万元？ 比，比例系数为k(k>0). 题型4分段函数模型 (1)写出y关于x的函数关系式，并指出 例⑥如图是某地区一种产品30天的销售 该函数的定义域 图象，图3.4-4(a)是产品日销售量y(单位：件) (2)求鱼群年增长量的最大值： 与时间（单位：天）之间的函数关系，图3.4-4(b) 126 第三章函教的概念与性质么9 是一件产品的销售利润z(单位：元)与时间t t≤100，t∈N).求该商品的日销售额S(t)的最 (单位：天)之间的函数关系.已知日销售利 大值（日销售额=日销售量×单价）. 润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结 题型5对勾函数y=ax十模型 论错误的是( 卡y件 例7（经典·湖北卷）为了在夏季降温和 冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙 200 150 需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 100 20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 2430天 2030/天 6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单 (1) (2) 图3.4-4 位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关 A.第24天的销售量为200件 系，C)-车写0<<10.若不建隔热层， B.第10天销售一件产品的利润是15元 每年的能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热 C.第12天与第30天这两天的日销售利 层建造费用与20年的能源消耗费用之和. 润相等 (1)求k的值及f(x)的表达式 D.第30天的日销售利润是750元 (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到 解析在图3.4-4(a)中，t=24时，y= 最小？并求出最小值， 200,故A选项结论正确：根据图3.4-4(b),点 解析(1)由题意知C(0)=8,代入C(x) (0,25),(20,5)连线的中点坐标为(10,15)，故 B选项结论正确；由图3.4-4(a)知(0,100)， 3十5(0s 的关系式，得k=40,因此C(x)=240 (24,200)的中点坐标为(12,150)，即第12天 x≤10)，而每厘米厚的隔热层建造成本为6万 和第30天的日销售量相同，根据图3.4-4(b), 元，所以隔热层建造费用与20年的能源消耗 第12天的一件产品的利润高于第30天的一件 800 产品的利润，即第12天与第30天这两天的日 费用之和为f(x)=20C(x)十6.x= 3x+5+6x 销售利润不相等，故C选项结论错误；由图 (0≤x≤10). 3.4-4(a)知第30天销售150件，由图3.4-4(b) (2)方法一令1=3.x十5(0≤x≤10)，则 知第30天一件产品的利润为5元，故第30天 5≤1≤35，将f(x)变形得函数h(1)=800+ 日销售利润为150×5=750元，故D选项结论 正确. 2t-10(5≤1≤35).令5≤th<t2≤35，则h(t1) 答秦C -h)=-202》则当5≤4<4≤ ◆变式4某商品在最近100天内的单 价f(t)与时间（单位：天）的函数关系是f(t)= 20时，h,)-)=,-)2-800）≥0：当 L+22,0≤t<40,t∈N, 20<1<12≤35时，h(th)-h(t2)=(1-t2)· 日销售量g(t)与 +52,40≤100，t∈N 2-02）<0.所以A)=0+2-10(5≤ 35)在区间[5,20]上单调递减，在区间[20,35] 时间：的西数关系是g)=一十号(0< 上单调递增，所以当t=20时，h(t)m=70,即 127 国雕手细高中数学必修第一册（上）A(渐江专用】 当t=3.x+5=20,x=5时，f(x)m=70.所以 是 (单位：元). 当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小，为 易错壁示 70万元. ◆易错题23（错误率28%）如图所示， 方法=j)=25+6x=00 6.x+10 在矩形ABCD中，已知AB=a,BC=b(b a),在AB,AD,CD,CB上分别截取AE, 6.x+10-10≥2√1600-10=2×40-10=70， AH,CG,CF都等于x,则当x为何值时，四 当且仅当6.x十10=40，即x=5时取等号.故当 边形EFGH的面积最大？并求出最大面积. 隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小，为 70万元. ◆变式5（经典·福建卷）要制作一个容 积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知 该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造 价是每平方米10元，则该容器的最低总造价 参考答案见《全书易错题集》第6页 03核心泰养聚焦一。 考向分类 理能力比乙企业强： 考向1图表型实际应用问题 ②在2时刻，甲企业的污水治理能力比乙 例8(2020·北京卷)为满足人民对美好 企业强： 生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水 ③在a时刻，甲、乙两企业的污水排放量 治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业 都已达标： 的污水排放量W与时间t的关系为W一(t), ④甲企业在[0，t门，[1，t2],[t2,ta]这三段 时间中，在[0，]的污水治理能力最强. 用一f)二f@的大小评价在[a,b]这段时间 b-a 其中所有正确结论的序号是 内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内， 解析在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污 甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如 水排放量的图象下降得比乙企业快，所以在这 图3.4-5所示. 段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业 W甲企业 强，①正确；在t2时刻，虽然两个图象相交，但 乙个业 是甲的图象在这，点的斜率的绝对值大于乙的 乙企业 污水达标排放封 图象在这点斜率的绝对值，所以在红时刻，甲 仰企业 企业的污水治理能力比乙企业强，②正确；在 图3.4-5 时刻，两家企业的污水排放量都小于污水达标 给出下列四个结论： 排放量，所以在名时刻，甲、乙两企业的污水排 ①在[t,t2]这段时间内，甲企业的污水治放量都已达标，③正确；在[0，t],[t1,t2],[t2, 128 第三章函教的概念与性质收组 t]这三段时间中，甲企业污水排放量的图象在 的30%+28%=58%>50%，D正确.故选A. [0,]这段时间内最“平缓”，说明污水治理能 答亲A 力最差，④错误 命题意图：考查学生在实际应用中的识图 答案①②③. 命题规律 能力和阅读理解能力 例9(2018·全国1卷)某地区经过一年 真题探源：教材P96习题3.4的第4题 P101复习参考题3的第11题 的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍， 常考题型 选填题难度系数0.6高考热度 ★★ 实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收 核心素养 数据分析、数学建模 素养水平水平二 入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农 村的经济收入构成比例，得到如下饼图3.4-6. 考向2函数模型的实际应用 例10(2019·北京卷)李明自主创业，在 第业收入 网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、 种枯收入 60% 其他收人 京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、 30 养殖收人 80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四 建设前经济收人构成比例 种水果进行促销：一次性购买水果的总价达到 28% 第产业收入 120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支 种植收人 37% 其他收人 付成功后，李明会得到支付款的80%. 30% (1)当x=10时，顾客一次性购买草莓和 养殖收入 建设后绘济收人构成比例 西瓜各1盒，需要支付 元 图3.4-6 (2)在促销活动时，为保证李明每笔订单 则下面结论中不正确的是( 得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x A.新农村建设后，种植收入减少 的最大值为 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍 解析(1)根据题意知，1盒草莓的价格为 以上 60元，1盒西瓜的价格为80元，共60十80= C,新农村建设后，养殖收入增加了一倍 140(元)>120（元），.少付x=10元，故顾 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收 客需要支付140-10=130（元）. 入的总和超过了经济收人的一半 (2)设李明每笔订单的原价为1元，则促销 [解析设建设前总经济收入为a,建设后总 后每笔订单得到的金颜为(t一x)X80%元： 经济收入为2a,种植收入由a·60%变为2a· 由题意得(t一x)×80%≥0.7t, 37%,增加而不是减少了，故A不正确：其他收 .(1-x)×0.8≥0.71， 入由a·4%变为2a·5%,增加了一倍以上，B 0.&r<0.1,即r≤g 正确；养殖收入由a·30%变为2a·30%,增加了 一倍，C正确：养殖收入与第三产业收入为总收入 要达到促销条件>120，且≤日1总成 129 重避点手细高中数学必修第一册（上）RA(渐江专用) 立，故当t=120时，x取得最大值，最大值为 续表 8×120=15, 常考题型 选填题 难度系数0,6高考热度 ★★ 核心素养 数学建模，数据分析 素养水平水平二 答案(1)130.(2)15. 例（经典·北京卷）加工爆米花时，爆 真题演练 开且不蝴的粒数占加工总粒数的百分比称为 1.(1)(经典·北京卷，考向1)汽车的“燃 “可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加 油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程 工时间t(单位：分钟)满足函数关系p=a十 如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下 bt十c(a,b,c是常数)，图3.4-7记录了三次实 的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(). 验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可 t燃沛效序(kmL) 15 以得到最佳加工时间为( 、甲车 A.3.50分钟 B.3.75分钟 文u乙车 C.4.00分钟 D.4.25分钟 丙 p 40 80速度kmh) 0.8 0.7 A.消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km 0.5 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲 车消耗汽油最多 4 5.t/分外 C.甲车以80km/h的速度行驶1h,消耗 图3.4-7 10L汽油 解析由实验数据和函数模型知，二次函 D.某城市机动车最高限速80km/h,相同 数p=a2+bl+c的图象过点(3,0.7)，(4， 条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 0.8),(5,0.5),分别代入解析式得 (2)(经典·北京卷，考向1)某辆汽车每次 0.7=9a+3b+c, a=-0.2, 加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次 0.8=16a十4b十c,解得b=1.5, 1c=-2. 加油时的情况 0.5=25a+5b+c, 所以p=-0.22+1.51-2=-0.2(t- 加油时间 加油量/L 加油时的 3.75)2+0.8125, 累计里程/km 所以当1=3.75分钟时，可食用率p最大 2015年5月1日 12 35000 故选B. 2015年5月15日 48 35600 答案B 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的 路程 命题意图：用所学数学知识解决实际应用 问题 在这段时间内，该车每100km的平均耗 命题规律 真题探源：教材P94例2和P96习题3.4 油量为( 的第4题 A.6L B.8L C.10L D.12 L 130 第三童函敬的概念与性质么出组 2.(经典·江苏卷，考向2)如图，建立平面 (1)求炮的最大射程. 直角坐标系xOy,x轴在地平面上，y轴垂直于 (2)设在第一象限有一飞行物（忽略其大 地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原 小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标 点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx一 α不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明 易1+：)x(>0)表示的曲线上，其中长与发 理由。 y/千米 射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横 坐标 0 x千米 131.f(x)在x=一1与x=1处均取得最小值1，即 所以鱼群年增长量的最大值为学 f(x)n=1. 2.(1):f(x)在(0，十o∞)上是增函数，由幂函数的图象和 [变式3](1)设两类产品的收益与投资额x的函数关系 性质知一之r十p叶受>0，解得一1<p3. 式分别为f八x)=k1x(x≥0)，g(x)=x(x≥0)， p∈N,p=2.,1,0. 结合已知得1)=3=g1)=2=: 当p=0或2时，f(x)=x子，不是偶函数： 所以/)=g≥0，g)=(≥0. 当p=1时，f(x)=x2,是偶函数 故p=1,f(x)=x (2)设投资稳健型产品为x万元，则投资风险型产品 (2)g(x)=-4.x+(2g1).x2+1, 为(20一x)万元，依题意知获得收益为y=f(x)十g(20一x) 令1=x,则h(t)=一g4+(2q-1)1十1（≥0）. =首+号v920-70<≤20. :t=x2在（一∞，0）上是减函数， 令1=√20一x(0≤≤25)，则x=20-, .当x∈(-∞，一4们时，1∈[16，+∞)： 当x∈(-4.0)时，1∈(0,16). 所以y0。+=-4-2+3 当h(1)在[16，+o)上是增函数，在(0,16)上是减函数 所以当1=2，即x=16时，y取得最大值，a=3. 时，g(x)在（一oo,-4幻上是诚函数，在(-4,0）上是增 故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时， 函数，此时二次函数h(t)的对称轴方程是1=16，即1= 可使投资获得最大收益，最大收益是3万元 一(2二12=1-。=16，解得g=一30° 1 [变式]由已知单价 2(-9) 故存在实数=一动·使得g)在（一©，门上是减函 L+22(0≤1<40,1∈N), f(t) 数，且在（一4,0）上是增函数. ÷+52(40≤≤100.1∈N, 3.4函数的应用（一） 变式训练答案 日销售量g0=-方1+号(0<≤10,1EN. 3 [变式]5.提示：设仓库与车站的距离为x千米， ∴.日销售额为S()=f()g(), 由题意可设n=生为=k 即当0≤<40时，50)=（仔+2）(-3+号）= 把x=10,边=2与x=10,必=8分别代入上式，得 +2+26此时函数的对称轴为工=12. 3 6=20.6:=0.8,放n=22y=0.8. 最大值为S12)=2500 这两项费用之和y=n十为=0.8x+2≥ 3 当40≤≤100时，5)-(-7+52)×(-号 2V0.8rxD-8, )=言-361+52，此时函数的对称轴为 当且仅当0.8x=29,即x=5时等号成立， 3 r 1=108>100,最大值为S(40)=768. 故要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站 5千米处. 由768<20可得这种商品日销售额S)的最大值为 3 [变式2】()根据题意知空闲率是”m2,故y关于r的 2500 3 函数关系式是y=k·m,0≤r<m [变式5]160.提示：由题意知，长方体的底面积为4， 设该长方体容器的长为xm,则宽为m (2D蜘c…"=点r+r=品（e一罗） 设该容器的总造价为y元， 十喷0长rm…则当x一受时取得最大值儿=映 4 则y=20×4+2(x+4)×10, 37 即y=80+20(x+1)x>0). 所以当a不超过6时可击中目标. 练习册答案 方法-因为函数8x)=十兰在区间(0,2]上单调 A基础过关练 递减，在区间[2，十o)上单调递增，所以g(x)m 1.C2.C3.C g(2)=4,所以ym=80+20×4=160(元). 4.C提示：设矩形模型的长为xm,宽为ycm,则x>0, 方法=80+20(x+)≥80+20×2√…1 y>0,由题意可得2(x十y)=8,所以x十y=4,所以矩 160,当且仅当x=4,即x=2时取等号，所以最低总造 形的面积5=y<牛P一号-4，当且仅当一， 4 价为160元. 2时取等号，所以当矩形的长和宽都为2m时，面积最 真题演练答案 大，为4m2 1(1)D(2)B提示：(1)对于A.从题图中可以看出当 60t,0r2.5. 乙车的行驶速度大于40km/小时的燃油效率大于 5.y 150,2.5<3.5, 提示：从A到B用时 5km/L,故乙车消耗1L汽油的行驶路程可大于 -50t+325,3.5r6.5. 5km,所以A错误. 150 60 =2.5h,在B地停留的1h内距离不变，返回A地时 对于B,由题图可知甲车消耗汽油最少，所以B错误. 对于C,甲车以80km/h的速度行驶时的燃油效率为 60t,01≤2.5. 10km/L,故行驶1h的路程为80km,消耗8L汽油， 距离减少，因此y= 150,2.53.5, 所以C错误。 -50t+325.3.5<t≤6.5. 对于D,当最高限速为80km/h且速度相同时，丙车的 6.149. 提示：由题意可得N= 1000 0.7w+0.30+d= 燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更 1000 1000 省油，所以D正确。 0.7+0.3w+30 ≈149，当且仅当 0.7+2√0.3×30 (2)因为第一次（即5月1日）把油加满，而第二次把油 加满加了48L,即汽车行驶35600-35000=600(km) Q.3=30,即=10时取等号，所以该道路一小时“道 耗油8L,所以每100km的平均耗油量为8L,故 路容量”的最大值约为149. 选B B综合提能练 2.(1)令y=0.得kr 200+)x2=0, I.D 2.C 由实际意义和题设条件知x>0,k>0, 3.A提示：由题图甲、乙可知进水速度为1，出水速度为 2,结合题图丙中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量 · k十 增加速度是2，故①正确：不进水只出水时，蓄水量减少 速度是2，故②不正确：两个进水一个出水时，蓄水量减 由+右>2，当且仅当太=1时等号成立可知≤10. 少速度也是0，故③不正确 所以炮的最大射程为10千米 4.B提示：，出租车起步价为5元（起步价内行驶的里 (2)因为a>0,所以若炮弹可击中目标， 程是3km), 则存在>0，使元2=a一易1+6)心成立， .(0,3]对应的值都是5. ,以后每1m价格为1,8元，不足1km按1km计价， 即关于k的方程a一20ak十a2+64=0有正根. .3<xr≤4时，y=5+1.8=6.8:4<x≤5时，y=5+ 设f(k)=ak-20ak+a2+64, 1.8十1.8=8.6，故选B 则此函数图象的对称轴为直线=一，204=10， 2a a 5.16.提示：设BC=x,连接(OC,得OB=√16-x, 因为4>0，所以=10>0， 所以AB=2√/16一x, a 故只需判别式△=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0， 所以矩形ABCD的面积S=2x√16-x,x∈(0,4)， 结合a>0得0<a≤6. S=2x/16-x=2√(16-x)≤x2+16-x2=16. 38故函数f(x)为偶函数. 已知AB=a,BC=b(b<a),在AB,AD,CD,CB上分 当a≠0时，因为f(a)=a+1,f(-a)=a2+2la+1, 别截取AE,AH,CG,(CF都等于x,则当x为何值时， 显然，f(-a)≠士fa), 四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积 故此函数既不是奇函数也不是偶函数。 综上，当a=0时，f(x)为偶函数：当a≠0时，f八x)既不 是奇函数也不是偶函数. 易错探因本题易忽略参数：的不确定性，从而得到如 下错解： 正解设四边形EFGH的面积为S,划 因为x∈R,f(一x)=(-x)2十|一x-a十1=2+ x十a十1≠士f(x), S-Sm 故此函数既不是奇函数也不是偶函数 Som-Semma( 误区22未对底数进行分类讨论 s=ah-2[22+a-w-] 易错题22（错误率44%）若(a十1)寺<(3一2a)+,试 求实数a的取值范围。 即S=-2x+(a+b0x=-2(x-a+）'+a 8 正解：(a+1)+<(3-2a)寸， 由图形可知此函数的定义域为{x0x) a+1>0, a+1<0. 3-2a>0, .3-2a>0,或3-2a<0,或 0<b<a,∴0<a+b a+1<0, 2 1a+1>3-2a la+1>3-2a 解得号<a<或a<-1 若”中中.即u≤动， 故实数e的取值范围为(-©，-1DU(号，号)》 则当r一a十时，S取得最大值，且S=a士b 8 易错探因本题易产生如下错解： 若十b.即a>3弘.则Sx)在(0.上是增函数， 4 :a+1Dt<3-2a)+,a+1>3-2a,即>号 则当x=b时，S取得最大值，且Sx=ab一 故实数a的取值范围为（号，十∞）， 综上，当a≤3动，x=+时，四边形EFGH的面积最 4 事实上，由函数y=x专的奇偶性可知此函数的单调递 大.且Snn=(a+b)2 减区间有两个，即（一∞，0）和(0，十)，而并非在整个 8 定义域上单调递减.为了避免错误，应对底数进行分类 当a>3b,x=b时，四边形EFGH的面积最大，且 讨论. Sa=ab-∥. 误区23忽略实际问题中函数的定义域 易错探因本题易忽略函数的定义域从而得到错误答 易错题23（错误率28%）如图所示，在矩形ABCD中， 案：当x产时S有最大值，最大值为（口+b识 6