3.3 幂函数-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第三章 函教的概念与性质么 3.3幂函数 重点和难点 课标要求 重点：五个常见暴函数的图象与性质， 1.了解暴函数的定义. 难点：画y=x与y=x的图象，通过五个暴函数的图 2.掌握幂函数的图象 象概括出它们的共性 3.掌提幂函数的性质. 01-必备知识梳理一。 基础梳理 知识点1幂函数的概念 1.幂函数的定义 曰敲黑板 般地，函数y=x叫作幂函数，其中x是自变量，a是常数 判断一个函数是否为暴 2.幂函数的特征 函数的依据是该函敏是否为 (1)z的系数为1. y=x(a是常数)的形式.反过 来，若一个函数为幂函数，则 (2).z“的底数是自变量. 该函数也必具有这一形式，这 (3)z的指数为常数， 也是我们解决某些问题时的 只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数.形如y= 一个隐含条件 (2.x)°，y=2x,y=十6等的函数都不是幂函数. 知识点2幂函数的图象 1.一般函数图象的画法 列表、描点、连线，幂函数的图象也可以用此法画出.图3.3-1 为在同一坐标系内，当a分别为1,23，号，-1时幂函数y=r的 函数图象。 y=x -3-2-1 234 图3.3-1 117 国雕手册高中数学必修第一册（上）A(渐江专用】 2.幂函数的图象在第一象限的分布情况 幂函数y=的图象在第一象限内具有如下特征：直线y 1,y=x将直角坐标平面在第一象限的直线x=1的右侧分为三 个区域(I)、(Ⅱ)、（Ⅲ），如图3.3-2所示. 若α∈(1，十∞)台y=x的图象经过区域(I): 若α∈(0,1)台y=x的图象经过区域（Ⅱ）： 若α∈（一6∞，0）台y=x的图象经过区域（Ⅲ） 注意到在直线x=1的右侧的图象，从x轴起，幂函数y= 的指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低” x=1 I)y=王 (川) (Π) 01 图3.3-2 利用幂函数在第一象限的图象特征可以作出幂函数的图象， 其步骤是：先利用上述特征，由给定的幂指数作出幂函数在第一 冒敲黑板 象限的图象；再研究其定义域，看当x≤0时函数是否有意义；若 幂函数的性质 在（一○，0）上有意义，再研究函数的奇偶性，利用奇函数（或偶函 1.所有的暴函数在(0， 数)图象的对称性，便可作出函数在y轴左边的图象，从而得到幂 十∞)上都有定义，并且图象 函数的图象，进而利用图象得到函数的有关性质。 都经过点(1,1). 知识点3幂函数的性质 2.如果>0，那么幂函数 五个常见幂函数的性质，列表如下： 的图象过原点，并且在区间 函数 y=r y=.r' y=r y=r-l y=rt [0,十∞)上为增函数.如果 a<0,那么幂函数的图象在区 间(0，十∞)上是减函数，在第 图象 O+ 一象限内，当，x从右边趋向于 原点时，图象在y轴右方无限 定义域 R R R {xx≠0 [0,+∞) 地通近y轴，当x从原点趋向 值域 R [0,+∞) R {yy≠0 [0,+∞) 于十o时，图象在x轴上方无 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 限地逼近x轴。 3.当a为奇数时，暴函数 单调性 (-∞，04 (-0,0)4 为奇函数：当a为偶数时，暴 (0,十∞)才 (0,十∞)4 函数为偶函数 定点 (1,1) 118 第三章函教的概念与性质么 雨难拓展 重难点1对幂函数的图象和性质的研究 幂函数y=x的图象. 1.当a=1时，y=x的图象是一条直线. 2.当a=0时，y=x°=1(x≠0)的图象是一条不包含点(0,1) 国敲黑板 的直线 幂函数奇偶性的判断：设 3.当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表. y=ra=色，p,q∈Z且不为 Q-2 a<0 0<a<1 o>I 0,p9不可约 ,q都是奇数 1.若p,q同时为奇数，则 y=x是奇函数 2.若9为奇数，p为偶 3V4 34 p为偶数， 数，则y=x是偶函数. q为奇数 -1o1 3.若q为偶数，则p为奇 数，此时y=x既不是奇函数 p为奇数， 也不是偶函数 q为偶数 01立 4.幂函数的图象一定会 在第一象限的 出现在第一象限内，一定不会 减函数 低头增 拾头增 图象特点 出现在第四象限内，至于是否 出现在第二、三象限内，要看 注：(Q=号p:9∈Z且不为0，pg不可约 函数的奇偶性：幂函数的图象 例①(2023·德州重点中学高一质检)给定一组函数解析 最多只能同时出现在两个象 式：①y=x:②y=x于：③y=x￥；④y=x于：⑤y=x2;⑥y= 限内：如果暴虽数的图象与坐 x:⑦y=x和一组函数图象，请把图象对应的解析式序号填在 标轴相交，则交点一定是原点 图象下面的括号内。 解析先区分幂指数的正负，若是正指数，再与1比较大小； 若是负指数，再区分奇偶性，这样就可找到对应图象的函数观察 前三个图象，由于在第一象限内，函数值随x的增大而减小，则暴 指数口应小于零，其中第一个函数的图象关于原点对称，第二个 119 国避食手细高中数学必修第一册（上）RA(浙江专用) 函数的图象关于y轴对称，而第三个函数的定义域为(0，十○)， 所以第一个图象对应y=x寸，第二个图象对应y=x,第三个 图象对应y=x.后四个图象都通过(0,0)和(1,1)两点，故a> 0.第四个图象关于y轴对称，第五个图象关于原点对称，定义域 都是R.所以第四个图象对应y=x,第五个图象对应y=x.由 最后两个图象知函数的定义城为[0，十○)，而第六个图象呈上凸 状，a应小于1，第七个图象呈下凸状，a应大于1，故第六个图象对 应y=x,第七个图象对应y=x 答案⑥④③②⑦①⑤. 02关键能力提升。 题型方法 下列各题中两个值的大小： 题型1幂函数的定义及其应用 g)与). (2)34与3.1. 例☑(2023·龙岩连城一中高一期中)已 知幂函数f(x)=x8-m(m∈N)的图象关于原 8(-)与(-) 点对称，且在R上函数值随x的增大而增大. 解析(1)，'函数y=x在(0，十o∞)上单 (1)求f(x)的解析式. 调递增， (2)求满足f(a+1)+f(3a一4)<0的a 的取值范围， 又g限)>) 解析(1)由题可知函数在R上单调递增， (2),y=xt在(0，十o∞)上为减函数， ∴.9-3m>0,解得m3. 又3<3.1，.3>3.1 又m∈N,∴.m=1或2. 又函数图象关于原点对称， 3)-(),(-)=) ∴.9-3m为奇数，故m=2 ,函数y=x可在(0，十∞)上为减函数， ..f(x)=x. 又号>晋，()<) (2),f(a+1)+f(3a-4)<0, .f(a+1)<-f(3a-4). ()<(-) :f(x)为奇函数， 例④(2024·天津蓟州区高一质检)已知 .f(a十1)<f(4-3a). 又函数f(x)在R上单调递增， 函数f(x)=mx二2士m-l(m∈R),试比 x2-2x+1 .a+14-3a, 较f(5)与f(一π)的大小 解析 f(x）=mx2-2mx+m-1_ x2-2.x+1 题型2幂函数单调性的应用 例3(2022·天津武清区高一联考)比较 1x二1）二1=m-x-1z=m-(x-1)2. (x-1)2 120 第三章函散的概念与性质么组 f(x)的图象可先由y=x2的图象作关于x轴 例G若(3-2m)>(m十1)，求实数m 的对称变换，然后向右平移1个单位长度，再 的取值范围。 向上(m>0)[或向下(<0)]平移m个单位 解析因为幂函数y=x士在定义域[0， 长度得到（如图3.3-3所示）.显然图象关于 十©o)上是增函数， x=1对称且在(1，十oo)上单调递增， 3-2m≥0， y1m】 所以m十1≥0， 得-1长m<号 3-2m>m+1, y=f(x》 故实数m的取值范国为[-1，号》】 图3.3-3 [反思利用函数的单调性解题时，一定要 .f(-π)=f(2+π)，而2+π>5， 注意函数的定义域，本题若没有注意到暴函数 .f(-π)=f(2+π)>f(5) y=xt的定义域为[0，十∞)，求解时就会得出 ◆变式1比较下列各题中两个值的大小： m<号这一错误结果。 (1)2.3,2.4 例7已知幂函数y=f(x)的图象经过点 (22w3. (2,4),对于偶函数y=g(x)(x∈R),当x≥0 (3)(-0.31)￥，0.35. 时，g(x)=f(x)-2x. 题型3幂函数性质的综合应用 (1)求函数y=f(x)的解析式. 例固已知幂函数f(.x)=(m2一5m+ (2)求当x<0时，函数y=g(x)的解析 7):x-m-1(m∈R)为偶函数. 式，并在平面直角坐标系中画出函数y=g(x) 1)求f2)的值。 的图象。 (3)写出函数y=g(x)的单调递减区间. (2)若f(2a十1)=f(a),求实数a的值. 解析(1)由题意设y=f(x)=x, 解析(1)由m-5m十7=1，得m=2或3. 将点(2,4)代入，得4=2，解得a=2. 当m=2时，f(x)=x3是奇函数，不满足 ∴.f(x)=x2. 题意，故m=2舍去： (2):f(x)=x2, 当m=3时，f(x)=x,满足题意， .当x≥0时，g(x)=x2-2x. ∴fx)=xt, ∴2)=(2)'=16 又，y=g(x)是R上的偶函数， (2)由f(x)=x为偶函数和f(2a+1)= ∴.当x<0时，一x>0,则g(x)=g(一x) f(a)可得2a+1=a, (-x)2-2(-x)=x2+2x 即2a十1=a或2a十1=-a, 在平面直角坐标系中作出函数y=g(x) a=-1或a=-3 的图象，如图3.3-4. ◆变式2(2023·武威一中高一段考)已 知幂函数f(x)=(一2m十m十2)zxm+1为偶函数. (1)求函数f(x)的解析式. (2)若函数y=f(x)一2(a一1)x十1在区 间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围. 图3.3-4 图3.3-5 121 国避手册高中数学必修第一册（上）/A(浙江专用) (3)作出函数y=|g(x)|的图象，如图 间，一定要注意定义域优先，处理好关键点 3.3-5. 易错警示 由图象知，函数y=|g(x)|的单调递减区 ◆易错题22（错误率44%）若(a十1)寸 间是(-∞，-2]，[-1,0]和[1,2] <(3一2a)+,试求实数a的取值范围， 反思】利用奇偶性求函数解析式，作出函 数的图象，进而通过图象得到函数的单调区 参考答案见《全书易错题集》第6页 口03-核心泰养聚焦 考向分类 命题意图：考查对幂函数图象的识别 考向1幂函数图象和性质的运用 命题规律 真题探源：教材P87信息技术应用中画出 y=x的图象的变式及拓展 例8（经典·陕西卷）函数y=x的图象 常考题型 选填题难度系数0.8高考热度 ★★ 是( 核心素养 直观想象 素养水平水平二 真题演练 1.(经典·陕西卷，考向1)下列函数中，既 是奇函数又是增函数的为( B A.y=x+1 B.y=- 解析令y=f(x)=x, D.y=xxl ,f(-x)=(-x)i=-x=-f(x), C.y=1 2.(经典·安徽卷改编，考向1)设a= ”,函数是奇函数，图象关于原点对称 当0<x<1时，x>x: (得6=0c-(信)，则a,bc的大小关系是 当x>1时，x<x 对照选项可知只有B项符合. A.ac>b B.a>b>c C.a>b D.b>c>a 答案B 122(2)任取，x∈(-1,1)且x<x,则 x,x≥0， 2.[2,十o∞).提示：由题意知f(x) --=)(1-) )-)泽中2 -x2r<0. 则2f(x)=f(W2x), -1<<n<1.->0.1十>0,1+.>0， 又-1<m<1,.1z2>0 因此原不等式等价于f(xr十a)≥f(W2x). .fx)-f()>0,即f(.x)>fx). 因为(x)在R上是增函数， ,f(x)在（一1,1）上是增函数 所以x十a≥√2.x,即a⊙(W2-1)x (3)原不等式可化为f(1-1)<-f(t)=f(-t). 又因为x∈[a,a+2],所以当x=a十2时，(w2-1)x取 f(x)在（一1,1）上是增函数， 得最大值(2-1)(a+2),因此a≥(w2-1)(a+2),解 -1<1-1<-<1,解得0<1<2 得a≥√2.故a的取值范围是[V2,+o©). 故原不等式的解集为0<1<号 3.3幂函数 变式训练答案 12.(1)令x=y=1,则f1×1)=f)+f1),得f1D=0: [变式1](1)y=x0,+o∞)上为增函数，且2324， 再令x=y=-1.则f(-1)×(-1D)=f(-1)+ ∴2.3<2.4. f-1),得f(-1)=0. (2):y=x寺在(0，+o∞)上为减函数，且2<3， 对于条件fx·y)=fx)+fy),令y=一1，则/（一x)= f(x)+f(-1),即f(一x)=f（x). ∴(2)>(3)-± 又函数f)的定义域关于原点对称， (3)y=x在R上为偶函数，.(-0.31)=0.31. ∴.函数f(x)为偶函数. 又，函数y=x在[0，十o○)上为增函数，且0.31<0.35. ∴.0.31<0.35，即(-0.31)<0.35 (2)任取∈(0，+∞)，且1<，则有>1. [变式2](1)由f(.x)为幂函数知一2m+m+2=1,解 又，当x>1时，f(x)>0,。 (贵)>0 得m=1或m=一分·当m=1时，f)=,符合题 而)=a·)=+(货)》>f 意：当m=一2时，)=，不符合题意，舍去 .函数f(x)在(0，十∞)上是增函数. ∴.函数f(x)的解析式为f(x)=x2 (3)f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),且f(2)=1, (2)由(1)得fx)=x2, ∴.f4)=2又由(1)(2)知函数fx)在区间[一4.0)U(0.4] ∴y=x2-2(a-10x+1, 上是偶函数且在(0,4]上是增函数，函数f(x)在 即函数图象的对称轴为直线x=a一1. 区间[一4,0)U(0,4上的最大值为f(4)=f(一4)=2 ,y=x-2(a-1)r+1在(2.3)上为单调函数， (4)f(3.x-2)+f(.x）=f(x(3.x-2)),4=2+2 .∴a-1≤2或a-1≥3，解得a≤3或a≥4. f(4)+f4)=f(16), ∴.实数a的取值范围是(-o,3]U[4,十o∞). ∴.原不等式等价于f(x(3r-2)≥f(16).又函数 真题演练答案 f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，十∞)上是增函数， 1.D提示：y=x十1为一次函数，是增函数，但不是奇函 ∴.原不等式又等价于x(3x-2)|≥16，即.x(3x-2)≥ 数，选项A不符合。 16或x(3x-2)≤-16，，.不等式f(3x一2)+f(x)≥4 y=x是奇函数且是增函数，所以y=一x是减函数， 的解集为{✉≤-2或>号： 选项B不符合。 C拓展拔高练 1 y- =x是奇函数，但在定义域内不是增函数，选 1一4.提示：因为f(x)是奇函数，且在(0，十∞)上是 项C不符合。 增函数，所以f(x)在（一∞，0）上也是增函数. x,x20, y=xr= 为奇函数且是增函数，选项D 又因为f2)=f1)+f1)=4,所以f-2)=一f2)=-4 x2,xr0 故函数f(x)在[-3，一2]上的最大值为一4 符合 -35 2.A提示：因为0=0，且0<号<号，由每函数y= 为(0,1). 8.:幂函数的图象不过原点， x在[0，十eo)上单调递增可知b<c<a. n2-2n-3≤0，即-1≤m≤3. 练习册答案 又n∈Z,∴n=-1,0,1,2,3. A基础过关练 当n=一1或3时，函数为y=x(x≠0)，符合题意. 1.C2.C3.C4.D5.C 又其图象关于y轴对称，。㎡一2n一3为负偶数. 当n=0时，-2-3=一3，不合题意，舍去： a<0, 当n=1时，n一2一3=一4，符合题意： a2-1<0, 6.依题意有 解得-<a<0, 当n=2时，n-21一3=一3，不合题意，舍去 -a(a+) ∴n的值为-1.1,3 2a ≤0， 它们的图象分别如下所示： B综合提能练 1,D提示：因为图象关于y轴对称，所以函数为偶函数， y=,x(x≠0) 所以p为偶数，9为奇数.由图象在第一象限内缓慢递 增知0<上<1. 图1 图2 2.D提示：由y=一a.十b-1是幂函数知a=-1,b=1. 9.设f(x)=x°，则由题意得2=(2)“， 又点(a,b)在mx一y十2=0上，∴.十n=2,即n a=2,即f八x)=x2. 2-m心0，则-骨-高-1且0<m<2 又设6)=x,则由圈意得=（一2 e(号 =-2,即g(x）=x 在同平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象如 3B提示：函数y=(mx2十4x十m十2)+有意义的条 图所示 件是m.x十4x十m十2>0，因此，要使函数y=(mx2+ 4r十m十2)+的定义域为全体实数，需满足mx2十 4x十m十2>0对一切实数都成立，即 1m>0, 解得m>√5-1. 4-4m(m+2)<0, 4B提示：，函数y=r的图象过④⑧部分， 由图象可知： 函数y=x在第一象限内单调递减，a<0. (1)当x>1或x-1时，f(x)>g(x): 又易知x=2时>子，“只有B选项符合题意 (2)当x=土1时，f(x)=g(x): (3)当-1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x. 5.9.提示：设幂函数为f(x)=x,将点P(2,4)代入得 2=4,a=2,所以f(x)=x,令x=3,求得%=3=9. C拓展拔高练 L.L.提示：在同一平面直角坐标系中作出函数y= 6.x<0或x>L.提示：注意到y=x与y=x亨均为幂 与y=x2的图象，如图所示. 函数，所以在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如 图所示.由图象不难看出，x的取值范围是x<0或 x>1. -2-1o12 x,x-1, x-3,-1<x0. 则f(x)= x2,0<x≤1， 7.②③④.提示：①的值城为（一1,2），②③④的值域均 x,x>1. -36故函数f(x)为偶函数. 已知AB=a,BC=b(b<a),在AB,AD,CD,CB上分 当a≠0时，因为f(a)=a+1,f(-a)=a2+2la+1, 别截取AE,AH,CG,(CF都等于x,则当x为何值时， 显然，f(-a)≠士fa), 四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积 故此函数既不是奇函数也不是偶函数。 综上，当a=0时，f(x)为偶函数：当a≠0时，f八x)既不 是奇函数也不是偶函数. 易错探因本题易忽略参数：的不确定性，从而得到如 下错解： 正解设四边形EFGH的面积为S,划 因为x∈R,f(一x)=(-x)2十|一x-a十1=2+ x十a十1≠士f(x), S-Sm 故此函数既不是奇函数也不是偶函数 Som-Semma( 误区22未对底数进行分类讨论 s=ah-2[22+a-w-] 易错题22（错误率44%）若(a十1)寺<(3一2a)+,试 求实数a的取值范围。 即S=-2x+(a+b0x=-2(x-a+）'+a 8 正解：(a+1)+<(3-2a)寸， 由图形可知此函数的定义域为{x0x) a+1>0, a+1<0. 3-2a>0, .3-2a>0,或3-2a<0,或 0<b<a,∴0<a+b a+1<0, 2 1a+1>3-2a la+1>3-2a 解得号<a<或a<-1 若”中中.即u≤动， 故实数e的取值范围为(-©，-1DU(号，号)》 则当r一a十时，S取得最大值，且S=a士b 8 易错探因本题易产生如下错解： 若十b.即a>3弘.则Sx)在(0.上是增函数， 4 :a+1Dt<3-2a)+,a+1>3-2a,即>号 则当x=b时，S取得最大值，且Sx=ab一 故实数a的取值范围为（号，十∞）， 综上，当a≤3动，x=+时，四边形EFGH的面积最 4 事实上，由函数y=x专的奇偶性可知此函数的单调递 大.且Snn=(a+b)2 减区间有两个，即（一∞，0）和(0，十)，而并非在整个 8 定义域上单调递减.为了避免错误，应对底数进行分类 当a>3b,x=b时，四边形EFGH的面积最大，且 讨论. Sa=ab-∥. 误区23忽略实际问题中函数的定义域 易错探因本题易忽略函数的定义域从而得到错误答 易错题23（错误率28%）如图所示，在矩形ABCD中， 案：当x产时S有最大值，最大值为（口+b识 6