3.2.2 奇偶性-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

重避点手细高中数学必修第一册（上）尺A(浙江专用) 3.2.2奇偶性 重点和难点 课标要求 1.理解函数奇偶性的概念 重点：奇偶性的概念 2.了解函数奇偶性的几何意义. 难点：奇偶性的判断及应用 3.掌握函数奇偶性的应用. 01必备知识梳理， 基础梳理 知识点1函数的奇偶性 四明概念 L,奇函数和偶函数的定义 如何理解函数的奇偶性？ 从函数奇偶性的定义可 偶函数 奇函数 以看出，具有奇偶性的函数有 以下特点： 一般地，设函数f(x)的定义域 一般地，设函数f(x)的定义 L.定义域关于原点对称 定义 为I,如果Hx∈I,都有一x∈I, 域为I,如果Vx∈I,都有 在偏西数和奇函数的定义中， 且f(一x)=f(x),那么函数 -x∈I,且f（-x)=-f(x), 若x是定义战中的一个数值， f(x)就叫作偶函数 那么函数f(x)就叫作奇函数 则一x必然也在定义域中，也 定义域 就是说，一个函数无论是奇函 特征 关于原点对称 数还是偶函数，它的定义域一 定关于坐标原点对称，否则这 2.函数奇偶性的运算性质 个函数不满足奇函数或偶函数 设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,在它们的公共定义域 的条件，即这个函数既不是奇 上有下列结论： 函数也不是偶函数.例如f(x) =x在区间R上是偶函数， f(r) g(.x) f(x)十g(x) f(r)-g(z) f(r)g(r) 但在区间[-1,2]上却无奇偶 性可言 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 2.满足定义城关于原点 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 对称时，函数f(x)=0既是奇 f(r) g(z) f（x)+g(x) f(x)一g(x) f(x)g(r) 函数又是偶函数，因为既满足 f(-x)=f(x).又满足f(-x) 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 =-fx). 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 3.若奇函数在原点有定 义，则f(0)=0. 3.复合函数的奇偶性 4,函数按奇偶性分类：奇 复合函数F(x)=f(g(x))的奇偶性如下表： 函数（如y=x,y=x);偏函 106 第三章函教的概念与性质皮母9 f(r) g(r) F(x) 数（如y=x):既是奇函数又 是偶函数（如f(x)=0,x∈ 偶函数 偶函数 偶函数 R):既不是奇函数又不是偶函 偶函数 奇函数 偶函数 数，即为非奇非偶函数（如y 奇函数 偶函数 偶函数 =2x+1). 奇函数 奇函数 奇函数 在f(g(x)中，g(x)的值域是f(x)的定义域的子集. 重难拓展 重难点1奇、偶函数图象的特征 刀记方法过 1.奇函数的图象特征 判断函数奇偶性的基本方法 若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中 1.定义法：若函数的定义 域不关于原点对称，则可判断 心的中心对称图形：反之，若一个函数的图象是以原点为对称中 该函数既不是奇函致也不是 心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 偶函数：若函数的定义域关于 2.偶函数的图象特征 原点对称，再判断f(一x)是 若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称 否等于士f(x). 轴的轴对称图形：反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个 2.验证法：即在定义城关 函数是偶函数， 于原，点对称的基础上，验证 3.奇、偶函数的单调性 f八-x)±fx)=0,f八2 f(x) 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论 士1是否成立，这是因为若 (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函 f(-x)+f(x)=0,则f(-x) 数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为 =-f(x),所以f(x)为奇函 “奇同偶异” 数.其他的可类似推知。 (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值， 3.图象法：奇（偶）函数的 充要条件是它的图象关于原 取最值时的自变量互为相反数：奇函数在关于原点对称的区间上 点（或y轴）对称，则通过函数 的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数， 的图象可直观地看出函数的 4.函数图象的对称性 奇偶性. f(x)在定义域内恒满足的条件 f(x)的图象的对称轴（对称中心） 4,性质法：利用性质来判 f(ax)=f(a-x) 直线x=a 断，即利用奇、偶函数的和 差、积、商的奇偏性，以及复合 轴 f(x)=f(a-x) 直线x=号 函数的奇偶性来判断。 f(a十x)=f(b-x) 直线x=4十 5.判断f(x)不是奇函 2 数，只需在定义域内找出一个 f(a+r)+f(a-r)=0 点(a,0) 值xo,使f(一xa)十f(xo)≠0 即可，判断函数f(x)不是偶 心 f(a+r)+f(b-x)=0 点(.o) 函数，类似地，只需在定义城 内找出一个值x,使f（一x) f(a+x)+f(b-x)=c 点() -f()≠0即可. 107 国避手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 例①(2023·昆明调考)已知y=f(x)是偶函数，y=g(x)是 P拓视野 奇函数，它们的定义域都是[一3,3]，且它们在x∈[0,3]上的图象 两个重要结论 如图3.2.2-1(a)所示，则不等式已<0的解集是 L.函数y=f(x)的图象 g(x) 关于点P(a,b)成中心对称图 Fg) y=g.x》 形的充要条件是函数y 2 f(x十a)-b为奇函数 y-f(2:) y=f(r) 2.函数y=f(x)的图象 (a (b) 关于直线x=a成轴对称图形 图3.2.2-1 的充要条件是y=f(x十a)十 点拨本题可以借助函数图象的奇偶性，画出y=f(x),y= b是偶函数. g(x)在区间[一3,0]上的图象，结合图象可以看出使得f(x), g(x)大于零或小于零的区间，从而求得八巴）<0的解集。 g(x) 解析由于y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，根据函数 图象的对称性画出y=f(x),y=g(x)在区间[一3,0]上的图象如 图3.2.2-1(b)所示. 由图象可知，f(x)>0等价于0<x<2或-2<x<0,g(x)>0 等价于1<x3或-1<x0, 又<0等价于>0：支)<0. g(z) 或 g(x)<0g(x)>0, 可求得其解集是{x-2<x<-1或0<x<1或2<x<3. 答案{x一2<x<-1或0x<1或2<x<3〉. 口02关健能力提升。 题型方法 对称的。 题型1函数奇偶性的判定 .f(-x)=3(-x)-4(-x)3=-3x+ 例☑判断下列函数的奇偶性. 4x3=-f(x), (1)f(.x)=3x-4x .f(x)=3.x一4x3是奇函数 (2)f(x)=x+3.x. (2)f(x)的定义域为R,是关于原点对称的. (3)f(x)=x2-x. ,f(-x)=(-x)1+3(-x)2=x+3.x2= (4)f(x)=Vx-1+V1-x f(x), 6=34景 ∴.f(x)=x十3x2是偶函数 (3)f(x)的定义域为R,是关于原点对称的. (6)f(x)=x-2|-x+2. f(1)=0,f(-1)=2, 解析(1)f(x)的定义域为R,是关于原，点 ,f(1)≠f(-1)且f(1)+f(-1)≠0， 108 第三章函教的概念与性质么9 ∴.f(x)=x2一x3为非奇非偶函数 1=-(22+1)=-f: (4)f(x)的定义域为{一1,1}，是关于原点 对称的 当x<0时，-x>0,f(-x)=号(-x)2+ :f(-1)=f1)=0, ∴.f(-x)=士f(x), 1=+1=-(-2x-1=-f. 故f(x)=√π一1十√1-一x既是奇函数 综上可知，函数f(x)是奇函数」 又是偶函数， 答案A 4-x2≥0， 点评用定义法判断分段函数的奇偶性： (5)由 可得一2≤x≤2且x 3-x+31≠0 首先，要判断函数的定义域是否关于原点对 ≠0， 称.其次，如果其定义域关于原点对称，要分段 .定义城为[一2,0)U(0,2],关于原点对称 讨论，必须判断函数是否在每一段上都满足 由定义域可知 f(一x)=一f(x)或f(一x)=f(x),才能判定 4-F f(x)的奇偶性. f(x)=3-(x+3) 例④(2022·浙江名校联考)(1)已知函 又：f代-+f)=4+4Z=0, 数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有 f(a十b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数. f(一x)=一f(x),f(x)为奇函数 (2)设函数f(x)定义在（一m,m)(m>0) (6)f(x)的定义域为R,关于原点对称. 上，求证：f(x)十f(一x)是偶函数，f(x)一 又，f(-x)=|-x-2|-|-x十2 f一x)是奇函数. =|x+2-|x-2 点拨]对于(1)，因为对于任意实数a,b,都 =-(x-2-x+2) 有f(a十b)=f(a)+f(b),所以可令a,b为某 =-f(x), 些特殊值，得出f(一x)=f(x). f(x)为奇函数 证明(1)设a=0,则f(b)=f(0)十f(b), 例B(2024·景德镇重，点中学联考)已知 .f(0)=0. 2+1x0 又设a=一x,b=x, 函数f(x) 则( 则f(0)=f(-x)+f(x). 2x2-1,x<0. .f(-x)=-f(x). A.f(x)是奇函数 f(x)是奇函数. B.f(x)是偶函数 (2)由于x∈(-m,m), C.f(x)既是奇函数又是偶函数 因此也必有一x∈（一m,m). D.f(x)既不是奇函数也不是偶函数 可见，f(一x)的定义域是（一m,m). 解析函数的定义域为（一∞，0）U(0, 若设F(x)=f(x)十f(一x),G(x)=f(x) 十©)，关于原点对称。 -f(-x）, 则F(x)与G(x)的定义域也是（一m,m), 当x>0时，-x<0-x)=-2（-x 显然是关于原点对称的. 109 国避手册高中数学必修第一册（上）/A(浙江专用) 而且F(-x)=f(一x)十f(-(一x)= (a-4)x-4a, f(x)十f(-x)=F(x), f(-x)=(-x十a)(-x-4)=x2-(a G(一x)=f(-x)-f(-(-x) 4).x-4a, =f(-x)-f(x) 两式恒等，则a一4=0，即a=4. =-[f(x)-f(-x)] 方法二f(x)=(x+a)(x一4)=x2+ =-G(x), (a一4)x一4a,要使函数为偶函数，只需多项式 所以F(x)为偶函数，G(x)为奇函数， 的奇次项系数为0，即a一4=0，则a=4. 即f(x)+f(一x)是偶函数，f(x) 方法三根据二次函数的奇偶性可知，形 f(一x)是奇函数. 如f(x)=ax2十c的都是偶函数，因而本题只 ●变式1（多选）已知奇函数f(x)和偶函 需将解析式看成平方差公式，则a=4. 数g(x)的定义域和值域均为R.则下列函数中 (3)方法一因为f代x)是奇函数，f(一1)=0， 为偶函数的有( 所以f(-1)=-f1)=0,即1+1)0+@=0. A.f(x)g(x) B.f()g(z) 解得a=一1. C.f(g(x)) D.g(f(x)) 经检验，a=一1符合题意 题型2函数奇偶性的应用 方法二注意解析式中的分母为奇函数， 1.利用函数的奇偶性求参数值 因此，要使整个函数为奇函数，只需分子为偶 例同(1)若函数f(x)=a:x2十bx十3a十b 函数即可，由(2)中的方法二不难得到a=一1. 是偶函数，定义域为[a一1,2a],则a= 答案(1)号0.(2)4.(3)-1. 6- (2)若f(x)=(x十a)(x一4)为偶函数，则 2.利用函数的奇偶性求函数值 实数a= 例6(1)(2023·南昌期中)已知f(x) (3)(2022·上海期中)已知函数f(x)= x3+a.x3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于 (x十1)(x十a为奇函数，则a= x A.-26 B.-18 点拨这是一类已知函数的奇偶性，逆向 C.-10 D.10 探索参数的问题，对于这类问题可以根据定义 (2)(2024·广州二中月考)已知f(x)为奇 进行求解，但我们更提倡利用常见奇、偶函数 函数，g(x)=f(x)+9,g(一2)=3，则f(2)= 的特征来解决 解析(1)因为偶函数的定义域关于原点 3)设函数)=的最大值为 对称，所以a-1=-2a,解得a=3 M,最小值为m,则M十m= 点拨本题组的函数有一个共同的特征， 又函教f()=专2+x十b+1为二次函 即都是一个奇函数与一个常数的和的形态，我 数，结合偶函数图象的特点，易得b=0. 们可以利用奇函数图象中心对称的性质来解决 (2)方法一f(x)=(.x十a)(x-4)=x2十 解析](1)方法一令g(x)=x十az23十 110 第三章函散的概念与性质 bx,易知g(x)是R上的奇函数，从而g(一2)= f(x)= -g(2),又f(x)=g(x)一8. (3)(2023·长沙联考)已知函数f(x)= ∴.f(-2)=g(-2)-8=10, {x2十x,x≤0， .g(-2)=18 为奇函数，则a十b= ax+bx,x>0 ∴.g(2)=一g(-2)=-18. 点拨对于分段函数的奇偶性问题，只需 ∴.f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 按照对称性处理即可.注意(2)中需求出f(0). 方法二由已知条件得 [f(-2)=(-2)5+a(-2)3+b(-2)-8,① 解析（1)当x>0时，一x<0, f(2)=2+a·2+b·2-8, ② 则f(一x)=一x(一x-1)=x(x十1). 由①+②得f(2)+f(-2)=-16. :函数f(x)为R上的偶函数， 又f(-2)=10,∴.f(2)=-26. .f(x)=f(-x)=x(x+1). (2)易得g(2)十g(-2)=2X9,则g(2)= (2)当x<0时，-x>0,则f(-x) 15,于是f(2)=6. -2(-x)2+3(-x)+1=-2.x2-3x+1. (3)fx）=)=+1+2=2z 由于f(x)是R上的奇函数， x2+1 x2+1 1,其中8口)纤为寺画载根据其因象的 故f(x)=-f(-x), .f(x)=2x2+3.x-1, 对称性，函数f(x)的最大值与最小值的和 即当x<0时，f(x)=2.x2十3.x-1. M+m=2×1=2. f(x)为R上的奇函数，故f(0)=0. 答案(1)A(2)6. (3)2. 综上可知，f(x)的解析式为f(x) 色方法 -2x2+3.x+1,x>0, (1)已知f(x)=奇函数十M,x∈[-a,a], 0,x=0, M为常数，则 2.x2+3x-1,x0. ①f(x)+f(-x)=2M, (3)方法一当x>0时.一x0,f(-x) ②f(x）mx+f(x）m=2M. (-x)2+(-x)=x2-x. (2)若f(x)为奇函数，则g(x)=f(.x十Q) 又，f(x)为奇函数， 十b的图象关于点（一a,b)对称. 即g(x)十g(-2a-x)=2b, .f(x)=-f(-x)=一x2十x, (3)若f(x)为偶函数，则g(x)=f(x十a) 即a.x2+bx=-x2+x, 十b的图象关于直线x=一a对称，即g(x) .a=-1,b=1,则a十b=0. =g(-2a-x). (f(2)=-f(-2), 方法二 由题意知 3.利用函数的奇偶性求函数的解析式 f(1)=-f(-1), 例⑦(1)已知函数f(x)为R上的偶函 4a+2b=-2, 则 数，且当x<0时，f(x)=x(x一1)，则当x>0 a+b=0. b=1. 时，f(x)= 当a=一1，b=1时，经检验知f(x)为奇函 (2)f(x)为R上的奇函数，当x>0时， 数，故a十b=0. f(x)=一2x2+3x十1，则f(x)的解析式为 答案(1)x(x十1). 111 重避点手圆高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 2x2+3.x+1,x>0, 例9(2023·长沙高三一模)已知函数 (2)0,x=0 (3)0. f(x)是偶函数，其定义域为（一1,1），且在 2x2+3x-1,x<0. [0,1)上为增函数，若f(a一2)-f(4-a)<0, 点评事实上，对于分段函数的奇偶性问 则a的取值范围为 题，可以直接利用下述结论： 点拨本题主要考查利用函数的单调性和 f(x),x>0, 函数F(x)= 为偶函数； 奇偶性解不等式问题」 f(-x),x0 [f(x),x>0, 解析]，f(a一2)一f(4一a2)<0. 函数G(x)= 为奇函数 -f(-x),x<0 .f(a-2)<f(4-a2). (如果在原点处没有定义，可以补充x=0, 又：f(x)为偶函数，∴.f(x)=f(x). F(x)=G(x)). ∴.f(la-2|)<f(4-a2|). 题型3函数奇偶性与单调性的综合应用 又f(x)在[0,1)上为增函数 1.函数奇偶性与单调性的应用 0≤a-2<1. la-2<1, 例8(2022·惠州一中期中)如果奇函数 .0≤4-a21<1,即14-a|<1, f(x)在(0，十∞)上为增函数，且f(2)=0,则 |a-2<4-d2|,1<|2+a,a≠2. 不等式f)-f-D<0的解集为( 解得√3<a<2或2a<5. A.(-2,0)U(2,+∞) 因此，a的取值范围是(3,2)U(2,√5). B.(-o∞，-2)U(0,2) C.(-0,-2)U(2,+∞) 答案(w3,2)U(2,5) D.(-2,0)U(0,2) 点评解抽象不等式的问题时，一定要充 解析由函数f(x)为奇函数可知f(一x) 分利用已知条件，把已知不等式转化成f()> =-f代，因此)二f-<0可化为不等 f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据奇函数 x<0, 在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间 式3f0,故有)<0f)八0 上单调性相反，对于偶函数∫(x),有f(x)= 再由f(2)=0可得f(一2)=0.由函数 f(x),此题用到这个结论，避免了讨论.列出 f(x)在(0，十∞)上为增函数，可得函数f(x) 不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定 在（一o○，0）上也为增函数.结合函数f(x)的单 义城对参数的影响 调性和奇偶性可得示意图3.2.2-2，所求不等 ◆变式2(2024·衡水高三阶段练习)已知 式组的解集为{x一2<x0或0<x2}. f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时， f(.x)=3.x2-2x十m,则f(x)在[1,2]上的最大 值为(). A.1 B.8 C.-5 D.-16 图3.2.2-2 2.函数奇偶性与对称性的综合 答案D 例10(1)(2024·德州模拟)定义在R上 112 第三章函数的概念与性质收9 的函数f(x)在（一∞，2）上是增函数，且f(x十2) 阳方法 为偶函数，则( 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图 A.f(-1)<f(3) B.f(0)>f(3) 象关于原点对称.这一结论可以作如下推广： C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3) ①y=f(a十x)是偶函数台f(a十x) (2)(2024·天津新华中学月考)函数f(x) f(a一x)台f(x)的图象关于直线x=a对称； 的定义域为R,若f(x十1)与f(x一1)都是奇 f(a十x)=f(b-x)台f(x)的图象关于直线 函数，则( ）. 1对称， A.f(x)是偶函数 ②y=f(a十x)是奇函数台f(a-x)= B.f(x)是奇函数 一f(a十x)台f(x)的图象关于，点(a,0)成中 C.f(x)=f(x+2) 心对称 D.f(x十3)是奇函数 解析(1)因为f(x十2)为偶函数，所以其 3.函数性质的综合应用 图象关于y轴对称，由于f(x十2)的图象可由 例1①(2024·全国高一单元测试)已知 f(x)的图象向左平移2个单位长度得到，故 函数f(x)在（一1,1）上有意义，且对任意x, f(x)的图象关于x=2对称.因为函数f(x)在 (-1,1满足f)+f)=f》 (一○，2)上是增函数，所以在(2，十∞)上是减 (1)求f(0)的值，判断f(x)的奇偶性并证 函数，所以f(-1)=f(5)<f(3). 明你的结论 (2)函数f(x十1)是奇函数可以从两个方 (2)若x∈(-1,0)时，f(x)>0,判断f(x) 面来理解： 在（一1,1）上的单调性，并说明理由。 ①函数f(x十1)的图象是由函数f(x)的 图象向左平移1个单位长度得到的，f(x十1) (3)在(2)的条件下，若f(-2)-1,请问 是奇函数，则∫(x十1)的图象关于原，点对称，因 是否存在实数a,使得f(x)十f(a)+1≥0恒 此f(x)的图象一定关于点(1,0)成中心对称： 成立？若存在，给出实数a的一个取值：若不 ②函数(x十1)是奇函数，由奇函数的定 存在，请说明理由。 义知f(-x+1)=-f(x十1). 解析](1)令x=y=0,则f(0)十f(0)= 类似地，f(x一1)是奇函数等价于f(x)的 f(0),.f(0)=0. 图象关于点（一1,0）成中心对称，且有f(一x一1) 又令y=一x,则f(x)十f(一x)=f(0)=0, =-f(x-1). .f(一x)=一f(x),故f(x)为奇函数. 所以f(x+3)=f(x十2)+1) (2)Hx1,x∈(-1,1)且1<x2. -f(-(x+2)+1)=-f(-x-1)=f(x-1), 令x=1,y=一x2,则f(x1)十f(一x2)= 所以f(一x十3)=f(一(x一2)十1) f)f)=f2) -f((x-2)+1)=-f(x-1)=-f(x+3). 又x1x2∈(-1,1)，x1<x2, 即f(x十3)是奇函数。 答案(1)A(2)D a0.-a6>0,小n0 113 国避手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 而(1一)-(2一0)=1一2一(2一1) h(1)≤0， 则有 =(1-x2)(1十x1)>0, h(-1)≤0， ∴.x2-x<1-x1x2, 0<<1 (2-a)·1+2a-1≤0， l(2-a)·(-1)+2a-1≤0， -10. a≤-1. 又.a∈(-1,1)， >0,)-f>0, ∴.不存在实数a使得f(x)十f(a)+1≥0 f(x)在(-1,1)上为减函数 恒成立 (3)由(2)知，f(x)在（一1,1）上为减函数， 易错警示 且(-2)=1. ◆易错题20（错误幸42%）判断函数 ∴f2)=-1,ae(-1,1). x2+2x+3,x0, f(x)=3,x=0. 的奇偶性 .f(x)+f(a)+1≥0， -x2+2.x-3,x>0 “0≥》÷品2 ◆易错题21（错误率34%）已知函数 又，1十a.x>0,∴.2(x十a)≤1十a.x,即 f(x)=x+x-a|+1,x∈R,a为实数，判 (2-a)x十2a-1≤0在(-1,1)上恒成立. 断f(x)的奇偶性， 令h(x)=(2-a)x+2a-1, 参考答案见《全书易错题集》第5页 03-核心泰养聚焦。 雪向分类 设Fx)=9,那F()=F(x)+ 考向1函数奇偶性的判定 F(y),易得F(1)=0. 例12(2023·新高考全国I卷改编)（多 令x=y=-1,得F(1)=F(-1)+F(-1)= 选)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy) 0,则F(-1)=0. y2f(x)+xf(y),则( . 令y=-1.得F(-x)=F(x)+F(-1)= A.f(0)=0 B.f(1)=0 F(x),所以F(x)为偶函数. C.f(x)是偶函数 D.f(x)是奇函数 由y=x2为偶函数，得f(x)=xF(x)为 解析令x=y=0,得f0)=0,故A正确. 偶函数，故C正确. 令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即 答案ABC f(1)=0,故B正确. 例13(2021·全国乙卷)设函数f(.x)= 当xy≠0时，由f(xy)=yf(x)十 xf),得=f+f2 卡，则下列函数中为奇函数的是( xy 2 3y2 A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 114 第三章 函教的概念与性质么 C.f(x+1)-1 D.f(.x+1)+1 命题意图：考查函数的奇偶性及运算性质 命题规律 解折方法-fx-1D-1=二二D 真题探源：教材P84例6的拓展 1+x-1 常考题型 选填题难度系数0.8高考热度 ★★ 1=2一2工，不是奇函数，故选项A不符合题意； 核心素养 逻辑推理 素养水平水平二 :一1D+1=+1=是是诗画， 者向2函数奇偶性的应用 例1④(2018·全国I卷改编)设函数 故选项B符合题意：f(x+1)-1=1-(x十1山 f(x)=x十(a一1)x2十ax.若f(x)为奇函数， 1+x+1 则a= -1=千。己，不是奇函数故造项C不特合 解析方法一因为函数f(x)=x十(a 1)x2十x为奇函数，所以f(一x)=一f(x), 2 题意x+D+1=1=2不 1+x十1 所以（一x)3十(a-1)(一x)2十a(一x) 是奇函数，故选项D不符合题意.故选B -[x3+(a-1)x2+ax],所以2(a-1)x2=0. 方法二由)2-1计 因为x∈R,所以a=1. 方法二因为函数f(x)=x3十(a一1)x2十 1千x画出fx)的图象（如图3.2.2-3）.由图 2 ax为奇函数，所以f(一1)十f(1)=0,所以 -1+a-1-a+(1十a-1十a)=0,解得a=1. 可知，f(x)的图象关于点（一1，一1）对称，因而 方法三易知f(x)=x3+(a-1)x2+ 只需将(x)的图象向右平移1个单位长度得 a.x=x[x2+(a-1)x十a],因为f(x)为奇函 函数y=f(x一1)的图象，再将所得图象向上平 数，所以函数g(.x)=x2十(a一1)x十a为偶函 移1个单位长度，即可得奇函数y=f(x一1)十1 数，所以a一1=0，解得a=1. 的图象.故选B. 答案 1. 命题意图：考查函效奇偶性的应用 命题规律 真题探源：教材P86第11题的拓展应用 常考题型 选填题难度系数0.8高考热度★★★ 核心素养 数学运算 素养水平水平二 3 考向3函数对称性的应用 例15(2022·全国乙卷)已知函数f(x), 图3.2.2-3 g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2x)=5, g(x)一f(x一4)=7.若y=g(x)的图象关于直 易错警示运用图象平移变换时，要正确理 解与运用“左加右减，上加下减”的平移规律， 线x=2对称，g(2)=4,则 ∑f)=( 不要弄错方向 A.-21 B.-22 [答案B C.-23 D.-24 115令=+子因为x[1.2],所以1∈[2，号]，所以 又：f(x)在(0，+o∞)上是增函数， 令y=+21-2 ∴(m）)≥fmm. 所以，当=2时，=2+2X2-2=6,当1=号时， (m安)≥m+m 2 =(号）广+2x号-2= 4 C拓展拔高练 即fc=6e加-头 L当a>0时，fx)=装+是为对勾函数f)在 所以对任意，∈[1,2]，f八n)一f)≤f(x) (一©，一]上单测递增，在[-侣0)上单调递减， 所以对任意x,∈[1,2]，都有f(x)一f(x)≤ 在(o,]上单调递减，在[白，+)上单调递始。 当a<0时，f(x)=一 +x)在(-，0. 即4m-7m-1≥0，解得m≤-1或m≥， (0,十∞)上单调递减. 2.(1)若M=②，则显然有M二N: 所以实数m的取值范固是(-0，-1U[,十∞)。 若M≠，则对任意∈M,满足f()=, 12.(1)令m=n=1,由条件得f(1)=f(1)+f(1). 所以f((x)=fx)=x. 故∈N,所以M仁N. 所以f(1)=0. (2)M=N. (2fm)=f(·n)=f(四)+f 用反证法证明： 即f(g）=fm)-f. 假设M≠N,由(I)知二N,则必存在x∈N,但∈ M,因此f()≠x (3)任取x2∈(0，十oo),且x<,则>1. ①若f()>,由于f(x)为单调递增函数， 所以f(f(x)>f(x),即>f(),矛盾： 由(2)得f)-f)=f(货）>0. ②若f(x)<,由于f八x)为单调递增函数， 即f(x)>f). 所以f八f(x)<f(),即x<f八x),矛盾. f(x)在(0，十∞)上是增函数. 综合①②可知f(知)=1，因此∈M与假设矛盾， (4):f(2)=1,.2=f(2)+f(2)=f(4). 所以假设不成立，故M一N :fx十2)-f2x)>2,.fx+2)>f(2x)+f4), 3.2.2奇偶性 ∴.fx+2)>f(8.x). 变式训练答案 又，f(x)在(0，十∞)上为增函数， [变式1]ACD提示：A选项，令F(x)=f(|x)g(x, /x+2>&, F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=F(r). x>0, 解得0r号. A正确. 故不等式/+2》-2>2的解集为0<号} B选项，令F(x)=f(x)g(|x|),F(-x)= 5由题意得m十@-支/m. f(-x)g(-x)=-f(x)g(lx)=-F(x). 2 ∴F(x)为奇函数，故B错误. C选项，令F(x)=fg(x),.F(-x)=f(g(-x)= f(生)=[r(安)+f(生] f(g(x)=F(x),故C正确. =("）). D选项，令F(x)=g(f(x),F(-x)=g(f(-x) g(一f(x)=g(f(x)=F(x),故D正确. :(安Ψ)-mm=(2)≥0. [变式2]C提示：：f(x)是定义在R上的奇函数， f0)=0. ∴(")≥m(当且仅当m=n时取等号). 又：当x0时，fx)=3x2-2x十m, -32 .f0)=0=m,当x≤0时，f(x)=3.x2-2x .f(-x)=(-x)(-x+1),即-f(x)=-x(1-x), 设x>0,则-x<0,则f(-x)=3.x2+2x,则f(x)= 故当x>0时，f(x)=x(1一x). -f(-x)=-3x2-2x,即当x>0时，f（x)=-3.x2 1x-1≥0， 得x=1, 2x,,.f(x)在[1,2]上单调递减， 1.1)由1-20 .fx)在[1,2]上的最大值为f)=-5。 ∴函数f(x)的定义域为1，其定义域不关于原点对称 真题演练答案 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数， 1.当a=0时，)=士显然是奇函数： (2):f-x)=|-x(-x-1-|-x+1|) =x1(x+1-lx-11) 当a≠0时，f(1)=a+1,f(-1)=a-1,f(1)≠ =-fx). f(-1).且f1)+f(-1)≠0， f(x)为奇函数. 所以此时f(x)是非奇非偶函数. (3)x0时，一x>0,则 (2)设V<x,且，x2∈[1,2]， f(-x)=-(-x)2-x=-(x2十x)=-f(x), 则fn)-f)=a(n一)(n十n)+ 当x>0时，-x<0,则 TIT2 f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x) =(a-[am+)-】 综上所述，对Vx∈(-∞，0)U(0,+∞)，都有f(一x) -fx). 因为<x2,且∈[1,2]，且1<a<3, f(.x)为奇函数. 所以-<0,2<x十x<4,1<<4, 所aat)>0, B综合提能练 1.A 提示：由题可得f(一)=一工一-1，则f(一)十 所以f(1)-f()<0,即f(x1)<f(xe), 故函数f(x)在[1,2]上单调递增. f(x)=-2,所以f-a)+fa)=-2,则f-a)=-4. 2.B提示：因为奇函数的图象关于原点对称且在两个关 2.A提示：，fx+y)+f(x-y)=f(x)f(y), 于原点对称的区间上有相同的单调性，所以(x)在 令x=1.y=0得2f(1)=f1)f(0),.f(0)=2. [一7，-3]上是增函数，最大值为一5. 再令x=0得fy+f一)=2fy,fy)=f-y). f(x)为偶函数 3.B提示：n∈[，十oo)(m≠)，有)-） 2一 再令y=1得f(x+1)+f(x-1)=f(x), 0,,.f(x)在[1，十oo)上单周递减. .f(x+2)+f(x)=f(x+1),从而得f(x+2)= ,f(x十1)为R上的偶函数， -fx-1),fx-1)=-fx4),故fx+2)=fx-4), .f(-x+1)=fx+1). ∴f(x)=f(十6)，f(x)的周期为6. ∴f(x)的图象关于x=1对称（或f(x)的图象可由 又，f2)=f1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2) (x十1)的图象向右移1个单位长度得到，所以「(x) f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1, 的图象关于x=1对称).作出f(x)的大致图象如下： f5)=f-1)=f1)=1,f(6)=f(0)=2, ∴f1)+f(2)十f(3)+…+f(6)=0.由于22除以6 余，)=D+2+3)+4) 1-2-1=-3. 由图象知f(一2)<f3)<f1). 3.D提示：函数fx)在R上单调递减，且f1)=一1 4.B提示：，f(x)是定义在R上的奇函数且f(2)=0, .f-1)=-f1)=1. f(0)=0,f(-2)=-f(2)=0. 由-1≤f(x-2)≤1得-1≤x-2≤1， 又：f(x)在(0，十∞)上为减函数， 1≤x≤3. ∴可以画出f(x)的大致图象如图所示. 练习册答案 A基础过关练 1.C 2.C 3.C 4.ABD 5.B 6.x(1-x).提示：令x>0,则一x<0, -33象，并根据图象指出函数的值域。 间上单调”这两个概念 /x,-1<x<1, 正解由题意得y 误区19解抽象函数不等式时忽略定义域 一x,r<一1或x>1. 作出函数图象，如图所示 易错题19（错误率38%）已知y=f(x)在定义域（一1,1） 根据图象可知函数的值域为{yy≠1且y≠一1： 上是增函数，且f(t-1)<f(1一2)，求实数t的取值 范围 -1<t-1<1, 正解 依题意可得 -1<1-2<1,解得0<号 1-1<1-2t. 易错探因本题易错的地方是在化简函数式时，只考虑 即实数：的取值范围是40<<号。 了去掉绝对值的符号，而忽略了函数的定义域为{xx≠ 易错探因(1)利用单调性解抽象函数不等式：关于抽象 x,一1≤x1, 函数不等式的一般解答方法是利用单调性脱掉“”，注 士1}，从而得到y 其图象如图 -x,r<-1或x>1, 意定义域对自变量的限制。 所示.并且由图象可知，其值域为R (2)函数的单周区间是函数定义域的子集，故求函数的 单调区间时，必须先求函数的定义域，注意不要忽略此 步骤 误区20判断函数的奇偶性时忽略原点值 易错题20（错误率42%）判晰函数∫(x)= 误区18混淆“单调区间”和“在区间上单调” x2+2x+3,x<0, 3,x=0, 的奇偶性 易错题18（错误率42%）(1)(2024·四川南充适应性 -x2十2x-3,x>0 考试)若函数f(x)=x2+2(a一1)x十2的单调递减区 正解当x>0时，一0， 间是（一o∞，]，则实数a的取值范围是 f(一x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2-3)= (2)(2023·黄冈中学质量检测)若函数f(.x)=2+ -f(x). 2(a一1).x+2在区间（一∞，4]上单调递减，则实数a 当x<0时，-r>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x) 的取值范围是」 3=-(x2+2x十3)=-f(x). 正解(1)因为函数f(x)的单调递减区间为（一o∞，4]， 而当x=0时，f(0)=3≠-f(0). 且函数f(.x)的图象的对称轴为直线x=1一a,所以有 所以(x)既不是奇函数也不是偶函数， 1一a=4,解得a=一3. 易错探因本题易出现的错误是判断出对于定义域内的 (2)因为函数f(x)在区间（一∞，4]上单调递减，且函 每一个不为0的x,都有f(一x)=一f(x)成立，就得 数f八x)的图象的对称轴为直线x=1一a,所以1一a≥ 到f(x)是奇函数.事实上，当x=0时，f(0)= 4,解得a≤一3. 3≠一f(0). 答案(1){-3.(2)(-∞，-3]. 误区21未对参数进行分类讨论 易错探因单调区间是一个整体概念，比如说函数的单 调递减区间是I,指的是该函数单调递减的最大范围为 易错题21（错误率34%）已知函数f(x)=x2+|x 区间L.而函数在某一区间上单调递减（增），则指此区 a|十1，x∈R,a为实数，判断f(x)的奇偶性 问是相应单调递减（增）区间的子区间，因此我们在解 正解当a=0时，fx)=x2+x十1， 决函数的单调性问题时，不能混淆“单调区间”和“在区 f-x)=(-x)+|-x+1=x2+x+1=fx), 故函数f(x)为偶函数. 已知AB=a,BC=b(b<a),在AB,AD,CD,CB上分 当a≠0时，因为f(a)=a+1,f(-a)=a2+2la+1, 别截取AE,AH,CG,(CF都等于x,则当x为何值时， 显然，f(-a)≠士fa), 四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积 故此函数既不是奇函数也不是偶函数。 综上，当a=0时，f(x)为偶函数：当a≠0时，f八x)既不 是奇函数也不是偶函数. 易错探因本题易忽略参数：的不确定性，从而得到如 下错解： 正解设四边形EFGH的面积为S,划 因为x∈R,f(一x)=(-x)2十|一x-a十1=2+ x十a十1≠士f(x), S-Sm 故此函数既不是奇函数也不是偶函数 Som-Semma( 误区22未对底数进行分类讨论 s=ah-2[22+a-w-] 易错题22（错误率44%）若(a十1)寺<(3一2a)+,试 求实数a的取值范围。 即S=-2x+(a+b0x=-2(x-a+）'+a 8 正解：(a+1)+<(3-2a)寸， 由图形可知此函数的定义域为{x0x) a+1>0, a+1<0. 3-2a>0, .3-2a>0,或3-2a<0,或 0<b<a,∴0<a+b a+1<0, 2 1a+1>3-2a la+1>3-2a 解得号<a<或a<-1 若”中中.即u≤动， 故实数e的取值范围为(-©，-1DU(号，号)》 则当r一a十时，S取得最大值，且S=a士b 8 易错探因本题易产生如下错解： 若十b.即a>3弘.则Sx)在(0.上是增函数， 4 :a+1Dt<3-2a)+,a+1>3-2a,即>号 则当x=b时，S取得最大值，且Sx=ab一 故实数a的取值范围为（号，十∞）， 综上，当a≤3动，x=+时，四边形EFGH的面积最 4 事实上，由函数y=x专的奇偶性可知此函数的单调递 大.且Snn=(a+b)2 减区间有两个，即（一∞，0）和(0，十)，而并非在整个 8 定义域上单调递减.为了避免错误，应对底数进行分类 当a>3b,x=b时，四边形EFGH的面积最大，且 讨论. Sa=ab-∥. 误区23忽略实际问题中函数的定义域 易错探因本题易忽略函数的定义域从而得到错误答 易错题23（错误率28%）如图所示，在矩形ABCD中， 案：当x产时S有最大值，最大值为（口+b识 6