3.2.1 单调性与最大(小)值-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第三章函教的概念与性质么 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 重点和难点 课标要求 重点：函数的单调性。 1.理解函数的单调性和单调区间的概念、作用和实际意义 难点：增（减）函数的定义，利用增（减）函数 2.理解函数的最大值和最小值的概念、作用和实际意义. 的定义判断函数的单调性 01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1函数的单调性 1.增函数与减函数 罔敲黑板 对增函数与减函数 名称 增函数 诚函数 定义的理解 般地，设函数f(x)的定义域为 一般地，设函数f(x)的定义域为 1.“定义战I内某个区间 I,区间DC1: 1,区间DC1: D”即说明函数的单调区间是 如果Hx1,x2∈D,当1<x2时， 如果Hx1x2∈D,当x1<2时， 其定义域的子集 都有f(x)<f(x),那么就称函都有f(x)>f(x2),那么就称函 2.增、减西数定义中的 定义 数f(x)在区间D上单调递增. 数f(x)在区间D上单调递减. x,x有三个特征：一是任意 特别地，当函数f(x)在它的定义特别地，当函数f(x)在它的定义 性，即不能用特殊值代替，“任 域上单调递增时，我们就称它是 域上单调递减时，我们就称它是 意取1，”中的“任意”两字 增函数 减函数 绝不能丢掉：二是有大小，通 常规定<2；三是同属于一 y=x)/f) 、f》 图形 yfx》 个区间，三者缺一不可 表示 ) 7x) 3.自变量取值之间的不等 0名主 关系和函数值的不等关系正逆 几何 函数f(x)的图象在区间D上从 函数(x)的图象在区间D上从 互推，即若∫(x)是增（减）函 意义 左到右是上升的 左到右是下降的 数，则f(1)<f(2)台x1< x(x1>x2). 2.单调性与单调区间 4.若对于区间D内任意 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说 的x1,2(≠x),都有 函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y= fx)=fx)>0(或(x1 一xg f(x)的单调区间. x2)(f(x1)-f(x:)>0)成 3.单调区间的书写 立，则f(x)在D内单调递增 (1)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用 这是因为当x1>x时， -x2>0,所以f(x1)一 “U”而应该用“和”或“，”来连接，如函数y=二在区间（一©©，0）和 f(:)>0,即f(x1)>f(. 91 重避点手细高中数学必修第一册（上）尺A(浙江专用) (0,十∞)上均为减函数，但不能说它在定义域（一∞，0）U(0, 类似地，若f）-fx)<0 十o∞)上是减函数. (或（知一x)(f代）一fm)0) (2)书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的 成立，则f(x)在D内单调 规定.习惯上，若函数在区间端点有意义，则写成闭区间，当然写 递减。 成开区间也可以：若函数在区间端点没有意义，则必须写成开区 已划重点 间.例如对于函数y=x,它的一个单调递减区间可以写成 对函数单调性的理解 （一，0)，并且此区同又可以写成（一，0]：而对于函数y=之 1,单调性是与区间紧密 相关的概念，对于一个函数来 它的单调递减区间只能写成（一o∞，0）和(0，十∞). 说，它在某个区间上可能有单 4.常见函数的单调性 调性，也可能没有单调性。例 如函效y=x十x,它在区间 函数 单调性 (一○，0]上没有单调性，而在 一次函数y=a.x十ba>0时，在R上单调递增： [0,十)上是单调递增函数. (a≠0) a<0时，在R上单调递减 同一个函数在某个区间 上可能单调递增，而在另外一 反比例函数y= a>0时，单调递减区间是（一∞，0）和(0，十c∞)： x 个区间上可能单调递减，例如 (a≠0) a<0时，单调递增区间是（一o,0)和(0，十o∞） 函数y=x,它在区间（一∞，0们 a>0时，单调递减区间是（一∞，m],单调递增区间 上是单调递减的，而在[0，十0) 二次函数y=a(.x 是[m,十o∞)： 上是单调递增的. m)2+n(a≠0) a<0时，单调递减区间是[m,十©)，单调递增区间 2.有的函数不具备单调 是（一oo,m] 1,x为有理数， 性.如函数y= 0,x为无理数， 对勾函数y=x十上 单调递减区间是(0，w灰)： 它的定义域为R,但它不具备 (k>0,x>0) 单调递增区间是(w下，十∞) 单调性：再如函数y=x十1， x∈Z,它的定义拔不是区间， 双曲函数y=T十 ax+b 有（一，一台），（一名+∞）两个单调区间，单调性 也不能说它在定义域上具有 (a≠0，b≠ad) 可借助图象判断 单调性， 知识点2函数的最值 P作比较 名称 定义 几何意义 函数的最值和值域的 联系与区别 般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如 1.联系：函数的最值和值 函数的 果存在实数M满足： 函数的最大值对 最大值 (1)对于任意的x∈I,都有f(.x)≤M: 应图象最高点的 城反映的都是函数的整体性 (2)存在x∈1，使得f(xa)=M. 纵坐标 质，针对的是整个定义城 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值 2.区别： (1)函数的值域一定存 般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如 果存在实数m满足： 函数的最小值对 在，而函数的最大（小）值不一 函数的 (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥m: 应图象最低点的 定存在 最小值 (2)存在u∈I,使得f()=m 纵坐标 (2)若函数的最值存在， 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值 则一定是值域中的元素，例 92 第三童函教的概念与性质么出0 如，函数f(x)=x2对任意的 重难拓展 x∈R,都有f(x)≥一1，但是 重难点1函数单调性的运算性质及复合函数的单调性 f(x)的最小值不是一1，因为 1.函数单调性的运算性质 一1不在f(x)的值域内. 若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性，则在区间【上具 (3)若函数的值域是开区 有以下性质： 间，则函数无最值：若函数的 值域是闭区间，则闭区间的端 (1)f(x)与f(x)十C(C为常数)具有相同的单调性， 点值就是函数的最值 (2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a·f(x)具有相同的 [注意]函数的最大（小） 单调性；当a<0时，f(x)与a·f(x)具有相反的单调性 值是与函数的值域、单调性紧 (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时， 密相连的，所以求函数的最大 f(x)与&2具有相反的单调性：当a<0时，fx)与0具有相 (小)值时要考虑函数的单调 性，并结合求值域的方法进行 同的单调性 求解 (4)若f(x)≥0，则f(x)与√f(x)具有相同的单调性. (5)在f(x),g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(r) g(r) f(r)+g(x) f(x)-g(r) 增函数 增函数 增函数 不能确定单调性 增函数 减函数 不能确定单调性 增函数 减函数 减函数 减函数 不能确定单调性 减函数 增函数 不能确定单调性 减函数 (6)当(x),g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则 f(x)g(x)也是增（减）函数：若两者都恒小于零，则f(x)g(x)是 减（增）函数， 2.复合函数单调性的判定 对于复合函数f(g(x),设1=g(x)在(a,b)上是单调函数 且y=f(t)在(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上也是单调函数，那么 f(g(x)在(a,b)上的单调性如下表所示： t=g(x） y=f() y=f(g(x)) 增函数 增函数 增函数 增函数 诚函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 记忆口决为“同增异减”。 若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的 单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个，则 93 国避食手细高中教学必修第一册（上）PA(浙江专用) 这个复合函数为增函数：若减函数有奇数个，则这个复合函数为 P拓视野 减函数， 两个单调区间之间不能 例口函数(x)=x一上的单调区间为 用并集符号.如例1，若写成 (-∞，0)U(0,十∞)，则代表 解析函数f(x)的定义域为（一o©，0）U(0,十o○)，且当x∈ f(x)在整个定义拔内为增函 (0,十6∞)时，y=x和y=一1均单调递增， 数.而事实上，如图3.2.1-1 x f(x)在整个定义域内不是增 所以f(x)=x一1在(0，十o∞)上单调递增. 函数 同理可得f(x)=1一 在（一○，0）上也单调运增，。 答案（一0∞，0）和(0，十∞). 例B判断函数八x)=名x∈[2,6]的单调性 图3.2.1-1 丽面画数)=马可分解为函数y一品和通载u= 1,其中x∈[2,6]，u∈[1,5]，显然函数u=x一1在x∈[2,6]上单 调递增，且w>0恒成立，则函数y=2在u∈[1,5]上单调递减， 图3.2.1-2 由复合画数的性质知，画数)吕在[2,6]上单调运减。 那么什么时候可以用并 集符号呢？如图3.2.1-2，函 重难点2对勾函数的图象及其应用 数f(x)在（一oo,1)和(2， 十∞)上均为增函数，且f(1)< 对勾函数又称双勾函数、勾函数、耐克函数.对勾函数y=ax十 f(2).由此可知，在（一∞，1）U (4>0,>0)的图象如图3.2.1-3，由图可得对勾函数的有关性 (2,十∞)内，对于任意的2> x,有f(x)>f(x),此时可 质如下： 以说f(x)在（一∞，1）U(2. (1)定义域：{xx≠0. 十∞)上为增函数. (2)值域：{yly≥2√ab或y≤-2vab. ③)单测性：在区间-，√臣]儿，原+上为增函数。 在区间-√吾o,0√后]上为诚函数 2a6 图3.2.1-3 94 第三章函数的概念与性质收9 对勾函数的图象： 1)y=ax+b(a>0,b0),如图3.2.1-4(a). (2y=a+(a<0,b>0),如图3.2.1-4(b. (3)y=ax+b(a<0,b<0),如图3.2.1-4(c. (b) 图3.2.1-4 刚B已知函数fr)=+2r+ax∈[1，十oo. (1)当a=4时，求f(x)的最小值， (2)当a=2时，求f(x)的最小值. (3)若a为正常数，求f(x)的最小值. 解析(1)当a=4时，f(x)=x十4+2，易知f(x)在[1,2]上 卫提个醒 是减函数，在[2，十o∞)上是增函数.故f(x)mm=f(2)=6. 对勾函数求最值时，若等 （2)当a=号时，f)=x+2+2:易知)在[1，十o∞)上 号能成立，利用基本不等式： 为增画数放》m=f)=子 若等号不成立，利用对勾函数 的单调性.若参数对单调性有 (3)函数f(x)=x+a+2在(0，Na]上是减函数，在[Va 影响，要加以讨论 十©∞)上是增函数。 当va>1,即a>1时，f(x)在区间[1，十∞)上先减后增， f(x)mm=f(wa)=2√a+2: 当√a≤1，即0<a≤1时，f(x)在区间[1，十oo)上是增函数， f(x)mm=f1)=a+3. 重难点3函数最值的求法 1.配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数， 要特别注意自变量的取值范围， 2.判别式法：主要适用于可化为关于x的二次方程a(y)x2十 b(y)x十c(y)=0的函数y=f(x).由△≥0且a(y)≠0求出y的 最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x值. 95 国避食手细高中数学必修第一册（上）RA(浙江专用) 3.换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围， 4.数形结合法：对于图象较容易画出的函数，可借助图象直 观求出其最值， 5.利用函数的单调性求最值：要注意函数的单调性对函数最 值的影响，特别是闭区间上函数的最值。 6.利用基本不等式求最值. 例4(2024·太原高一测试)已知函数g(x)=(2x-a)2 (2.x-a)+1(-1≤x≤1)，求g(x)的最小值h(a). g)=[2z-(a+号)订+圣，对称轴为x=20 当-1<2a<1,即一号<a≤时g)m=g2生）=是 当2u>1,即a>号时，gxm=g1)=d-3a+3, 4 当2中<-1，即a<一号时，g)=g-1D=d+5a+7. 口+u+7aK-昌 3 故h(a)= 8<a< a2-3a+3.a>2. 点评求二次函数在区间[m,]上的最值时，应看对称轴是 在区间[m,]内还是在该区间的左边或右边，要根据对称轴位置 的不同，由二次函数的图象求出函数的最值. 02关键能幼提升-。 题型方法 =一2 题型1用定义证明函数的单调性 VI+VI 例5(2023·青岛高一联考)利用函数单 ,0≤1<x2, 调性的定义，证明函数f(x)=√云在区间[0， .x1x2<0,√十x2>0,从而知 十∞)上是增函数. f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 证明任取，x∈[0，十oo),且x<r2, 故函数f(x)=√x在区间[0，十o∞)上是增 则f(n)-f(x2)=√-√ 函数 =(-2)(①十2) 点评作差后利用分子有理化进行变形是 √x1+Vx2 解题的关键 96 第三童函敬的概念与性质么组 例G(2022·黄冈中学等八校高一联考) C.f(x)=2.x D.f(r)=1 判断函数f(x)=x十(k>0)的单调性， 解析公式法根据一次函数、二次函数 解析任取x1,x2∈(0，十c○)，且x1<x2: 和反比例函数的单调性可知，(x)=1在 到)-f）=+会-+） (-n)十k0）=(6-)..(￥) (0,+∞)上为减函数fx)=2-3x在(0,2] x12 当1，x2∈(0，Vk)时，0<1x2<k,x1 上为减函数，在[，十)上为增函数f) x2<0, 2x在(0，十∞)上为增函数.又y=1与y=一x 所以(*)式大于0，即f()-f(x2)>0, 所以f(x2)<f(x), 在(0，十e∞)上都为减函载，故f)=是-x在 即f(x)在(0，wk)上是减函数： (0,十∞)上为减函数. 当x1,x2∈[WE,十∞)时，x2>k,x 答案AD x2<0, 所以（￥）式小于0，即f()一f(x2)<0, [点评利用已研究过的基本初等函数（现 所以f(x2)>f(), 阶段指一次函数、二次函数和反比例函数)的 即f(x)在[k,十o∞)上是增函数。 性质直接得出函数的单调性（或单调区间）的 同理可得，当x∈（一√，0）时，f(x)=x十 方法，称为公式法 上是减函数： 公式法也包括利用“增十增=增”“增一 减一增”这些结论来判断函数的单调性 当x∈(-o0,-V及]时，f(x)=x+是增 例8(2023·潍坊三县市高一期中联考) 函数 (1)求函数f(.x)=一x2+2x+3的单调 综上所述，x)=x+(>0)在（一0， 区间 (2)求函数f(x)=|x2一x一12的单调 一√k]和[V,十∞)上是增函数，在（一√k,0)和 区间. (0,√E)上是减函数 点拨“脱”去绝对值符号，变为分段函数， ◆变式1证明函数f(x)=一x十1在 画出函数图象，从图象上观察出函数的单调 (一∞，十∞)上为减函数. 区间 题型2函数单调性的判断及单调区间的求解 解析（门）图象法 求函数的单调区间的常用方法有：定义法 -x2十2.x十3(x≥0)， (见例5、例6)、图象法、公式法（见例1）、复合 f(x)= -x2-2x+3(x<0) 函数法（见例2）. 例☑(2024·浏阳阶段性测试)（多选）下列 -(x-1)2+4(x≥0)， 【-(x+1)+4(x<0). 四个函数中，在(0，十∞)上单调递减的是(). 如图3.2.1-5所示，易知函数的单调递增 Af)=是-x B.f(x)=x2-3x 区间是（一∞，一1]和[0,1]，单调递减区间是 97 国避食手细高中数学必修第一册（上）RA(浙江专用) [-1,0]和[1，十∞). 变式2求函数y=|x十1川+x-21的单 调区间. 题型3函数单调性的应用 1.函数单调性的可逆性 -3-2-10123 例10(1)(2024·江苏新海高级中学高 图3.2.1-5 图3.2.1-6 一期中)若二次函数f(x)=a.x2十(a十6)x一5 (2)图象法 在区间（一©，1）上为增函数，则a的取值范围 x2-x12(x≤-3或x≥4)， f(x)= 为 -x2+x十12(-3<x<4). (2)(2023·武汉二中周测)已知函数f(x)= 如图3.2.1-6所示，易知函数的单调递增 (a-3).x+a+2,x<1, 区间是[-3，号】，[4，十o∞)，单调递减区间是 在R上单调递减，则实 -a.x2+x,x≥1 (-,-31.[24 数a的取值范围为( 例9对于任意实数1，x2,min{x1,x2}表 A.(0,3) [2 示x,x2中较小的那个数.若f(x)=2一x, g(x)=x,则min{f(x),g(x)}的单调递增区间 c[) D(层3) 为 醇新()当a<0时，-a,+61, 2a 解析图象法在同一平面直角坐标系 解得a≥一2，所以一2≤a<0. 中，分别作出f(x)=2x,g(x)=x的图象， 当a>0时，不满足条件. 由2一x2=x求出两图象交点的横坐标为一2 和1.一2和1将x轴分成三段，在每一段图象 综上可知，a的取值范图为[一2,0) 上，下方的图象便构成了函数min{f(x), (2)因为函数f(x)在R上单调递减， g(x)}的图象 a-3<0, 令h(x)=min{f(x),g(x)},则h(x)的图 a>0. 象如图3.2.1-7所示 21. 解得号<<3. g(x)=x 2a-1≥-a+1, 即a的取值范图是[导3)。 答案(1)[-2,0). (2)C r）=2-x 图3.2.1-7 点评若函数在R上是增函数，则它在定 由图象可知h(x)的单调递增区间为 义域内的每一个区间上都是单调递增的.求分 (-o∞，1] 段函数的单调性时，要先部分后整体，同时注 答案（一0∞，1]. 意分段点处的函数值大小 98 第三章函散的概念与性质么组 ◆变式3(2024·复旦大学附属中学高 例1☑(2023·绍兴第一中学模拟)定义 x2+1,x≥1， 在（一1,1）上的减函数f(x)满足f(1一a)< 月考)若函数f(x)= 在R上是 a.x-1,x<1 f(a2一1)，求实数a的取值范围 单调递增函数，则实数a的取值范围是 点拨]利用减函数的定义构造不等式组求 ◆变式4(2019·华大新高考联盟考试) 解即可。 若函数f(x)=2x-a十3在区间[1，+o∞)上 解析'f(x)在区间（一1,1）上是减函数， -1<1-a<1. 不单调，则实数a的取值范围是( ）. 且f1-a)<f(a2-1),.-1<a2-1<1, A.[1,+∞) B.(1,+∞) 1-a>a2-1. C.(-0∞，1) D.(-co,1] 0a<2, 2.利用单调性比较大小 解得 -√2<a<0或0<a<2, 例①(2024·天津武清区高一联考)如 -2<a<1. 果函数f(x)=-x2十bx十c对任意的实数x .0a<1. 都有f(2+x)=f(2-x),试比较f(1),f(2), 故所求实数a的取值范围是(0.1)。 f(4)的大小 点评利用函数的单调性解抽象不等式， 点拨利用函数的单调性比较函数值的大 先把不等式变形为f(A)>f(B),然后利用单 小时，先将自变量转化到函数的同一个单调区 调性“脱”掉“”，要特别注意∫(x)的定义域对 间上，再根据函数的单调性进行比较，最后写 A与B的限制. 结果时再还原回去. 3.抽象函数单调性问题 解析函数f(x)=一x2十bx十c对任意 例13(2024·厦门调考)函数f(x)对任 的实数x都有f(2十x)=f(2-x), 意的a,b∈R,都有f(a十b)=f(a)+f(b)-1, ∴.-(2+x)2+b(2+x)+c=-(2-x)2+ 并且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数 b(2-x)十c,解得b=4, (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m一2) ∴.函数f(x)=一x2十bx十c图象的对称 <3. 轴为直线x=2,即有f(1)=f(3). -1<0, 解析(1)设x1,x2∈R,且x<x2, 则x2一x>0,∴.f(x2一x)>l. .函数f(x)=一x2十b.x十c图象的开口 .f(x2)-f(x1) 向下，且f(x)在[2，十∞)上单调递减. =f(.x2-x1)十x1)-f(x1) 又.23<4，.f(2)>f(3)>f(4), =f(x2-1)+f(x1)-1-f(x1) 即f(2)>f(1)>f(4). =f(x2-x1)-1>0. 点评由函数满足对任意的实数x都有 f(x)<f(x2). f(2十x)=f(2一x),可得函数图象的对称轴为 ∴.f(x)是R上的增函数. 直线x=2.一般地，函数f(x)对任意的实数x (2)对任意的a,b∈R,都有f(a十b)= 有f(b十x)=f(b一x)曰函数图象的对称轴为 f(a)+f(b)-1, 直线x=b. .f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, 99 国避食手细高中数学必修第一册（上）RA(浙江专用) .f(2)=3. ②当≤-1<t+1,即一2<t≤-1时， ∴.f(3m2-m-2)<3=f(2). f(x)m=f(-1)=-6. ,f(x)是R上的增函数， ③当t>-1时，f(x）m=f(t)=+21-5. 3m-m-2<2,解得-1m< 2+41-2,t≤-2， 综上可得，f(x)in= 6,-2<t≤-1， ◆变式5(2024·广西梧州高一练习)已 2+21-5,>-1. 知f(x)是定义在区间(0，十∞)上的增函数，且 f(）-fx)-f),2)=1,解不等式fx) (2中中=+2 2 -f是3)≤2 ①当-1<1+2：即≥-多时， f(x)mx=f(t+1)=t+4t-2. 题型4函数的最值 1.二次函数的最值 ②当-1叶2甲1K一号时， 例14求函数y=2.x一√x一1的最值 f(x)mx=f(t)=t2+2t-5. [点拨令√x一1=t(t≥0)，利用换元法转化 +21-512, 为求关于t的二次函数在区间[0，十○)上的最值 综上可得，f(x)mmx= 解析令t=√x-1(t>0),则x=+1, r+41-2,≥- 2 y=2r-+2=2-4)+8 点评函数y=a.x2十bx十c(a>0)在区间 [m,](n>m)上的最大值是f(m)还是f(n), :≥0，当1=1时ym= 15 取决于对称轴x=一。 与x=m和=n之间 函教y=2-V的最小值为尽无 的距高，所以只需分一品>≥”和一品< 最大值 例1已知fx)=x2+2x-5,x∈[t,t+1], ”士两种情况 求f(x)的最大值和最小值， 2.对勾型、分式型函数的最值 解析如图3.2.1-8，函数f(x)的图象的 例四1)函数y=中的值坡是 对称轴为x=一1. (1)①当十1≤一1，即≤一2时， f(x)m=f(t+1)=(t+1)2+2(t+1) (2)函数y=26(x≥3)的值域是 x+1 5=2+4t-2. 解析(1)令t=x一1(t≠0)，则x=t十1， y=+1)+2+1)+6=+4+9=1+9 十4，此函数在(0,3)，（一3,0）上单调递减，在 (-∞，一3)，(3，十∞)上单调递增. .函数的值域为（一∞，一2]U[10,十o∞. 图3.2.1-8 (2)令x+1=1(t≥4)， 100.fs(x)=x=-1土2. 调，则a>l.故选B. 2.f(.x)=x2-53x+196+lx2-53.x+196 [变式5]1 f()=f)-f, =(.x-4)(.x-49)+1(.x-4)(x-49). 当4≤x≤49时，(x-4)(x-49)≤0，此时f(.x)=0. (号)+0=f. 因此f1)十f(2)+…+f(50)=f1)十f(2)+f(3)+ ,f(2)=1,.2=2f(2). f(50)=2×(144+94+46+46)=660. 令y=2,正=2，∴x=4 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 .f(2)+f(2)=f(4)=2. 变式训练答案 则不等式可转化为x)-(二3)≤()。 [变式1]设x是（一∞，十o∞）上的任意两个实数， 且<2，侧有 f(x(x-3)). f(.m)-f(x)=(-x+1)-(-x+1) =一x ∴.f(x(x-3))f(4). =(x一x)(x十n十x) :f(x)是定义在(0，十∞)上的增函数， =-[(+n)）'+] x(x-3)≤4，-1≤≤4. ∴.不等式等价为x>0, 即x>0, h<rg x-3>0, x>3, a->0.(+）+是>0. .3<r≤4. -[(+7）广+是]小>0， ∴不等式的解集为(3,4幻. 真题演练答案 即f(n)-f()>0,即f(x)>f(). 1.B提示：对于函数y=(x一1)严，显然定义域为R,但在 .函数f(x)=一x十1在（一oo,十∞）上为减函数. (一0∞，1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增。 -2x+1,x≤-1. 对于函数y=x,显然定义域为R, [变式2]y=x+1川+|x-21=3,-1<x≤2. 令y=f（x)=2,任取，∈R,且<2， 2xr-1,x>2. f（)-f()=x-z=(一x)(+x1n十x) 作出函数的图象如下： a-)[(+n)）+是]<0，即f)< ∫(x),故函数y=x在R上单调递增. 函数y=的定义域为(-0,0)U(0,十∞)，且在区 间（一∞，0），(0，十∞)上单调递减. 由图象可知，函数的单调递减区间为（一，一1门，单调 对于函数y=x,显然定义域为R,但在（一©，0）上单 递增区间为[2，十∞). 调递减，在(0，十∞)上单调递增. [变式3](0,3].提示：分段函数的单调性应先分段再 2.B提示：因为f(x)是R上的增函数，又a>1,所以当 综合考虑.因为八x)在R上是单调递增函数，所以在 x>0时，fx)<f(ax),即g(x)<0:当x=0时，f(x)= (-o∞，1)上也是增函数，故a>0.设y=ar-1,x∈ f(ax),即g(x)=0:当x<0时，f(x)>f(a.x),即 (-o∞，1)，因为a>0,故y<a-1.而y=x+1(x≥1) 1,x>0, 是增函数，且ym=1+1=2,故只需a一1≤2即可， g(x)>0.由符号函数sgn(x) 0,x=0,知， 求得a3.所以0<a3. -1,x<0 [变式)B提示：易知函数f(x)=2x一a+3的单 -1.r>0, 调递增区间为[a,十o∞)，单调递减区间为（一∞，a]. gm(g(.x))= 0,x=0,=一sgn(x）. 因为函数f(x=2引x一a+3在区间[1，+o上不单 1,x0 -29 1x2+2x十a-2,x≤0， 3.[日2]提示：由)=-2+2x-2a,>0 对 综上所述，M一m与a有关，但与b无关 练习册答案 任意x∈[一3，十∞)，f(x)≤x恒成立， A基础过关练 ①当-3≤x≤0时，x2+2r+a-2≤-x,即a≤-x2 1.BCD 2.B 3.D 3x+2.故a≤(-x2-3x十2)m.又y=-x2-3r+2= 4.(0,十o©).提示：由于f(x)是R上的增函数，且f(x2十x》 -(+受)广+号在[-3，-受]上单调递增，在 >f(x-a),所以x2十x>x-a,即x2>-a对一切x [一20]上单调递减当=-3时y=2:当x=0时， 都成立，则a>0. 5.(1)[-3,0]和[2,5]为单调递增区间：[-5，-3]， y=2.从而ym=2,故a≤2. [0,2]和[5,8]为单调递减区间. ②当x>0时.-x+2x-2a≤x,所以2a≥-x+r, (2).x∈[-5,0]时，fm(x)=f(-3)=-2.5,fm(x)= 2a>≥(-2+x).又y=-2+x=-(x-号）+ f(0)=2: 在0，十o)止的最大值为}故>司 x∈[-5,8]时，fm(x)=f(-3)=-2.5,f(.x)= f(5)=3. 综上所述a的取值范围是[名2] 6.(1)函数f(x)的定义城为（一o∞，十∞）. 4各. 提示：函数f(x)=a.x2一x 任取1∈（一o∞，十o∞），且x<2,则 f()-f)=√+1-√+I-(2-1) ∴.ft+2)-f(t)=[a(1+2)3-(t+2]-(a-t) 6a+12a1+8a-2.存在1∈R,使得|f(1+2)-f(1)川 - -(x-x1) √+1++I =(-).+）-+-+曰 即存在1eR,使得号<6af+12al+u<号成立. √干1+V√x+1 又3r+61十4=3(1+1)+1>0， =(m-).二V++(-V5+D +1+√+I 2 4 六3(3r+6+D<a≤3(3+61+雪有解 :对任意x∈R,都有+I>√x=x≥x, 要求实数a的最大值，即求3(3十6十D的最大值。 ∴-√+I<0,-√+I<0, 故(x-√+1)+(x-V√+1)<0. 令g(0=3(3E+6t+4D) 9[++】 又，>x,.-x>0,+1+√+I>0, 由复合函数的单调性知g)一g(一1)=4 4 ∴f(x2)-f(x)<0,即f（)<f(). 31 ∴.f(x)=√+I一x在其定义域R内单调递减 (2)由(1)知f(x)在R上为减函数， ∴·(x)在[一1,2]上也为减函数， 5B提示：函数可转化为代)=(+号）一号+b ∴f(.x)的最小值为f(2)=5-2,最大值为(-1)= ①当0K-号≤1时，m=m=(-号）=-牙+b, √2+1 B综合提能练 f(z)m=M=max(f(0).f(1))=max(6,1+a+6), 1.B 放M-m=mx气，l十a+写}与a有关，与b无关 2.C提示：对于命题@，设x>x4,则f()>f(), ②当-号<0时，f)在[0,1门上单调递增， g()<(x1),-g()>-g(m),∴f(r) g(,)>f()一g(n),放f（.x)一g(x)单调递增，命题 故M-m=f1)-f0)=1十a,与a有关，与b无关 ②正确： ③当-号>1时，f(x)在[0,1门上单调递减， 对于命题③，设>，则f()<f(),g(x)> 故M-m=f(0)一f(1)=-1一a,与a有关，与b无关 g(x),.-g(x)<一g(),f(x)一g()< -30象，并根据图象指出函数的值域。 间上单调”这两个概念 /x,-1<x<1, 正解由题意得y 误区19解抽象函数不等式时忽略定义域 一x,r<一1或x>1. 作出函数图象，如图所示 易错题19（错误率38%）已知y=f(x)在定义域（一1,1） 根据图象可知函数的值域为{yy≠1且y≠一1： 上是增函数，且f(t-1)<f(1一2)，求实数t的取值 范围 -1<t-1<1, 正解 依题意可得 -1<1-2<1,解得0<号 1-1<1-2t. 易错探因本题易错的地方是在化简函数式时，只考虑 即实数：的取值范围是40<<号。 了去掉绝对值的符号，而忽略了函数的定义域为{xx≠ 易错探因(1)利用单调性解抽象函数不等式：关于抽象 x,一1≤x1, 函数不等式的一般解答方法是利用单调性脱掉“”，注 士1}，从而得到y 其图象如图 -x,r<-1或x>1, 意定义域对自变量的限制。 所示.并且由图象可知，其值域为R (2)函数的单周区间是函数定义域的子集，故求函数的 单调区间时，必须先求函数的定义域，注意不要忽略此 步骤 误区20判断函数的奇偶性时忽略原点值 易错题20（错误率42%）判晰函数∫(x)= 误区18混淆“单调区间”和“在区间上单调” x2+2x+3,x<0, 3,x=0, 的奇偶性 易错题18（错误率42%）(1)(2024·四川南充适应性 -x2十2x-3,x>0 考试)若函数f(x)=x2+2(a一1)x十2的单调递减区 正解当x>0时，一0， 间是（一o∞，]，则实数a的取值范围是 f(一x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2-3)= (2)(2023·黄冈中学质量检测)若函数f(.x)=2+ -f(x). 2(a一1).x+2在区间（一∞，4]上单调递减，则实数a 当x<0时，-r>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x) 的取值范围是」 3=-(x2+2x十3)=-f(x). 正解(1)因为函数f(x)的单调递减区间为（一o∞，4]， 而当x=0时，f(0)=3≠-f(0). 且函数f(.x)的图象的对称轴为直线x=1一a,所以有 所以(x)既不是奇函数也不是偶函数， 1一a=4,解得a=一3. 易错探因本题易出现的错误是判断出对于定义域内的 (2)因为函数f(x)在区间（一∞，4]上单调递减，且函 每一个不为0的x,都有f(一x)=一f(x)成立，就得 数f八x)的图象的对称轴为直线x=1一a,所以1一a≥ 到f(x)是奇函数.事实上，当x=0时，f(0)= 4,解得a≤一3. 3≠一f(0). 答案(1){-3.(2)(-∞，-3]. 误区21未对参数进行分类讨论 易错探因单调区间是一个整体概念，比如说函数的单 调递减区间是I,指的是该函数单调递减的最大范围为 易错题21（错误率34%）已知函数f(x)=x2+|x 区间L.而函数在某一区间上单调递减（增），则指此区 a|十1，x∈R,a为实数，判断f(x)的奇偶性 问是相应单调递减（增）区间的子区间，因此我们在解 正解当a=0时，fx)=x2+x十1， 决函数的单调性问题时，不能混淆“单调区间”和“在区 f-x)=(-x)+|-x+1=x2+x+1=fx),