3.1.1 函数的概念-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

3 第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 重点和难点 课标要求 重点：建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念， L.理解函数的概念 在此过程中培养学生的数学抽象素养 2,会求简单函数的定义域和值域， 难点：从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函 3.了解区间的概念 数概念：理解函数的对应关系 01以备知识梳理一◆ 耳础梳理 包明概念 知识点1函数的概念 函数的定义 1.函数的定义 在函数的定义中，函数的 设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数 实质是从非空数集A到非空 数集B的一个特殊的对应关 x,按照某种确定的对应关系∫，在集合B中都有唯一确定的数y 系，A,B都是非空的数集，集 和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数， 合A为自变量x的取值范固， 记作 集合B中的元素可能是函数 y=f(x)x∈A. 值，也可能不是函数值，因此 集合B不一定是值域.若函数 其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域：与 y=f(x)的值战为集合C,则 x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)x∈A}叫 CCB. 作函数的值域， 同敲黑板 2.函数的本质含义 “f"的含义 定义域内任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应 对应关系「是函数的本 (1)特殊性：定义中的集合A,B必须是两个非空的数集， 质特征，它好比是计算机中的 (2)任意性：A中任意一个数都要考虑到. 某个“程序”.当在“()”的 (3)唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应 括号内输入一个值时，在此 “程序”作用下便可输出某个数 (4)方向性：A>B. 据，即蓝数值.如fx)-3x+5,f 知识点2函数的三要素 表示“自变量的3倍加上5”如 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关 f(4)=3×4十5=17.需要注 系、值域。 意的是：这里的“x”既可以是 72 第三童函教的概念与性质么 1.定义域 一个数，也可以是一个代数 函数的定义域就是自变量x的取值范围.有时函数的定义域 式，还可以是某个函数记号 可以省略不写，如果未特殊说明，函数的定义域就是指能使表达 如f(x)=3x+5,则f(2x-1) 函数的式子各部分都有意义的所有实数x的集合.在实际问题 =3(2x一1)+5中的f表示 “(2x-1)的3倍加上5"， 中，必须考虑自变量x所代表的具体量的实际取值范围.如函数 f(g(x)=3g(x)+5中的f y一}的定义域为xx≠0}，圆面积S与圆半径r间的函数关系 表示“(x)的3倍加上5” 为S=π产，其定义域为{rr>0. 习防误区 2.对应关系 1并不是所有函数的对 对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作” 应法则“f(x)”都能用解析式 表示出来，如今天的某一时刻 的“程序”或“方法”.按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x, t对应的温度y是1的函数， 可在值域{yly=f(x),x∈A}中找到唯一的y与之对应.同一“f" 但其对应关系f(1)是无法用 可以“操作”不同形式的变量。 解析式表示出来的 3.值域 2.当a表示某个常数时， 对于定义域A内的函数y=f(x),其值域就是指集合{yy= 应特别注意f(x)与f(a)的区 f(x),x∈A}. 别与联系：f(a)表示当x=a 知识点3函数相等 时函数f(x)的值，是一个常 量，而f(x)是自变量x的函 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，就称 数，在一般情况下，它是一个 这两个函数相等，即为同一函数， 变量.f(a)是f(x)的一个特 因为定义域和对应关系相同决定了这两个函数的值域也相 同，所以判断两个函数是否相等时只需判断定义域和对应关系是 珠值例如)=系（红≠ 否相同即可. -10.当7=2时f2)= 知识点4区间 冒敲黑板7 设a,b∈R,且a<b. 区间的含义及表示 定义 名称 符号 数轴表示 区间是数轴上某一段的 所有点所对应的实数组成的 {xa≤x≤b 闭区间 [a,b] 实数集的另一种表示形式.对 于区间的理解应注意： 1.区间的左端点必须小 rla<I<b) 开区间 (a.b) 于右端点，有时我们将b一@ 称为区间长度，对于只有一个 {xa≤x<bl 半开半闭区间 [a,b) 。6 元素的集合，我们仍然用集合 来表示，如a. {xa<x≤b 半开半闭区间 (a,b] 。。 2.注意开区间(a,b)与点 的坐标(4，b)在具体情境中的 {xx≥a 无穷区间 La,+oo) 区别. 3.用数轴来表示区间时 73 国避手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 续表 要特别注意实心点与空心图 定义 名称 符号 数轴表示 的区别 4.对于一个不等式的解 (rx>a) 无穷区间 (a,十co) 集，我们既可以用集合形式来表 示，也可以用区间形式来表示， {xx≤b 无穷区间 (-a,b] 5.要注意区间表示实数 集的几条原则：数集是连续 的，左小右大，开或闭不能混 rr<b) 无穷区间 (-∞，b) 6 淆.用“∞”作为区间端，点时， 需用开区问符号 国难拓展 氟难点1函数定义域的求法 当函数f(x)仅以解析式的形式给出时，函数的定义域就是 P拓视野 使这个解析式有意义的自变量的取值范围.具体来说，常有以下 复合函数的定义域 几种情况： 1.复合函数的定义 如果函数y=f(t)的定义 1.f(x)为整式型函数时，定义域为R 城为A,函数1=g(x)的定义 2.由于分式的分母不为0，则当f(x)为分式型函数时，定义 域为D,值域为C,则当C二A 域为使分母不为0的实数的集合. 时，称函数y=f(g(x)为 3.由于偶次根式的被开方数非负，则当f(x)为偶次根式型 f(t)与g(x)在D上的复合函 函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合 数，其中1叫作中间变量，t 4.函数f(x)=x中的x不为0. g(x)叫作内层函数，y=f(t) 5.如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么 叫作外层函数， 它的定义域是各个简单函数定义域的交集， 2.复合函数的定义城 [注意]定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示，不能 (1)画数f(x)的定义域 用“或”连接，而应用并集符号“U”连接 是指x的取值范国所组成的 集合 例☐求函数f代)=号的定义域 Vr+5 (2)函数f(g(x))的定义 r+5≥0， 即≥5， 域是指x的取值范国，而不是 解析要使函数有意义，需满足 x-2≠0，x≠士2， (x)的取值范围。 即-5≤x-2或-2<x<2或x>2. (3)已知f(x)的定义城 为A,求f(g(x)的定义域 故福数/)=的定义城为[-5，-2U(-2,2U 其实质是已知g(x)的取值范 (2,十6∞). 国为A,求x的取值范国， (4)已知f(g(x)的定义 例2(2023·长春高一联考)已知函数f(x)=√一x2+2x+3, 域为B,求f(x)的定义域，其 求函数f(3.x一2)的定义域. 实质是已知f(g(x)中的x 点拨函数f(3x一2)的解析式是用3.x一2去代换f(x)中的 的取值范围为B,求(x)的范 x而生成的，所以求f(3.x一2)的定义域时，可以先求f(3.x一2)的 国（值域），此范围就是f(x)的 74 第三章函教的概念与性质么9 解析式，再由解析式求出函数f(3.x一2)中的自变量x的范围（如 定义域 方法一).还可以先求出函数y=f(x)中x的范围，即为3x一2的 (5)在同一对应法则∫下的 范围，建立不等式，再求出函数f(3x一2)中的自变量x的范围 岛数的定义城相同，即f(1), (如方法二) f(e(x),f(h(x)三个函数中 的t,gp(x),h(x)的范围相同. 解析方法一f(x)=√一x2+2x十3， ∴.f3x-2)=√/-(3x-2)+2(3x-2)+3=√-9z2+18x-5. 由-9.x2十18.x-5>0得9.x2-18.x十5≤0， 8-53x-10<0,r<号 -5 函数3x-2)的定义城为[行，引 方法二，由-x2+2x十3>0，解得-1≤x≤3， 即函数f(x)的定义域为[一1,3] -1<3x-23,解得好六≤号 ∴画教3一2》的定义城为[号，号引 重难点2求函数值域的常用方法 求函数的值域是一个较为复杂的问题，也是较为重要的问 P拓视野 题，方法较多，目前阶段常见的方法有以下几种： L.分离常数法求值域 1.直接法（分析观察法） 形知y=r十d ar+i(a≠0， 通过基本函数（目前主要指一次函数、二次函数和反比例函 ad≠b加)的函数，经常采用分 数)的值域及图象、性质，简单计算、推理或凭观察能直接得到一 离奢铁决，将活变形为 些简单的复合函数的值域如求函数代)=1十十：≥2)的值 二(ax+b)+d-c ax+b = a 域，可由反比例函数y-的性质观察出，x)的值域为1，专) dbe 2.配方法 ar十6再结合工的取值范国 配方法是求二次函数类型函数值域的最基本的方法.一般 d人c 地，像求函数f(x)=a(g(x)2十bg(x)十c(a≠0)的值域问题，均 骑定的取值范国，从而 确定函数的值域 可利用配方法.如求函数y=x一2√x十3的值域，因为y=(√红 1)2+2>≥2，故所求函数的值域为[2，十∞). 如水画数y一司的值 3.换元法 城时， 通过换元将其转化为我们所熟悉的函数求值域.如求函数 周为)2高里品 y=x十√x一1的值域，令t=√x一1，则t≥0且x=+1,所以y= ≠0， 75 重避点手细高中数学必修第一册（上）尺A(浙江专用) r+4+1-+}+≥0，而1+号>2所以≥1，故所求 所以y≠2，所以函数的 值域为{yy∈R,且y≠2}.所 函数的值域为[1，十∞). 4.图象法 以形如)的品纸的维 所谓图象法，就是利用函数图象的直观性求函数值域的方法 线为ER且≠日引但 5.逆求法（反求法）】 水函数y-<<2) 所谓逆求法，就是用y来表示x,再由x在某个范围内有解 得到关于y的不等式，通过解不等式，得出y的范围.如求函数 的值城时，y= 昂-2 )-告4>2的值城可令y卓所以-》由 x-1 x又1≤≤2，所以2≤x+ ≥2得—>2，解得2<<7，所以)的值坡为2. 1长3，所以1≤≤号所 例B求下列函数的值域： 以号<<1，故所求画数的位 (1)y=x-2. (2)y=--t 接为[2小 x2-x+1 2.判别式法求值域 (3)y=x-√1-2.x. 0益 形知y=十br十e anr2+b+c 解析(1)直接法因为√≥0，所以工-2≥一2， (a,ag不同时为0)的函数的 所以y=√x一2的值域为[一2，十∞. 值城的求法是，先把函数转化为 (2)配方法因为y=1一子一x十 关于x的二次方程F(xy)=0, 通过方程有实根、判别式 且2-x+1=(-2》+> △>0，得出原函数的值城，如 所以0中所以长1 求函数一生串的位城 南)一法串得010r 即函数的值镜为[一子，小 (y十1)x十y-1=0.当y≠1 时，因为∈R.所以△=(y十1)月 (3)换元法 令-2=，则≥0，且x=12. -40-10≥0，即号≤≤3， 所以3y=一2+102+1<2>0. 且y≠1：当y=1时，x=0.故 所以画数的维城为一，2引 所求禹数的值城为[号3] (4)分离常数法 y=r3D-3)=-3 2x2-x-1(x-1)(2x+1)2.x+1' 共中， 7 2x+122(2x+1)1 当1时品是=导 76 第三章函教的概念与性质么 又周为222+D0.所以y=子 7 所以画数的值城为-∞，-号)U(-号，)U(侵，十∞ 口-02关健能动提， 题型方法 ◆变式1下列各组函数中，表示同一函数 题型1对函数概念的理解 的是( 例国(2024·长沙雅礼中学月考)（多选） A.f)=(x2+1) x2+1,g(x)=x 下列说法中正确的是( B.f(x)=x,g(x)=√ A.式子y=√x-1+√一x-I可表示自变 C.f(x)=1,g(x)=x 量为x,因变量为y的函数 B.函数y=f(x)的图象与直线x=1的图 D.f(r)=r.g(r)= 象的交点最多有1个 题型2求函数值或函数的解析式 C若fx)=x-1-x,则f/2)》 例5(2023·孝感高一上学期期中) 1 (x∈R,x≠2)，g(x)=x+4 =1 已知f(x)=2-x D.f(x)=x2-2.x与g(t)=1-21是同一 (x∈R) 个函数 1)求f(g(1),g(f(1))的值. 解析对于A,由y=√x一I十√一x一1有 (2)求f(g(x),g(f(x)的表达式. x-1≥0， 此时x无解，即解集为⑦.根据函 3)若f八g)=一3求x的值 -x-1≥0， 数的定义可知，该式子不能表示自变量为x,因 累折1)0)=2-=1，g1)=1+4=5, 变量为y的函数，故A错误 对于B,函数y=f(x)的图象与直线x=1 g(f(1))=g(1)=1+4=5. 的图象的交，点最多有1个，故B正确. 对于C,f)=x-1-x,则f2)=0, (2)f(g(x)=f(x+4)=2-(x+4 f((2)）=f0=1-0=1,故C正确. 2-x8f)=g2)F2+4 1 对于D,f(x)=x2-2.x与g(t)=2-21两 (3)f(g(x)=f(x+4)=2-x+4= 个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同 -x-2 一个函数，故D正确. 答案BCD =23·…x=1. 77 国避g手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) ◆变式2已知f(x)=2cR A.[0,3] B.[-3,3] C.[-3,w3 D.[-3,0] )计算fa)+f()的值。 解析因为函数y=f(x)的定义战为 [-1,5],所以-1≤2.x2-1≤5，即0≤x2≤3 (2)计算f1)+f(2)+(2)+f(3)+ 解得-√3≤x≤3，所以函数y=f(2x2-1)的 f号)+f④)+()的值 定义域为[一3，w3. 题型3函数的定义域 答案C 例8(2023·湖南十二校高一联考)已知 1.已知解析式求函数的定义域 f(x-1)的定义域为[0,3]，则f(x)的定义域 例⑥(2024·度门高一质检)求下列函数 为 ,f(2x十3)的定义域为 的定义域： 点拨]定义域是指自变量的取值范围，则 (1)y=2x+3.(2)f(x)= x+1 f(x2-1)中x∈[0,3]，求出x2一1的范围即为 f(x)的定义域.f(2x十3)的定义域由不等式 (3)y=√x-1+√1-x. -1≤2x十3≤8求得. 点拨根据函数表达式有意义得到x所满 解析根据f(x2一1)的定义域为[0,3]， 足的取值集合即为所求， 得x∈[0,3]， 解析(1)函数y=2x十3的定义域为{x ∴.x2∈[0,9]，∴.x2-1∈[-1,8]. x∈R}. 即f(x)的定义域为[-1,8]. (2)要使函数式有意义，即分式有意义，则 f(x)的定义域为[一1,8]， x十1≠0，x≠一1.故函数的定义域为{xx≠一1. .-1≤2x+3≤8， (3)要使函数式有意义， 则-1>0，≥1. “2x+3)的定义城为[-2,2引 即 1-x≥0，x≤1， 金室-1.8[-2，] 所以x=1,从而函数的定义域为{xx=1 ●变式4(1)已知函数f(x)的定义域为 (④因为当-1≠0，即x≠士1时， [0,1],求f(x2+1)的定义域 有意义 (2)已知函数f(2x一1)的定义域为[0,1)， 所以函数的定义域是{xx≠士1}. 求f(1-3.x)的定义域. ◆变式3求下列函数的定义域： 3.函数定义域的逆向问题 (1)f(x)=V2x+6. 例9已知函数y= a.x-] 3a.x2+4a.x+3 的定 2)=1+5 义域为R,求实数a的取值范围。 2.抽象函数的定义域 点拨由所给式子确定出对ax十4ax十3 例7已知函数y=f(x)的定义域为[一1， 的限制，再转化为方程根的问题， 5],则函数y=f(2x2一1)的定义域为(). 解析依题意，要使函数有意义，必须使 78 第三章函教的概念与性质么 a:x2十4a,x十3≠0.要使函数的定义域为R,必 x>0, 须使方程ax十4a.x十3=0无解（无实根）. 所以 2R->0 解得0<x<V2R, 当a=0时，方程a.x2十4a.x十3=0无解； 当a≠0时，若方程a.2十4ax十3=0无解， 所以所求函数的定义域为{x0<x<√2R}. 则有判别式△<0，即(4a)2一12a<0, 题型4函数的值域 例团求下列函数的值域： 0<a< (1)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5}. 综上可得，实数a的取值范国为[0，是)】 (2)y=x2-2.x+3,x∈[0,3. ●变式5(2023·南京模块测试)已知函 (3)y=2+1 x-3 数y=√a.x十1(a<0且a为常数)在区间 (4)y= 2.2+2.x+5 x2+x十1 (一∞，1]上有意义，求实数a的取值范围. 解析(1)直接法因为x∈{1,2,3,4,5}，分 4.函数定义域在实际问题中的应用 别代入求值，可得函数的值城为(2,3,4,5,6}. 例10如图3.1.1-1所示，半径为R的圆 (2)配方法y=2-2x十3=(x-1)2+2,由 的内接等腰梯形ABCD,它的下底AB是⊙O x∈[0,3)，再结合函数的图象（如图3.1.1-2 的直径，上底CD的端点在圆上.写出这个梯形 所示)，可得函数的值域为[2,6). 的周长y与腰长x之间的函数关系式，并求出 41y 其定义域。 5 4 x-2x-3 3 2 1 0123d 图3.1.1-1 图3.1.1-2 解析设AD=BC=x,作DE⊥AB于点 (3)分离常数法 y2=2x-3+7 ℃一3 x一3 E,连接BD. 2+ 因为AB是⊙O的直径，点C,D在圆上， 一3，显然 x3≠0，所以y≠2 所以∠ADB=90° 故函数的值域为（一∞，2）U(2,十∞). 因为△EDAP△DBA. (4)逆求法由y-2士25可知∈R. x2+x+1 所以AD=AE·AB,即AE-泵 即(y-2)x2+(y-2)x+y-5=0.(￥) 所以CD=AB-2AE=2R-京 当y=2时，方程()无解： 当y≠2时，△=(y-2)2-4(y-2)(y 所以周长y与腰长x之间的函数关系式 5)≥0，即2<y≤6. 为y=2R+2x+(2R-)=-贡+2x+4R 故所求函数的值域为(2,6们. ◆变式6(2022·江西六校高一联考)求 因为四边形ABCD的各边长都为正数， 所以AD>0,AE>0,CD>0, 函数y一牛的值线 79 国避食手细高中教学必修第一册（上）PA(浙江专用) 例12求下列函数的值域. 由y=一 -}+的图象知画教无最 (1)y=V/-2x-x2+3. (2)y=2.x+V1-2x. 小值，故值减为（一©，引 (3)y=(x2-4x+5)(x2-4x-1)+6. (3)令1=x2-4x,∴.1=(x-2)2一4>-4， .y=(t+5)(t-1)+6=t+4t+1=(t+ 解析(1)，-2.x-x2十3≥0， 2)2-3. ∴.-3≤x≤1 当=一2时，y有最小值，最小值为一3. 又，'y=√一2x-x2+3=V-(x+1)2+4, 由y=十41十1的图象知y无最大值，故 ∴.0≤-(x+1)2+4≤4， 值域为[一3，十∞). ∴0≤y≤2， 易错警示 故所求函数的值域为[0,2]. ◆易错题15（错误率33%）(2024·重 (2)令1=√1-2x(≥0)，x=1 庆测试)已知f(x十2)的定义域为[1,2]，则 2 f(2.x+1)的定义域为 w=-++1=-(-2)+ ◆易错题16（错误率38%）(2023·安 徽皖北协作区高一联考)函数y=x十 又，t0, √2.x+1的值域为 六当1一号时y有最大值，最大值为 参考答案见《全书易错题集》第4页 03核心素养累焦。 考向分类 故函数y=√7+6x一x2的定义域是[一1,7门. 考向1求函数的定义域 答案(1)(-∞，0)U(0,1] 例13(1)(2022·北京卷)函数f(.x) (2)[-1,7]. 命题意图：考查西数的定义域 十一工的定义城是 命题规律 真题探源：教材P65例2和P67练习第1题 常考题型 选填题难度系数0.9高考热度★★ (2)(2019·江苏卷)函数y=√7+6x一x 核心素养 数学运算 素养水平水平二 的定义域是 考向2求函数值或参数的取值范围 解物(1)因为f(x)=1+1-元 例14（经典·浙江卷）已知函数f(x)= f1-x≥0， x3+ax+b.x+c,且0<f(-1)=f(-2)= 所以 解得x≤1且x≠0， x≠0， f(一3)3，则( ）. 故函数的定义域为（一∞，0）U(0,1]. A.c≤3 B.3<c≤6 (2)要使函数y=√7十6.x一x有意义， C.6<c≤9 D.c>9 则7+6.x-x2≥0，解得-1≤x≤7， 解析由已知得 80 第三章函数的概含与性质么9 -1十a-b+c=-8+4a-2b+c, A.(-∞，1) B.(1,+o∞) 1-1+a-b+c=-27+9a-3b+c, C.(-oo,1] D.[1,十oo) 解得 a=6, 2.(经典·江西卷，考向1)若函数y= 又0f(-1)=c-6≤3. b=11. 所以6<≤9. fx)的定义域是[0,2]，则函数g(x)=2) x-1 答案C 的定义域是( ）. A.[0,1] B.[0,1) 命题意图：考查函数的概念与数学运算的 命题规律 能力 C.[0,1)U(1,4] D.(0,1) 真题探源：教材P72习题3.1第4题的拓 3.(经典·上海卷，考向2)设常数a∈R, 展及应用 函数f(x)=|x-1|+|x2-a.若f(2)=1,则 常考题型 选填题难度系数0.8 高考热度 ★★ f(1)= 核心素养 数学运算、数学抽象 素养水平水平二 4.(经典·浙江卷，考向2)设函数f(x)= 真通演练 x2+3.x2+1.已知a≠0，且f(x)-f(a)=(x 1.(经典·陕西卷，考向1)设全集为R,函数 b)(x一a),x∈R,则实数a= . f(x)=√I一x的定义域为M,则CRM为( 81一pq(x-y) 或<一1 因为p,g都为正数，所以一pg(x一y)≤0， 因为不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根， 因此(x十q)≤px2十qgy,当且仅当x=y时等号成立. 即(k2一2k-3).x2+(k+1)x+1=0(k∈R)有两个不 17.(10已知x>0>0.登+言-=2， 相等的负根， (k+1)2-4(k-2k-3)>0, 则号+芳≥2√，解得<6， k十1 即+=一2k-3<0, 即受=音=1时，等号成立，解得=2y=3 1 nn=P-2k-3>0, 则xy的最大值为6. 解得3<k<号 （2)令2x=, 1 综上可知的取值范围是3<<号。 则片+号-十务=7 (3)根据题意可，得出解集M={x.x>t,一1≤1<1， 去分母化简得y一5x一y=7,所以(x一1)(y-5)=12, 当-2k一3=0时，解得k=3或k=-1, 所以2十=3x+y=3-1D+(y-5)+ 当=一1时，1>0恒成立，不满足条件， 8≥23(x-10(y-5)+8=20. 当=3时，不等式的解集是>一寻}清足条件： 当组仅当。=号青时，等号成立，放其最小值为如 当2一2k一3>0时，此时一元二次不等式的解集形 式不是{xx>}的形式，不满足条件： 18.(1)由题意可知，当m=0时，x=1,所以1=3一k,所 当k2一2k-3<0时.此时一元二次不等式的解集形 以=2所以3品 式不是{xx>t}的形式，不满足条件。 综上，满足条件的的值为3 每件产品的销售价格为1,5,8士6一万元， 第三章函数的概念与性质 所以年利润y=r·1,5.8士16r-8-16x一m=4+ 3.1函数的概念及其表示 8=8m片 3.1.1函数的概念 所以y28-5-m,其中m≥0 变式训练答案 [变式1]A提示：A选项中，f(x)可化为f(x)=x (2)因为当m≥0时，15 'm+十m+18,即16 十十m7, x∈R与g(x)=x是同一函数. B选项中，g(x)=√F=|x与f(x)=x对应法则不 所以<28-7=21，当且仅当，片=m+1.即m 一样 3万元时，y=21万元. C选项中，g(x)=x=1(x≠0)与f(x)=1的定义域不 所以当厂家年促销费用投人3万元时，厂家的利润最大， 一样。 19.(1)当-2k一3=0时，k=一1或k=3,当k=一1 D选项中，gr)=号=x(x≠0)与f《x)=x的定义城 时，1>0恒成立， 不一样 当k=3时，4x十1>0=>x> 不满足M=R,舍去， 1 /2-2k-3>0, [变式2】由于fa)千（） 当2-2k-3≠0时， 1+() 1(k+1)2-4(k2-2k-3)<0, 解得>号或<-1 1十a,所以fa)+f()=1 综上可知k的取值范围是{k≤一1或>号}。 (2)由1)知fa)+f(2)=l, (2)根据不等式解集的形式可知2-2k-3>0→>3 从而f(2)+f(号）=f(3)+f(3)=f(4)+ 23 (分)=1.故[2+/号)门+[3+/3)门+ 真题演练答案 1.B提示：易知函数f(x)的定义域为（一o∞，1]，即M= [0+(合)门=3面/=2，所以+2+ (-o∞，1]，故CRM=(1,+∞). (侵)+3+（号）++()号 10≤2≤2. 2.B提示：要使g(x)有意义，则 .x-1≠0， [变式3](1)使式子√②x+6有意义的实数x的集合是 解得0x<1,故所求的定义域为0,1). (xx≥一3}，所以函数的定义域为{xx≥一3}. 3.3.提示：由f(2)=1+2-a=1可得a=4, (2)使式子√一x有意义的实数x的集合是{x≤)， 所以f(1)=11一11+11-4=3. 4.-2:1.提示：因为f(x)-f(a)=x2+3x-a2- 使式子写十有意义的实数x的集合是xx+-5, 3a2,(x-b)(x-a)2=(x-b)(x2-2ax十a2)=x23- 所以函数)=V+写十的定义城是x≤I (2a+b).x2+(a2+2ab)x-a2b. 3=-2a-b. 且x≠-5， a=-2, 所以3a2+2ab=0, 解得 [变式4](1)因为函数f(,x2+1)中的x2+1相当于函 b=1. -a2-3a2=-a2b. 数f(x)中的x,所以0≤x2+1≤1. 练习册答案 所以一1≤x≤0，所以x=0, A基础过关练 所以f(x十1)的定义域为0. (2)因为f(2x一1)的定义域为[0,1)， 1.D2.B3.A4.A5.C6.D 即0r<1,所以-1≤2x-1<1, 7.[2,7.提示：g(x)=f2x-1)+1的定义域为(1,4]，值 城为[3，十∞)，则f(2x一1)的定义域为(1,4幻，值域为 所以f(x)的定义域为[一1,1)， [2,十o).由1<x≤4得1<2x-1≤7， 所以-1<1-3<1，所以0<r≤号 ∴fx)的定义域为{x1<≤7=A.值域仍为[2，十o), 所以1-3)的定义域为(0，号] .A∩B=[2,7]. 3r-1≥0. [变式5]由题意知a.x十1>≥0，a<0, 8.(1)要使函数式有意义，必须满足 1-2x≥0， 六<-日，即函数的定义域为（一0，一] ,函数在区间（一©，1门上有意义， 即 所以≤≤即函数的定义域为[片，] ≥1 x十3≠0， (2)要使函数式有意义，必须满足 又，a<0,∴.-1a<0 1|x-x>0, 即a的取值范围是[一1,0). x≠一3， x≠一3， 即 解得 [变式6]已知函数式可变形为yx2+2x+3y=2.x2+ lr>z. 0. 4x-7,即(y-2).x2+2(y-2)x+3y+7=0, 所以函数的定义城为（一6©，一3）U(-3,0). 当y≠2时，将上式视为关于x的一元二次方程. B综合提能练 ,x∈R,∴.4≥0，即[2(y-2)于-4(y-2)(3y+7)≥0， 1.C2.C3.B 整理得2+5y一18<0，解得-号<<2（也可以依据 0≤x+a≤1， -a≤x1-d, 二次函数y=2x2+5x一18在x轴下方的图象求解). 4.A提示：由0≤2x十a≤1，→ <号 当y=2时，3×2+7≠0，不符合题意，应舍去. 0<a1 0a<1, 故函数的值域为[-号，2)。 解得一<<2 24解得-子<a<1. 所以3≤2+1<4，解得1<r≤号， 综上可知，实数a的取值范明是{a一号<4≤小. 故2+1D的定义城为[1，号] 易错探因对二次项系数”-1应分其为0和不为0两 答案[1，] 种情况进行讨论，不要认为它一定是二次不等式.因此 易错探因本题易产生如下错解： 要对.x2的系数-1进行讨论：当a=1时，原不等式 错解一：由1≤x十2≤2，得一1≤x≤0，则-1≤2.x+ 化为一1<0恒成立：当a=一1时，不满足题意：当a≠ 1≤1，因此f(2x+1)的定义域为[一1,1： a2-1<0, 错解二：因为f(x十2)与f(2x+1)含有同一字母“x”, 士1时， 解不等式组即可得 (a-1)2+4(a2-1)<0, 则取值必相同，所以f(2x+1)的定义域为[1,2] 出结果 事实上，这里只不过是用同一字母“x”来表示两个不同 的复合函数的自变量而已（函数的自变量用什么字母 误区14忽略对分式中分母的讨论 表示与函数无关)， 易错题14（错误率38%）解不等式：六2。 出现以上错解是因为对复合函数的定义域的概念理解 不清。 正解移项得号 -2≤0，左边通分并化简， 误区16忽略换元后参数的范围 得<0，即二≥0， x-2 r-2 易错题16（错误率38%）(2023·安徽皖北协作区高一 (x-2)(x-5)≥0， 联考)函数y=x十√2x+I的值域为 4 此不等式等价于 x-2≠0. 正解令1=V2中，则≥0，且x号 解得x<2或x≥5. ∴.不等式的解集为{xx<2或x≥5. 故y=f号+1=+10-1[0，+oy 易错探因本题易错的地方是不等式两边同乘以x一2 画出[0，+o∞)时，函数y=21十1)2-1的图象， 这一式子，没注意到它是大于0还是小于0，不等号是 如图中实线部分所示.由图象知≥一之，所以所求函 否改变方向.这里要分x一2>0和x一2<0两种情况 来讨论，若不讨论，肯定会出错，当然，求解这类问题时 数的值域为[一，十∞) 最好是将不等号右边变为0的形式 分式不等式的求解应注意两点：一是不要随意去分母 (除非知道分母是正或负)，而应移项，使其一边为0：二 是婴将其等价转化为一元二次不等式，如本题中》 1(x-5)(x-2)≥0， 答案[-+∞)： 0 x-2≠0. 易错探因本题易错的地方是换元后忽略了参数（的取 值范围，误认为1为任意实数，从而得到错误答案： 误区15混淆复合函数的定义域 因为y=2(1+1)2-1>-1(∈R), 易错题15（错误季33%）(2024·重庆测试)已知 所以所求函数的值域为[一1，十©). f(x+2)的定义域为[1.2]，则f(2x+1)的定义域为 误区17忽略去绝对值的定义域 正解由于fx+2)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2， 所以3≤x+2≤4，即f(x)的定义域为[3,4]， 易错题17（错误率31%）画出函数y=1的图 1-x2