2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

重避点手圆高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 重点和难点 课标要求 1.理解二次函数与一元二次方程、不等式的关系。 重难点：二次函数与一元二次方程、不等式的联 2.掌握一元二次不等式的解法， 系，借助二次函数求解一元二次不等式。 3.初步掌握一元二次不等式的应用。 ☑01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1一元二次不等式的相关概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式 国敲黑板 称为一元三次不等式.一元二次不等式的一般形式是a.x2十bx十c 对一元二次不等式概念的理解 >0(≥0)或a.x2+bx十c<0(≤0)，其中a≠0且a,b,c为常数 L.一元二次不等式中的 使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不 “一元”是指不等式中所要求 等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元 解的未知数，并且这个未知数 二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的 是唯一的.但这并不意味着不 等式中不能含有其他字母，若 不等式，叫作不等式的同解变形 含有其他字母时，则应把其他 知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的关系 字母看成常数 1.二次函数的零点 2.一元二次不等式中的 般地，对于二次函数y=a.x2十b.x十c,我们把使a.x2十bx十 “二次”是指所要求解的未知 c=0的实数x叫作二次函数y=a.zx2十b.x十c的零点.二次函数的 数的最高次数必须是2，且最 零点个数可以为2,1或0. 高次项的系数不为0. 2.三个“二次”之间的关系 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表. A>0 4=0 △<0 同敲黑板 y=ar'+bx+c 1.从画鼓的观点来看，一 (a>0)的图象 元二次不等式a.x十bx十c>0 Or=工d (a>0)的解集，就是一元二次 有两个相等的实数 函数y=a.x2+hx十c(a>0)的 ax"+br+c=0 有两个不相等的实 b 没有实数根 图象在x轴上方部分的点的 (a>0)的根 数根，x(<x) 根x=x= 2a 横坐标x的集合：ax十br十 ax+bx+c>0 <0(a>0)的解集，就是一元 {xr,或x>》 x≠-a R (a>0)的解集 二次函数y=ax2+br十c(a> 54 第二童一元二次函教、方程和不等式么 续表 0)的图象在x轴下方部分的 4>0 △=0 △<0 点的横坐标x的集合 ax2+bx+c<0 2.从方程的观点来看，一 <x< 0 0 (a>0)的解集 元二次方程的根是一元二次 函数的图象与x轴交点的横 重难拓展 坐标，一元二次不等式a.x十 重难点1分式不等式与高次不等式的解法 bx十c>0(a>0)的解集就是 1,分式不等式的解法 大于大根或者小于小根的实数 解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式. 的集合：a2十r十c<0(a>0) 的解集就是大于小根，且小于 设A,B均为含x的多项式 大根的实数的集合。 a哈>0=AB>0. (2)A<0=AB<0. B 因此，利用一元二次西数 的图象和一元二次方程的两个 AB≥0. AB≤0， 根就可以解一元二次不等式。 B≠0. B≠0. 3.三个“二次”的关系如 2.高次不等式的解法 图2.3-1所示。 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于 二次函数 2,一般使用“穿针引线法”，具体思路如下： (1)标准化.通过移项、通分等方法将不等式左侧化为关于未 程的根 知数的整式，右侧化为0的形式， 一元二次根的讨论 一元二次 (2)分解因式.将标准化的不等式的左侧化为若干个因式（一 方程 泉解集 不等式 次因式或高次不可约因式)的乘积，如(x一1)(x一x2)(x一x.)> 图2.3-1 0的形式，其中各因式中未知数的系数为正 (3)求根.求(x一x)(x一x2)…(x一xn)=0的根，并在数轴 上表示出来（按从小到大的顺序标出）. (4)穿线.从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但是要 注意经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇次根时 应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧. (5)得解集.若不等式（未知数的系数均为正）是“>0”，则找 “线”在数轴上方的区间：若不等式（未知数的系数均为正）是“< 0”,则找“线”在数轴下方的区间. 例口1D不等式千子0的解集是 ②)不等式子≥2”D的解集是 5.x 物（①不等式有0等价于（一2x十40<0，解得-4 55 国避食手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) <x<2,即解集为{x一4<x<2}. (2)将原不等式移项、通分、整理化简为 2喜≥0，中法 5r+x+4-5e++80, .原不等式等价于(x十1)(x一1)<0，易知一1<x<1. 故原不等式的解集是{x一1<x<1. 答秦(1){x-4<x<2.(2){x-1<x<1} 例包解不等式≤x-1 解析将原不等式移项、通分、整理得 (x-3)(x+1D≥0 (x-3)(x+1)(x-1)≥0. x-1 (米) x-1≠0. 令y=(x-3)(x+1)(x-1)=0, 得x1=一1，x2=1,x3=3,它们将R分成四个子区间，分别在 各子区间赋值，判断y的符号，如图2.3-2所示 图2.3-2 由图可知不等式组()（原不等式）的解集为{x|一1≤x<1 或x≥3}. 口02关健能幼提升-。 题里方法 (6)-2r+3x-5>0. 题型1解一元二次不等式 (6)-2x2+3.x-2<0. 1.解不含参数的一元二次不等式 解析(1)因为△=72一4×2×3=25>0， 例③解下列不等式： 所以方程有两个不等实根=一3，西=一 (1)2x2+7x+3>0. 又二次函数y=2x十7x十3的图象开口 (2)-x2+8.x-3>0. 向上， (3).x2-4.x-5≤0. 所以原不等式的解集为工>一或x< (0-4+18x-81>0 -3 56 第二童一元二次函教、方程和不等式么 (2)因为△=8-4×(-1)×(-3)=52>0， 变式1解下列不等式： 所以方程有两个不等实根x1=4一√13， (1).x2-5.x-6>0. x2=4+√13. (2)-x2+7x>6. 又二次函数y=一x2十8.x一3的图象开口 (3)4(2.x2-2x+1)>x(4-x). 向下， 2.已知一元二次不等式的解集，求参数问题 所以原不等式的解集为{x4一√13<x< 例④(2024·四川雅安期末)若不等式a.x2 十b十c>0的解集为{x|-3<x<4},则不等式 4+√13} hr2+2a.x一c一3b0的解集为 (3)原不等式可化为(x一5)(x十1)≤0 所以原不等式的解集为{x一1≤x≤5} 解析，ax2十bx十c>0的解集为{x -3<x<4}, (④)原不等式可化为(2x-号)<0， ∴.a<0且一3和4是方程a.x2十bx十c=0 所以原不等式的解桑为虹=》。 -3+4=-b 的两根.由根与系数的关系得 (5)原不等式可化为x2一6.x+10<0 (-3)×4=c 因为△=(-6)2-40=-4<0， 所以方程x2一6.x十10=0无实根 b=-a, 即 又二次函数y=x2-6.x十10的图象开口 c=-12a. 向上 .不等式bx2+2a.x一c-3b<0,即 所以原不等式的解集为⑦ -a.x2+2a.x+15a<0,即x2-2.x-15<0,易知 (6)原不等式可化为2.x2-3x十2>0， 其解集为{x一3<x5}. 因为△=9-4×2×2=-7<0， 故所求不等式的解集为{x一3<x<5: 所以方程2x2-3.x十2=0无实根 答案{x一3<r<5}. 又二次函数y=2x2一3.x十2的图象开口 题型2解含参数的一元二次不等式 向上， 1.二次项系数不含参数且能因式分解 所以原不等式的解集为R 例固设a>l,则关于x的不等式(1一a)· 记方法 x一a)-d)0的解集是( ). 解一元二次不等式的步骤 通过变形将不等式化成元二次不等 A<a或r>a 式的一般形式 B.xlxa) 求出相城的一儿一次方程的根.有 种情视：△0此忖所求元二次方型 求根 的两根相问，，=x》,△<以此时所求 C.ra<r<a 元一次方程无实数根)和4>0（此时所 求元“次方有内个不机等的实数 根x1,》 D.{lr<d或x>a 回图 画出对应二次函数的卓图 解折当a>1时，1-a<0,且a>则关 结合图形求不等式的解集 于x的不等式1-a)(x-a)(c-)<0可化 57 国避手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 为x-a)(x-)>0,解得r<2或r>a, 解集为x-1<x< 所以不等式的解集为r<或x>0 答离D 例6(2023·湖北省武昌实验中学月考)解 图2.3-3 关于x的不等式x2-(a十)x十a>0(a∈R). 当a=一1时（如图2.3-3(b)所示），解集 解析原不等式可化为(x一a)(x一)>0， 为0. ①当a>a,即a>1或a<0时， 当-1<a<0时（如图2.3-3(c)所示）， 原不等式的解集为{xx>a或x<a. 解集为<<- ②当a2<a,即0<a<1时， 原不等式的解集为{xxra或x>a. ③当a2=a,即a=0或a=1时， 原不等式的解集为{xx≠a. (d) 综上所述，当0<a<1时， 图2.3-3 原不等式的解集为{xx<a或x>a}; 当a=0时（如图2.3-3(d)所示），解集为 当a=0或a=1时， {xx<-1} 原不等式的解集为{xx≠a}: 当a>0时（如图2.3-3(e)所示）， 当a>1或a<0时， 解集为xx<-1或x> 原不等式的解集为{xx>a或x<a. ◆变式2(2024·江苏苏州一中月考)若 -1<a<0,则关于x的不等式(a-x)· (x->0的解集是 (e) 图2.3-3 2.二次项系数含参数且能因式分解 例8解关于x的不等式(a-2).x2+(3 例7解关于x的不等式a.x2十(a-1)x a).x-1≤0. 1>0. 解析因式分解，得(x一1)[(a一2)x十 [点拨因为二次项系数含有参数，故a=0 1]≤0， 是一个“临界值”.当a≠0时，有两个根x1 当a<1时（如图2.3-4(a)所示）， -1,=若两个根相等，即4=：时，a 解集为≤2。浅≥ 一1，故a=一1又是一个“临界值”，故可分a< 当a=1时（如图2.3-4(b)所示）， -1,a=-1,-1<a<0,a=0,a>0五种情况 解集为R 进行分类讨论 解析将a.x2+(a-1)x-1>0分解因式， 得(a.x-1)(x十1)>0. (a b 当a<一1时（如图2.3-3(a)所示）， 图2.3-4 58 第二章一元二次函教、方程和不等式么组 当1<a<2时（如图2.3-4(c)所示）， 当a<}时，4>0，如图2.3-5(c)所示， 解集为女≤1或≥2a =1如，4=1+=@ 当a=2时（如图2.3-4(d)所示）， 2 2 解集为{xx≤1 解集为上一载心1中也 2 2 (c) (d) 图2.3-4 (a) (b】 当a>2时（如图2.3-4(e)所示）， 解集为xl2。≤<1 (c) 图2.3-5 (e) 综上所述，当a>是时，不等式的解集为R: 图2.3-4 当a=寻时，不学式的解集为xc≠2， 点评解含参数的一元二次不等式的一般 思路：首先看是否能因式分解，若能因式分解， x∈R: 则根据以上几个方面得出分类讨论的“临界 值”，然后分情况写出解集。 当a<时，不等式的解集为xx< ◆变式3解关于x的不等式(a一2)x十 (2a-1)x+6>0. 1-=0我x>1+=4o 2 2 3.二次项系数不含参数且不能因式分解 点评注意分△<0，△=0，△>0三种情况 例9解关于x的不等式x2-x十a>0. 进行分类讨论 点拨]本题不能因式分解，二次项系数是 变式4(2023·常德调考)解关于x的 常数1,4=1-4如，得一个“临界值a=子故可 不等式2.x2+a.x十2>0. 分三种情况加以讨论。 4.二次项系数含参数且不能因式分解 解析△=1一4a. 例10解关于x的不等式a.x2一2x十a< 0(a∈R). 当0>时，4<0，如图2.3-5(a)所示，解 解析若a=0,则原不等式为一2.x<0, 集为R 故解集为{xx>0 当a=寻时，4=0，如图2.3-5(b)所示，得 若a≠0，△=4-4a. ①若a>0, =a=2,解集为≠2∈R。 当△0，即0a<1时，方程a.x2-2x十a=0 59 重雅点手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 的两根为上正1十正 面进行考虑. (1)关于不等式二次项的系数a的讨论： “原不等式的解集为x上—口一 a>0,a=0,a<0: (2)关于不等式对应的方程的根的讨论： x<l+v1-a 两根（△>0），一根（△=0），无根（△<0）： 当△=0，即a=1时，原不等式的解集为⑦； (3)关于不等式对应的方程的根1,2的 当△<0，即a>1时，原不等式的解集为心. 大小的讨论：x>x2,=x2,x<x2 ②若a<0, 注：当a<0,△>0时，有两根x1 当△>0，即一1<a<0时，原不等式的解 1+a,1C,此时石，这 集为xx<1+a或x>1-正 是同学们易错的地方 当△=0，即a=一1时，原不等式可化为 变式5解关于x的不等式a.x2一x+1<0. (x+1)2>0, 题型3可转化为一元二次不等式（组）的 ∴.原不等式的解集为{xx≠一1}； 不等式的解法 当△0，即<一1时，原不等式的解集为R. 1.利用换元法转化为一元二次不等式 综上所述，当1时，原不等式的解集为0； 例1I解下列不等式： 当0<a<1时，原不等式的解集为x (1)x4+3.x2-100. (2)x+x<6 1--ad<x<1+1a (3).x2-21x|-3>0. a a 当a=0时，原不等式的解集为{xx>0}: 解析(1)原不等式可化为(x2)+3.x2 10<0,令1=x2(t>≥0)，则不等式可化为2+31 当-1<a<0时，原不等式的解集为x -10<0,解得-5<t2. <1+-a或x>1-1=@ 又t≥0，∴.01<2，即0x2<2, a ∴.-√2<x<W2. 当a=一1时，原不等式的解集为{xx≠ 故原不等式的解集为{x一√2<x<√②). -1}: (2)原不等式可化为(x)十√x一6<0，令 当Q<一1时，原不等式的解集为R 1=√x(t≥0)，则不等式可化为十1一6<0， 点评若与不等式对应的方程的根的大小 解得一3<t<2. 不确定，则必须讨论根的大小：若一元二次方 程根的判别式符号不确定，则应分△>0，△< 文1≥0，∴.0≤t<2,即0≤√x<2, 0,△=0三种情况讨论. ∴.0≤x<4. 在解答含有参数的一元二次不等式时，能 故原不等式的解集为{x0≤x<4}. 分解因式的尽量分解因式·不能分解因式的， (3)原不等式可化为x2-2x-3>0, 要对参数进行分类讨论，在对参数进行分类讨 令1=x(t≥0)，则不等式可化为2-21-3> 论时，为了做到不重不漏，一般从以下三个方0，解得>3或t<一1（舍去）， 60 第二童一元二次函教、方程和不等式么组 x>3,.x>3或x<-3. a>0, 意x∈R恒成立的条件是 故原不等式的解集为{x<一3或x>3. △<0： 2.分式不等式和高次不等式的解法 (2)一元二次不等式a.x2十hx十c≥0对任 例12解下列不等式： a>0, 意x∈R恒成立的条件是 (1)(.x十1)(1-x)(x-2)>0. △≤0： 20 (3)一元二次不等式a.x十bx十c<0对任 a<0, 解析(1)原不等式等价于(x一1)(x一2)· 意x∈R恒成立的条件是 △0： (x+1)<0. 令y=(x一1)(x-2)(x十1)，各因式对应 (4)一元二次不等式a.x2+bx+c≤0对任 的根分别为1,2，一1. a<0, 意x∈R恒成立的条件是 结合图2.3-6可得不等式的解集为{x △≤0. x<-1或1<x<2. 例13若对任意实数x,关于x的不等式 (a-1).x2-(a-1)x-1<0恒成立，则实数a 的取值范围为 图2.3-6 图2.3-7 解析若a2一1=0，则a=士1. (2)原不等式可化为(x2一3x-4)(x2 当a=1时，原不等式为一1<0，解集为R, x2-3x4=0, 10<0或x-10: 满足题意：当4=一1时，原不等式为2x一1< 即(x-1)(x+1)(x-4)<0或x-4=0. 0,解集为zx<号与题意不符。 令(x-1)(x十1)2(x-4)=0,可得x=1 △=(a-1)2+4(d-1D0, 或x=4或x=一1（二重根）. 若a≠士1，则当 时， 2-10 结合图2.3-7可得原不等式的解集为{x 1<x≤4}. 不等式的解集为R,解得-<a<1 ●变式6(2024·河南南阳一中月考)不 综上，实教a的取值范国是d一多<a<。 等式>1的解集是( ) a-<u< A.{xx≤2且x≠-1 B.{x-1≤x2 ●变式7“m>0”是“3x∈R,(m-1).x2十 C.{xx≤2} 2(1一m)x+3≤0是假命题”的( D.{x|-1<2 A.充分不必要条件 题型4一元二次不等式恒成立问题 B.必要不充分条件 1.在实数集上恒成立问题 C.充要条件 (1)一元二次不等式a.x2十b.x十c>0对任 D.既不充分也不必要条件 61 国避g手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 贵个围 答案a>-6. 当未说明不等式a.x2十bx十c>0为一元 的方陆 二次不等式时，对任意x∈R恒成立时满足 设y=a.x2+b.x+c(a≠0). a>0,a=b=0, 的条件为 或 (1)当a>0时，y<0在{xa≤x≤3}上 △<0c>0. aa+ba+c<0, 恒成立 2.在某取值范围上恒成立问题 a82+b3+c<0: 例14(2022·西安期中)当x>1时，不等 (2)当a<0时，y>0在{xla≤x≤3上 式x2+a.x十9>0恒成立，则实数a的取值范 aa+ba+c0, 围为 恒成立台 a32+b3+c>0: 解析方法一，当x>1时，不等式x2十 (3)y>0在{xa≤x≤)上恒成立台{x a.x十9>0恒成立， a≤x≤3}二A,其中A是y>0的解集. ∴.只需求出函数y=x2十a.x十9(x>1)的 例15设函数y=ma2-mx-1. 最小值，令最小值大于0即可 (1)若对于一切实数x,m.x2一m.x一1<0 二次函数y=x2十ax十9的图象的对称轴 恒成立，求m的取值范围. 为x=一 2 (2)对于x∈{x1≤x≤3}，mx2一mx 当-号<1，即a>-2时，函数在x=1处 1<一m+5恒成立，求m的取值范围 点发(1)因为二次项系数m具有不确定 取得最小值a+10,则a十10>0，a>-10, 性，所以我们要分m=0和m≠0讨论求解。 .a≥-2. (2)根据x∈{x1≤x≤3}时，m.x2一mx 当一受>1，即a<-2时，函教在x=-号 1<-m十5恒成立台x∈{x|1≤x≤3}时， 处取得最小值（一号）一受+9=9一 (m.x2一m.x-1)x<一m十5求解.也可采用分 离参数法，得m之百对xex1<≤3 6 ∴9->0，解得-6<a<6, ∴.-6<a<-2. 恒成立m<29）El<r<3. 综上，实数a的取值范围为a>一6. 解析(1)要m.x一m.x一1<0恒成立， 方法二（分离参数法），x>1, 若m=0,显然一1<0，满足题意： 由r2+a+9>0得a>-(+） m0, 若m≠0，则 △=m2十4m0, .9=6,当且仅当x=9 解得一4<m<0. 即x=3时等号成立， 综上所述，一4<m≤0. -(+)的最大值为-6， (2)方法一要使mx2一mx一1<-m十5， a>-6,故a的取值范围为a>一6. 即使mr-2)+m-6<0.xx1≤ 62 第二章一元二次函教、方程和不等式么组 x≤3}. Cmm<0或0<m<哥 令g=m-+m-6x∈x1≤ D.mm< x≤3. 当m>0时，二次函数的图象开口向上， ◆变式9若命题“存在实数x,使得(a .当x=3时，g取最大值 2)x2+2(a-2)x-4≥0成立”是假命题，则实 数a的取值范围是 7m6<0,解得m<号， 题型5一元二次不等式能成立问题 0m<9 例16(2022·北京广渠门中学高一期中) 当n=0时，一6<0恒成立. 3x∈R,使a.x2一4x+a>0成立，求实数a的 当m0时，二次函数的图象开口向下. 取值范围. 当x=1时，g取最大值， 解析当a=0时，原式变为一4.x>0,解得 .m一6<0，解得m6,.m0. 0,满足条件； 综上所迷，m<9。 当a>0时，显然3x∈R,使a.x2-4x十a >0成立： 方法二，m.x2-mx-1<-m十5恒成 当a<0时，要使ax2一4.x十a>0有解，则 立，即m(x2x十1)一6<0恒成立. 需要△=(-4)2-4a×a=-4(a2-4)>0, x-x+1=(-}+>0, 解得-2<a<2.又a<0,所以-2<a<0. 6 综上所述，实数a的取值范围是a>一2. ∴.m x2-x+1 ●变式10(2022·江苏江浦高级中学高 6 :函数y=x2-x十1 6 在 一阶段练习)（多选）已知关于x的不等式x2一 112 4x-a一1≥0在1≤x≤4上有解，则a的取值 {x1<r≤3到上的最小值为9， 可以是(). A.-6 B.-5 C.-1 D.0 只需m<号即可 易错警示 ∴m的取值范国为m<号 ◆易错题13（错误率42%）当a为何值 ●变式8(2022·商丘期中)若对于任意 时，不等式(a2-1)x2+(a一1)x-1<0的解 的1≤r≤3，m.u2一mx十m<5恒成立，则实数 集是R? m的取值范围为( ◆易错题14（错误率38%）解不等式： A.{mm≤0} 2 &m≤m<号 参考答案见《全书易错题集》第3页 63时，S取得最大值1352. 集为{x1<x<6}. C拓展拔高练 (3)原不等式可化为82-8x+>4x-x2, 即9x2-12x+4>0. 1.I)a+b)va而-1，a+h= ab 解方程9r-12十4=0.得=6=号 ,"a>0,b>0,,.a+b≥2ab, 结合二次函数y=9x一12x十4的图象知，原不等式的 高2画，0 解集为{x≠号 当且仅当。=6-号时等号成立。 [变式2] {<<a小. 提示：原不等式可化成 (x-a)(x-a)<0,因为-1<a<0,所以a>合故 当且仅当a=号时取等号。 原不等式的解集为{日<<小： 故。+是的最小值为4v厄 [变式3]当a<2时，(a-2)x+(2a-1)x+6>0→ [(2-a)x-3](x+2)<0,故解集为x-2<x< @>00,法+动2√会高高 11 11 2 当且仅当名品时取等号。 当a=2时，3r十6>0，解得x>-2,故解集为{.x 又a长号，当且仅当a=b时取等号， x>-2: 站+动9 当a>号时.a-2)r2+(2a-1)x+6>0→[a-2)z <2不存在使和十的值为 +3(x十2)>0，由于22。>-2.放解集为 25 {>22。或r<-2: 2.10.提示：由题意知t≥x>0, (-m>0, 当2<a<号时，由于22。<-2，故解集为 .xr· 25 y(r-y)' 25 25 100 {>-2或x<22a: y+(下 当a=号时，(a-2).r+(2a-1Dx+6>0→r2+4r+ =100. 4>0,故解集为{xx≠一2. ≥100.即≥10，则当正数x,y(x>y)变化时，t= 25 综上所述，当<2时，解集为-2<<2： max,y户}的最小值为10， 当a=2时，解集为{xr>一2}： 2.3二次函数与一元二次方程，不等式 变式训练答案 当>时，解集为{>22或x<-2: [变式](1)解方程x2一5x一6=0，得=一1，=6. 当2<a<号时，解集为{>-2或r<22a: 结合二次函数y=x一5.x-6的图象知，原不等式的解 集为{xx<-1或x>6}. 当a=7时，解集为xx≠-2. (2)原不等式可化为x2-7x十6<0. [变式)方程2x+a.x+2=0的判别式△=a2-16= 解方程x2-7x十6=0，得x=1,2=6. (a+4)(a-4). 结合二次函数y=x一7x十6的图象知，原不等式的解 ①当a>4或a<-4时，△>0，方程2x+a.x+2=0的 17 两个根为石=(-a-@-16),=(-a十 当0<a<时，不等式的解集为 a-16). <: 2a 所以原不等式的解集为xx<}(一a一√0-16)， 当0>时，不等式的解集为心， 或>(-a+v-16}. [变式D提示：“≥1，六马一1≥0， ②当：=4时，△=0，方程有两个相等实数根，= 2=-1, 3>0,即子0.等价于-2+100 所以原不等式的解集为{xx≠一1. 或x-2=0,故-1<x2. ③当a=一4时，△=0，方程有两个相等实数根，x= [变式7]B提示：由“3x∈R.(m-1).2+21一m)x十 =1, 3≤0是假命题”可得“Vx∈R,(m-1).x2+2(1-m)x+ 所以原不等式的解集为{xx≠I, 3>0是真命题” ④当一4<a<4时，△<0，方程无实根， 当m-1=0,即m=1时，不等式3>0恒成立： 所以原不等式的解集为R -1>0, 当m一1≠0，即≠1时， 综上所述，当a>4或a<一4时，原不等式的解集为 [2(1-m)Y-4(-1)×3<0, {r<}(-u-V@-6),或>}(-u十 解得1m<4. 综上可得，1≤m<4.又“m心>0”是“1≤m<4"的必要不充 a-16)}: 分条件，所以"m>0”是“3x∈R,(m-1).x2+2(1-m)x 当a=4时，原不等式的解集为xx≠一1： +3≤0是假命题”的必要不充分条件. 当a=一4时，原不等式的解集为{xx≠1： [变式8]D提示：本题即m.x2一mx十m一5<0对于任 当一4<a<4时，原不等式的解集为R 意的1≤3恒成立. [变式5]当a<0时，△>0，解得 令y=m.x2-m.x十m-5,1≤x≤3， 若m=0,一5<0恒成立： 1-0,=1+柜 2a 2a 若m<0,当x=1时y最大，且ym=l-5<0, 如图1所示， 解得m<5,∴m<0: 解集为<度>上 若m>0,当x=3时y最大，且y=7m-5<0, 2a 解得m<号，0<m<号 当a=0时，解集为xx>1. t/ 综上所述，实数m的取值范围为 mm<号 [变式9]{a一2<a≤2.提示：命题“存在实数x,使 图1 图2 得(a一2)x2+2(a一2)x-4≥0成立”是假命题，则其 当0<a<时，如图2所示， 否定“H实数x,都能使得(a一2)x2+2(a一2)x-4<0 解集为小上西1士也 成立”是真命题 2a 当a=2时，原不等式化为一4<0恒成立： 当a=十时，不等式可化为（受r1)广<0，解集为②. a-2<0, 当a≠2时， △=4(a-2)2+16(a-2)<0. 当a>时4<0，解集为⑦. 解得一2<a<2. 综上所述，当a<0时，不等式的解集为 综上，-2<a≤2.故答案为{a-2<u≤2. {<止成>上： [变式10们ABC提示：不等式x产一4x一a-1≥0在 2a x∈{.x1≤x≤4}有解等价于a≤(.x2一4.x一1)mx.设 当a=0时，不等式的解集为{xx>1: y=x2-4x-1,1≤x≤4，即y=(x-2)2-5,而当x=1 -18 时，y=一4：当x=4时，y=-1,故y=x2一4x一1在 5.-名提示：骨09x+1D(a-1<0,其解集 x∈{x1≤r≤4}时的最大值为-1，故a≤一1. 真题演练答案 是{xx<-1或x>-},当且仅当x=一号是方 L.A提示：P={xx≤-1或x≥3}，故P∩Q={x3≤ 程ax一1=0的解.故a=一2. x<4}. 6.(1)因为不等式ax2-3x+b>4的解集为{xx<1或 2.(x-41.提示：-x2-3x+4>0→(x+4)(x x>2}, 1)<0→-4<r<1. 所以x=1,x=2是方程ax2一3x十b-4=0的根， {a要<a<}. 提示：不等式可化为(4一a)x2 3=1+2 根据韦达定理得 4x+1<0, 0 b-4=1×2 由原不等式的解集中的整数恰有3个， 解得a=1,b=6. 4-a>0, 得 即0<a<4. (2)由(1)可将不等式化为x2-(c+2)x+2c<0, 16-4(4-a)>0 即(x-c)(x-2)<0. 由①得1 11 2+a 当c>2时，不等式的解集为{x2<x<c: 所以解集中的3个整数必为1,2,3， 当c=2时，不等式的解集为0： 当c<2时.不等式的解集为{xc<x2. 所烈36解得的号 B综合提能练 4.C提示：若a,b,2a+b互不相等， L.C提示：(x一a)☒(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]= a0, (x-a)(1-x-a）, 则当≤0，时，原不等式在x≥0时恒成立， 则(x-a)@(.x十a)<1→(x-a)(1-x一a)<1. 2a十b≤0 又(x一a)(1一x一a)<1对x∈R恒成立， 又因为ub≠0，所以b<0: 即x2一x一a2+a+1>0对r∈R恒成立， a≤0， 所以△=1-4(1+a-a2)<0, 若a=b,则当a=, 时，原不等式在x≥0时恒 即4a2-4a一3<0，解得- 2a+b≤0 成立， 2.D提示：当m=2时，原不等式化为>0恒成立。 又因为ab≠0，所以b<0: 当m≠2且m≠-2时，要使对Hx∈R,不等式(m2 a≥0， 若a=2a十b,则当a=2a十b,时，原不等式在x≥0时 4r+(m一2r+m十2>0恒成立，则 ≤0 m2一4>0. 恒成立，又因为ab≠0，所以b<0: 4=(m-2)2-4(㎡2-4)，1 +2<0. 若b=2a十b,则a=0,与已知矛盾： (m十2)(m-2)>0, 若a=b=2a十b,则a=b=0,与已知矛盾. 即 解得2m<6. (m-2)(m-6)<0, 综上，b<0. 综上所述，m的取值范围是{m2≤m<6, 练习册答案 3AD提示：设y子广-3十4，r∈R.则y=是( A基础过关练 2)十1.对于A,y21,.当a<<1时.不等式 1.C2.A3.D 4.m≤一5.提示：因为y=x2+mx+4的图象开口向 a<是2-3x十4b的解集为3.所以A正确 上，依题设知，当x=1时，y≤0：当x=2时y≤0. 对于B,在同一平面直角坐标系中作出函数y一子 1十m+4≤0， 即 解得m≤-5. 4+2m+4≤0. 3+1=是红一2y+1的图象及直线y=a和y=b的 -19答案④. A.1+2 B.3+22 易错探因若在应用不等式的性质解题时忽略其成立的 C32 D.42 条件，就会得出错误的结果，如①中易由α<b错误推出 正解：x十2y=1,x>0,y>0, }>古，从而判斯①是正确的：③中易忽略口与6的符 +=+2(+)=3+号+3+2 y 号（认为二者同为正），从而错误推出> (当且仅当号=，即x一②y时，等号成立。 应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如 “非负乘才保序”，还要特别注意“乘负反序”“同号取倒 d=顶-1y=1盟 反序”的情况。 放当一反-1w1-号时+ 有最小值，最小 y 误区11忽略基本不等式求最值的条件 值为3+22. 易错题1（错误牵溜%）函数y一2行-(0<r<号) 答案B 易错探因本题易产生如下错解： 的最大值为」 >0,y>0,.1=x十2y≥22xy,∴.8.xy≤1. 正解 5 0<3· .2x>0,5-3x>0 y y=2xr(5-3x)= 号a6-am<号(） +2写 1 =25 1 :1+1≥28=42. t y 当且仅当3x=5-3,即x=君时，满足0<x<号且 放+号的最小值为42 等号成立， 上述求解过程中使用了两次基本不等式：x十2y≥ 故所求函数的最大值为气 2√2xy, :,但这两次取等号的条件分 答案票 别为x一2y与x=y,不能同时成立，所以不能等号. 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等 易错探因本题易产生如下错解： 号的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本 y=2r(5-3x)=2/6-3aJ<2(H53)= 不等式是无法求出最值的，此时应对原式进行适当的 (5-2.x) 拆分或合并，直到取等号的条件一致 2 当组仅当一5-a,即一子时满足0<x<号且等号成立。 误区13忽略对二次项系数的讨论 此时⑤2-要故y的最大值为等 易错题13（错误率42%）当a为何值时，不等式 2 8 (a2-1).x+(a-1)x-1<0的解集是R? 事实上，不等式右边的()不是常数，不符合基 正解若a2-1=0,则a=士1. 当a=1时，原不等式化为-1<0恒成立， 本不等式求最值的条件（和或积为定值）。 .a=1满足题意： 误区12忽略连续使用基本不等式时等号成立 当a=-1时，原不等式化为-2红一1<0，即>-之： 的条件 ∴a=一1不满足题意： 易错题12（错误率43%）已知x>0,y>0,且x十2y= a-1<0, 1,则十的最小值为( 当a≠士1时，由题意得 y (a-1)2+4(a2-1)<0, 3 解得-子<a<1. 所以3≤2+1<4，解得1<r≤号， 综上可知，实数a的取值范明是{a一号<4≤小. 故2+1D的定义城为[1，号] 易错探因对二次项系数”-1应分其为0和不为0两 答案[1，] 种情况进行讨论，不要认为它一定是二次不等式.因此 易错探因本题易产生如下错解： 要对.x2的系数-1进行讨论：当a=1时，原不等式 错解一：由1≤x十2≤2，得一1≤x≤0，则-1≤2.x+ 化为一1<0恒成立：当a=一1时，不满足题意：当a≠ 1≤1，因此f(2x+1)的定义域为[一1,1： a2-1<0, 错解二：因为f(x十2)与f(2x+1)含有同一字母“x”, 士1时， 解不等式组即可得 (a-1)2+4(a2-1)<0, 则取值必相同，所以f(2x+1)的定义域为[1,2] 出结果 事实上，这里只不过是用同一字母“x”来表示两个不同 的复合函数的自变量而已（函数的自变量用什么字母 误区14忽略对分式中分母的讨论 表示与函数无关)， 易错题14（错误率38%）解不等式：六2。 出现以上错解是因为对复合函数的定义域的概念理解 不清。 正解移项得号 -2≤0，左边通分并化简， 误区16忽略换元后参数的范围 得<0，即二≥0， x-2 r-2 易错题16（错误率38%）(2023·安徽皖北协作区高一 (x-2)(x-5)≥0， 联考)函数y=x十√2x+I的值域为 4 此不等式等价于 x-2≠0. 正解令1=V2中，则≥0，且x号 解得x<2或x≥5. ∴.不等式的解集为{xx<2或x≥5. 故y=f号+1=+10-1[0，+oy 易错探因本题易错的地方是不等式两边同乘以x一2 画出[0，+o∞)时，函数y=21十1)2-1的图象， 这一式子，没注意到它是大于0还是小于0，不等号是 如图中实线部分所示.由图象知≥一之，所以所求函 否改变方向.这里要分x一2>0和x一2<0两种情况 来讨论，若不讨论，肯定会出错，当然，求解这类问题时 数的值域为[一，十∞) 最好是将不等号右边变为0的形式 分式不等式的求解应注意两点：一是不要随意去分母 (除非知道分母是正或负)，而应移项，使其一边为0：二 是婴将其等价转化为一元二次不等式，如本题中》 1(x-5)(x-2)≥0， 答案[-+∞)： 0 x-2≠0. 易错探因本题易错的地方是换元后忽略了参数（的取 值范围，误认为1为任意实数，从而得到错误答案： 误区15混淆复合函数的定义域 因为y=2(1+1)2-1>-1(∈R), 易错题15（错误季33%）(2024·重庆测试)已知 所以所求函数的值域为[一1，十©). f(x+2)的定义域为[1.2]，则f(2x+1)的定义域为 误区17忽略去绝对值的定义域 正解由于fx+2)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2， 所以3≤x+2≤4，即f(x)的定义域为[3,4]， 易错题17（错误率31%）画出函数y=1的图 1-x2