2.2 基本不等式-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第二童一元二次函教、方程和不等式么 2.2基本不等式 重点和难点 课标要求 重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释 1.理解基本不等式 用基本不等式解决简单的最值问题， 2.能初步应用基本不等式求最值和证明简单的不等式。 难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决 3.能利用基本不等式解简单的应用问题. 简单的最值问题. 01必备知识梳理 基础梳理 知识点1基本不等式 国敲黑板 1.重要不等式 1.基本不等式成立的条 对于任意实数a,b,有十6≥2ab.当且仅当a=b时，等号成立. 件是a>0,b>0. 证明(a-b)≥0台a2+b-2ab≥0台a2+≥2ab,当且仅 (1)若a<0b0.如a=-2 当a=b时，等号成立. 6=-4,会出现-2一≥ 2 知识剖析(1)重要不等式的实质是实数平方的非负性，不等 √（一2）×（一4D的错误结论. 式中a,b的取值既可以是某个具体的数，也可以是一个代数式。 (2)若a,b中有一个小于0. (2)不等式a+≥2ab可以变形为ah<“步，4ab≤d+ 如a=2,b=-4,则√2X(一4) b+2ab,2(a2+b)≥(a+b)2等形式. 无意义 (3)若a或b等于0，虽然 2.基本不等式 该不等式也成立，但在基本不 如果a>0.b>0,那么< 当且仅当a=b时，等号成立. 等式中一般不研究这种情况 2.基本不等式的常见变 其中，“士叫作正数a,b的算术平均数va历叫作正数a,b的 形形式：a十b≥2√ab,ab≤ 儿何平均数， 因此，基本不等式也可以叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的儿何平均数 知识点2最值定理 国敲黑板 设a,b均为正数. 利用基本不等式求最值 1.若a十b为定值S,则当a=b时，积ab取最大值9 需注意的问题 1.利用基本不等式求最 2.若ab为定值G,则当a=b时，和a十b取最小值2G 值要牢记三个关键词：一正、 二定、三相等。 证明“a>0,6>0,“士>ad (1)一正：各项必须为正 47 国避手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 当a+b=S时，有>a,即ah子，当且仅当a=6时，等 (2)二定：各项之和或各 项之积为定值， 号成立 (3)三相等：必须验证取 当ab=G时，有“生>G,放a+b>2G,当且仅当a=b 等号时条件是否具备。 2,应用基本不等式求最 时，等号成立 值的关键：根据定值去探求最 最值定理可简记为： 值，在探求的过程中常需依照 具体的问题进行合理的拆、 和定积最大，积定和最小。 凑、配等变换 重难拓展 重难点1 基本不等式的变式与拓展 后敲黑板 基本不等式链 对基本不等式链的理解与拓展 1,基本不等式链的内涵 若a>0,6>0.则2≤v函<空≤、 a+b ,当且仅当 丰富，在实际的运用中相对于 2 基本不等式更为广泛，但它们 都是在基本不等式的基础上 a=b时等号成立.其中 2,叫作a,b的调和平均数， 。+E叫 拓展而来的，也都可以由基本 11 2 不等式（或重要不等式）加以 证明. 作a,b的平方平均数， 2一般来说，以下四组不 其几何意义如图2.2-1所示. 等式可以作为基本不等式的 应用形态： 形解密 a c呼 b>0). OD-(0F=+地 2+片>a>0 CD-ab b>0) DK= 2 3)a+b)(日+2)≥ 1(ab>0). 图2.2-1 4w≥ia. 2 a2+b 例口若a>0,b>0,求证11≤ab<“2≤V2 b∈R). a b 3.不等式链包含六个不 1+1 等式(a>0,b>0): 正1由>0,6>0，得·石 2 b Jab' I1口≤va6 a b 2 六1工≤va,当且仅当a=b时，等号成主. 2 a十 (2②)<光，当且仅当a=b时，等号成立，已运， 3)1+2 48 第二章一元二次函教、方程和不等式么组 a+Fa十ba2+正_ (3)2 (a+b) 2N2 4 ( 5)a≤ a十b a2+十a2+b a2+b+2ab 2 4 4 6≤ a十b 2 a2十b2>≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立， 以上六个不等式中的等 >0 号，都是当且仅当a=b时取得 2 实际应用中，可根据题设 条件和所求，选择性地应用上 ≥史当且仅当a=6时，等号减主 迷不等式. ,2≤va≤ah< 综上11 a+b 得证. 卫拓视野 2 2 基本不等式的拓展 1,三元基本不等式 例2已知函数y=√一3x+12+√3.x,则该函数的最大值为 a2++2≥3abc→ a≤(etg 选择不等式链中的时<@产，将v一3江+2看作 ab<atbte 2N2 3 a,将√3.x看作b,很显然可得a2+b=12为定值. a+b+c≥atc, 3 其中a,b,c都大于0. 解析：V一3x十12+3z 当且仅当a=b=c时，等 2 号成立 (-3x+12)2+(3.x)2 2.推广到n元的基本不 2 等式为 ∴.y≤2V6,当且仅当一3x十12=√3x,即x=2时等号成立. a十a十ta≥ya1a4a (a1a,…,aw都大于0). .函数y=W√一3x+12+√3x的最大值为2V6. 当且仅当a1=a=…= 答案26. aw时，等号成立. 02关健能动提升。 题型方法 结拘特征知，先用基本不等式证号+b>2,艺十 题型1利用基本不等式证明不等式 c≥2h,二+a≥2，再将同向不等式相加即可. 1.无附加条件的不等式证明 例图已知a,6.>0,求证：%+ +≥ 证明，a,b,c>0,.利用基本不等式 可得%+b>2a+≥2b.+0≥2c. a+b+c. 点拨]由条件中a,b,c>0及所证不等式的 :9+2+C+a+b+c≥2a+2b+2c, bc a 49 重雅点手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 故%++≥十6+e, c a 证明：ab叶bc十ar<号 当且仅当a=b=c时，等号成立. 题型2直接利用基本不等式求最值 [点评本题是一个无附加条件的不等式恒 例固已知x>-1,求函数y=+7x十0 成立的证明问题，证明时要根据所证不等式的 x+1 结构特征，合理地构造并正确选用基本不等式 的最小值 或其变形形式，这也是证明轮换对称结构的不 [点拨对于本题中的函数解析式，可把x十1 等式（用b换a,a换c,c换b后，代数式不变的 看成一个整体（可直接换元），然后把函数用 式子叫作轮换对称式，其特征是a,b,c的地位 x十1来表示，通过分离常量配成“积为定值”的 一样)的常用思路. 形式，再用基本不等式来处理 2.有附加条件的不等式证明 解析方法一（整体法），x>一1， 例4(2024·南通高一检测)已知a>b, .x+1>0. ah=1,求证：a2+2>≥2√2(a-b). y=2+7z+10 x+1 [点拨]这是一个条件不等式，因此要用好 =x+1)+5(x+1)+4 a>b,ab=1这两个条件.我们观察到不等式 x+1 左、右两边的次数特征，因此要向模型ax+b≥ x =(x+1)+4 7+5 2vab方向思考. ≥2+1·有+5 证明a>b,.a一b>0.又ab=1, :.atl-q'tl+2ab-2ab =9. a-b a-b =(a-b)2+2ab 当且仅当x+1=,即x=1时，等号 a-b 成立 =a-b+2 当x=1时，函教y=+7十10(x> a-b x+1 ≥2√a-6)2 一1)取得最小值，最小值为9. a-b 方法二（换元法）设x十1=t, =2√2， .x>-1,.>0 即若≥22，即心+6≥22a. 则y=《-1+70-1+10=+4+59, 当且仅当a一b=,名6即a一b=2时，等 故当1=2，即x=1时，原函数取得最小 值，最小值为9. 号成立。 点评两种方法其实采用的是同一思路， ◆变式1已知a,b,c都是非负实数，试比 但换元法更简洁明了 较√a2+?+B+2+√2+a与√2(a+b+c) 的大小。 ◆变式3若不等式a十>2 ◆变式2设a,b,c均为正数，且a十b十c=1. (a>0)恒成立，则实数a的取值范围是(). 50 第二章一元二次函教、方程和不等式么组 A.{a0<u≤9 B.{ala≥9 题型4常数代换法求最值 caa≥ D.ao<a≤g 例7已知x>0y>0,且+号=1，求 题型3由方程转化为不等式求最值 x十y的最小值 例6(1)若正实数x,y满足2x十y十6= 点拨要求x十y的最小值，应构建某两个 xy,则xy的最小值是 数（或式）的积为定值，因而需要对条件进行必 (2)若实数x,y满足x2十y2十xy=1,则 要的变形，有三种思路：①利用“1”的代换进行变 x十y的最大值是 形：②消去x,y中的任意一个变量：③因式分解. 解析(1)设√xy=t(t>0), 解析方法一(“1”的代换)1+9=1， x y 由xy=2x+y+622xy+6, 得t≥2√2t+6,(t-3V2)(t+√2)≥0， x+y=++）=10++ y .t>3v2,则xy≥18 .x>0,y>0, 当且仅当2.x=y,2x+y+6=xy, .y+9≥2,.9x=6. 即当x=3,y=6时，等号成立. y Nx y ∴.xy的最小值为18. 当且仅当之-二即y一3时取等号。 (2)题中式子消元有难度，而目标是x十y, 且由已知条件可以构造出x十y的平方， 又号1，=4y=12 于是有1=(x十y)2-xy≥(x十y)” ∴.当x=4,y=12时，(x+y)m=16. 安-x+, 方法二（消元法）“+9=1， x y 六号≥+.即十<2 ..t=-y -9 当且仅当x=y>0,x2+y2+xy=1,即 x>0,y>0,.y>9. y=号时，等号成立故填 +y产g十y=+99=y+ y-9 室a1822y y-9+1=y-9+ y-9+10. 点评(1)中，将原方程变为关于√xy的 y>9,∴.y-9>0. 元二次不等式：(2)中，将原方程变为关于x十y 的不等式，然后解不等式即可 y9+”g≥2，-9 y96. ●变式4已知x>0,y>0,且x+8y 当且仅当一9=”g即y=12时，取等 xy=0. 号，此时x=4. (1)当x,y分别为何值时，xy取得最小 ∴.当，x=4,y=12时，(x十y)m=16. 值？请求出最小值 (2)当x,y分别为何值时，x十y取得最小 方法三（因式分解法）由上+号-1得 值？请求出最小值. 9.x+y=xy,即(x-1)(y-9)=9. 51 国避手册高中数学必修第一册（上）风/A(浙江专用) 由1+9=1知x>1,y>9. a—而≥G+≥4.当且仅当6 又x+y=(x-1)+(y-9)+10 2W(x-1)(y-9)+10=16, a6f-甲a=E6号时等号成立 当x一1=y一9时取等号. 故d+6D的最小值为4 又由1+9=1得x=4,y=12. y 方法二a2十 (a-=[6+(a-b)]+ 1 .当x=4,y=12时，x+y的最小值为16. 点评本题主要考查应用基本不等式求最 ba-D≥4b(a-b)+6a-D≥4当且仅当 值的思想方法，本题的三种解法都用到了基本 2 不等式，且都对式子进行了适当变形，从而配 6a-6.4a-b)=aD甲a=区.6-号 凑出满足基本不等式的条件， 时，等号成立，故公十D的最小维为4 ●变式5若>0.b6>0.且十a21, 点评多次用不等式求最值时，必须使“等 则2a十b的最小值为( 号”能同时成立，如方法一中“b=4一b,a A.2 B号 1” ”:方法二中b=a一b,4a一b)=d万” C.4+2w3 D.2+5 ◆变式6已知a>0,b>0,当(a+4b)2+ 取得最小值时，b= 题型5多次应用基本不等式求最值 ab 例图已知a>b>0.求+aD的最小值 易错警示 ◆易错题11（错误率38%）函数y= 点拨如果要顺利运用基本不等式，则需 要对目标式进行变形，如何对含有两个字母但 2z6-30<<号)的最大值为 条件缺乏的目标式进行变形呢？注意到和式 ◆易错题12（错误率43%）已知x>0, 中的次数，一个是二次，一个是负二次，如此便 >0,且.x十2y=1,则+1的最小值为( 可以向ax十6的结构方向发展，于是拆项成为 A.1+√2 B.3+22 必然的选择 C.3√2 D.42 解析方法一 ba-b)≤[b+a-b) 参考答案见《全书易错题集》第3页 门03-核泰养聚焦一。 考向分类 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 考向1利用基本不等式求最值 的因为ab≤()<“生护(a6长 例9(2022·新高考全国Ⅱ卷)（多选）对 R),由x2十y一xy=1可变形为(x十y)2一1= 任意x,y,x2+y2-xy=1,则( A.x十y≤1 B.x+y≥-2 3≤3（生），解得-2≤x+y≤2，当且仅 52 第二章一元二次函教、方程和不等式罐欧0 当x=y=一1时，x十y=一2，当且仅当x 续表 y=1时，x十y=2,所以A错误，B正确. 常考题型 选填题难度系数0.7高考热度★★★ 由z2+y一xy=1可变形为(x2十y)一1 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平水平二 y≤Y,解得x2十了≤2，当且仅当x 2 考向2 常数代换法求最值 y=士1时取等号，所以C正确. 因为x2十y≥2|xy,所以|xy|≤ 例面(2017·山东卷)若直线若+名=1 立，从而得y2-号Y (a>0,b>0)过点(1,2)，则2a+b的最小值为 2 2 由x2+y2一xy=1可变形为(，x2十y2) 1=2-,解得3≥1，即2+ 解析] 2 2 由已知得十=1 少>号当且仅当=9=我xy= 则2a+b=(2a+6(日+)=4+合+0 取等号，所以+≥号故D错误。 为>0,6>所以+2，·=4 答案BC 故2a十b>8,当且仅当=且上+2 例10(2020·天津卷)已知a>0,b>0, a b b 且6=1，则品+六+的最小值为 1,即a=2,b=4时等号成立. 答案8. 解析依题意得 命题意图：考查利用基本不等式求最值 命题规律 真题探源：教材P48习题2.2第1、5题的 品+品+6=+。=+ 拓展延仲 常考题型选填题难度系数0,2 高考热度★★★ 8 a+b,8 ab222·a+64 核心素养 逻辑推理，数学运算 素养水平水平二 a>0, 食题演练 b>0. 当且仅当ab=1, 1.(2020·江苏卷，考向1)已知5.x2y+y= a+b_8 1(x,y∈R),则z2十y的最小值是 2a+b' 2.(2019·天津卷，考向2)设x>0,y>0, ab=1, 即 时取等号 a+b=4 x+2y=5,则+D2y+D的最小值为 Vry 因此品十品十的最小值为 3.(2017·天津卷，考向1)若a,b∈R, 答案4. 6>0,则牛伦中的最小值为 命题意图：考查基本不等式的应用 4.(2017·北京卷，考向2)已知x≥0，y≥ 命题规律真题探源：教材中利用基本不等式求最值的 0,且x十y=1,则x2+y2的取值范围是 题目很多，如P45例1，P46练习第3,4题 53又a≠b,则一ta>0,故乙先到达终点. 又号≥10%，8册8≥10%， 8.(1)令4a-2b=x(a+b)+y(a-b). 所以4a-2b=(x十y)a十(.x-y)b. ,,同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采 所以 x十y一4·解得 x=1, 光条件变好了. x-y=-2,y=3. 2.2基本不等式 因为1≤a十≤4，-3≤3(a一b)≤6，两式相加， 变式训练答案 得-2≤4a-2b≤10. [变式刊由生√要得v牛≥号a+ 2:4a<10.2<K4,6<分 同理得v干≥号b+e.vF+石≥号e+o 1<a…<5,1<号<5 所以v5+V7+v+≥号a+)+ 9.假设+1<2和+y<2都不成立. y (b+c)+(c+a)]=√2(a+b+c). 即1+≥2,1+>2则1+≥21+y≥2x, y 故a+F+√+e+√+a≥√2(a+b+c),当 .1+x+1+y≥2y+2x,即2+x+y≥2(x+y) 且仅当a=b=c时，等号成立. ∴.2≥x十y,即x十y≤2 [变式2]由a2+≥2ab.+2≥2bc,2+a≥2a, 与已知条件x十y>2相矛盾，假设错误， 得a+6+c2≥ab+c+ca, “1中上<2和+<2中至少有一个成立 当且仅当a=b=c时，等号成立. y x 由题意得(a十b十c)2=1, 10.a2b+bc+ca-(ab +b+ca')=(a'b-b2)+ a+2ab+2bc+2ac=1: (c-al)+(c2a-ca)=b(a-c2)+(c-a)+ “3(ab叶k+ca)≤1，即adb叶c+ca≤分 a(c-a)=(c-a)(+a-a-x)=(-a)(c-b)· [变式3)C提示：原不等式可转化为a(x+1)十 (a-b). 1 2 因为a>b>c,所以c一a<0,c一b0,a一>0. >号.又a>0:期a2+10+≥ 则(c一a)(c-b)(a-b)>0, 1 即a2b+c+c2a-(a6+b2+ca2)>0. 2√ar+D·中市=2va,当且仅当a(r+1)= 所以a2b+序c+c'a>a+bm2+ca2. 1 ，即十=a时，等号成立.则根据恒成立的 C拓展拔高练 意义可知2≥号，解得。> 127.提示：4号≤9,16≤号<81 ① y [变式4](1)因为x>0,y>0,且x+8y-xy=0, 3≤xy≤8， ② 所以xy=x+8y≥2√8xy,故xy≥32， 当且仅当x=8y,即x=16,y=2时取等号，因此xy的 由0@可得2号·女≤27，即2号 27 最小值为32. 号的最大值为27 (2)由已知得8+士=1，所以x十y=(x+y)· 2.采光条件变好了.理由如下： 设住宅的窗户，地板面积分别为a,b,同时增加的面积 (登+)-9++号9+2W· 8y.x=9+42, 当且仅当8=二，即r=8+2②，y=2区+1时取等 为m依题意得a<b.且号≥10%。 号-需>0， 号，因此x十y的最小值为9十4√2. [变式5]D提示：设a+1=x,a十2b=y, 则a=-1,6=中，2a+b=3+0-是 题日转化为：巴知十号1，求号(3：+》号的最 3.4.提示：因为山b>0,所以+h+12@万+1 ab 小值 又+y=(+(+号)=4++≥4+2， 中la6+品≥2Va6~品=4，当且仅当 ab y =2 当组仅当x3一厅+1时等号成立 时取等号，故十6+山的最小值是4. ab-2 则号(3x+y)- 34+253=1+2圆 2 2 2 2 4{<<以 提示：由已知可得y=1一x,则x2十 [变式六 提示：：a十4h>2/4ab=4Vab(当且仅 y=2+1-x)2=2r-2x+1=2(x-号）》'+号 当a=4b时等号成立)， (0≤≤1).当x=0或x=1时，x+y取得最大值1， ∴.(a十4b)2≥16ab(当且仅当a=4h时等号成立)， 当x=之时，+了取得最小值号，所以2+y的取 a·4h≥l16ab+4 …(a+by+4 值范调是<r+y<1. 8(当且仅当。=4b时等号成立)， 练习册答案 (2a)P+=8,解得a=1,故=子 A基础过关练 真题演练答案 1.B2.C3.B4.C 1合提示：方法-由5y+y=1得r=动 5.≤22. 提示：由题意得，任意的2≤<2,2x-寸 苦则+=京+号>2每·号-青当且 1≥0成立是真命题，故2x+上≥A在2≤<2上恒 仅当动号，即了-古时取等号.则子+少的最小 成立.由基本不等式得y=2x+}≥2√2· 值是专 方法三4=(6+yr)·4y<[5r士+址] 时，等号成立，故≤22. .ab4. 空+y,则2+y>清当且仅当5d+y=4w=2, 6强示+古 而x2+y2≥2xy,∴ry≤4.ab≥xy. 即2=品y=时取等号，则+少的最小值是号 1空提示：0<r<2,0<2r<4,5-2r>0.则 2.43.提示：+1)(y+)=2zy+2y+x+1 Vry Vry 5-20-号2x6-23[2+g20]- 2 2=2+6.由x+2y=5得5≥2√2 zy 号×华-装当且仅当2-5-2，即一号时，等号 即v<平，即0<得当且仅当-2y一号时等 成立，故x6一2)的最大值为气。 号成立 B综合提能练 2四+>2√2·店=4，当且仅当 √y 1.B提示：因为2十青=瓜.所以>0.b>0 a 2=即-3时取等号，结合≤曾可知， +2画 √ab xy可以取到3，故+D3+D的最小值为4v3. 所以alb≥4. 当且仅当a=1,b=4时，ab的最小值为4. -15答案④. A.1+2 B.3+22 易错探因若在应用不等式的性质解题时忽略其成立的 C32 D.42 条件，就会得出错误的结果，如①中易由α<b错误推出 正解：x十2y=1,x>0,y>0, }>古，从而判斯①是正确的：③中易忽略口与6的符 +=+2(+)=3+号+3+2 y 号（认为二者同为正），从而错误推出> (当且仅当号=，即x一②y时，等号成立。 应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如 “非负乘才保序”，还要特别注意“乘负反序”“同号取倒 d=顶-1y=1盟 反序”的情况。 放当一反-1w1-号时+ 有最小值，最小 y 误区11忽略基本不等式求最值的条件 值为3+22. 易错题1（错误牵溜%）函数y一2行-(0<r<号) 答案B 易错探因本题易产生如下错解： 的最大值为」 >0,y>0,.1=x十2y≥22xy,∴.8.xy≤1. 正解 5 0<3· .2x>0,5-3x>0 y y=2xr(5-3x)= 号a6-am<号(） +2写 1 =25 1 :1+1≥28=42. t y 当且仅当3x=5-3,即x=君时，满足0<x<号且 放+号的最小值为42 等号成立， 上述求解过程中使用了两次基本不等式：x十2y≥ 故所求函数的最大值为气 2√2xy, :,但这两次取等号的条件分 答案票 别为x一2y与x=y,不能同时成立，所以不能等号. 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等 易错探因本题易产生如下错解： 号的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本 y=2r(5-3x)=2/6-3aJ<2(H53)= 不等式是无法求出最值的，此时应对原式进行适当的 (5-2.x) 拆分或合并，直到取等号的条件一致 2 当组仅当一5-a,即一子时满足0<x<号且等号成立。 误区13忽略对二次项系数的讨论 此时⑤2-要故y的最大值为等 易错题13（错误率42%）当a为何值时，不等式 2 8 (a2-1).x+(a-1)x-1<0的解集是R? 事实上，不等式右边的()不是常数，不符合基 正解若a2-1=0,则a=士1. 当a=1时，原不等式化为-1<0恒成立， 本不等式求最值的条件（和或积为定值）。 .a=1满足题意： 误区12忽略连续使用基本不等式时等号成立 当a=-1时，原不等式化为-2红一1<0，即>-之： 的条件 ∴a=一1不满足题意： 易错题12（错误率43%）已知x>0,y>0,且x十2y= a-1<0, 1,则十的最小值为( 当a≠士1时，由题意得 y (a-1)2+4(a2-1)<0, 3