2.1 等式性质与不等式性质-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 重点和雅点 课标要求 重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异 通过本节的学习，掌握不等式的性质，加深对等 难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究 式和不等式的共性与差异的理解，加深对“代数性 不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异 质”的认识，提高提出问题和解决问题的能力 真口01-必备知识梳理-。 基础梳理 知识点1不等式的概念 1.不等式的定义 用不等号(>，<，≥，≤，≠)表示不等关系的式子叫作不等 式.如x2+x<6. 2.严格不等式与非严格不等式 (1)用“>”或“<”连接的不等式叫作严格不等式. (2)用“≥”或“≤”连接的不等式叫作非严格不等式. 3.不等式的分类 在两个不等式中，如果每一个不等式的左边都大于右边，或 每一个不等式的左边都小于右边，这样的两个不等式叫作 同向不等式.如a>b,c>d. 在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而另一 个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫作异向不等式 如a>b,c<d. 知识点2不等式的性质 别名 性质内容 特别提醒 性质1 对称性 a>lel<u 可逆 性质2 传递性 a>b,b>→a>c 同向 性质3 可加性 a>ba+e>b+c 可逆 性质3 移项法则 a-b>ca>c-b 可逆 的推论 41 国避食手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) 续表 别名 性质内容 特别提醒 ab →ac>be c>0/ 性质4 可乘性 c的符号 a>b →acb c<0/ 性质5 同向可加性 ab 同向 c>d a+c>b+d 同向同正 性质6 a>b>0 →uc>bd 同向同正 可乘性 c>d>0 性质7 a>b>0→a">b 可乘方性 (n∈N,n≥2) a,b同为正数 性质8 a>b>0→Wa>b 可开方性 (n∈N,n≥2) 性质9 可倒性 a>h111 a,b同号 国难拓展 重难点1比较两个实数大小的常用方法 比较两个实数的大小，基本方法有作差法、作商法、乘方法 P拓视野 作差法 作商法 乘方法 1.介值比较法 a>0,b>0, a<0.h0, (1)介值比较法的理论根据： a>b=a-b>0, a>若>1 <若>1， 若a>b,b>c,则a>c,其 a2>且a>0. 依据 a==a-b=0. 中b是a与c的中介值. b>0→a>b a<bea-<0 a=始=L (2)介值比较法的关键是 a<b< a>号< 通过不等式的恰当放缩，找出 应用 多项式、分式、根式或同号的两个数比较大小或指数 要比较的两个数 一个比较合适的中介值， 范周对数式之间的比较 式之间比较大小 (式)中有根号 (3)适用范围：要证a>c, (1)作差： (1)作商： (1)乘方： (2)变形： (2)变形： (2)用作差法或 直接用作差法、作商法和乘方法 步骤 (3)判断差的符号： (3)判断商值与1的大小关系： 作商法 等不易证出，而此时存在b,且 (4)下结论 (4)下结论 (3)下结论 易证ab,b>c,则得出结论 例D已知u,6为正实致：试比较号+名与，后+的大小 (4)介值比较法是较“高 瑞”的比较大小的方法。 点拨注意结构特征，尝试用作差法或者作商法比较大小 2.利用作差比较可得到 新方法-（作差法）（号十治）-(a+D)-(后网)十 如下不等式成立： a,bm都为正实数，且a>b, 会@-+2-aC0-6=6+0 期牛mb 'a十ma ① ab ab 42 第二童一元二次函教、方程和不等式么 a,b为正实数， ab,m都为正实数，且ab, ∴vNa+vb>0,ab>0,(a-√b)2≥0， 则十m<b a十ma ② :a-ba+D≥0，即4+b>a+瓜. a,b,m都为正实数，且 ab a<b.a>m. b+4 方法二（作商法】 a6_b+(a3_a+(a+b√a) 则8阳号 ③ a+√b√ab(Wa+√B) abwa+√b】 a,b,m,n都为正实数，且 _atb-Yab_(Ja-b)+Vab_1+Ca-lb)>1. a<b.n<m. √ab ab √ab 号”公兴 ④ a+60,两边同乘a+6,+>a+瓜. a,b,m,n都为正实数，且 方法三（乘方法） 信+-++8v.6a+ a>>b.n<m: b 则士”a十m ⑤ =a+b+2Yab, b+1b十m 号+)'-(a+-a+- a,b,c,d都为正实数，且 ab bd a c :a>0,6>0,a+ba-b)2≥0. ab 则什d4 ⑥ “a+cc (+)≥a+6 又g+6>0va+v0,故g+>a+6. b va 口02-关建能边提升。 题型方法 ②错误.当a=-1,b=一2，c=0,d=2时 题型1利用不等式的性质比较大小和证明 满足条件，但02，即c<d. 不等式 ③错误.当0，u>0时，分<0. 例②给出下列命题： ①错误.当a=6,b=2,c=3,d=4时满足 ①a>b,则(a-b)c>0: 条件，但3<4，即c<d. ②a>b且ac>bd,则c>d; 答案0. ⑧a>b,且b≠0，则分>1： 例3③若a>b>0,c<d<0,e<0.求证： ④a>b且a十c>b+d,则c>d. a-c-b-d. 其中正确的命题有 个 证明方法一（利用性质）：c<d<0, 解析①错误.因为a>b→a一b>0,所以 ∴.-c>-dD>0(性质4) 仅当c>0时有(a-b)c>0. ,a>b>0,∴.a-c>b-d>0(性质5). 43 国避食手细高中数学必修第一册（上）RA(浙江专用) ∴0<11 a-cd性质9). A.a<b B.aba+b C.la<b D.abb 又0， a>性质4 ◆变式2已知>0，求证：1十<1+受 方法二（作差法），。。一仁 a-c b-d 题型2利用不等式的性质求范围 (b-d)e (a-c)e (a-c)(b-d)(a-c)(b-d) 例固已知-2<a≤3,1≤b<2,试求下列 _(b-d-a+c)e_[(6+c)-(a+d)Je 代数式的取值范围. (a-c)(b-d) (a-c)(b-d) (1)a. (2)a十b. ,'a>b>0,c<d<0,e<0, (3)a-b. (4)2a-3h. ..a+d>b+c,a-c>0,b-d>0. ∴.[(b+c)-(a+d)]e>0,(a-c)(b 点发]运用不等式的性质研究代数式的取 d)>0, 值范围，关键是把握不等号的方向 a-c6-a>0, 解析(1)0≤a≤3. a-cb-d (2)-1<a+b<5. 例④设a>b>0,求证：√a+1-√a+2> (3)依题意得-2<a≤3，-2<一b≤-1， √b+1-√6+2. 相加得一4<a一b≤2. 点拨转化为√a+I+b+2>√b+I十 (4)由-2<a≤3得-4<2a≤6， ① a+2,再用平方差法. 由1≤b<2得-6<-3b≤-3， ② 证明（√b+1+√a+2)2一（√a+1+ 由①+②得-10<2a-3b≤3. b+2)2=a+b+3+2W(a+2)(b+1)-(a+b 点评解题时容易出现以下错误： +3+2√(a+1)(b+2))=2(ab+a+2b+2- (1)滥用不等式的性质造成错误，如由一2< √ab+2a+b+2). a≤3,1≤b<2得-2-1<a-b<3-2,即 文(a+2b)-(2a+b)=b-a<0. -3<a-b<1. .ab+a+26+2<vab+2a+b+2, (2)忽略不等式取等号时的条件，即利用 ∴.(b+I+a+2)2<(a+I十 不等式的传递性时没有注意两个不等式中只 √6十2) 有一个带等号时，等号是不能传递的， 又b+1+√a+2>0,a+1+√b+2>0, 例6(2023·湖北黄石二中模拟)已知 ∴.√b+1+√a+2<a+1+b+2, -1<x+y4,且2<x-y<3,求2r-3y的 即a+I-a+2>√b+I-b+2. 取值范围。 点评证明过程要步步有依据，逻辑性强 解析设2x一3y=m(x十y)十n(x一y), ●变式1(2023·重庆渝东八校高一期中 联考)（多选）已知日<石<0，则下列结论正确 m+n=2, m1 2 所以 解得 m一n=一3， 5 的是(). 21 44 第二章一元二次函教、方程和不等式营组 所以2x-3y=x+0+2x-以. 易错警示 因为-1<x+y<4,2<x-y<3, ◆易错题9（错误率30%）已知1≤a 所以-2<-(x+)<5<号(x b≤2且2≤a+b≤4，求4a-2b的取值范围. ◆易错题10（错误率42%）给出下列 2 命题： 所以3<-+0+2-0<8。 ①若a<b.6<0.则后<6 即3<2x-3y<8. ②若ac3>bc3,则a>b: 点评例6与例5是有区别的，例6中的 ③若a>b且k∈N",则a>H: x+y,x一y分别相当于例5中的a和b,计算 ①若>a>6>0.则。女 2.x一3y的取值范围，关键是将2x一3y化为 t十y与x一y的线性表示形式，即用待定系数 其中正确命题的序号是 参考答案见《全书易错题集》第2页 法求2x一3y=n(x十y)十n(x一y)中的m和n. 03核心素养累焦一。 考向分类 考同2利用不等式的性质比较大小 考向1证明不等式 例8（经典·四川卷）若a>b>0,c<d 例☑(2015·全国Ⅱ卷节选)设a,b,c,d 0,则一定有( ) 均为正数，且a十b=c+d,求证：若ab>d,则 A>9 B<号 va+b>wc+√a. 证明由题设知ab>cd>0,则√ab>√cd. c 又a+b=c+d, [解析方法一，c<d0. 则(Va+b)2-(c+√a)=(a+b十 2ab)-(c+d+2cd)=2(ab-vcd)>0. -心-d>0,a>2>0 即(wa+√b)2>(W+√d)2. 又>6>0，分>4 而Va+vb>0,vc+√d>0, 方法二令a=3,b=2,c=-3,d=-2. 故Va+√b+√d. 命题意图：主要考查利用不等式的性质证 则兰=-1，合-1，排珍选项AB c 明不等式 命题规律 又=一2c 3b 2 真题探源：教材P42例2及P43习题2.1 3 第7题 常考题型选择题难度系数0.6 高考热度 ★★ ∴名，排除选项C 核心素养 逻辑推理 素养水平水平二 答案D 45 重雕点手细高中数学必修第一册（上） A(浙江专用)》 命题意图：考查不等关系及不等式的性质 续表 命题规律 真题探源：教材P43习题2.1第8题 常考题型选填题难度系数0.6高考热度 ★★ 常考题型 选择题难度系数0.9 高考热度 ★★ 核心素养 数学建模，数学运算 素养水平水平三 核心素养 逻辑推理 素养水平水平 真通满练 考向3不等式在实际问题中的应用 1.(经典·江苏卷，考向1)已知a≥b>0, 例日(2015·浙江卷)有三个房间需要粉 求证：2a3-b≥2ab-a2b. 刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且 2.(2018·北京卷，考向2)能说明“若a> 三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷 面积（单位：m)分别为x,y,,且x<y<2,三 6.则。←古”为假命题的一组a,6的值依次为 种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为 a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中，最低的总 3.(经典·北京卷，考向2)设a,b,c∈R, 费用（单位：元）是( 且a>b,则( ). A.ax+by+cz B.az+by+ca A.ac>be B1<1 C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz C.a2>6 D.a>b 解析采用特殊值法进行求值并验证即 4.(2017·北京卷，考向3)某学习小组由 可.若x=1,y=2,x=3,a=1,b=2,c=3,则 学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个 ax+by+cz=14,az+by+cx=10,ay+bz+ 条件： cx=11,ay十bx十cz=13.由此可知最低的总 ①男学生人数多于女学生人数： 费用是a之+by十cx. ②女学生人数多于教师人数： 答案B ③教师人数的两倍多于男学生人数， 命题意图：考查实际问题中的不等关系 (1)若教师人数为4，则女学生人数的最大 命题规律真题探源：教材P43习题2.1第10、12题 值为 都是不等式在实际问题中的应用 (2)该小组人数的最小值为 4615.若Vx∈{x1≤x≤2}，x-a0,则a≤x2,所以a≤1. 又：-子<m≤1，m=-1或1或-之或2 若3x∈R,x2+2ax+4=0,则△=(2a)2-160, 当m=一1时，第一个方程可化为x十4x一4=0，其 解得a≤一2或a2 根不是整数： 因为命题p和命题q都是真命题， 当m=1时，两方程的根均为整数： a>1, 所以 a>1, 或 所以a≥2. a≤-21a≥2， 同理，经检验m=士号时，均并不满足方程的根为整数 16.(1)当a=0时，A={x-1<x<0), ,.两方程的根均为整数的充要条件是m=1 x2-2r-8<0=→B=(x-2<xr<4. 19.(1)因为4∈A,但是4十4=8任A,所以A不为闭集合. 任取a,b∈B,设a=3m,b=3n,m,n∈Z. (2)当AUB=B时，A二B,则有： 则a+b=3m+3n=3(m+n)且m十n∈Z, 当A=心，即2a≤a一1，即a≤-1时，符合题意： 所以a十b∈B. 当A≠必，即2a>a-1,即a>-1时， 同理，a一b∈B,故B为闭集合， 有/0-1公-2 解得-1<a≤2. (2)结论：不一定. 2a≤4， 令A=(xx=2k,k∈Z,B=(xx=3k,k∈Z1, 综上所述，a≤2. 则由(1)可知，A,B为闭集合，但2,3∈AUB,2+3= 17.(1)由命题"Vx∈{x一1≤x≤1}，都有不等式x2一x 5AUB, 一m<0成立”是真命题，得x2一x-m<0在-1≤ 因此AUB不为闭集合. ≤1时恒成立， (3)证明：（反证法）若AUB=R, .n>(x2-x)s,得m>2,即B={mm>2. 则因为AR,存在a∈R且a任A,故a∈B. 同理，因为BR,存在b∈R且b廷B,故b∈A, (2)不等式(.x-3a)(x-a-2)0. 因为a+b∈R=AUB,所以a十b∈A或a+b∈B. ①当3a>2十a,即a>1时，解集A={x2十a<x< 若a十b∈A,则A为闭集合，a=(a十b)一b∈A,与 3a),若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B aEA矛盾： 的真子集， 若a十b∈B,则B为闭集合，b=(a+)一a∈B,与bEB ∴.2+a≥2，此时a>1: 矛盾. ②当3a=2+a,即a=1时，解集A=0,满足题设条件： 综上，存在c∈R,使得CEAUB. ③当3a<a十2，即a<1时，解集A=(x3a<x<2+ ..AUBR. a},若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则有3a≥2， 第二章一元二次函数、方程和不等式 此时子<a<1. 2.1等式性质与不等式性质 综上可得a>号 变式训练答案 18.:mx2一4x十4=0是一元二次方程，∴m≠0. [变式】比提示：由日<名<0可得6a<0,显然 又另一方程为x2一4m.x十4m2一4m-5=0,且两方程 选项A不正确： 都要有实根， 因为b<a<0,所以ab>0,a十b<0所以ab>a十b,故 141=(-4)2-16m0, 选项B正确： 因为a<0,所以b>a,故选项C正确： △：=16r-4(4m-4m-5)≥0 解得一<m<1 因为a<0,所以0，a一>0，可得ab-?=b(a一b) ,两方程的根都是整数，∴其根的和与积也为整数， <0,即ab,故选项D不正确. 品ez. [变式2]方法一（作差法），x>0,.1十x>1, 母4m∈Z 六1+艺-+7=+中起 4m2-4m-5∈Z, =1+x-2++1 m为4的约数. 2 -12 (1+=D>0, 2 ab,显然S>S,即2(c+)>ab ∴+x<1+ 7.x<y<0,∴.-x>-y>0,∴x>y2>0. r<y<0,1>0 方法二（平方法） “>0,+>1,1+号>1， 1<0,即0心1>1 (1-(1+受)广-千<0 x y 什x<1+ r>>> B综合提能练 方法三（几何法）如图，在R△ABC中，AD,AE分别 是斜边BC上的高和中线。 1.D2.C 3A提示：”x十y+=d2-2b+吾+-2+吾+ 2-2a+受=(a-1)+(6-1)2+(c-102+x-3>0, 1x ED 假设x,y,都不大于0，即x≤0，y≤0，≤0， 设CD=1,BD=1+x(x>0), 根据同向不等式的可加性可得x十y+0. ① 则AD=F,AE=1+中1-1+受， 又，x十y十>0与①式矛盾，所以假设不成立，即原命 2 题的结论x,y,:中至少有一个大于0. 由AD<AE可知，+<1+ 43.提示：对命题②作等价变形有二>4加一40. ab 真题演练答案 ,∴.ab与bc-ad同号，故①③→②，①②>③，②3③→①. 1.2a3-形-(2ab-a2b)=2a(a2-)+b(a2-)= (a2-)(2a+b)=(a-b)(a十b)(2a+b). 5.(-吾，）.提示：0<a<受，0<2a<x, 因为a≥b>0,所以a-≥0，a十>0,2a十b>0. 从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0，即2a-≥2al-a6 “登<K,六晋<-号<-吾 2.1,一1（答案不唯一，满足a>0,<0即可）. 晋<号< 3.D 6.c≥b>a. 提示：因为c-b=4-4a十a2=(a-2)2≥0， 4.(1)6.(2)12.提示：设男学生、女学生，教师人数分 别为xy,,则x>y> 所以≥A又因为6=[6+c)-(c-b]=[6 (1)若教师人数为4，则4<y<r<8,当x=7时，y取 4a+3a2)-(4-4a+a2)]=a2+1.所以b-a=a2 得最大值6. a+1=(a-号）广+2>0，所以6>u (2)当=1时，1=<y<x<2,不满足条件：当2=2 时，2=x<y<x<4,不满足条件：当：=3时，3=g< 综上可得，c≥b>a. y<x<6,y=4,x=5,满足条件.所以该小组人数的最 7.根据题意，设全程的距离为2 小值为3+4+5=12. 对于甲，前半程的时间为。，后半程的时间为方，则甲 练习册答案 A基础过关练 的时间一言+方- a ab 1.D2.B3.B4.A 对于乙，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速 5.B提示：x-y=a-b-ab+a=a(a-b)十(a-b)= 度b匀速跑，则有a×号+bX号=2，变形可得 (a一b)(a2+1),a<b.则a-b0,又a2+1>0,则 4s x-y=(a-b)(a+1)<0,故x<y. a十b 6(公2+)>a山提示：由题图可知，第-个广告牌 则有4-6-法-书。-a而【a+wP 的面积S=号（公+公），第二个广告牌的面积S= 4ub]-aba+n（a-b, 13正解，“a≤≤d十1”是”一2≤≤5”的充分不必要条件. 易错探因本题容易犯的错误是忽略命题中隐含的量 .(xa≤x≤a2+1){x|-2≤r≤5. 词，例如常会误认为命题(1)的否定是“能被5整除的 又a2+1-a=(a-)）'+>0, 数，末位不是0”：误认为命题(2)的否定是“能被3整除 的数不能被4整除”，它们忽略了(1)(2)都属于全称量 ,.十1>a恒成立. 词命题，其否定不能只否定结论. /公2 但等号不能同时成立. a2+1≤5， 误区9误用不等式的性质 a≥-2， 由 得-2≤a≤2. 易错题9（错误率30%）已知1a-2且2a十b≤ a2+1≤5 4,求4a一2b的取值范围。 当a=-2时，a≤xra+1等价于-2≤x≤5，不符合 正解令a十b=,a一b=,则2≤≤4，l≤≤2 题意： a=utv 当a=2时，a≤r≤a+1等价于2≤r≤5，符合题意. a+b=, 2 由 整理得 .-2<a≤2. la-b=v, b=uv 答案-2<a≤2 2 易错探因由于本题是充分不必要条件，所以容易误认 4a-2h=4.”-2.=24+2+w=+3. 2 2 为等号都不能取. 2≤u≤4,3≤3≤6， 误区7混淆含有量词的命题的否定 .5≤+3≤10，即5≤4a-2b≤10. ,.4a一2b的取值范围为5≤4a一2≤10. 易错题7（错误率25%）已知命题p:存在一个实数x, 易错探因同向不等式的两边可以相加减，但是这种转 使得x一x-2<0,那么7p为 化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转 正解一p:对任意的实数x,都有x2一x一20. 化，就有可能扩大所求代数式的取值范围.所以选用不 易错探因本题易产生如下错解： 等式的性质求解代数式的取值范围时务必小心谨慎。 错解一：7p为“存在一个实数x,使得x2一x一2≥0” 错解二：一p为“对任意的实数x,都有x产一x一2<0” 误区10忽略不等式的性质成立的条件 错解三：一p为“Vx任R,使得x2一x一2≥0” 易错题10（错误率42%）给出下列命题： 该命题是存在量词命题，其否定应是全称量词命题，错 解一得到的一力仍是存在量词命题，显然只对结论进 ①若a<b.c<0,则后<斤： 行了否定，而没有将存在量词改为全称量词：错解二只 ②若ac>x.则a>b: 将存在量词改为全称量词，而没有对结论进行否定：错 ⑧若a>b且k∈N,则a>∥： 解三对命题的适用范围也进行了否定， ④若>a>b>0.则“。>白 误区8忽略命题中隐含的量词 其中正确命题的序号是 易错题8（错误率37%）写出下列命题的否定. 正解①当a<0时，台<云不成立，故①不正确： (1)能被5整除的数，末位是0. ②当c<0时，a<b,故②不正确： (2)能被3整除的数，也能被4整除 ③当a=1,b=一2，k=2时，命题不成立，故③不正确： 正解(1)省略了全称量词“任意一个”，命题的否定为 ①a>b>0→-a<一b0→0<c-a<c-b, “有些可以被5整除的数，末位不是0” 两边同乘以。一一而得0<。十。 (2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为“存在一个 能被3整除的数，不能被4整除”. 又>>0，。>产0放④正确 2 答案④. A.1+2 B.3+22 易错探因若在应用不等式的性质解题时忽略其成立的 C32 D.42 条件，就会得出错误的结果，如①中易由α<b错误推出 正解：x十2y=1,x>0,y>0, }>古，从而判斯①是正确的：③中易忽略口与6的符 +=+2(+)=3+号+3+2 y 号（认为二者同为正），从而错误推出> (当且仅当号=，即x一②y时，等号成立。 应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如 “非负乘才保序”，还要特别注意“乘负反序”“同号取倒 d=顶-1y=1盟 反序”的情况。 放当一反-1w1-号时+ 有最小值，最小 y 误区11忽略基本不等式求最值的条件 值为3+22. 易错题1（错误牵溜%）函数y一2行-(0<r<号) 答案B 易错探因本题易产生如下错解： 的最大值为」 >0,y>0,.1=x十2y≥22xy,∴.8.xy≤1. 正解 5 0<3· .2x>0,5-3x>0 y y=2xr(5-3x)= 号a6-am<号(） +2写 1 =25 1 :1+1≥28=42. t y 当且仅当3x=5-3,即x=君时，满足0<x<号且 放+号的最小值为42 等号成立， 上述求解过程中使用了两次基本不等式：x十2y≥ 故所求函数的最大值为气 2√2xy, :,但这两次取等号的条件分 答案票 别为x一2y与x=y,不能同时成立，所以不能等号. 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等 易错探因本题易产生如下错解： 号的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本 y=2r(5-3x)=2/6-3aJ<2(H53)= 不等式是无法求出最值的，此时应对原式进行适当的 (5-2.x) 拆分或合并，直到取等号的条件一致 2 当组仅当一5-a,即一子时满足0<x<号且等号成立。 误区13忽略对二次项系数的讨论 此时⑤2-要故y的最大值为等 易错题13（错误率42%）当a为何值时，不等式 2 8 (a2-1).x+(a-1)x-1<0的解集是R? 事实上，不等式右边的()不是常数，不符合基 正解若a2-1=0,则a=士1. 当a=1时，原不等式化为-1<0恒成立， 本不等式求最值的条件（和或积为定值）。 .a=1满足题意： 误区12忽略连续使用基本不等式时等号成立 当a=-1时，原不等式化为-2红一1<0，即>-之： 的条件 ∴a=一1不满足题意： 易错题12（错误率43%）已知x>0,y>0,且x十2y= a-1<0, 1,则十的最小值为( 当a≠士1时，由题意得 y (a-1)2+4(a2-1)<0, 3